INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA UNIDAD 3 FICHA 2: PARALELISMO

1 – Posiciones relativas de rectas. 2 – Axioma de Euclides. 3 – Paralelismo de recta y plano. 4 – Paralelismo de planos. 5 – Paralelismo como relación de equivalencia.

2008

Material elaborada por la Sala de Geometría a partir del trabajo: “PARALELISMO EN EL ESPACIO” de Lilián Muñoz y Etda Rodríguez.

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Geometría – Unidad 3

1 –POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS. Recordemos de la ficha 1 que las posiciones relativas en que se encuentran un par de rectas en el espacio son: NO COPLANARES o COPLANARES (paralelas o secantes), según se detalla en el siguiente esquema: a=b a , b paralelas

a∩ b = ∅

a , b coplanares a , b secantes

∀a ,∀b / a ⊂ E , b ⊂ E a , b no coplanares

2 –AXIOMA DE EUCLIDES. AXIOMA 10 Por cada punto del espacio, existe y es única la recta paralela a una recta dada.

3 –PARALELISMO DE RECTA Y PLANO. DEFINICIONES. Recta y plano secantes: una recta y un plano son secantes si su intersección es un conjunto unitario. Recta y plano paralelos: una recta y un plano son paralelos si no son secantes. OBSERVACIÓN: Una recta y un plano paralelos tienen como intersección todos los puntos de la recta o ninguno. α

r r //α ⇔

(r ⊂ α) ∨ (r ∩ α = ∅) r α

2008

Ficha 2: Paralelismo.

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Geometría – Unidad 3

3.1 – POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO.

r⊂π PARALELOS

r∩π=∅

∀r,∀π / r ⊂E , π⊂E r ∩ π ={P}

SECANTES

3.2 – CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE DE PARALELISMO DE RECTA Y PLANO. TEOREMA La condición necesaria y suficiente para que una recta y un plano sean paralelos es que exista una recta incluida en el plano que sea paralela a la recta dada. 1º: Condición necesaria (teorema directo).

Si una recta r es paralela a un plano α entonces existe una recta s incluida en α que es paralela a r T) ∃ s / s ⊂ α ∧ s / / r .

H) r // α Demo.:

Por H) r es paralela a α , entonces por definición: a) r ⊂ α , en éste caso la propia recta r está incluida en el plano y es paralela a si misma. b) r∩α=∅ ⎫⎪ ⇒ P∉r Por ax. .....: ∃ P / P ∈ α ⎬ ⎪⎭ 1) P∉r ⇒ ∃β / P ∈β ∧ r ⊂ β teo. ..............

2)

⎫ r∩α=∅ ⎫ ⎬ ⇒ α≠β⎪ Por 3) : r ⊂ β ⎭ ⎪ ⎪ Por 1) : P ∈ α ⎬ Por 2) : P ∈β ⎪ ⎪ ⎪⎭

2008

β α

3)

⇒

teo. .....................

r s

P

∃ s / s = α ∩β , P∈s

Ficha 2: Paralelismo.

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s = α ∩β ⇒ s ⊂ α ⎫ ⎫ ⎬ ⇒ r ∩ s = ∅⎪ r ∩ α = ∅⎭ ⎪ ⎪ α ∩β = s ⇒ s ⊂ β ⎬ Por 3) : r ⊂ β ⎪ ⎪ ⎪⎭ Luego se cumple:

⇒

.................

r//s

∃s / s ⊂ α ∧ s / / r T)

2º: Condición suficiente (teorema recíproco).

Si una recta r es paralela a una recta s de un plano α entonces r es paralela a α . H) ∃ s / s ⊂ α ∧ s / / r

T) r // α .

