Instituto de Profesores “Artigas” Física Experimental 1 Guía práctica

Nº7

Oscilaciones Introducción

¿Quién no se ha mecido en una hamaca? Suponemos que una amplia mayoría de los lectores contestarían afirmativamente la pregunta. En todo caso el análisis del movimiento, en una situación realista, implicaría considerar por lo menos a la hamaca, el niño que está sobre ella, al adulto que la propulsa y la Tierra. Estudiar la situación realista tiene dificultades que exceden el nivel de un curso introductorio. Requeriría considerar que el sistema puede ser forzado a moverse (imagine la cara del niño si no se dieran esos empujones periódicos para ir cada vez más alto). Si no existen los empujones la hamaca terminará por detenerse debido a la disipación de energía mecánica, asociada a un fenómeno que llamamos amortiguamiento. Es probable que el niño no pueda modelarse como una partícula, por ejemplo, si extiende sus piernas cuando pasa por la ubicación más baja. Además, la amplitud del movimiento (en este caso el ángulo1 máximo definido por las cuerdas respecto de la vertical) seguramente será suficientemente grande como para que el período del movimiento no pueda considerarse único. El anterior es un ejemplo dentro de un conjunto grande e importante de situaciones en las que un sistema físico tiene un movimiento oscilatorio: se desarrollan oscilaciones. En un caso mecánico como el que nos ocupa, es observable un movimiento de vaivén, de ida y vuelta; ese es el primer indicio de su presencia. Otros ejemplos que tienen puntos de contacto pueden ser: el péndulo de un viejo reloj mecánico; casi cualquier trozo de cuerda de un instrumento musical de cuerda, luego de ser pulsada, percutida, o frotada por un arco2; cualquier cuerpo sólido al que se le pueda hacer un orificio no coincidente con su centro de masa, para colgarlo de un clavo horizontal, comenzará a oscilar si se lo saca de la posición en la que está en reposo y se lo libera; algo similar ocurre con el embolo de una jeringa con aire encerrado en ella y el extremo tapado.

Figura 1. Oscilación de un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante elástica k.

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En los problemas donde hay movimiento de traslación en una dimensión, la amplitud está dada por una posición lineal máxima. 2 Un enfoque desde una perspectiva musical, puede consultarse en los Apuntes para el curso de Acústica Musical del Ing. Daniel Maggiolo, en el sitio de la EUM.

Consideremos un ejemplo más cercano a la propuesta experimental que hemos seleccionado para desarrollar, y en varios aspectos más sencillo que la situación realista ejemplificada con la hamaca. En particular, una situación física que pueda modelarse de la forma siguiente: un resorte liviano (de masa despreciable con respecto a la del cuerpo) que tiene comportamiento lineal (hookeano caracterizado por una constante elástica ) unido a un cuerpo puntual, de masa , apoyado sobre una superficie horizontal en la que la fricción se ha minimizado. El otro extremo del resorte está fijo a la pared. Un esquema del dispositivo se muestra en la figura 1a. Por simplicidad dispongamos un sistema de coordenadas que tenga origen en la posición en la cual la fuerza realizada por el resorte sobre el cuerpo es nula: esta es la posición de equilibrio del sistema. Suponga que sacamos al cuerpo de la posición de equilibrio y lo dejamos en libertad a su talante; el sistema comenzará a desarrollar una oscilación libre. Observe en la figura 1b que, pensando desde el punto de vista dinámico, la fuerza neta sobre el cuerpo a ambos lados de ella, tiene sentido opuesto al vector posición; podríamos decir que la fuerza actúa de forma que en todo lugar acelera al cuerpo hacia la posición de equilibrio. Desde el punto de vista energético, la forma de la energía potencial asociada a la fuerza elástica tiene un mínimo en la posición de equilibrio (figura 1c). Son dos formas equivalentes de identificar una posición de equilibrio estable. Es en torno a dichas posiciones que pueden darse oscilaciones. El problema que proponemos estudiar

Consideremos un sistema físico similar al descrito al final del apartado anterior en el que puedan generarse oscilaciones libres (libre de cualquier factor de amortiguación) y en una dimensión3. Ubicaremos al resorte verticalmente con un extremo fijo a un soporte, de forma que sea posible producir oscilaciones en dirección vertical. En la figura 2 se muestran esquemas de la situación, y en particular en (a) el resorte sin deformar.

Figura 2. Un cuerpo y un resorte que pueden oscilar en una dirección vertical.

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En nuestro experimento intentaremos apartar al cuerpo de la posición de equilibrio de forma que la oscilación se desarrolle en una dimensión. Si no lo hiciéramos, encontraríamos una situación que en la jerga se conoce como péndulo elástico. Podrían darse también oscilaciones debidas a la torsión del resorte; vea por ejemplo el péndulo de Wilberforce. Si tiene curiosidad, para explorar sobre estas extensiones del problema concretarlo mediante el buscador académico Timbó.

Analicemos el problema desde un enfoque dinámico, con el objetivo de obtener una ecuación para el movimiento del cuerpo en tales condiciones. Ubicamos un sistema de coordenadas ( , ) con origen en la posición de equilibrio del sistema y haciendo coincidir el eje x con la vertical (figura 2b). En esta posición el resorte está deformado . Planteamos la situación que corresponde a un instante de tiempo t en el que se esté desarrollando la oscilación y el cuerpo se encuentre en la posición x. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 2c. La segunda ley de Newton nos permite escribir:

.

( + )=

.

