INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA 2011 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR ESTANDARES:     

Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números enteros, sus operaciones y propiedades. Represento en el plano cartesiano la relación entre dos variables enteras. Reconozco ángulos y segmentos semejantes, utilizo sus propiedades para resolver problemas prácticos relacionados con estos. Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones, construcciones, propiedades y postulados geométricos. Estimo y analizo frecuencias en un conjunto de datos ayudándome de herramientas como tablas, listas, diagramo de tallo y hojas, entre otros.

INDICADORES DE DESEMPEÑO:       

Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones. Efectuar operaciones con números enteros aplicando correctamente sus propiedades. Aplicar los números enteros para ubicaciones en el plano cartesiano. Resolver problemas utilizando operaciones, propiedades y ecuaciones con números enteros. Identificar y utilizar definiciones y postulados de la geometría de rectas y ángulos. Realizar construcciones geométricas utilizando los instrumentos adecuados. Utilizo algunas herramientas estadísticas para organizar datos.

INTRUDUCCIÓN Esta guía está estructurada para un bimestre y está basado en el Conjunto de los Números Enteros, reglas y propiedades para desarrollar operaciones del mismo. Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Los números enteros (Z) El hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo, creó lo que se conoce como números naturales. Sin embargo, estos números no le fueron suficientes para representar algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las temperaturas sobre cero y bajo cero, las pérdidas o los años transcurridos antes y después de Cristo. El conjunto de los números enteros (Z) está formado por los números positivos y los números negativos junto con el 0. Este conjunto suele representarse como sigue:

Z  ...  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ...

EN GENERAL POSITIVO Tener dinero Ganar Subir Años después de Cristo Temperatura sobre cero Altitud sobre el nivel del mar Ir a la derecha Ir al norte

NEGATIVO Deber dinero Perder bajar Años antes de Cristo Temperatura bajo cero bajo el nivel del mar Ir a la izquierda Ir al sur

OBSERVE Y ANALICE EL VIDEO 1, http://www.youtube.com/watch?v=vu0jlqzNjUw LUEGO RESUEVA EL TALLER 1 TALLER 1. CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO 1.

Encuentra el numero entero que describe cada una de las siguientes situaciones: a. b. c. d. e. f. g. h. i.

Tu fecha de nacimiento_______________ b. El nacimiento de Jesucristo_________ La acción de la empresa multivalores se cotiza a 500 a la baja___________ La acción de Ecopetrol cotiza a 600 a la alza_________________ La temperatura en la sabana de Bogotá en época de invierno puede llegar a los 8°C bajo 0__________ Un submarino de la armada Nacional de Colombia puede navegar a distancia de 200 m bajo el nivel del mar___________ Vila del Rosario se encuentra a una altitud de 320 m sobre el nivel del mar___________________ La tienda la ultima lagrima tuvo un total de ventas por día de 2 000 000 ______________ Arquímedes fue un gran geómetra que nació en el año 640 antes de Cristo ________

2.

Escribe un número entero que describa la situación propuesta. a. b. c. d. e.

3.

El monte Everest se encuentra a una altitud de 8 840 m sobre el nivel del mar __________ Villa del Rosario presenta una temperatura promedio de 20 grados centígrados________ Un submarino se encuentra a a una profundidad de 200 metros bajo el nivel del mar______________ Villa del Rosario y Cúcuta se encuentran separados por una distancia de 8 km.____________ María debe al señor de la tienda $10 500_______________

Completa según la imagen: 

La gaviota está volando a _________ m _________ el nivel del mar.



El niño está buceando a _________ m _________ el nivel del mar.

4.



El pez está nadando a _________ m



El cangrejo se encuentra a _________ m



El pelícano vuela a _________ m.

Dibuja una recta numérica y ubica en ella, los siguientes números enteros: a)

–4

b) 7

c) +2

d) 0

e) –5

INTERACCION Entre a la siguiente página y mecanice el tema anterior. http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/numenteros/enteros_p.html

Entre a las subpáginas y realice as actividades propuestas en las mismas:  El ascensor y los números enteros  Las altitudes y los números enteros  El termómetro y los números enteros  La recta real. ANOTA TUS RESUTADOS EN EL CUADERNO MÉTODO DE ESTUDIO.