Demo.: Por H) las rectas r y s son paralelas, entonces por definición son coincidentes o coplanares disjuntas. a) Si r = s como s ⊂ α ⇒ r ⊂ α ⇒

...........

r // α

T) b) Si ∃ β / r ⊂ β , s ⊂ β , r ∩ s = ∅ , considerando los planos α y β se presentan dos casos: 1)

2)

3)

i) α = β , pero por 1) r ⊂ β ⇒ r ⊂ α ⇒

............

r // α T)

ii)

β

α≠β

⎫ ⎪ Por H) : s ⊂ α ⎬ ⇒ s = α ∩ β Por 2) : s ⊂ β ⎪⎭

α

r s

α ∩β = s

⎫ ⎪ Por 1) : r ⊂ β ⎬ Por 3) : r ∩ s = ∅ ⎪⎭

⇒

por def . de inclusión e int er sección

r ∩α = ∅

Como r ∩ α = ∅ , luego por definición se cumple:

r // α T)

3.3 – PROPIEDADES DEL PARALELISMO DE RECTA Y PLANO. TEOREMA (1).

Dados un punto P y un plano α , existe una recta que pasa por P y es paralela a α . 2008

Ficha 2: Paralelismo.

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TEOREMA (2).

Dados un punto y una recta, existe por el punto un plano paralelo a la recta. OBSERVACIÓN.

¿Se verifica la unicidad en los teoremas (1) y (2)? TEOREMA (3).

Si una recta es paralela a un plano, todo plano que la incluya e interseque al primero, cumple que la intersección es una recta paralela a la recta dada. TEOREMA (4).

Si una recta es paralela a un plano, toda paralela a ella por un punto del plano, está incluida en él. TEOREMA (5). Transitividad del paralelismo de rectas del espacio. Si una recta a es paralela a una recta b y b es paralela a una recta c, entonces a es paralela a c.

H) a // b b // c

T) a // c

Demo.: Hay que demostrar que las rectas a y c son coplanares y no secantes. Se presentan dos casos: a y c tienen algún punto en común o son disjuntas. i)

∃ P / P ∈ a ∧ P ∈ c⎫ ⎪ Por H) : a / / b ⎬ ⇒ c = a ⇒ ax. 10 def . Por H) : b / / c ⎪⎭

a // c

b T)

ii) a ∩ c = ∅ ⇒ ∃ R / R ∈ c ∧ R ∉ a 1)

Por 3): R ∉ a

2)

Por 5) : a ⊂ β ⎫ ⎬ Por H) : a / / b ⎭ Por Por Por Por

⇒

....................

6) : b / / β ⎫ 4) : R ∈β ⎪⎪ ⎬ 2) : R ∈ c ⎪ H) : b / / c ⎪⎭

∃ β / R ∈β ∧ a ⊂ β

⇒

4)

.......................

⇒

..................

a

c R

5)

b//β 6)

c⊂β

Por 5): a ⊂ β Por 1): a ∩ c = ∅

2008

β

3)

⇒

................

a // c T)

Ficha 2: Paralelismo.

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TEOREMA (6).

Si una recta es paralela a dos planos secantes entonces es paralela a su intersección. TEOREMA (7).

Si dos rectas se cruzan, existe y es único el plano que incluye a una de ellas y es paralelo a la otra. TEOREMA (8).

Por un punto existe y es único el plano paralelo a dos rectas que se cruzan. TEOREMA (9).

Todo plano que interseca a una de dos rectas paralelas, también interseca a la otra.

4 –PARALELISMO DE PLANOS. DEFINICIONES. Planos secantes: dos planos son secantes si su intersección es una recta. Planos paralelos: dos planos son paralelos si no son secantes. OBSERVACIÓN: Dos planos paralelos son coincidentes o disjuntos.

α //β ⇔

α =β

(α = β) ∨ (α ∩ β = ∅ )

α

β

4.1 – POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS.

α =β PARALELOS

α ∩β =∅

∀ α , ∀β / α ⊂ E ∧ β ⊂E SECANTES

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α ∩β =i

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4.2 – CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE DE PARALELISMO DE PLANOS. TEOREMA (10).

Si dos planos son paralelos, toda recta paralela a uno de ellos es paralela al otro. T) a / / β

H) a ⊂ α ∧ α / / β Demo.:

Por H): α // β , entonces por definición de planos paralelos éstos son coincidentes o disjuntos. i) α = β

⎫ ⎬ ⇒a ⊂β Por H) : a ⊂ α ⎭

ii) α ∩ β = ∅

⇒

.................

