En la A n tig u a G recia, e x istía u n im p o rta n te g ru p o d e p en sad o res, lla m a d o s p itag ó ric o s p o r ser P itágo ras su fu n d ad o r, c u y as d o c trin a s y estilo de v id a se a se m e ja b a b astan te al d e u n a secta. C re ía n irm e m e n te q u e to d o c u a n to existe en este m u n d o se p u e d e m e d ir o c u a n tific a r u tiliz a n d o los n ú m ero s en tero s o fra cc io n ario s, y esta c re e n c ia era u n o de sus p ilares esen ciales. S in e m b arg o , e n tre ello s em p ezó a h a b e r c ie rtas d u d as sobre si e x istiría n n ú m ero s q u e no fu eran en tero s o fra cc io n ario s. La sim p le id e a de la e x iste n c ia d e este tip o de n ú m ero s les e n c o le riz ab a tan to q u e em p ezó a ex ten d erse el p resagio de q u e si a lg u ie n c o n se g u ía e n c o n tra r tales n ú m e ro s y los d iv u lg a b a al resto del m u n d o , m o riría en un n a u frag io . H ip aso de M e ta p o n to c o n sig u ió d e m o stra r q u e v 2 es ir ra c io n a l, y no p u d o c o n te n e r su an sia de p u b lic a r este re v o lu c io n ario re su ltad o . Los p ita g ó ric o s le e x p u lsa ro n y e rig ie ro n u n a tu m b a co n su n o m b re, en señ al de q u e p ara ello s, él estab a m u erto . F in a lm e n te , el p resagio se c u m p lió , e H ip aso m u rió en u n a trav esía en b arco , a u n q u e se cree q u e no fue p re c isam e n te en u n n a u fra g io , sin o q u e sus c o m p añ e ro s le tiraro n al m ar, d o n d e las olas le fu stig a ría n sin cesar p ara p u rific a r su a lm a c o rru p ta p o r lo q u e ello s c o n sid e ra b a n u n p ecad o .

I nterpreta y resuelve Hipaso de Metaponto demostró que / 2 es irracional. ¿En cuál de las siguientes figuras crees que se basó para realizar este descubrimiento? ¿Por qué?

R epasa Mínimo común m últiplo y máximo común divisor El m ínim o com ún m últiplo de varios núm eros es el producto de factores com unes y no com unes de las descom posiciones en factores prim os elevados al m áxim o exponente (solo se tom ará un representante de cada factor com ún). El m áxim o com ún divisor de varios núm eros es el producto de los factores com unes a todos elevados al m enor exponente (igualm ente, solo tom arem os un factor de cada tipo). En caso de no existir ningún factor com ún a todos ellos, se considerará el 1. C alculem os el mcm (7 2 ,2 4 0 ) y el mcd (7 2,240). 72 = 23 • 32

240 = 24 • 3 • 5

mcm (7 2 ,2 4 0 ) = 24 -32 • 5 = 720 mcd (7 2 ,2 4 0 ) = 23-3 = 24

Propiedad distributiva La propiedad distributiva del producto respecto de la sum a o resta nos perm ite efectuar operaciones sin necesidad de realizar prim ero el paréntesis. (—3) • (4 —7) = (—3) • 4 —(—3) -7 = —12 + 21 = 9

Extracción de factor común Se trata del proceso inverso a la propiedad distributiva, y se basa en la extracción de un factor com ún a varios sum andos. D icho factor será el m áxim o com ún divisor de todos ellos y nos perm itirá expresar una sum a o resta como un producto. 9 — 12 + 6 —72 = 3 - ( 3 - 4 + 2 —24) = 3 • (-2 3 ) = - 6 9

EJERCICIOS________________________________________________________________ 1. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

a) 12, 36 y 54

6 ; i4 y 4 9

c9 121 y 143

2. Aplica la propiedad distributiva y realiza las siguientes operaciones: a) ( 3 - 4 ) - ( - 5 )

c) (3 + 6) • (—2 + 7)

b) 5 -(1 2 + (-1 3 ))

d) ( - 8 + (-9 )) • (1 - ( - 2 ) )

