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DIVISIÓN DE FRACCIONES

DIVISIÓN DE FRACCIONES Si se divide una cuarta parte de un pastel a la mitad se obtiene una octava parte del mismo, lo que escrito en simbología matemática es 1 1 ÷2= 4 8

Lo anterior es lo mismo que 1 2 1 1 1 ÷ = × = 4 1 4 2 8

De donde se obtiene la regla práctica de la división de fracciones consistente en invertir la segunda fracción al mismo tiempo que se invierte la operación, es decir, de división se pasa a multiplicación. En ese momento, al ser ya multiplicación, se aplica el procedimiento visto en el capítulo anterior.

Ejemplo 1: Dividir

Solución:

a c ÷ b d

Invirtiendo la segunda fracción se invierte también la operación, es decir de división se pasa a multiplicación, esto es

a c a d ad ÷ = × = b d b c bc De aquí se deduce la peligrosa regla de "multiplicación en cruz" para la división:

Ejemplo 2: Dividir las fracciones Solución:

2 a 2 − 10 a ax − 5 x ÷ 2 a + 7 a + 10 12 a + 24

Invirtiendo la 2ª fracción, al mismo tiempo que se convierte en multiplicación, resulta: 2 a 2 − 10 a ax − 5 x 2 a 2 − 10 a 12 a + 24 ÷ = × a 2 + 7 a + 10 12 a + 24 a 2 + 7 a + 10 ax − 5 x

Factorizando el primer numerador 2a 2 - 10a (factor común, página 11) 2a 2 - 10a = 2a(a - 5)

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Factorizando el primer denominador que es un trinomio de la forma x 2 + bx + c, página 18): a 2 + 7a + 10 = (a + 5)(a + 2). Factorizando el segundo numerador 12a + 24 (factor común, página 11): 12a + 24 = 12(a + 2). Entonces:

2a 2 − 10a ax − 5 x 2a 2 − 10a 12a + 24 ÷ = × 2 2 a + 7a + 10 12a + 24 a + 7 a + 10 ax − 5 x =

=

=

Ejemplo 3: Dividir las fracciones Solución:

2 a( a − 5 ) 12( a + 2 ) × ( a + 5 )( a + 2 ) x( a − 5 )

2a (12 )

( a + 5 )( x ) =

24a ax + 5 x

8x3 − 1 x−9 ÷ 2 2 4x − 1 4 x + 12 x + 5

Invirtiendo la 2ª fracción, al mismo tiempo que se convierte en multiplicación, resulta: 8x3 − 1 x−9 8x3 − 1 4 x 2 + 12 x + 5 ÷ = × 4x2 − 1 4 x 2 + 12 x + 5 4x2 − 1 x−9

Factorizando el primer numerador 8x 3 + 1 (suma de cubos, página 27): 8x 3 + 1 = (2x + 1)(4x 2 - 2x + 1) Factorizando el primer denominador 4x 2 - 1 (diferencia de cuadrados, página 16): 4x 2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) Factorizando el segundo numerador que es un trinomio de la forma ax 2 + bx + c (página 20): 4x 2 + 12x + 5 = (2x + 1)(2x + 5)

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DIVISIÓN DE FRACCIONES

Entonces:

8x 3 − 1 x−9 ÷ = 2 2 4 x − 1 4 x + 12 x + 5

=

=

=

Ejemplo 4: Dividir las fracciones

Solución:

( 2 x − 1) ( 4 x 2 + 2 x + 1) ( 2 x − 1)( 2 x + 1)

( 4x

2

×

( 2 x + 1)( 2 x + 5 ) x−9

+ 2 x + 1) ( 2 x + 5 ) x−9

8 x 3 + 24 x 2 + 12 x + 5 x−9

2ab + 3a 2a 2b + 3a 2 ÷ 2ab + 3b 2ab 2 − 3b 2

Invirtiendo la 2ª fracción, al mismo tiempo que se convierte en multiplicación, resulta:

2ab + 3a 2a 2b + 3a 2 2ab + 3a 2ab 2 − 3b 2 ÷ = × 2ab + 3b 2ab 2 − 3b 2 2ab + 3b 2a 2 b + 3a 2 Factorizando el primer numerador 2ab + 3a (factor común, página 11) 2ab + 3a = a(2b + 3) Factorizando el primer denominador 2ab + 3b (factor común, página 11) 2ab + 3b = b(2a + 3) Factorizando el segundo numerador 2ab 2 - 3b 2 (factor común, página 11) 2ab 2 - 3b 2 = b 2(2a - 3) Factorizando el segundo denominador 2a 2b + 3a 2 (factor común, página 11): 2a 2b + 3a 2 = a 2(2b + 3)