⎫ ⎬ ⇒ a ∩β = ∅ Por H) : a ⊂ α ⎭

a // β

⇒

.................

T)

a // β T)

TEOREMA (11).

La condición necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos, es que uno de ellos incluya dos rectas secantes paralelas al otro. 1º: Condición necesaria (teorema directo).

Si dos planos son paralelos, uno de ellos incluye dos rectas secantes que son paralelas al otro. T) a // β b // β

H) α // β a⊂α,b⊂α a ∩ b = {P} Demo.:

Como α // β y las rectas a y b están incluidas en α , entonces, por teorema (10): a // β , b // β

T) 2º: Condición suficiente (teorema recíproco).

Si un plano α incluye dos rectas secantes que son paralelas a un plano β , entonces α es paralelo a β. H) a ∩ b = {P}

T) α // β

a⊂α,b⊂α a // β , b // β 2008

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Demo.: Teorema contrarrecíproco. Por definición de planos paralelos, la negación de la tesis es que α y β son secantes. ∃ i / α ∩β = i ⎫ ⎪ Por H) : a ⊂ α ⎬ a // β ⎪⎭

⎫ ⎪ ⇒ a // i ⎪ .................. ⎪⎪ ⎬ ⇒ a = b, contra H) Idem con la recta b : b // i ⎪ ax.10 ⎪ ⎪ Por H) : P ∈ a, P ∈ b ⎪⎭

Corolario.

El plano α determinado por dos paralelas a β por el punto P, es paralelo al β . 4.3 – PROPIEDADES DE PARALELISMO DE PLANOS. TEOREMA (12).

Existe y es único el plano paralelo a otro por un punto. TEOREMA (13). Transitividad del paralelismo de planos. Si un plano α es paralelo a un plano β y β es paralelo a un plano γ , se cumple que α es paralelo a γ .

H) α // β , β // γ

T) α // γ .

Demo.: Teorema contrarrecíproco. Por definición de planos paralelos, la negación de la tesis es que α y γ son secantes. ∃ r / α ∩ γ = r⎫ ⎫ ⎬ ⇒ P ∈ α ∧ P ∈ γ⎪ ∀ P / P∈r ⎭ ⎪⎪ ⎬ teo.⇒(12) γ // β , contra H) . α ≠ γ ⎪⎪ Por H) : α // β ⎪⎭

TEOREMA (14).

Si un plano es secante con uno de dos planos paralelos, también es secante con el otro y las intersecciones son rectas paralelas.

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TEOREMA (15).

El lugar geométrico de los puntos pertenecientes a rectas paralelas a un plano por un punto dado, es el plano paralelo al primero por ese punto. TEOREMA (16).

Si una recta es secante con uno de dos planos paralelos, también interseca al otro.

5 – PARALELISMO COMO RELACIÓN DE EQUIVALENCIA. 5.1 – PARALELISMO DE PLANOS. TEOREMA (17).

El paralelismo de planos es una relación de equivalencia. DEFINICIÓN.

Llamamos ESTASITURAS a las clases de equivalencia de la partición que la relación paralelismo de planos determina en el conjunto de planos del espacio. La ESTASITURA DE UN PLANO α es el conjunto de todos los planos paralelos a α , es un haz de planos paralelos. Si dos planos pertenecen a la misma estasitura, se dice que tienen la misma YACENCIA. 5.2 – PARALELISMO DE RECTAS. TEOREMA (18).

El paralelismo de rectas es una relación de equivalencia.

OBSERVACIÓN.

Como consecuencia del teorema anterior, queda determinada una partición del conjunto de todas las rectas del espacio en clases de equivalencia. DEFINICIÓN.

Llamamos DIRECCIONES a las clases de equivalencia que la relación paralelismo de rectas determina en el conjunto de rectas del espacio. La DIRECCIÓN DE UN RECTA es el conjunto de todas las rectas paralelas a ella, es una radiación de rectas paralelas.

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PROBLEMAS.