3. Saca factor común en las siguientes expresiones: a ) - 3 6 - 1 8 + 90

cj 33 - 121 + 1 6 5 -1 10

b) 2 0 - 2 8 + 4 4 - 6 0

d) 98 + 1 4 7 -4 9 0 + 343

$ 6 0 0 y 450

C oncepto i— N U M E R O S EN TERO S Representación

C oncepto — Representación — N Ú M E R O S D EC IM A LES — C lasificación A proxim aciones y errores

T runcam iento R edondeo — A bsoluto Error — Relativo

C oncepto NÚM EROS FR A C C IO N A R IO S

— Representación — Sum a Resta — O peraciones

Producto — C ociente — O peraciones com binadas — Paso de decim al a fracción

— Fracciones y decim ales — Paso de fracción a decim al

— Números racionales y reales -

N Ú M E R O S REALES

— Aproximación de números reales irracionales — Comparación y representación en la recta

*— INTERVALOS

NÚMEROS

1. Números enteros 1.1. Concepto El conjunto de los números enteros, que se denota Z, surge por la necesidad de com pletar el conjunto de los números naturales, N , al no poder expresar con estos can tidades negativas, que pueden identificarse con deudas o carencias, por ejem plo.

U SA TU CALCULAD ORA Para introducir números enteros en la calculadora debes pulsar la tecla ^

Recuerda además que

tienes las teclas

y

para

introducir paréntesis.

1.2. Representación Los núm eros enteros incluyen por tanto a los naturales y a los negativos, cuya representación en la recta num érica se sitúa a la parte izquierda del cero, tal como m uestra la siguiente ilustración, de manera que están colocados de m enor a m ayor, siendo m ayores cuanto más a la derecha estén colocados los núm eros. —i------ 1-------- 1---- 1--------- 1------- 1----- 1---------1------- 1---- 1----------1---- 1------- 1— —6 —5 —4 —3 —2 —1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

EJERCICIOS____________________________________________________________________ 1. * o o Realiza las siguientes operaciones con números enteros:

a) ( - 3 + 5 • ( - 2 + 1)) - ( - 6 ) + 35: ( - 2 + 3 - 4 + 4 - ( - 2 +1)) b) 3 + 4 : (—2) —(—2)2—7 + 9 : (1 + 5 - (- 2 ) ) C) 6 + 2 • (—3 + 9: (—3))

d) - ( 3 - 5 - ( - 4 + 9): 2 5 )+ 3 - 5 -2 2. « o o Representa en la recta y ordena de menor a mayor las siguientes colecciones de números enteros:

a ) - 7 , - 5 , 2 ,+ 6 , 0 , - 2 , 4 b) - 3 , 3, - 2 , 5, 1, - 1 , 6 c) 35, -2 7 , 60, - 4 5 , 42, - 4 3 , 15 d) - 8 9 , 56, - 2 4 , - 5 7 , 22, - 5 5 , - 9 0

NÚMEROS

2. Números decimales 2.1. Concepto Los números decimales perm iten representar partes de unidades completas, tanto negativas como positivas.

2.2. Representación Los núm eros d ecim ales se pueden situ ar de m an era ap ro xim ad a en la recta num érica dividiendo las unidades en las partes necesarias. ----- 1-------------------- 1-------------------- 1 i i t t t i i i i i— 0 1 2 2.8 3

2.3. Clasificación Podemos clasificar los números decimales según su parte decimal en exactos, periódicos o no periódicos: •N úm ero decim al exacto: tiene un núm ero finito de cifras decim ales.

RECUERDA En un número decimal distinguimos las siguientes partes: anteperiodo | ^ p erio d o 32.564 parte decimal

3,45 • Número decim al periódico: tiene infinitas cifras decimales que se repiten. Pueden ser: • periódicos puros:

3 .4 5 4 5 4 5 4 5 ... = 3,45

• periódicos m ixtos: 3 ,2 4 5 4 5 4 5 ... = 3,24 5 •N ú m ero d ecim al no p erió dico : tiene in finitas cifras decim ales que no se repiten de form a periódica. 98,123456.... 71... e j e r c i c i o s __________________________________

3. ««o Ordena de mayor a menor los decimales siguientes:

a) 8,98; 8,979; 9; 8,9; 8,99; 8,9779 b) -3 ,6 ; 2,5; -3 ,6 5 ; +2,45; -3 ,5 8 ; - 2 ,5 c) 1,2; 1,1111...; 1,1; 1,12; 1,12 d) 0,23333; 0,23; 0,20888...; 0,233232...; 0,23 4. #oo Clasifica los siguientes números decimales:

a) 23,2323

d) 0,001010101...

