Instituto de F´ısica Universidad de Guanajuato Agosto 2007

F´ısica III Cap´ıtulo I Jos´e Luis Lucio Mart´ınez

El material que se presenta en estas notas se encuentra, en su mayor parte, en las referencias que se entregaron al inicio del curso o en las p´aginas recomendadas.

Figure 1:

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Resumen • La entidad fundamental en la electrost´atica es la carga el´ectrica. Hay dos clases de cargas: positiva y negativa. Cargas del mismo signo se repelen entre s´ı; cargas de signo opuesto se atraen. La carga se conserva; la carga total en un sistema aisaldo es constante. • Toda materia ordinaria est´a hecha de protones, neutrones y electrones. Los protones positivos y los neutros el´ectricamente nueutros en el n´ ucleo de un ´ atomo est´ an unidos entre s´ı por la fuerza nuclear; los electrones negativos est´ an a distancias mucho mayores que el tama˜ no del n´ ucleo. Las interaciones el´ectricas son los pricipales responsables de la estructura de los ´ atomos, mol´eculas y s´olidos. • Los conductores son materiales que permiten que la carga el´ectrica se mueva f´ acilmente dentro de ellos. Los aislantes permiten que la carga se mueva menos f´ acilmente. La mayor´ıa de los metales son buenos conductores; la mayor´ıa de los no metales son aislantes. • La ley de Coulomb es la ley b´asica de interacci´on para cargas el´ectricas puntuales. Para las cargas q1 y q2 separadas entre s´ı una distancia r, la magnitud de la fuerza sobre cada carga es F =

1 |q1 q2 | . 4π0 r2

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La fuerza sobre cada carga est´a dirigida a lo largo de la ´ınea que une a las dos cargas: es de repulsi´on si q1 y q2 tienen el mismo signo y de atracci´on si tienen signos opuestos. Las fuerzas forman un par acci´on-recci´on y obedecen a la tercera ley de Newton. En unidades del SI, la unidad de carga el´ectrica es el coulomb C y 1 = 8.988 × 109 N · m2 /C 2 . 4π0

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• El principio de superposici´on de fuerzas establece que cuando dos o m´as cargas ejercen cada una fuerza sobre otra carga, la fuerza total sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las cargas individuales. • El campo el´ectrico, cantidad vectorial, es la fuerza por unidad de carga ejercida sobre un carga de prueba sea lo suficientemente peque˜ na como para no perturbar las cargas que generan el campo. Por la ley de Coulomb, el campo el´ectrico producido por una carga puntual es ~ = E

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1 q rˆ. 4π0 r2

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• El principio de superposici´on de campos ele´ectricos establece que el campo el´ectrico de cualquier combinaci´on de cargas es la suma vectorial de los campos causados por las cargas individuales. • Las l´ıneas de campo dan una representaci´on gr´afica de los campos el´ectricos. En cualquier punto sobre una l´ınea de campo, la tangente a la l´ınea tiene ~ en ese punto. Donde l´ıneas de campo est´an cerca una de la direcci´ on de E otra, E es grande; donde las l´ıneas de campo est´an muy separadas entre s´ı, E es peque˜ no. • Un dipolo el´ectrico es un par de cargas el´ectricas de igual magnitud q pero de signo opuesto, separadas una distancia d. El momento dipolar el´ectrico p~ por definici´ on tiene magnitud p = qd. La direcci´on de p~ es de la carga negativa a la positiva. Un dipolo ele´ectrico en un campo el´ectrico experimenta un momento de torsi´on de magnitud τ = pE sin φ,

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~ El momento de torsi´on donde φ es el ´ angulo entre las direcciones de p~ y E. es un vector, que se denota ~τ : ~ ~τ = p~ × E.

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~ • La energ´ıa potencial para un dipolo el´ectrico en un campo el´ectrico E depende de la orientaci´on del momento dipolar p~ respecto al campo: ~ U = −~ p · E.

