1

Capítulo 1

Integrales múltiples Se establece en este capítulo una teoría de integración para funciones escalares de varias variables. La definición que → . Pedimos, además, cierta proponemos es una generalización directa de la Integral de Riemann para funciones regularidad a las funciones integrando porque aligera la exposición sin perder las principales aplicaciones básicas (cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos regulares, distribuciones de probabilidad multidimensionales, cálculo de momentos de inercia, centro de masas de un sólido, etc…). Sin embargo, existen procedimientos para definir la integral múltiple que admiten integrandos más generales. Desde el punto de vista aplicado una integral múltiple se presenta de forma natural acumulando en un conjunto una magnitud distribuida en él, mediante una función de densidad. También puede ocurrir que se maneje una nueva magnitud acumulando otra ya conocida, que pasa a ser su función de densidad. La fuerza que se ejerce en el transporte de una masa, por ejemplo, a lo largo de una trayectoria es la densidad (por unidad de espacio recorrido) de la magnitud física trabajo desarrollado en el transporte. La Estadística ofrece muchos ejemplos de funciones de densidad de probabilidad distribuidas sobre variables aleatorias multidimensionales.

§1.1 Integrales dobles Dada una función f : Ω ⊂ → y un subconjunto (regular) A ⊂ Ω de su dominio, pretendemos calcular el volumen comprendido entre la gráfica de f y el propio A. Dicho volumen es una interpretación geométrica de la magnitud acumulada sobre A cuya densidad (por unidad de superficie) es f(x, y) en cada punto de A. 2

a) Definición: Integral doble sobre un rectángulo Sea f : → una función continua 1 en un rectángulo R = [a, b]×[c, d] contenido en su dominio, que suponemos un dominio Ω en el plano XY. Supongamos inicialmente que f es positiva. Entonces pretendemos calcular el volumen encerrado por debajo de la superficie z = f(x,y) y por encima del rectángulo R. La idea es realizar un proceso de aproximación simultáneo, construyendo aproximaciones por exceso y por defecto, del número que dé dicho volumen, de un modo similar a como se hizo en la definición de integrales definidas simples. La figura (1.1−1) ilustra la construcción. 2

La aproximación: Sumas de Riemann P1 = {a = x0 < x1 < …< xn−1 < xn = b} , de [a, b] Dadas dos particiones,  , se obtiene una partición P del P2 = {c = y0 < y1 < …< ym−1 < ym = d} , de [c, d] (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m), cuyas dimensiones rectángulo R en n×m subrectángulos: Rij = [xi−1, xi]×[yj−1, yj] denotamos ∆xi = xi – xi−1 , ∆yj = yj – yj−1.

d … y2 y1 c a

x1

x2

…

b

figura 1.1−1 (obsérvese que se miden en las mismas unidades que las variables x e y)

1 Posteriormente se extiende la construcción a funciones continuas a trozos

1.2

Cálculo II

Para cada subrectángulo Rij se toman los números: mij = mín{f(x,y) : (x,y) ∈ Rij} , Mij = máx{f(x,y) : (x,y) ∈ Rij} (1.1−1) ambos existen, por ser f continua y cada Rij = compacto (rectángulo cerrado y acotado), en virtud del teorema de Weierstrass sobre máximo y mínimo absolutos. Los escalares mij ∆xi∆yj , Mij ∆xi∆yj son una aproximación por defecto y otra por exceso del volumen entre la superficie y el rectángulo Rij. (Si f(x,y) es la densidad de una magnitud distribuida en R, se habrá aproximado la cantidad de dicha magnitud acumulada en Rij). La suma de esos escalares para todos los rectángulos Rij será una aproximación del volumen total bajo la superficie. En particular será una aproximación por defecto la dada por la Suma inferior de Riemann de f relativa a la partición P, que denotamos s(f;P): n

s(f;P):=

m

∑∑ m ∆x ∆ y ij

=i 1 =j 1

i

= suma inferior;

j

(1.1−2a)

y será una aproximación por exceso la dada por la Suma superior de Riemann que denotamos S(f;P): n

S(f;P) :=

m

∑∑ M ∆x ∆ y = suma superior;