b) 9,8767676...

e) 36,022

c) -3 ,1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 ...

f) 6 988,8787878...

parte entera

NÚMEROS

3. Aproximaciones y errores Aveces no es necesario trabajar con todas las cifras decimales y aproximamos los núm eros decim ales. Esta aproxim ación se puede realizar por tru n ca­ m iento o redondeo. •T ru n cam ien to : se hacen cero todas las cifras por debajo de la posición m arcada. T runcam iento de:

32,56789

a las décim as:

3 2 ,5 0 0 0 0

►

32,5

a las centésim as:

3 2 ,5 6 0 0 0

►

32,56

RECUERDA Una aproximación por defecto es aquella en la que el valor aproximado es inferior al real y es por exceso si el valor estimado es superior al real.

• Redondeo: se hacen cero todas las cifras por debajo de la posición m arcada y la cifra de la posición m arcada se m antiene o se increm enta en función de si la siguiente cifra es inferior o igual/superior a 5. Redondeo de:

587,654

a las décim as:

587,7

a las centésim as:

587,65

Llam arem os cifras sign ificativ as a todas las cifras descontando los ceros que están en los extremos. 0 ,0 0 2306 703 5 00 000 4 cifras significativas Si realizamos aproxim aciones, cometemos errores, que se pueden clasificar en absolutos o relativos. • Error absoluto: es la diferencia (siem pre positiva) entre el valor real y el aproxim ado.

Ea — valo r real —valo r a p ro x im a d o ; Si com param os distintas aproxim aciones de un m ism o núm ero, obser­ varem os que cuanto m ás pequeño sea el error absoluto, m ejor será la aproxim ación. •E rro r relativo : es el cociente entre el error absoluto y el valor real (en caso de que se desconozca se puede em plear el aproxim ado).

V alo r real Si comparamos aproximaciones de distintos números, observaremos que cuanto más pequeño sea el error relativo, mejor será la aproximación.

OBSERVA Cuando queremos indicar que cierto valor es una aproximación de otro utilizamos el signo s:. 199

200

NÚMEROS

EJERCICIOS RESUELTOS_________________________________________________ 1. He sacado un 8,65 en un exam en. Al llegar a casa he dicho que he sacado casi un 9.

a) ¿M i aproxim ación es por defecto o por exceso? Indica tam bién si he redondeado o he truncado y a qué posición lo he hecho.

b) ¿C uál es el error absoluto com etido en m i aproxim ación? ¿Y el relativo? a) La aproximación es por exceso, porque digo que he sacado una nota superior a la real. He redondeado el resultado de mi exam en a las unidades.

b) £ , = 1 8 ,6 5 -9 1 = 0,35 r

0 35 8,65

’

2 . Se estim a que la población de cierta localidad es de 200 000 habitantes.

a) ¿Cuál es la cota del error absoluto en esta aproxim ación?; es decir, ¿cuál es el m ayor error absoluto que pueda haber com etido?

b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, ¿cuál es la cota del error relativo? a) El núm ero de habitantes totales de m i localidad debe estar entre 150 000 y 249 999 para que la

aproxim ación sea correcta, porque si está por debajo o por encim a de estos valores, la aproxim ación (a las centenas de m illar) más adecuada debería haber sido otra. El m áxim o error absoluto es por tanto la diferencia 1200 000 —150 0001 = 50 00 0 . b) La cota del error relativo será 2^00^000 =

EJERCICIOS_____________________________ 5. 900 Realiza las siguientes operaciones con números

c) Por truncamiento a las centésimas. d) Por redondeo a las centésimas.

decimales. En el caso de las divisiones redondea el resultado a las milésimas.

a) 3 2 ,5 0 1 -0 ,7 0 8 b) - 5 6 ,9 8 7 + 2 4 0 ,6 9 8 - 3 0 0

7. # o o Indica el número de cifras significativas en cada caso.

c) 235,01 :3 5 ,3

a) 38,15

c) 0,000000036

d) 0,0023 :0 ,0 0 9 8

b) 1 5 300 000 000

d) 1 030 007 000

6. «oo Realiza las siguientes aproximaciones de 4,1 58 y calcula el error absoluto y relativo en cada caso.

a) Por truncamiento a las unidades. b) Por redondeo a las décimas.