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Estrategias para resolver problemas 1. Aseg´ urese de usar un conjunto consistente de unidades. Las distancias deben estar en metros y la carga en coulombs. Si le dan cm o nC, no olvide convertirlas. 2. Cuando sume campos el´ectricos causados por diferentes partes de la distribuci´ on de carga, recuerde que el campo el´ectrico es un vector, por lo que debe sumar vectorialmente. No sume simplemente las magnitudes de los campos individuales; las direcciones tambi´en son importantes. 3. Use la notaci´ on vectorial apropiada; distinga con cuidado entre escalares, vectores y componentes de vectores. Indique claramente sus ejes coordenados en sus diagramas y aseg´ urese de que las componentes son consistentes con su selecci´ on de ejes. ~ distinga bien el punto fuente y 4. Al determinar las direcciones de vectores E, el punto de campo P . El campo producido por una carga puntual siempre va desde el punto fuente al punto de campo si la carga es positiva, y en sentido opuesto si es negativa. 3

5. En algunos casos tendr´a una distribuci´ n de carga a lo largo de una l´ınea, sobre una superficie o en un volumen; deber´a entonces definir un elemento diferencial de carga, encontrar su campo el´ectrico en el punto P y encontrar una manera de sumar los campos de todos los elementos de carga. En ~ por separado general, es m´ as f´ acil hacer esto para cada componente de E y tendr´ a necesidad de eva luar una o m´as integrales. Aseg´ urese de que los l´ımites de sus integrales sean correctos; especialmente, cuando la situaci´on urese de no contar dos veces o m´as la carga. tenga simetr´ıa, aseg´

Simetr´ıa Para hablar de simetr´ıa necesitamos los siguientes ingredientes: El ”objeto de inter´es (figura, ecuaci´on, etc.).” Una transformaci´on que actua sobre el ”objeto de inter´es”. El resultado de la transformaci´on. Si al hacer actuar la transformaci´on sobre el ”objeto de inter´es” algo queda invariante, entonces se dice que existe una simetr´ıa. Ejemplos de simetr´ıa: 1. La fuerza de gravedad es invariante ante el cambio de signo de las masas. Si se cambia M → M 0 = −M y m → m0 = −m, la fuerza no cambia, entonces la transformaci´on -cambio de signo de las masas- es una simetr´ıa de esa fuerza de gravedad. 2. Un cuadrado es invariante ante rotaciones de 90 alrededor de un eje que pasa por el centro del cuadrado (ver figura 2). 3. Un c´ırculo es invariante ante rotaciones de un ´angulo arbitrario alrededor de un eje que pasa por el centro del c´ırculo (ver figura 2).

Figure 2:

Expresado en otros t´erminos, el campo el´ectrico se puede calcular para distribuciones discretas (cuando hay varias cargas puntuales) o bien para distribuciones 4

continuas de carga, i.e. cuando suponemos que la carga ocupa de manera continua una regi´ on del espacio. En el caso de cargas puntuales el principio de superposici´ on implica una suma sobre cada una de las cargas: ~ = E

1 X qi rˆi 4πε0 i ri2

En el caso de distribuciones de continuas de carga se debe evaluar una integral: Z 1 dq ~ rˆ E= 4πε0 r2 En ambos casos r es la distancia del diferencial de carga dq al punto P donde se desea calcular el campo y rˆ es el correspondiente vector unitario. Para completar la integraci´ on debemos seguir el procedimiento explicado abajo: ~ = 1. Empezar con dE

1 dq ˆ 4πε0 r 2 r

2. Reescribir el diferencial de carga dq como:   λd`, longitud σdA, ´area dq =  ρdV, volumen

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donde λ, σ y ρ son la densidad de carga lineal, de superficie y de vol´ umen respectivamente. Y dependiendo de si la carga est´a distribuida sobre una longitud, una ´ area o un volumen. ~ 3. Substituir dq en la expresion para dE 4. Especificar un sistema de coordenadas apropiado (cartesianas, polares, etc.) y expresar el elemento diferencial y r en t´erminos de esas coordenadas (ver la tabla de abajo).

Figure 3: Elementos diferenciales de longitud, ´area y volumen en diferentes coordenadas. ~ en t´erminos de las variables de integraci´on y aplicar argu5. Reescribir dE mentos de simetr´ıa para identificar las componentes no nulas del campo el´ectrico. ~ 6. Completar la integracion para obtener E.

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Figure 4: En esta tabla se hace un resumen del m´etodo usado para calcular el campo el´ectrico de una l´ınea infinita de carga, un anillo, y un disco uniformemente cargado.

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