´ Sesion

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Integrales de algunas funciones trigonom´ etricas Capacidades

Temas

B Conocer algunos tipos de integrales de funciones trigonom´etricas y t´ecnicas que permiten transformarlas en integrales m´as simples.

X Integrales de potencias de algunas funciones trigonom´etricas.

B Calcular integrales de funciones trigonom´etricas que se resuelven usando identidades trigonom´etricas.

6.1

Introducci´ on Algunas integrales de R funciones etricas, por sin 5xdx, Rtrigonom´ R sinejemplo x √ sec7 x tan x dx, dx, se pueden 3 cos x calcular con m´etodos ya tratados. En esta sesi´on se estudiar´an ciertas integrales de funciones trigonom´etricas, que pueden transformarse en otras m´as simples, aplicando identidades trigonom´etricas.

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6.2

Integrales de algunas funciones trigonom´etricas

Integraci´ on de funciones trigonom´ etricas

Las integrales que ser´an estudiadas, que se transforman en otras m´as simples usando identidades trigonom´etricas, son de las siguientes formas: I. Integrales de potencias de funciones trigonom´etricas: Z Z Z Z n n n sin x dx, cos x dx, tan x dx, secn x dx,

con n ∈ N

II. Integrales de productos de potencias de funciones trigonom´etricas, de la forma: Z Z m n sin x cos x dx tanm x secn x dx III. Integrales de productos de funciones trigonom´etricas, de la forma: Z Z Z sin(mx) cos(nx) dx, sin(mx) sin(nx) dx, cos(mx) cos(nx) dx

6.2.1

Integrales de la forma

R

sinn x dx,

R

cosn x dx

Se presentan dos casos: Caso 1: Cuando n es un entero positivo par, se usan las identidades trigonom´etricas: sin2 x =

1 − cos 2x 2

cos2 x =

1 + cos 2x 2

Caso 2: Cuando n es un entero positivo impar, las integrales de la forma se˜ nalada se expresan en la forma: Z Z n sin x dx = sinn−1 x · sin x dx, n − 1 es par Z Z cosn x dx = cosn−1 x · cos x dx, n − 1 es par y se usa la identidad sin2 x + cos2 x = 1 Z Ejemplo 6.1 Integral de una potencia par de sin x.

Calcular

sin2 x dx.

Soluci´ on: 1 − cos 2x , se obtiene: 2 Z Z 1 − cos 2x 2 sin x dx = dx 2

• Usando la identidad sin2 x =

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• Luego: Z

Z 1 sin x dx = (1 − cos 2x) dx 2  sin 2x 1 x− +C = 2 2 sin 2x x +C = − 2 4 2

Z sin(mx) dx = −

Nota 6.1 Tener presente las siguientes integrales: Z sin(mx) cos(mx) dx = + C. m

Z Ejemplo 6.2 Integral de una potencia impar.

Calcular

cos(mx) + C, m

cos3 x dx.

Soluci´ on: Z • Escribir la integral en la forma:

Z

3

cos2 x cos x dx.

cos x dx =

• Usando la identidad cos2 x = 1 − sin2 x se obtiene: Z Z Z 3 2 cos x dx = cos x cos x dx = (1 − sin2 x) cos x dx Z Z = cos x dx − sin2 x cos x dx   u = sin x =⇒ du = cos x dx Z Z  sin3 x  u3 2 2 = sin x cos x dx = u du = 3 3 sin3 x = sin x − +C 3 Z Ejercicio 6.1 Calcular:

a)

Z

4

cos x dx

b)

sin3

x dx. 2 Z

Nota 6.2 De manera similar se calculan las integrales tann x dx (donde n es par o Z impar), secn x dx (donde n es par), usando la identidad tan2 x = sec2 x−1. Cuando Z n es impar y positivo, la integral secn x dx se calcula usando integraci´on por partes. Z Ejercicio 6.2 Calcular

tan4 x dx.

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6.2.2

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Integrales de la forma

R

sinm x cosn x dx

Se consideran los siguientes casos: Caso 1: Si uno de los dos exponentes, m o n, es un entero positivo impar, y el otro en un n´ umero real cualquiera. En estos casos se procede como sigue: • Si m es un entero positivo impar, y n es cualquier n´ umero, entonces: Z Z sinm x cosn x dx = sinm−1 x cosn x sin x dx Sustituyendo sin2 x = 1 − cos2 x, la integral queda: Z m−1 (1 − cos2 x) 2 cosn x sin x dx • Si n es un entero positivo impar, y m es cualquier n´ umero, entonces: Z Z sinm x cosn x dx = sinm x cosn−1 x cos x dx De manera similar, se sustituye cos2 x = 1 − sin2 x. Caso 2: Si ambos exponentes, m y n, son enteros positivos pares, se usan las siguientes identidades: sin2 x =

1 − cos 2x 2

cos2 x =

1 + cos 2x 2

Z

Con estas sustituciones la integral sinm x cosn x dx se transforma en una inZ tegral de la forma sinn x dx, que son del tipo (I). Z Ejemplo 6.3 Un exponente es impar.

Calcular

cos3 x sin4 x dx.