8.

Cl Un producto cuesta 52,14 euros. Calcula el

precio final si tiene un 21 % de IVA. Redondea el re­ sultado como creas más conveniente. ¿Qué criterio has seguido a la hora de decidir qué cifra se va a redondear?

NÚMEROS

4. Números fraccionarios: concepto y representación Las fracciones, al igual que los números decimales, nos perm iten representar partes de la unidad.

2

[ip p il

7

3

Existen otras definiciones equivalentes: • La fracción se puede identificar como un núm ero decim al, resultado de dividir el num erador entre el denom inador. • La fracción se puede considerar un operador, al poderse calcular fracciones , , 3 . in n 3 • 100 _ iede núm eros, como — de 1UU = — -A— — i d . 4 4 Podemos clasificar las fracciones en: • Propias: el num erador es m enor que el denom inador. “ 3

*

1 4

N úm eros enteros: el num erador es m últiplo del denom inador.

RECUERDA Las fracciones impropias se pueden expresar mediante números mixtos. Para ello realizamos la división indicada del numerador entre el denominador y empleamos el cociente y el resto para construir el número mixto. 9 |_4_

4

4 :2 = 2 £ Z

1 2

? Para representarlas en la recta num érica, transformaremos la fracción en nú­ mero mixto, observaremos de cuántas unidades completas consta la fracción y dividiremos la últim a unidad incompleta en tantas partes como diga el de­ nominador, cogiendo tantas como diga el numerador. Para dividir la unidad de forma exacta en el número de partes deseado emplearemos el teorema de Tales, ayudándonos de un segmento auxiliar de la m edida que queramos.

-2 - 1

I0

U SA TU CALCULADORA

2

3 J Fracciones equivalentes: diferentes fracciones que representan la m ism a parte del todo, el m ism o núm ero decim al. Podemos obtener fracciones equivalentes por am plificación o por sim plifi­ cación. 10 :3 12 6 2 A m p lific a c ió n :- = - = ^12= 120 16()... Sim plificación: 18

10

;2

\

fracción irreducible

La comparación y ordenación de fracciones se realiza mediante la obtención de fracciones equivalentes con el m ism o denom inador, com parando u ordenando los num eradores posteriorm ente.

La tecla

permite escribir

fraccio nes, s i m p 1i fi cari as, expresarlas en forma de número mixto y operar con ellas.

NÚMEROS

EJERCICIOS RESUELTOS_____________________________ 1. O rdena de m enor a m ayor los siguientes núm eros y fracciones: j

1

f

1 0,25

2

f

0,8

2

Lo prim ero que debem os hacer es escribir todo del m ism o m odo, en form a de fracción o en form a de decim al. Si lo hacem os en form a de fracción, tenem os que:

j ; 1; 0 ,2 5 = ^ ^ - = ^ ; y ; 0,8 = - ^ = |-; ~

m cm (3 ,1 ,4 ,5 ) = 60

Por tanto, las fracciones equivalentes que em plearem os para ordenar las fracciones son: I 3

20

1=60

60’ 1

60!

n ’

_ 1 _ J _ 5 _ 1 = 2 4 O o = l = 48 3 = 45 4 60’ 5 60’ ’ 5 6 0 ’ 4 60

1 9 Así, el orden solicitado será 0,25 < y <

3

< 0,8 < 1.

F JFRCICIQS 9. ooo Escribe la fracción que corresponda a cada uno de los siguientes diagramas.

12. moo Obtén tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y obtén también sus fracciones irreducibles.