I) Sean a y b rectas alabeadas y P un punto exterior a ellas. Determinar un plano α paralelo a ambas rectas y que contenga a P. Mostrar la unicidad de α. II) Se consideran: un plano α y en él un trapecio ABCD, con AB//CD. Sean V tal que V no pertenece a α, M punto medio del segmento VC y N punto medio del segmento VD. Probar que la recta MN es paralela al plano VAB. III) Se considera un tetraedro ABCD y M, N y P, puntos medios de los segmentos AD, BD y CD respectivamente. Probar que los planos MNP y ABC son paralelos. IV) Sean a y b rectas paralelas, π el plano que determinan y O un punto que no pertenece a π. Sean los planos α = ( OA, a) y β = ( OB, b) siendo A y B puntos cualesquiera de a y b respectivamente. Determinar la recta intersección de α y β. V) Sea ABCDEFGH un cubo y P punto medio de la arista BF. Sean los planos α = (ABC), β = (EPG). 1) Hallar i tal que i es la intersección de α y β. 2) Probar que i y EG son paralelas. VI) Sean ABCD un tetraedro, M un punto del segmento AC distinto de A y C y α el plano que pasa por M y es paralelo a las rectas AB y CD. Construye los puntos N, P y Q en los que respectivamente las rectas BC, BD y AD cortan al plano α. Precisa la naturaleza del cuadrilátero MNPQ. VII) Sean ABCD un tetraedro, G y G’ los baricentros de los triángulos ABC y ACD respectivamente. 1) Determina la sección del tetraedro con el plano AGG’. 2) Muestra que BD es paralela a AGG’. 3) Analiza la posición relativa de GG’ y AD. 4) Determina la intersección de los planos ABD y AGG’. VIII) En el cubo ABCDEFGH sean I, J y K los puntos medios de AB, EF y HG respectivamente. Demuestra que HI // (JKC). IX) Sean un tetraedro ABCD, I y J los puntos medios de los segmentos AB y AC respectivamente, y K 2 un punto del segmento AD tal que AK = AD . Las recta JK y CD se cortan en E y las rectas IK y 3 BD se cortan en F. Demuestra que las rectas EF y JI son paralelas.

X) Sean α y α’ planos paralelos. Sean A, B y C puntos no alineados de α y A’, B’ y C’ puntos no alineados de α’. Construye la intersección de (AA’C’) y (BCB’). XI) ABCDEFGH es un cubo e I, J y K son los puntos medios de los segmentos EH, AB y CD respectivamente. Analiza la posición relativa de la recta AI y el plano KJG. XII) ABCD es un tetraedro. M es un punto del segmento AB, N es un punto de la cara ABC y P es un punto de la cara BCD. Construye la sección del tetraedro con el plano MNP en los siguientes casos: 1) MN corta a BC. 2) MN es paralela a BC.

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XIII) Sean: ABCD un tetraedro regular de arista a, M el punto medio del segmento BC , P el punto medio del segmento BD. Hallar la sección plana del tetraedro con el plano α paralelo al (AMD) por P. Mostrar que dicha sección es un triángulo isósceles y construirla en verdadera magnitud. XIV) Sean: ABCDEFGH un cubo, J un punto del segmento EA tal que EJ =

1 EA , K un punto del 3

1 BF . Sean los planos α y β tales que α = (BJH) y β es paralelo 3 a α por K. Hallar la sección del cubo con β . Justificar.

segmento FB tal que BK =

XV) ABCDE es una pirámide cuya base es un paralelogramo BCDE. A JJJG 1 JJJG F es un punto tal que AF = AB . E F D 3 1) Hallar la intersección de la pirámide con el plano paralelo al (BCE) por F. B C 2) Sea el plano α paralelo a las rectas AD y AE tal que F le pertenece. Sean G, H e I los respectivos puntos de corte de α con BE, CD y AC. Estudiar la naturaleza del cuadrilátero FGHI. 3) Sea J el punto de corte de las rectas FG y HI. Probar que AJ es paralela al (BCD). XVI) Sean ABCDEFGH un cubo, P el punto medio del segmento EG, Q el punto medio del segmento FB e I el punto de corte de EQ y AB. 1) Probar que PQ es paralela a GI. 2) Hallar la recta intersección de los planos (APQ) y (GCI).

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