Ec. 1

En la Ec. 1 no se ha considerado la existencia de fuerzas disipativas. Esto es equivalente a asumir la conservación de la energía mecánica del sistema cuerpo-resorte-Tierra. Para que sea adecuado a la situación estudiada hay que observar al sistema durante tiempos “largos”; una forma de detectar la presencia de disipación es la disminución de la amplitud de la oscilación.4 Obviamente en estos casos la ecuación 1 no representa adecuadamente el problema, se requerirá al menos un término más. En x = 0 se tiene una posición de equilibrio, por tanto, en la ecuación 1 los dos primeros términos del primer miembro se anulan, quedando una expresión sencilla:

.

=

.

Ec. 2

Para escribir de forma estandarizada la Ec. 2 expresamos la aceleración como la derivada segunda en el tiempo de la posición y la reordenamos, obteniendo:

+

=0

Ec.

La ecuación 3 es un ejemplo de ecuación diferencial lineal de segundo orden, con coeficientes constantes y homogénea. Antes de postular una solución para la ecuación diferencial, argumentamos sobre la plausibilidad de que las funciones sen(u) y cos(u) pueden cumplir adecuadamente el papel. Mencionamos dos aspectos relevantes: estas funciones están acotadas entre los valores +1 y -1; el movimiento del cuerpo también está acotado entre un valor positivo máximo de x y otro negativo. Además, las funciones son periódicas (con período 2 ); el movimiento oscilatorio -al menos en algunas situaciones- es periódico en el tiempo. Se requerirá adecuar la matemática para que pueda dar sentido a situaciones físicas. Aceptemos que una forma de expresar las soluciones de la ecuación diferencial para las oscilaciones puede escribirse, en lo que refiere a la posición x:

= . sin( . + ) Ec. 4 4

Cuando la disipación es apreciable, la oscilación se dice amortiguada. En la próxima actividad experimental veremos un ejemplo común de esta situación.

En la Ec. 4 se establece cómo evoluciona la posición del cuerpo a medida que transcurre el tiempo t. Aparecen tres cantidades constantes, cuyo significado hay que discutir brevemente. Las cuantías y quedan definidas a partir de las condiciones iniciales del problema: posición y velocidad en el instante inicial. La cantidad simbolizada (letra griega omega minúscula), que llamamos frecuencia angular del movimiento oscilatorio, es una forma de caracterizar la periodicidad temporal del mismo. Es fácil mostrar que la Ec. 4 es solución de la Ec. 3. Derive dos veces respecto del tiempo la primera y sustituya en la última. Se obtiene que la igualdad se respeta si la frecuencia angular tiene una expresión sencilla en términos de la constante elástica del resorte y la masa del cuerpo. En símbolos:

=

( ,

)

Ec. 5

La ecuación 5 (que se pide al lector obtener) predice una única frecuencia angular para un resorte y un cuerpo que se ajusten al modelo definido, puestos a oscilar libremente. Esto implica un único período asociado al movimiento. El vínculo entre estas dos cantidades es: = 2 .

Una cuestión importante es que el análisis del movimiento oscilatorio con un grado de libertad (que puede describirse adecuadamente con una sola coordenada, sea una posición traslacional o angular) para el caso de oscilaciones de pequeña amplitud de muchos otros sistemas físicos (péndulo simple, péndulo físico, péndulo de torsión, entre otros) tiene muy similar desarrollo y resultado. Dicho en el sentido de que la frecuencia propia de oscilación del sistema depende de cuantías características del mismo que son constantes. La propuesta

La propuesta de trabajo experimental consiste en configurar un sistema físico (resorte helicoidal, cuerpo, soporte) que pueda modelarse como se indica más arriba, y analizar cuantitativamente la relación dada por la ecuación 5. Algunas formas en que puede plantearse el problema, midiendo el período de oscilaciones libres: Elija un resorte y varios cuerpos de distinta masa. Elija un cuerpo y varios resortes de diferente constante. Analice especialmente si existen zonas que ajustan mejor al modelo, dentro del dominio de omega estudiado. Los instrumentos de medida los dejamos también a elección del estudiante, limitados por los disponibles en el laboratorio. En lo que refiere a la medida de la frecuencia angular, lo usual es determinar de forma directa el período T de la oscilación, y aquella partir de este. Bibliografía comentada

Ángel Franco García. FÍSICA PARA ENERGÍAS RENOVABLES (Nuevo curso interactivo) Enlace. Visitado 04/09/2015. El enlace conduce al nuevo sitio credo por el autor. Encontrarás un amplio desarrollo del tema de esta actividad en la sección Oscilaciones. Puedes acceder directamente aquí.

Jorge Díaz y Raúl Pecard. FÍSICA EXPERIMENTAL para preparatorios. Tomo 1. Kapelusz. Buenos Aires. 1973. En la actividad “ “g” con péndulo” se muestra, a un nivel elemental, las dificultades al estudiar las oscilaciones de un péndulo. La situación se hace especialmente sencilla para “pequeñas” oscilaciones; los autores intentan cuantificar el adjetivo “pequeñas”. S. Gil y E. Rodríguez. FÍSICA re-CREATIVA. Prentice Hall. Buenos Aires. Marzo de 2001. En la guía “Movimiento oscilatorio armónico” los autores presentan sugerencias de trabajo para una actividad similar a la que nos proponemos realizar. Existe, en la web, una versión previa (abril de 2000) a la versión en papel, a la que se puede acceder aquí.

Coordinación de Física Experimental I, IPA, Prof. Daniel Baccino y Prof. Guzmán Trinidad, 05 de Setiembre de 2015