7 21

b) c)

0 d)

W - ly de 162

60 165 99

1 3 .0 0 0 Ordena los siguientes números de mayor a

10. o o o Calcula: a) 1 1 de 504

48 32

menor: y | de 1 095

_7___2____ 3_ A __5 _ 1 2 5 ' 15' 10' 5 ' 6 ' 3

d) -j— de 91 1 4 .0 0 0 Patricia ha cortado un tablón en 16 partes

11. ooo Utiliza el teorema de Tales para representar

¡guales y ha tomado 12 de ellas. Tomás ha cortado

las siguientes fracciones en la recta graduada:

un tablón idéntico al de Patricia en 20 trozos iguales. ¿Cuántos trozos debe tomar Tomás para tener la misma cantidad de madera que Patricia?

c) 1 1 5

3

NÚMEROS

5. Números fraccionarios: operaciones Suma y resta Para sum ar y restar fracciones necesitam os que tengan el m ism o d enom i­ nador. Para ello, reduciremos las fracciones a común denom inador y una vez conseguido operaremos los numeradores y conservaremos ese denom inador común.

RECUERDA Los resultados de las operaciones se deben expresar en forma de fracción irreducible.

Producto El producto de fracciones es otra fracción de num erador el producto de los num eradores y denom inador el producto de los denom inadores. a_ c__ a -c

b d

RECUERDA

b- d

Cociente

La fracción inversa de una fracción 7- es:

b

Para dividir dos fracciones, m ultiplicam os la prim era por la inversa de la segunda, es decir, el cociente de dos fracciones es una fracción tal que sus térm inos se obtienen al m ultip licar en cruz los de las fracciones originales.

J_= b

a_ b

a_' c_ _ a_ d_ _ a ■d b ’d b c b-c

a

Operaciones combinadas A la hora de realizar operaciones com binadas se debe respetar siem pre la siguiente jerarq u ía en las operaciones:

U SA TU CALCULADORA

1) Se hacen las op eraciones del in terio r de los paréntesis y corchetes,

Puedes combinar las teclas ab/c

em pezando por los más interiores si hubiera varios encajados.

Q

2) Productos y cocientes, de izquierda a derecha.

y

para realizar

operaciones con fracciones.

3) Sum as y restas. FJFRCICIOS RFSIJFLTOS 1. Realiza las siguientes sum as y restas:

~ 3 + f ~ 1+ f

a) 2

5

, , 3 , 8

3 = 16 4 40

120 40

15 40

40 40

30 40

-9 9 40 -Ac = l - h H—r ] + — =

b)

12/

= 1 , _5_ + l = i 2 , J _ , i 8 = 35 12 2 12 12 12 12

10

NÚMEROS

EJERCICIOS RESUELTOS_______________________________ 2 . C alcula los productos y cocientes que se m uestran a continuación:

a^

w b) — •? = — 7 8

16

c j3 :j 7

j) - 2 35 d )~ - i

5

6

n -2

35 4

7 5 » 4 8

7 7 • 21

C / '2 \

2 -7 0 20 84 56

-7 2 3 2

3. Opera.

^1+f +l :(Í- f ‘14)'2

a)i +3[=r +í :5)+f 4

1 , , / - 2 , 1 , \ , 2 4 _ 1 , , 1 -2 1 \ , 14 _ 1 , , / - 10 L 1 \ ^ 2 3 ( 3 + 3 - 5) + 7 • 7 2 ' \ 3 1 15/28 2 + J '( 15 + 1 15/ 5 Í+ 2 1 2

9 5

1_ 5 2 10

18 | 5 10 10

—8 10

—4 5

¿ ; i + 2 + 3 ; ( 1 _ 6 . 14) . 2 = i + 2 + | ; ( ^ _ |2 ) . 2 = i + | + 3 :

— j -2 = 1 + —— — 2

115 115

46 115

12 115

2 + 3 ‘( 5 )+ 2

5

115

149 115

E JFRCICIQS_________________________________________________________________________ 15. « o o Realiza las siguientes sumas y restas de fracdones:

dones combinadas siguientes

a; - 5 - + 23 18 27

Cy> 12 1 18

M 13

d j± _ 2 + 5 _ 1 1 J4 9 6 12

b 15

17. « « o Calcula el resultado de cada una de las opera-

7 12

20

16. »00 Efectúa los siguientes productos y cocientes de fracciones: a) 5 - 21 J 14 20

25 3 15 c) 12 ' 4 : 16

M 7 14 b) 60 • 45

d)

4 7 5 18 • 36 ' 15

o(ar+* K t-í) 18. ®«o Un pilar de una casa tiene tres tramos diferen­ ciados: los cimientos, la planta baja y la primera

i

planta. -4- de su altura pertenece a la planta más alta, siendo esta parte de 3 metros. Calcula la longi­ tud del pilar que está bajo tierra sabiendo que la

i

parte de la planta baja mide y de su altura total.