OPUESTO DE UN NÚMERO Es evidente que:  lo contrario de deber dinero es tener dinero.  lo contrario de ir hacia la derecha es ir hacia la izquierda.  lo contrario de bajar es subir. Por eso resulta fácil que entiendas el significado de opuesto.  el opuesto de -3 es +3 y lo escribiremos así: Op (-3) = +3  el opuesto de +6 es -6 y lo escribiremos así: Op (+6) = -6 El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero. Lo escribiremos así: Op (+a) = -a Op (-a) = +a VALOR ABSOLUTO

Ubica el 3 y el -3, el 2 y el -2, el 1 y el -1, en la recta numérica

Se ve que cada número está a igual distancia del 0 que su opuesto. La distancia de un número al cero se llama valor absoluto o módulo, y para indicarlo se encierra al número entre barras. 10  10  3  3, 2 2 Ejemplo:  3  3 ,

ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS Se presentan tres situaciones al ordenar números enteros:   

Si ambos enteros son positivos siempre será mayor el de mayor cantidad, en la recta se puede ver como el más alejado del 0. Si ambos enteros son negativos siempre será mayor el de menor cantidad, en la recta se puede ver como el más cercano a cero, más a la derecha, ejemplo -10< -5 Si un números es positivo y el otro negativo siempre será mayor el positivo, más a la derecha, por ejemplo: -4 < 2 OBSERVE El VIDEO No 2, http://www.youtube.com/watch?v=xAUoM4PwAPA&feature=mfu_in_order&list=UL LUEGO RESUEVA EL TALLER NO. 2 TALLER NÚMERO 2

1. Ubica cada entero y su opuesto en la recta numérica: 7; -13; 3; -(-4); 0; -5 2. ¿Cuál es el valor absoluto de 5; -6; -(-4); 0; 12? 3. ¿Cuál de estas opciones es imposible? a) a  0 b) a  0 4. Complete con < o > según corresponda: a) -5 …….. 3 b) 3 ……. – 2 c)

d) 0 ….. – 4

e) -20 ….. -  3

5. Escribe los números enteros que cumplan las condiciones en cada caso. a) Mayores que – 8 y menores que 6_________________________________________________ b) Mayores que 10 y menores que 15________________________________________________ c) Menores que – 4 y mayores que – 12______________________________________________ d) Mayores que – 7 y menores que 0_________________________________________________ 6. Ordena de mayor a menor los siguientes números: - 2, - 9, 10, 4, - 4 , 8, 7, - 2, - 3 7. Determina el valor absoluto de cada número: a)  4 b) 8 c)  400 d) 900 e)  100 INTERACCIÓN http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jcloze3 5.htm http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jquiz36 .htm

UBICACIÓN DE LOS ENTEROS EN EL PLANO CARTESIANO El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se cortan en forma perpendicular: la recta horizontal se lama abscisa y a vertical “ordenada”. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero. La ubicación de un punto cualquiera del plano se determina midiendo su distancia respecto de los ejes x e y. El primer número del par ordenado ( -3 , 1 ) determina el desplazamiento horizontal respecto del cero:  positivo para los puntos ubicados a la derecha  negativo para los puntos ubicados a la izquierda El segundo número del par ordenado ( -3 , 1 ) determina el desplazamiento vertical respecto del cero:  positivo para los puntos ubicados hacia arriba  negativo para los puntos ubicados hacia abajo

OBSERVE El VIDEO http://www.youtube.com/watch?v=a0KE7NbPxJ8 LUEGO RESUEVA EL TALLER NO. 3 1. Ubica las siguientes coordenadas en el plano cartesiano. a) (2,-4) b) (3, - 5)

c) (-6, -2)

d) (7, 2)

e) (0, 3)

f) (-2, 0)

g) ( 4, -1)

2. Encuentra a qué coordenada corresponde cada punto del plano

En este tema harás la interacción utilizando el software Geogebra.

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar números enteros: 1. Si los sumandos son del mismo signo , se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común. Ej.

3 + 5 = 8;

(−3) + (−5) = −8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto. Ej.

− 3 + 5 = 2;

3 + (−5) = −2

Propiedades de la suma de núme ros enteros

1. Interna(modulativa): El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero. a + b

3 + (−5)

2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resu ltado. (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)] ;

5 − 5 = 2 + (−2);

0 = 0

3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma. 2 + (−5) = (−5) + 2 ;

a + b = b + a

−3 = −3

4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo Número.

a + 0 = a;

(−5) + 0 = −5

5. Elemento opuesto Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero . a + (-a) = 0;

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

–(−5) = 5

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La sustracción es una operación binaria que se efectúa entre dos números, llamados minuendo y sustraendo. El resultado de una sustracción o resta se lama diferencia a − b = a + (−b) ; 7 − 5 = 2 Propiedades de la resta de números enteros 1. Interna: La resta dos números enteros es otro número entero. a − b