=i 1 =j 1

ij

i

(1.1−2b)

j

Evidentemente, por construcción, resulta que ∀P = partición de R se cumple: s(f;P) ≤ volumen buscado ≤ S(f;P)

Mejoría de la aproximación por refinamiento de la partición La figura (1.1−2) permite comprender el efecto de añadir un punto a la partición P2 sobre el exceso de las sumas superiores. Es análogo si se añade en P1 y, en suma, podremos mejorar la aproximación si tomamos particiones con más puntos (suele decirse más finas e indicarse con el símbolo ⊂ entre la menos y la más fina). En definitiva si P y P* son particiones de R tales que P ⊂ P* se cumplirá:

s(f;P) ≤ s(f;P*) ≤ volumen buscado ≤ S(f;P*) ≤ S(f;P)

Concepto de integral y de función integrable La mejoría de la aproximación es progresiva cuando el número de puntos de la partición aumenta, y, en el límite, las figura 1.1-2 sumas de Riemann coinciden y definen el número real que representa el volumen geométrico. Más precisamente, esto sugiere la siguiente definición formal, que no hay inconveniente en aplicar a funciones muy generales2: Definición [1.1−3]: Una función acotada f : Ω ⊂ 2 → se dice integrable sobre un rectángulo R ⊂ Ω cuando ∀ε > 0 ∃Pε (= partición de R que depende de ε) t.q. ∀P = partición de R : Pε ⊂ P ⇒ S(f; P) – s(f; P) < ε. En ese caso las sumas superiores e inferiores tienen un límite común para n, m → ∞, al que llamamos integral doble de f sobre R y representamos con la integral doble de f sobre R:

∫∫

R

f= ( x, y )dxdy : lim

n

m

M ∆x ∆y ∑∑=

n.m →∞ =i 1 =j 1

ij

i

j

n

lim

m

∑∑ m ∆x ∆y

n.m →∞ =i 1 =j 1

ij

i

j

(1.1-3)

Se obtiene una construcción equivalente tomando f(ui,vj) en un punto arbitrario de Rij, en lugar de mij y Mij en los límites y en todo el proceso anterior.

2 Si f no es positiva la integral no representa el volumen geométrico sino un volumen aritmético donde se ha restado el volumen que

corresponde a la parte negativa de f.

CÁLCULO II

Capítulo 1 - Integrales múltiples

1.3

Condición suficiente de integrabilidad En lo sucesivo será suficiente aplicar este resultado a funciones continuas o continuas a trozos. Ya puede probarse la integrabilidad de las primeras: Teorema [1.1−4]: Toda función continua sobre un rectángulo R es integrable en R. Una función discontinua es integrable si el conjunto de sus discontinuidades es finito o si se pueden agrupar en una serie finita de curvas, cada una con área 0. Demostración: Es consecuencia de que ∀i,j : Mij – mij se puede hacer arbitrariamente pequeño con tal de tomar Rij adecuadamente pequeño, por ser f continua sobre R, compacto, y ser, por tanto, uniformemente continua. Más precisamente: Fijado ε > 0, sabemos que ∃δ > 0 tal que ∀ (x,y), (x*,y*) ∈ R : (x,y) , (x*,y*) < δ ⇒ f(x,y)–f(x*,y*) < ε. Por otra parte, se pueden elegir las particiones de manera que el mayor subrectángulo tenga diámetro (longitud de la diagonal) menor que δ. Entonces: S(f;P) – s(f;P) = ∑i∑j (Mij – mij) ∆xi∆yj ≤ εR (siendo R el área o medida de R). Luego se puede hacer esa diferencia arbitrariamente pequeña, siendo, pues, f integrable. Las funciones continuas a trozos son integrables por las propiedades de descomposición de la integral que veremos enseguida. c.q.d. #.