NÚMEROS

6. Fracciones y decimales 6.1. Paso de fracción a decimal Para obtener el núm ero decim al que equivale a una fracción, dividirem os el num erador entre el denom inador, pudiéndonos encontrar tres casos: •N ú m ero entero: si el num erador es m últiplo del denom inador. • D ecim al exacto: cuando, basándonos en la fracción irreducible, el deno­ m inador solo tenga como factores prim os 2 y 5. • D ecim al periódico: si observando la fracción irreducible, vemos que el denom inador tiene algún factor prim o distinto del 2 o 5. En concreto, si el denom inador no contiene ninguno de estos dos factores, el decim al será periódico puro, y si contiene a alguno de ellos será periódico m ixto.

OBSERVA La fracción generatriz de un decimal exacto tiene por numerador el número sin la coma y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. ?3 Por ejemplo, 2,3 = qqr

6.2. Paso de decimal a fracción Definimos fracción generatriz de un núm ero decimal como aquella tal que al dividir su num erador entre su denom inador proporciona ese núm ero decim al. • D ecim al exacto: N= 2,57 100/V= 257 — »-

•D ec im al periódico puro: N= 3,21

OBSERVA La fracción generatriz de un decimal periódico puro tiene por numerador la diferencia entre el número sin la coma y el número formado por la parte entera, y tiene por denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo. 31,6 =

316-31 9

285 = 95 9 3

10(W = 321,212121...

N= Restando:

3,212121...

99/V=318 — »• W =

OBSERVA

=

• D ecim al periódico m ixto: N = 3,8 12 10007V= 3 812,121212... 10/V = Restando:

38,121212...

990/V = 3774

N=

3774 990

629 165

La fracción generatriz de un decimal periódico mixto tiene por numerador la diferencia entre el número sin la coma y el número formado por la parte entera y el anteperiodo, y por denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo y ceros como cifras tenga el anteperiodo. 3 1 2 1 6 -3 1 2 990 30 904 15452 990 495

31,2 16 =

NÚMEROS

F I F R f l f l O S R F S M F IT f K 1. Pasa de fracción a decim al y clasifica el decim al obtenido.

„) 25 a ) ~9 25

b)ls *

a) - q- = 2 ,7 , periódico puro. b)

14

d ) 365 ' 11

_9_ 25

655 c) 14 = 4 6 ,7 8 5 7 1 4 2 , periódico m ixto

d)

365 j j = 3 3 ,1 8 , periódico puro.

2. O btén la fracción generatriz de los siguientes decim ales.

a) - 3 ,2 6 b) 13,22222... c) 21,0656565...

a) N = —3,26 b)

100N = - 3 ,2 6

326 N= — 100

163 50

N= 13,2 ION = 132,2222... N = 13,2222... Restando:

cj N = 21,0 65

1 19 97V = 119 — ► N = J y ~ 1000N = 2 1 0 6 5,656565 ... ION =

R estando:

210,656565...

990N =20 855 — * N

F i F R r i n n s _______________________________ 19. ®oo Clasifica los siguientes números decimales:

a) 0,000483

20. 1

0

3

Ss

1

i\ i 2 V 63 /5

F J F R flflO S _____________________________ 22. » « o Redondea a dos cifras decimales los siguientes números. Después aproxima por defecto el error

23. • • o Indica el número que está representado en cada caso.

absoluto cometido en las aproximaciones con tres decimales.

a) = b) /T T

1+ / 5 2 24. • • o Representa de forma aproximada sobre la recta los números siguientes:

a) 6,101 100111000... b ) - / 3

c) 2 + v'T

9

NÚMEROS

8. Intervalos y semirrectas 8.1. Intervalos Un intervalo es u n a form a de ag ru p ar todos los núm eros reales co m ­ prendidos entre dos, llam ados extrem os. En función de si los querem os considerar o no en el intervalo, encontram os la siguiente clasificación: • Intervalos abiertos Los intervalos abiertos son aquellos en los que no querem os in clu ir los extrem os del in tervalo . Se d en o ta entre paréntesis y con los extrem os separados entre com as, ordenados de m enor a mayor. Por ejem plo, si querem os expresar de form a abreviada «el conjun to de núm eros m ayores que —1 y m enores que 3», podem os hacerlo m ediante una representación en la recta: ----- 4------------ 1------------- 1-------------1------------$------ 1 0 1 2 3 m ediante una expresión algebraica: jc g R tales que —1< x < 3 o m ediante el uso de intervalos, j G (- 1 ,3 ). • Intervalos cerrados Los intervalos cerrados son aquellos en los que queremos incluir los extremos del intervalo. Se denota entre corchetes y con los extremos separados entre comas, ordenados de m enor a mayor. Por ejem plo, escribam os de las tres formas anteriores «el conjunto de los núm eros com prendidos entre 2 y 5 incluidos». ------ 1-------------1------------ 4------------ 1-------------1------------ 4------

0

1

2

3

4

5

x G R tales que 2 < x < 5 (m ediante expresión algebraica) xg

[2 ,5 ] (m ediante intervalos)

• Intervalos semiabiertos o semicerrados Los intervalos semiabiertos o semicerrados son aquellos en los que queremos in clu ir solo uno de los extrem os del intervalo. Se denotan m ediante un paréntesis y un corchete y con los extremos separados entre comas, ordenados de m enor a mayor. Por ejem plo, escribam os de las tres formas anteriores «el conjunto de los números m ayores o iguales que —5 y menores que —1». ----- ♦----------- 1------------ 1------------ 1----------- ó----------- 1------------1------------ 1------5 -4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 ig

M tales que —5 < x < —1 (m ediante expresión algebraica)

x G [ - 5 , - 1 ) (m ediante intervalos)

a

2i

O B SE R V A El paréntesis indica que el extremo que está colocado junto a él no se incluye en el intervalo, mientras que el corchete lo incluye.

NÚMEROS

8.2. Semirrecta Una sem irrecta es una form a de agru p ar todos los núm eros m ayores o menores que otro. En función de si lo querem os considerar o no en la sem irrecta, encontram os la sigu ien te clasificación, que sigue las m ism as notaciones que los intervalos anteriores. • Sem irrecta ab ierta: el extrem o no se in cluye en la sem irrecta. Por ejem plo, escribam os de las tres formas anteriores «el conjunto de los números m ayores que 2 ». — I------- 1--------- 1-------- P-------- 1-------- 1-------- 1-------- 1-------- 1-------- 1------- h—> - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 jc e R

tales que 2 < x (m ediante expresión algebraica)

x E (2. +oc) (m ediante intervalos) • Sem irrecta cerrada: el extrem o se in cluye en la sem irrecta. Por ejem plo, escribam os de las tres form as anteriores «el conjunto de los números menores o iguales que 2 ».

OBSERVA

— I------ 1--------- 1-------- 1-------- 1------- 4------- 1------- 1— - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

El infinito siempre va colocado junto a un paréntesis.

x E IR tales que x < 2 (m ediante expresión algebraica) x E (—oo, 21 (m ediante intervalos) FJFRCICIOS RESUELTOS___________________________________ 1. Escribe de las otras dos formas que conoces. ¿ J ^ e R tales que x > 3

c) H -- P— 4----- 1----- 1-----f - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1

d) -H----- 1----- 1---- 4---- 1-----!----- 1----- 1-----H - 3 - 2 -1

0

1

2

3

4

5

a) Se trata de una semirrecta, (3, +oo), cuya representación en la recta es H— I— I— P— I— I— I— I— I— K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b) Son los x E R tales que —1 < x < 7, que se corresponden con H-----1---- 4---- 1---- 1--------1 1 1 1 1 P--1--- b—3 —2 —1 0 1 2

3

c ) Se trata

4

5

6

7

8

9

del intervalo (—5, —4 ], o de forma algebraica los x e R tales que —5 < A"< d) Es la semirrecta (—oo, 0], o de forma algebraica los x e R tales que x < 0.

—■4.

EJERCICIOS_____________________________ 25. « o o Escribe el intervalo [- 2 , 3) y la semirrecta (-oo, 11 en forma de expresión algebraica. 26. # o o Representa en la recta numérica el intervalo (- 3 , 01 y la semirrecta ( - 4 , +oo).