;

10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

a − b ≠ b – a;

5 − 2 ≠ 2 − 5

OBSERVE los videos: http://www.youtube.com/watch?v=jNH3yPHbrnc&feature=mfu_in_order&list=UL http://www.youtube.com/watch?v=M7bbkuq07ck&feature=mfu_in_order&list=UL http://www.youtube.com/watch?v=9ie9wdb6nXY&feature=mfu_in_order&list=UL http://www.youtube.com/watch?v=9emnPSuE2Ag&feature=mfu_in_order&list=UL LUEGO RESUEVA EL TALLER NO. 4 TALLER Nro. 4 1. Resuelva los siguientes ejercicios:

a) 9-28= b) 12-50= c) 39-47= d) 0-27= e) 92-120=

f) -45-6= g) -5-17= h) 4-(+11) i) -10-(-2)= j) -6-(+13)= k) 9-(-5)= l) -3+(-4)=

ll) 28-30+2-7+1= m) –(-1)+(-4)-(-2)+7= n) 11+(-3)-(+2)-8= o) 9-(-15)+2-8=

2. Anota el número de la columna “A” que corresponda en la “B” : “A” “B” 1) 5 + 0 = 5 ____ Conmutativa 2) 2 + -3 = -3 + 2 ____ Asociativa 3) 7 + -7 = 0 ____ Neutro aditivo 4) (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2) ____ Inverso aditivo

RECUERDA: El signo + delante de paréntesis, corchetes o llaves, confirma su contenido y el signo – delante, niega su contenido. 3. Suprimí ( , [ , { y luego resuelve la suma algebraica Suprimí ( , [ , { y luego resuelve la suma algebraica.

PROBLEMAS DE NÚMEROS ENTEROS 1. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 1 4 d. C. ¿Cuántos años vivió? Rta. 77 años 2. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? Rta. 1023 metros 3. ¿Qué

diferencia

de

temperatura

soporta

una

persona

q ue

pasa

de

la

cámara

de

conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? Rta. 4. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC? 5. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento . Rta

725 litros

INTERACCIÓN http://www.aaamatematicas.com/add65_x1.htm#pgtp MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN En general, la multiplicación y división de enteros responde a los mismos procedimientos (algoritmos) para operar con los naturales, el cambio se da en el sentido de la estructura de estos números y el manejo de las reglas de tipo formal y operativos con los signos.

DE NÚMEROS ENTEROS La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

Ejemplos:

4. 8 = 32

;

- 6 . – 7 = 42

;

- 5 . 9 = -45;

10 . -20 = - 200

Observe el video: http://www.youtube.com/watch?v=5mkLkNyvhJs&feature=mfu_in_order&list=UL TALLLER 5 1. Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) 7 . 25

b) 5(-34)

f)-13(-17)(-2) g) -25(37)

c) 469(-68)

d) –(-82)6

e) – 33. 56. 12

h) -23(-7)(-14)

i) -25(-19)6

2. Realiza las siguientes divisiones: a) 10 335

(-15)

e) -28 920 4.



(-60)

b) 267



f) 37 455

3



55

c) -2 047

23

g) -7 848



d) -12 483



19

24

Una empresa se encuentra vendiendo 2 645 acciones de su compañía en la bosa de Valores, el corredor informa que cada acción presenta un valor de $ 37 561. Si un Inversionista desea comprar todas las accio nes, ¿cuánto debe invertir para ello?

5. Si el mismo inversionista se da cuenta que tiene solo $56 641 500, responde: a) ¿Cuántas acciones puede comprar? b) ¿Cuántas acciones quedan para la venta? INTERACCIÓN http://www.aaamatematicas.com/g76_mux1.htm

Propiedades de la multiplicación de números enteros 1. Interna: El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero. a · b

;

2 · (−5)= - 10

2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resu ltado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] ; 3. Conmutativa:

6 · (−5) = 2 · (−15);

−30 = −30

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a ;

2 · (−5) = (−5) · 2 ;

-10 = -10

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número

multiplicado por él da el mismo número. a · 1 = a ;

(−5) · 1 = (−5)

5. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c ;

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = (−6) + (−10);

−16 = −16

Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna : El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero. (−2)



6

2. No es Conmutativo:

a



b ≠ b



a;



6

(−2) ≠ (−2)