Definición de la integral doble en recintos acotados más generales Si en lugar del rectángulo se tiene un dominio acotado A ⊂ Ω, se considera un rectángulo cualquiera R que contenga a A y la función auxiliar: f(x,y) si (x,y) ∈ A g(x,y) =  0 si (x,y) ∈ R – A

∫∫

y definimos:

A

f ( x, y )dxdy := ∫∫ g ( x, y )dxdy R

(1.1−5)

Se dirá f integrable sobre A ⊂ Ω si lo es g sobre R y así la integración doble está establecida para funciones f(x,y) en cualquier recinto regular pero acotado. Ejemplos Aunque procedimiento seguido para definir la integral doble es principalmente teórico, en la práctica, para calcular una integral doble, se aplica la integración por secciones que estudiamos en el siguiente apartado. No obstante, en los siguientes ejemplos se calculan las integrales dobles aplicando directamente la definición: Ejemplo 1.1-1: Si f(x,y) = K = cte., calcular su integral doble sobre un rectángulo cualquiera R = [a, b]×[c, d], aplicando la definición (1.1-3). Solución: Si P es una partición de R determinada por dos particiones P1 y P2 de [a, b] y [c, d] respectivamente, como se han descrito antes, se tiene que mij = Mij = K en todo subrectángulo Rij, de manera que las sumas superior e inferior de Riemann resultan: S(f; P) = ∑i∑j Mij ∆xi∆yj = K [(x1−a) + (x2−x1) +…+ (b−xn-1)][(y1−c) + (y2−y1) +…+ (d−ym-1)] = = K  ( x1 − a ) + ( x2 − x1 ) +  + (b − xn −1 )   ( y1 − c) + ( y2 − y1 ) +  + ( d − ym −1 )  = K(b−a)(d −c) = s(f; P) Es análogo con la suma inferior, por la naturaleza de la función integrando f, de manera de las aproximaciones por exceso y por defecto de la integral en realidad coinciden y dan el valor de la misma:

∫∫

R

f ( x, y )dxdy =

∫∫ b

a

d

c

Kdxdy = K (b−a) (d −c)

#.

Ejemplo 1.1-2: Misma cuestión si f(x,y) = g(x) h(y) es el producto de dos funciones continuas, la primera función sólo de x y la segunda, sólo de y. Aplíquese el resultado para integrar f(x,y) = x2y en [0 , 1]×[0 , 1]. Solución: Se deja como ejercicio comprobar que

1.4

Cálculo II

∫∫

R

h ( x ) g ( y )dxdy =

( ∫ h( x)dx )( ∫ g ( y)dy ) b

d

a

(1.1-6)

c

Téngase en cuenta, para ello, que Mij será el producto del máximo de h en [xi−1, xi] por el de g en [yj−1, yj]; y que sucede algo análogo con mij. Se pueden obtener entonces S(f, P) y s(f, P) y obtener sus límites como integrales de las funciones h y g en los correspondientes intervalos [a, b] y [c, d] respectivamente. De este modo, lo aplicamos al caso concreto planteado:

∫∫

R

x 2 ydxd= y

∫∫ 1

1

0

0

x 2 ydxd= y

( ∫ x dx )( ∫ ydy=) 1

1

2

0

0

=

1 1 3 2

1 6

#.

b) Cálculo de la integral doble por iteración El resultado sobre integración iterada se corresponde con el célebre Teorema de Fubini. En síntesis el resultado reduce el problema de calcular la integral (1.1−3) al de calcular otras integrales de Riemann de dimensión menor, adaptando convenientemente los límites de integración de éstas a la descripción analítica del recinto de integración A.

Integración iterada sobre rectángulos planos Comenzamos con las integrales dobles sobre rectángulos, cuya interpretación geométrica es un caso particular del método clásico de integración por secciones, ya descrito por Eudoxo (siglo IV a. C.) y perfectamente manejado por Arquímedes (287−212 a. C.) 3. La Física y la Geometría, por otra parte, suelen manejar las diversas integrales que necesitan mediante lo que llaman elementos diferenciales, una de cuyas versiones puede verse en este teorema. El elemento diferencial de una integral es una representación genérica de los sumandos que dan la integral en el límite, lo que solía reflejarse escribiendo dx en vez de ∆x ó dxdy en lugar de ∆x∆y. Por ejemplo el elemento diferencial de la integral doble, según la A(y)dy definición (1.1−3), es f(x,y)dxdy: es una representación del pequeño volumen que, en el límite, aporta cada punto a la suma total, que es la integral. Muchos razonamientos se hacen plausibles argumentando con los elementos diferenciales. y Sea f : Ω ⊂ 2 → , continua en R = [a, b]×[c, d] ⊂ Ω.