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Entonces:

b

a ( 2b + 3 ) b 2 ( 2a − 3 ) 2ab + 3a 2a 2 b + 3a 2 ÷ = × b ( 2a + 3 ) a 2 ( 2b + 3 ) 2ab + 3b 2ab 2 − 3b 2 a

=

=

b ( 2a − 3 )

a ( 2a + 3 )

2ab − 3b 2a 2 + 3a

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DIVISIÓN DE FRACCIONES

EJERCICIO 20

Dividir las siguientes fracciones:

1)

15 a − 21 42 ÷ 30 a + 48 15 a + 24

2)

a 4 + 3a 2 a 2 + 3a ÷ a 5 + 3a 4 + 11a 3 2 a 2 + 6 a + 22

3)

6 x 2 − 13 x + 6 14 − 21x ÷ 2 3 3x − 2 x 35 x 5

4)

x 3 + 27 x 2 + 6x + 9 ÷ 30 x − 90 5 x 2 − 15 x + 45

5)

25 a 2 − 20 a + 4 25 a 2 − 4 ÷ 2 5 a + 3a − 2 ab 2 + b 2

6)

2bc + 10 c − 3b − 15 14 a 6 ÷ 3 2 2 3b + 15b 8 a bc + 12 a 2 b

7)

64 + a 3 48 a 2 b 2 − 12 a 3 b 2 + 3a 4 b 2 ÷ 2 16 − a 12 a 3 b 2

8)

x2 − 2x − 3 2 x 2 − 15 x + 27 ÷ 2 x + x−6 4 a 4 x + 12 a 4

9)

4 a 2 − 25 a 2 + 100 ÷ 2 2 a − a − 15 21axy − 63 xy

10)

2 a 2 b − 6 ab 2 a 2 − 3 ab − 2 a + 6 b ÷ 2 2 a + 4 ab + 3b a 2 + 2 ab + b 2

11)

y3 − 8 5 ab 2 y 2 + 10 ab 2 y + 20 ab 2 ÷ 2 xy − x + 6 y − 3 20 a 2 b

12)

5 a 2 b − 5 ab 2 5 a 2 b − 10 ab 2 ÷ 10 a 3 + 10 a 2 b 10 a 3 + 20 a 2 b

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FRACCIONES COMPLEJAS

La fracción

2 5

tiene el significado de que hay dos partes de las cinco en que se dividió la uni-

dad. Sin embargo, la línea de fracción también tiene el significado de "división", o sea que

2 quiere 5

decir 2 ÷ 5. Visto a la inversa, la división 3 ÷ 7 se puede escribir como

3 . De manera que si se divide 7

ad a c , cuyo resultado es , también se puede escribir como ÷ b d bc a b c d

que obviamente equivale a

ad , es decir que bc a b = ad . c bc d

Tratando de descubrir alguna regla práctica para obtener el resultado de esta fracción compleja, surge la conocida "ley de la herradura", llamada así por semejanza con la figura que se forma al multiplicar los extremos, por una parte, y los medios, por otra.

Debe quedar, por esta razón, bien claro que la "ley de la herradura" solamente puede emplearse cuando existe una sola fracción en el numerado y una sola fracción en el denominador. O lo que es exactamente lo mismo, únicamente cuando la operación principal es la multiplicación, tanto en el

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DIVISIÓN DE FRACCIONES

numerador como en el denominador, no la suma. De manera que para reducir una fracción compleja a una fracción simple, pueden seguirse dos caminos, es decir, se tienen dos opciones:

1ª OPCIÓN: Paso 1: Hacer la suma de fracciones indicada en el numerador y/o en el denominador; Paso 2: Una vez reducido el numerador y el denominador a una sola fracción, aplicar la ley de la herradura.

a 2b 1 2b + 3

3a + Ejemplo 1: Reducir

Solución:

La operación principal del numerador es la suma, lo mismo que en el denominador, por lo tanto no se puede utilizar la ley de la herradura.