27. @®o Cl Escribe un intervalo abierto de longitud 0,5 que contenga al número n. Ahora escribe otro de longitud 0,1. Por último, escribe un intervalo que lo contenga y tenga longitud 0,001.

S aber m ás Operaciones con intervalos: unión e intersección

OBSERVA

La unión consiste en juntar, en u n ir los intervalos que se operan. [ - 1 , 0) U (3 ,5 )

[ - 3 ,5 ] U [3 ,6 ) = [ - 3 ,6 )

—♦------- O--- 1---------i------ O------ 1------ O—

—♦------ 1---------1------- 1------ 1-------- 1------ *------ 1------ ♦—

-1

-3

0

3

5

0

3

5

o—

6

La intersección consiste en seleccionar la parte com ún a los intervalos que se operan. (3,8 ) n (4 ,9 )

Para hacer referencia a números aislados y no a intervalos completos, emplearemos la notación {}. Así, hacer referencia a los números reales 2 y 5, lo escribiremos {2, 5}.

(4, 8 )

—I-----1----- i---- O------ 1---- 1----- 1----- 1----- O------1—

0

3

8 9

__

—

—I--- 1--- 1-- 1---- O-- 1--- 1--- 1--- 1—o0 1

4

0

-O--- 1--- 1--- 1---O---h 4 8

9

Entorno Existe una tercera forma de representar un conjunto de núm eros reales: por m edio de entornos. Un entorno de radio r y centro c es el conjunto de núm eros reales que distan de c m enos de r unidades. Se denota E(c, r), donde c y r son núm eros reales, siendo r positivo. E(c, r) = (c —r, c + r) E( 2 ,5 ) representa a los núm eros reales que distan del 2 menos de 5 unidades. < 5 unidades < 5 unidades % I | | | i , | | | t -3 0 2 7

Equivale al intervalo ( - 3 ,7 ) .

Un entorno reducido de centro c y radio r es el entorno de m ism o centro y radio del que hem os elim inado su centro. Se denota E*(c, r ) con c y r núm eros reales siendo r positivo, y se verifica: E'{c, r ) = E(c, r) —{c} < 2 unidades < 2 unidades , r , j, , l , -5 - 3 - 2 -1 0

£ * (-3 ,2 ) = E { - 3 ,2 ) - { -3 } = ( - 5 , - 3 ) U ( - 3 , - 1 ) = ( - 5 , - 1 ) - { -3 }

EJERCICIOS__________________________________________________________________________ 28. # o o Realiza las siguientes operaciones con inter­ valos:

30. o©© Escribe, si es posible, en forma de entorno los siguientes intervalos:

a; [-2 ; 3) U (-2 ,5 ; 5)

c) [-2 , 6] n (3, 7)

a) [0, 2]

b ){-2 , 5)U(4, 6)

d) (6; 8) n (7,5; 9)

ó;

(-2 ,5 ; 3,75)

c) (9, 1 1 )-{9 ,5 } 29. « « o Escribe en forma de intervalo los entornos que se dan a continuación:

a ) E (-2 ,5 )

c)E( 1,1)

b) E’(2, 3)

d) F (0; 0,5)

d) (-5 , 7) —{1} e ) (-8 , —2) U (—2, 0) f) (—5, 2) U (2, 9)

S íntesis

NUMEROS

Concepto

Naturales, enteros, fraccionarios y decimales exactos o periódicos

Representación

Números racionales Tipos Exacto decimales 2,5

Periódico puro 1.3

Decimales y fracciones Fracción generatriz Concepto

1

tS

Números reales

fZ

0

Aproximaciones y errores

2 3 1 5 -2 3 1 900

2084 900

Raíces no exactas, decimales no periódicos

Representación

Números irracionales

119

3-

25 10

Periódico mixto 2,315

1 2

37T

4

Truncamiento

Redondeo

3,25 ^ 3,2

3,25 % 3,3

E = 13,25 —3,21 = 0,05

E = 13,25-3,31 = 0,05

£ ' = y ^ = 0 -015

£ ' = T B " = 0,015

Abiertos

(- 3 ,2 )

Cerrados

[ - 2 ,5 ]

Semiabiertos o sem ¡cerrados

(- 2 ,3 ]

-Ó —

-3

-2

H----- 1---- 0 0 2

b

H— I— I— h 0

-3 < x < 2

-2 < x