Deseamos calcular la integral

∫∫

R

f ( x, y )dxdy . dy

La idea de este método es utilizar el elemento diferencial del volumen que se ilustra en la figura 1.1−3 adjunta: el área de la figura 1.1-3 sección producida por cada y ∈ [c, d] multiplicada por la altura diferencial dy. Intuitivamente está claro que la suma de los infinitos elementos de esa forma da el volumen buscado. Más concretamente: Para cada y ∈ [c, d], se considera la sección del volumen buscado con el plano coordenado correspondiente a dicho y. Denotemos A(y) el área de dicha sección, cuyo valor se puede escribir fácilmente mediante la integral de Riemann unidimensional: A(y) =

∫

b

a

f ( x, y )dx

pues, con cada y fijo, la x de la sección A(y) varía desde x = a hasta x = b. El elemento diferencial del volumen, sugerido en la figura anterior, viene dado por A(y)dy, para cada y. La suma de todos ellos cuando y varía entre c y d viene dada por: vol. =

∫

d

c

A( y )dy =

∫  ∫ d

b

c

a

f ( x, y )dx dy 

(1.1−6)

Un argumento análogo se obtiene si partimos de un x ∈ [a, b] fijo y realizamos la sección por su plano coordenado x constante. En ese caso se considera la sección A(x) dada por: A(x) =

∫

d

c

f ( x, y )dy ,

y el elemento de volumen A(x)dx, de manera que el volumen resultará:

3 En esto consiste fundamentalmente el razonamiento de Arquímedes para deducir su fórmula del volumen de la esfera.

CÁLCULO II

Capítulo 1 - Integrales múltiples

vol. =

∫

b

a

A( x)dx =

∫

b

a

1.5

 d f ( x, y )dy  dx  ∫c 

(1.1−7)

Las dos integrales anidadas de (1.1−6 y 7) se conocen como integrales iteradas y la técnica de integración se llama por iteración. La demostración rigurosa de las fórmulas obtenidas debe manejar las particiones y tomar el límite correspondiente, lo que dejamos como ejercicio. El resultado se enuncia como sigue: Teorema de Fubini [1.1−5]: Sea f : Ω ⊂ 2 → y sea R ⊂ Ω un rectángulo [a, b]×[c, d]. Consideremos las familias de funciones → : ϕx(y) = f(x,y), ∀x ∈ [a, b]: una función de y para cada x, definida en [c, d] ϕy(x) = f(x,y), ∀y ∈ [c, d]: una función de x para cada y, definida en [a, b] Entonces, si f es integrable en R, las dos funciones cumplen: ϕy(x) es integrable en [a, b] para cada y de [c, d] y

∫

b

ϕx(y) es integrable en [c, d] para cada x de [a, b] y

∫

d

a

c

= y) φ y ( x= )dx A(

∫

b

φ x ( y= )dy A( = x)

∫

d

f ( x, y )dx

a

f ( x, y )dy

c

y se verifica: (Teorema Fubini)

∫∫

R

f ( x, y )dxdy =

∫

d

c

 b f ( x, y )dx dy =  ∫a 

∫

b

a

 d f ( x, y )dy  dx  ∫c 

(1.1−8)

Ejemplos de integración iterada El teorema anterior proporciona dos procedimientos de efectuar una integral doble, llamados "por iteración". Cada una de las dos integrales se denomina integral iterada y se distinguen en el orden de integración: la primera integra primero respecto de x y sigue integrando el resultado respecto de y; la segunda lo hace en el orden contario. A continuación se ilustran ambos con los siguientes ejemplos: 2

2

Ejemplo 1.1−3: Calcular la integral de f(x,y) = x + y sobre el cuadrado [0, 1]×[0, 1]. Dibujar el volumen que se ha calculado. Solución: Por el primer orden de integración tendremos:

∫∫

[0,1]×[0,1]