6

TALLER 6 1. Resuelve los siguientes cálculos combinados: a) (-14) . (+6) : (-21) + (-9) = b) [- (-36) : (-4)]- (-5-8)- (-6) = c) –{-24 : (-9+3) – [ -7 . (-11)] -1} : (-2) = 2. Resuelve aplicando la propiedad distributiva: a) -4 . (-8 + 12 – 7) = b) (-1 +4 -9) . (-6) =

c) ( -35 + 20 – 15) : (-5) = 3. (–60 x –2) : (–10 x –2) 4. –7 – { -3 [ -5 (1 – 9) + 4] – 6} + 8 5. Resolvé aplicando la propiedad distributiva: a) -4 . (-8 + 12 – 7) = b) (-1 +4 -9) . (-6) = c) ( -35 + 20 – 15) : (-5) =

Potenciación de números enteros Sabemos resolver la potencia de un número natural, entonces: 3 Si 2 4  2.2.2.2  16 ; (2) 4   2 2 2 2  16 ;  3   3 3 3  27 Según si el exponente es par o impar podemos expresar las siguientes reglas:  Las potencias de exponente par son siempre  Las potencias de exponente impar de bases positivas negativas

 impar    impar  

  par     par   Propiedades

1 . a 0 = 1 ; e j e m p l o : 20  1

21  2

2. a1 = a ; Ejemplo

3. Producto de potencias con la misma base : Es

otra

potencia

am · a

exponentes. 4

con n

la

misma

= am+n

;

base

Ejemplo:

y

cuyo

exponente

es

la

suma

de

los

2 3.2 5  28

División de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am



a

n

= am

— n

Ejemplo:

33  32  332  31  3

5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes

 

Ejemplo: 2

2 3

(am)n = am

· n

 26

6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases an · b n = (a · b) n ; Ejemplo: (−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216 7. Cociente de potencias con el mismo expon ente: an (−6)3 : 33 = (−2)3 = −8



b

n

= (a



b)

n

8.

Po t e nci a s d e e x p o ne nt e e nte r o ne g a t i vo Ejemplos: 1 1 1 1 32  2  ; 2 3  3  9 8 3 2 3 2 1  2 34  2 1  4 2 2

Observe el video: http://www.youtube.com/watch?v=AVgtIiyBEpc y luego resuelva el taller no. 7

2. Expresá como productos y resolvé las siguientes potencias: a) (-3)2 = b) (-3)3 = c) (-3)4 = d) (-3)5=

1. Calculá aplicando la regla de la potenciación: a) (-1)8= b) (-3)5 = c) 93 = d) 112 =

3. Calculá aplicando la regla de la potenciación: a) a) (-1)8= b) (-3)3 = c) 93 = d) 112 =

INTERACCIÓN http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jcloze57.htm RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando

PROPIEDADES 1) a) Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION. EJEMPLOS: En la multiplicación

En la división

b) NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLOS: En la suma

2) a) Si

En la resta

el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo. EJEMPLO:

b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. EJEMPLO:

3) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. EJEMPLO:

Observe el video http://www.youtube.com/watch?v=7vr4N7Kzlmw&feature=mfu_in_order&list=UL y luego resuelva el taller no. 8

Taller número 8 1. Completa:

2. Calcula las raíces cuando sea posible

3. Estos cálculos están mal resueltos. Rodea los errores cometidos:

ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo igual. La _expresión de la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la _expresión de la derecha. Una o ambas expresiones pueden contener variables. Resolver una ecuación implica trabajar con las expresiones y encontrar el valor de las variables. Un ejemplo podría ser: x = 4 + 8 Esta ecuación se puede resolver sumando 4 y 8 para encontrar que x = 12. Resuelva el taller número 9

Plantea los siguientes problemas y resuelve las ecuaciones 1. En un rectángulo de 68 cm. de perímetro, la base es 5 cm mayor que la altura. ¿Cuál es la longitud de la altura? 2. La suma de un número entero y su siguiente es 53. Cuál es ese número? 3. La edad de la nieta es un tercio de la edad de la abuela y la diferencia de edades es 48. ¿Cuántos años tiene la abuela? 4. A un número se le suma 3 y se obtiene la diferencia entre su doble y 1. ¿Cuál es ese número? 5. Si al triple de un número se le suma 4, se obtiene el mismo resultado que si a la mitad de 6 se le suma el doble de ese número. ¿cuál es ese número? 6. La base de un rectángulo es el doble de un número entero y la altura es el número aumentado en tres unidades. ¿Cuál es el número si la base del rectángulo mide 8 cm? 7.El doble del anterior de un número “x” es igual al triple de su siguiente. ¿Cuál es ese número?