Realizando las sumas indicadas, tanto en el numerador como en el denominador, sacando en ambos casos su respectivo común denominador (ver página 40), se obtiene:

2b ( 3a ) + 1 ( a ) a 2b = 2b 1 3 ( 2b ) + 1 (1) 2b + 3 3

3a +

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6ab + a 2b 6b + 1 3

=

En este momento ya se tiene una sola fracción en el numerador y una sola fracción en el denominador, por lo que ya se puede aplicar correctamente "la ley de la herradura":

3 ( 6ab + a ) 2b ( 6b + 1)

Ejemplo 2: Reducir

Solución:

=

3 ( a )( 6b + 1) 2b ( 6b + 1)

=

3a 2b

5x 1 − 6y 3 2y2 y− 5x

En el numerador existen dos fracciones, lo mismo que en el denominador, por lo tanto no se puede utilizar la ley de la herradura. En otras palabras, la operación principal del numerador es una resta, lo mismo que en el denominador:

Realizando las restas indicadas, tanto en el numerador como en el denominador, sacando en ambos casos su respectivo común denominador (ver página 58), se obtiene:

5x 1 − 6y 3 2y2 y− 5x

1 ( 5 x ) − 2 y (1) 6y = 5 x ( y ) − 1( 2 y 2 ) 5x

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DIVISIÓN DE FRACCIONES

5x − 2 y 6y 5 xy − 2 y 2 5x

=

En este momento ya se tiene una sola fracción en el numerador y una sola fracción en el denominador, por lo que ya se puede aplicar correctamente "la ley de la herradura":

5x ( 5x − 2 y )

6 y ( 5 xy − 2 y

2

)

=

5x 5x (5x − 2 y ) = 6y2 6 y ( y ) ( 5x − 2 y )

Otra opción válida para reducir las fracciones complejas a una fracción simple es:

2ª OPCIÓN: Paso 1: Se multiplica el numerador y denominador (propiedad de las fracciones) por el común denominador de todos los denominadores parciales que aparezcan; al realizar la multiplicación anterior desaparecen los denominadores parciales, quedando ya la fracción como fracción simple. Paso 2: Factorizar para simplificar.

a 2b 1 2b + 3

3a + Ejemplo 1: Reducir

Solución:

El común denominador de los denominadores parciales (del 2b y del 3) es 6b. Así que multiplicando todo el numerador y todo el denominador por 6b, resulta

a ⎞ ⎛ 6b ⎜ 3a + ⎟ 18ab + 3a 2b ⎠ ⎝ = 1⎞ 12b 2 + 2b ⎛ 6b ⎜ 2b + ⎟ 3⎠ ⎝

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3a ( 6b + 1) = 2b ( 6b + 1)

3a 2b

Que es el mismo resultado obtenido por la otra opción en el ejemplo 1, página 89.

Ejemplo 2: Reducir

Solución:

5x 1 − 6y 3 2y2 y− 5x

El común denominador de los denominadores parciales (del 6y, del 3 y del 5x) es 30xy. Así que multiplicando todo el numerador y todo el denominador por 30xy resulta

⎛ 5x 1 ⎞ − ⎟ 30 xy ⎜ 2 ⎝ 6 y 3 ⎠ = 25x − 10 xy 30 xy 2 − 12 y 3 ⎛ 2y2 ⎞ 30 xy ⎜ y − ⎟ 5x ⎠ ⎝ =

=

5x ( 5x − 2 y )

6 y 2 ( 5x − 2 y )

5x 6y2

Que es el mismo resultado obtenido por la otra opción en el ejemplo 2, página 90.

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DIVISIÓN DE FRACCIONES

EJERCICIO 21 Reducir las siguientes fracciones complejas por cualquiera de los dos métodos explicados: ojo

1)

a a − b 2 2−b

bx 5 a2 − 4b

2)

18a 2 21a + 2 b 14b 2 24b + a

4)

8a 2 5a 3b + y 3y 2 6b y 5ab 3 y + 4x 2 x2

6)

5a 2 10 a − 3b 3b 5a 2 10 a − b b

8)

3 a + 2 b b 2 + a 3

10)

12 5 − 2 b b 12 a 5b − 2 ab 2 b

4 ab 2 −

3)

5a 3 x

5)

3a 1 + 5 6 5c 2c + 9a

7)

5 1 + 2b 2 5a ab + a −1 a −1

9)

y 5 + 2 x 2 x + 5 y