( x 2 + y 2 )dxdy =

= ∫

(

=

y + 13 y 3

1

(

0 1 3

1 3

x3 + y 2 x 1 0

x =1 x =0

)=

1 3

∫  ∫ ( x 1

1

0

0

)dy =∫ ( 1

0

+ 13 =

1 3

2

+ y 2 )dx dy =



)

+ y 2 dy =

2 3

Por el segundo orden de integración se obtiene a priori el mismo resultado por la simetría de la función y del rectángulo sobre el que se integra.

figura 1.1-4

Veamos ahora un ejemplo en que el dominio de integración no es un rectángulo para ver cómo se aplica en la práctica (1.1-8): Ejemplo 1.1-4: Calcular

∫∫

D

( x 2 + xy 2 )dxdy siendo D el triángulo comprendido entre los ejes y la recta que pasa

por los puntos (0, 1) y (2, 0) y aplicar los dos órdenes de integración iterada. Solución: Primero debemos describir adecuadamente el dominio de integración, D, para lo cual se necesitan las ecuaciones de sus fronteras: la porción de frontera sobre los ejes son sencillas: {y = 0; 0 ≤ x ≤ 2} y {x = 0; 0 ≤ y ≤ 1}; la recta oblicua tiene pendiente

− 12

y pasa por (0,1), luego su ecuación es:

(y −1) =

− 12 (x − 0) ⇔ y = 1 − 12 x

⇔ x = 2(1−y).

A continuación damos dos descripciones posibles de D para integrar: figura 1.1- 5

D = {(x, y)∈

2

/ 0≤x≤2, 0≤y≤1 −

D = {(x, y)∈ 1 2

2

/ 0≤y≤1, 0≤ x≤2−2y} (y varía entre constantes)

x} (x varía entre constes.)

Cada una de las descripciones es útil para uno de los órdenes de integración. Con la primera descripción se integra en el primer orden, es decir, primero respecto x y cerrando respecto y:

1.6

Cálculo II

∫∫

D

( x 2 + xy 2 )dxd= y

∫( 1

=

0

8 3

∫( x +

 2−2 y ( x 2 + xy 2 ) dx d= y ∫0  ∫0  1

1

1 0 3

3

1 2

x2 y 2

(1 − 3 y + 3 y 2 − y 3 ) + 2(1 − 2 y + y 2 ) y 2 ) dy = =

(

8 3

2−2 y 0

∫( 1

0

) d=y

∫( 1

1 0 3

23 (1 − y )3 + 12 22 (1 − y )2 y 2 − 0 ) dy =

− 8 y + 10 y 2 − 203 y 3 + 2 y 4 )dy =

8 3

11 y − 4 y 2 + 103 y 3 − 53 y 4 + 52 y 5 ) = 83 − 4 + 53 + 52 − 0 = 13 + 52 = 15 1

0

En el otro orden se tiene en cuenta la segunda descripción de D, integrando primero respecto de y y cerrando respecto de x, y produce el mismo resultado: se deja verificarlo como ejercicio, siendo interesante que el alumno compare si los dos órdenes se operan con el mismo trabajo o hay ventaja en proceder en uno de los dos órdenes frente al otro. #.

En realidad, puede haber ventaja en utilizar uno de los dos órdenes, como prueba el siguiente caso: Ejemplo 1.1-5: Calcular

∫∫

D

πy 2 x

x 3 y sen

dxdy , siendo D la porción del plano XY comprendida entre la cúbica y = x3 y

la parábola y = x . Solución: Para integrar primero respecto de x, debemos integrar x 3 sen πyx respecto x, mientras que si integramos 2

primero respecto de y debe integrarse y sen πyx respecto de y. Esto último parece más directo, así que describimos el conjunto D (figura adjunta), expresando x entre dos constantes: D = {(x,y) / 0 ≤ x ≤ 1, x3 ≤ y ≤ x } 2

πy 3 = ∫∫ x y sen x dxdy 2

y así:

D

x 1 1 4  πy 2 πy 2  3 = ∫0  x 2πx ∫x3 2πx y sen x dy  dx = ∫0 2πx  − cos x

=

1 2π

∫ (x 1

0

4

+ x 4 cos(πx 5 ) ) dx

=

1 2π

 