Soluci´ on: Expresando cos3 x = cos2 x cos x (integral caso 1), la integral queda: Z Z 3 4 cos x sin x dx = cos2 x sin4 x cos x dx Z = (1 − sin2 x) sin4 x cos x dx Z Z 4 = sin x cos x dx − sin6 x cos x dx [para cada integral usar cambio de variable u = sin x] 1 1 = sin5 x − sin7 x + C 5 7 Instituto de Matem´ atica y F´ısica

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Z Ejemplo 6.4 Ambos exponentes son pares.

Calcular

cos2 x sin2 x dx.

Soluci´ on: Como ambos exponentes son pares, la integral corresponde al 2do caso. Z Z 1 + cos 2x 1 − cos 2x 2 2 · dx cos x sin x dx = 2 2 Z Z 1 1 2 = (1 − cos 2x) dx = sin2 2x dx 4 Z 4 1 − cos 4x 1 dx = 4  2  1 sin 4x = x− +C 8 4 Z Z √ 5 3 Ejercicio 6.3 Calcular: a) sin x cos x dx b) sin2 3x cos4 3x dx. Z Nota 6.3 Integrales de la forma

tanm x secn xdx se analizan de manera similar,

usando la identidad 1 + tan2 x = sec2 x. Z tan3 x √ dx. Ejercicio 6.4 Calcular sec x

6.2.3

Integrales de productos

Z

Z sin(mx) · cos(nx) dx

Z sin(mx) · sin(nx) dx

cos(mx) · cos(nx) dx

Para calcular estas integrales se usan las identidades: 1 sin(mx) cos(nx) = (sin(m − n)x + sin(m + n)x) 2 1 sin(mx) sin(nx) = (cos(m − n)x − cos(m + n)x) 2 1 cos(mx) cos(nx) = (cos(m − n)x + cos(m + n)x) 2 Z Ejemplo 6.5 Calcular

sin 2x sin 9x dx.

Soluci´ on: • sin 2x sin 9x =

1 (cos 7x − cos 11x) 2

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Integrales de algunas funciones trigonom´etricas

• Reemplazando en la integral, se obtiene: Z Z 1 sin 2x sin 9x dx = (cos 7x − cos 11x) dx 2  cos 11x 1 cos 7x − +C = 2 7 11 Z Ejemplo 6.6 Calcular

sin 4x cos 5x dx.

Soluci´ on: • sin 4x cos 5x =

1 1 (sin 9x + sin(−x)) = (sin 9x − sin x) 2 2

• Reemplazando en la integral, se obtiene:   Z Z 1 1 cos 9x sin 4x cos 5x dx = (sin 9x − sin x) dx = + cos x + C − 2 2 9 1 1 = cos x − cos 9x + C 2 18 Ejercicio 6.5 Verificar mediante integraci´on: Z sin(3x + 6) cos(5x + 10) dx = −

6.2.4

1 1 cos(8x + 16) + cos(2x + 4) + C 16 4

Integrales √ de funciones que contienen las expresiones √ 2 2 x ± a o a2 − x2

Para calcular integrales de funciones que contienen las expresiones mencionadas, se proponen los siguientes cambios de variables: Expresi´on √ 2 2 √a − x 2 2 √a + x x 2 − a2

Cambio sugerido Restricci´on x = a sin t − π2 ≤ t ≤ π2 x = a tan t − π2 ≤ t ≤ π2 x = a sec t 0 ≤ t ≤ π2 o π ≤ t ≤ Z

Ejemplo 6.7 Calcular

x2

3π 2

Identidad a usar 1 − sin2 t = cos2 t 1 + tan2 t = sec2 t sec2 t − 1 = tan2 t

dx √ . 1 + x2

Soluci´ on: De acuerdo a la tabla precedente, sea x = tan t, de donde dx = sec2 tdt. Luego, Z

dx √ = x2 1 + x2

Z

sec2 t dt √ = tan2 t 1 + tan2 t

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sec2 t dt = tan2 t sec t

Z

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Z

cos dt = − csc t + C sin2 t Universidad de Talca

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Ahora, para volver a la variable original, como x = tan t = tant , formemos un tri´angulo 1 rect´angulo con un √ a´ngulo t y cateto opuesto x y cateto adyacente 1. En tal caso, su hipotenusa vale 1 + x2 :

√

1 + x2 . Finalmente x √ Z 1 + x2 dx √ =− +C x x2 1 + x2 Z √ 1 Ejercicio 6.6 Verificar mediante integraci´on: x3 9 − x2 dx = (x2 + 6)(9 − 5 3/2 x) + C Por lo tanto, csc t =

6.3

Autoevaluaci´ on Z

a)

Z

4

sin 2x dx Z

2

d)

b) 2

(sin θ + cos θ) dθ Z √ 1 + x2 dx g) x Respuestas:

Z e)

sin3 x dx 2 Z cos x tan3 u sec5/2 u du

Z cos 3x cos 4x dx

c)

tan5 3x dx

f)

1 3 3x 1 1 sin2 (2x)·sin(4x)− sin(4x)+ +C b) sin x+ sin 7x+C c) cos x+sec x+C 16 32 8 2 14 7θ 2 1 1 d) tan4 3x − 16 tan2 3x + 12 ln sec 3x + C f) 29 sec9/2 u − + sin3 θ + sin 4θ + C e) 12 8 3 32

a) −

2 5

sec5/2 u + C

6.4

√ 2 −1 √ g) ln 1+x + 1 + x2 + C x

Desaf´ ıo Z

Calcular:

sin 4x cos(−3x) sin 2x dx

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