(

5

x 5

1



x



∫=  ∫ x y sen dy  dx 3

x3

0

πy 2 x

1 4  x ( − cos π+ cos(πx5 ) ) dx  dx = ∫ 0 2π  1  1 1 + 0 − 0= 1 + 5π1 sen(πx 5 ) = ) 10π 2π ( 5 0  x

x3

figura 1.1- 6

)

#.

c) Propiedades de las integrales dobles Las propiedades más utilizadas de la integral múltiple son similares a las que tiene en el caso unidimensional. Se resumen a continuación:

linealidad: α,β = ctes. ⇒

∫∫

Ω

(αf ( x, y ) + βg ( x, y ))dxdy = α ∫∫ f + β ∫∫ g Ω

Ω

(1.1−9)

aditividad: Si Ω = Ω1 ∪ Ω2 es una descomposición de Ω sin solapamientos, entonces:

∫∫

Ω

∫∫

f ( x, y )d= xdy

Ω1

f + ∫∫

Ω2

f

(1.1−10)

monotonía: Si f, g son funciones escalares integrables sobre un dominio Ω ⊂ 2, entonces ∀(x,y) ∈ Ω : f(x,y) ≤ g(x,y) ⇒ f ( x, y )dxdy ≤ g ( x, y )dxdy

∫∫

Ω

∫∫

Ω

(1.1−11)

triangular: Para cualquier función integrable f sobre un dominio Ω se verifica: ∫∫Ω f(x,y) dxdy ≤

∫∫Ω f(x,y) dxdy

(1.1−12)

Junto a estas propiedades básicas que se demuestran fácilmente a partir de la definición (1.1−3), tiene bastante uso la generalización del teorema del valor medio (T.V.M.) a integrales dobles:

Teorema de valor medio [1.1−6]: Sea Ω un dominio 4 en 2 sobre el que una función f es continua. Entonces existe un punto ξ = (ξ1, ξ2) en Ω tal que

∫∫Ω f(x,y)dxdy

= f(ξ1,ξ2)Ω, (1.1−13a) 3 donde Ω es el área de Ω (área en , será volumen en , y, en general, medida). Al valor f(ξ1,ξ2) se le conoce como promedio integral de f en Ω, y es el valor promedio de una magnitud distribuida en Ω. Por eso a veces se escribe (1.1−13a) en la forma: 2

4 Domino, o sea, el cierre topológico de un abierto conexo. La hipótesis de conexión es esencial en el teorema.

CÁLCULO II

Capítulo 1 - Integrales múltiples

f (ξ1 ,ξ 2 ) =

∫∫

Ω

1.7

f ( x, y )dxdy

(1.1−13b)

Ω

Demostración: Es una consecuencia del teorema de conservación de la conexión, que no probaremos.

#.

Finalmente ya estamos en condición de probar la integrabilidad de las funciones continuas a trozos: Teorema [1.1−7]: Si f es acotada en el dominio Ω ⊂ n y existe una descomposición de Ω en subdominios sin solapamientos 5, de la forma Ω = Ω1∪Ω2∪…∪Ωk, tal que f es continua en Ωi para cada i = 1, 2,…,k, entonces f es integrable sobre Ω, y la integral se puede calcular mediante la aditividad (1.1−10). Demostración: Es una sencilla consecuencia de la propiedad de aditividad respecto del dominio de integración, o sea, (1.1-10): basta descomponer el dominio siguiendo la curva en que se produce la discontinuidad de f. #.

d) Cambio de variables En ocasiones es ventajoso expresar el recinto de integración, o la función integrando de una integral múltiple en otras variables auxiliares con el fin de simplificar los cálculos. Veamos primero el caso más sencillo e importante en las aplicaciones a integrales dobles:

Cambios a coordenadas polares en el plano Consideramos en primer lugar la integral ∫∫ f ( x, y )dxdy . Supongamos que, o bien el integrando o bien Ω Ω

se simplifican al expresarlos en las coordenadas polares del plano, o sea, al sustituir:  x = ρ cos θ = g1 (ρ, θ) , o bien: (x,y) = _g(ρ,θ) = (g1(ρ,θ), g2(ρ,θ))   y = ρ sen θ = g 2 (ρ, θ)

(1.1−14)

Entonces es posible efectuar estas sustituciones en la integral para explotar la simplificación. En efecto, consideremos, por ejemplo, el círculo Ω = {(x,y): x2+y2 ≤ r2}, para fijar ideas. Debe describirse, para integrar en cartesianas (primero respecto y, por ejemplo), en la forma: Ω = {(x,y) : −r ≤ x ≤ r , – r2 – x2 ≤ y ≤ r2 – x2 }, θ

g _

2π

dy dx

R ρdθ r

ρ dρ figura 1.1−7

mientras que en coordenadas polares el mismo Ω se describe simplemente por Ω = {(ρ,θ) : 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π}, o sea, un "rectángulo" R = [0, r]×[0, 2π] para las variables (ρ,θ) (es decir, en unos ejes ortogonales que escalen las variables (ρ,θ) al margen de las (x,y), ver figura 1.1−7) Obsérvese que este rectángulo no es otra cosa que el conjunto de puntos (ρ,θ) cuya imagen por la aplicación vectorial g_ proporcionan el círculo original Ω, es decir, R = _g−1(Ω).

(1.1−15)

Obsérvese también que, salvo en el origen, la función vectorial _g es inyectiva, pues su jacobiano es ∂ ( x, y ) = ∂ (ρ,θ)

cosθ −ρsenθ senθ ρcosθ

= ρ,

Por su parte, el integrando variará al sustituir en la forma f(x,y) = f(ρcosθ, ρsenθ) = f[g_(ρ,θ)] = f g_(ρ,θ) (1.1−16) Finalmente el elemento diferencial dxdy es el elemento de área expresado en las coordenadas originales. Se entiende por ello el área encerrada entre los puntos (x,y), (x+∆x,y), (x, y+∆y), (x+∆x, y+∆y) cuando los ∆x, ∆y EA

5 Puede admitirse puntos de frontera común entre dos partes contiguas de la descomposición de Ω, siempre que la medida o área de la

parte común sea nula.

1.8

Cálculo II

→ 0, lo que se indica escribiendo dx, dy. Expresar el elemento de área en las nuevas variables es determinar la medida en 2 (o sea, el área plana) de la porción de Ω abarcada por los cuatro puntos análogos (ρ,θ),(ρ+∆ρ,θ),(ρ,θ+∆θ),(ρ+∆ρ,θ+∆θ) (ver figura 1.1−7). Dicho área vale ρdρdθ Observemos que la expresión analítica resultante ha sido: dxdy =

∂(x,y) dρdθ = ρdρdθ ∂(ρ,θ)

(1.1−17)

lo que es un resultado general cuando se cambia desde cartesianas a otras variables curvilíneas. En suma, la transformación de la integral original es:

∫∫

f ( x, y )dxdy = ∫∫

(1.1−18)

f (ρcosθ,ρsenθ)ρdρdθ

R= g −1 ( Ω )

Ω

Y esta fórmula de cambio de variables la podemos utilizar a conveniencia para efectuar integrales dobles. Ejemplo 1.1-8: Calcular el volumen de la esfera mediante una integral doble efectuada por cambio de variables a coordenadas polares. Solución: Teniendo en cuanta la ecuación cartesiana de la esfera de radio R centrada en el origen O, es decir; x2 + y2 + z2 = R2 se deduce que debemos integrar sobre el círculo D = {(x,y) ∈

2

/ x2 + y2 ≤ R2} la función

z = f(x,y) = R2 − x2 − y2 y multiplicar por 2 el resultado (pues integraremos entre el plano y el hemisferio positivo). Así tendremos vol. = 2 ∫∫

R 2 − x 2 − y 2 dxdy

D

Si cambiamos a coordenadas polares del plano XY, se tendrá: cambio: {x = ρcosθ , y = ρsenθ ; dxdy = ρdρdθ ; f(x,y) = luego: vol = 2 ∫∫

D

R2 − ρ2 }; D = {(ρ,θ) / 0