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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS OBJETIVOS 1) Analizar la aplicación de la trigonometría, en el avance científico y tecnológico de la humanidad.

CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Aportes de la trigono- Interpretación de la informetría en el desarrollo mación detectada en divercientífico y tecnológico. sas fuentes de información, acerca de la utilización de la trigonometría en el desarrollo de las ciencias y la tecnología.

2) Representar ángulos en posición estándar, a partir de arcos medidos en radianes.

Ángulos en posición estándar (normal). Lado inicial y lado terminal de un ángulo. Concepto de radián. Ángulos determinados por arcos de medidas: π rad, 2π rad, π rad,

VALORES Y ACTITUDES Valoración de los aportes generados por la trigonometría en el desarrollo social.

APRENDIZAJES POR EVALUAR Explicación de la utilización de los conceptos relacionados con la trigonometría, en los avances científicos y tecnológicos.

Interés por los elementos del Explicación de síntesis de ambiente social, información que da a cono- cultural y natural. cer el uso de la trigonometría en el desarrollo de las ciencias y la tecnología.

2 3 π rad, 1 π rad, 3 π 2 4 4 rad, 1 π rad, 5 π rad, 6 6

1 π rad , 3 2 3

π rad y 0 rad.

Reconocimiento de ángulos que están en posición estándar e identificación de su lado inicial y de su lado terminal. Representación de ángulos en posición estándar (normal) cuyo lado terminal se encuentra en alguno de los cuatro cuadrantes del sistema de coordenadas cartesiano. Construcción del concepto de radián, a partir de la relación dada entre el radio, arco y ángulo correspondientes, en una circunferencia.

Confianza en sí mismo ante la resolución de problemas matemáticos.

Tolerancia hacia sus compañeros, en la realización de trabajos grupales.

Representación de ángulos en posición estándar a partir de arcos medidos en radianes.

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OBJETIVOS Continuación... 2) Representar ángulos en posición estándar a partir de arcos medidos en radianes.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS Formulación de las posibles medidas y ubicación en el círculo, de arcos y de ángulos en posición estándar.

VALORES Y ACTITUDES

APRENDIZAJES POR EVALUAR

Representación de ángulos y arcos en un sistema de coordenadas con una circunferencia con centro en el origen del sistema. Verificación de la relación 360° = 2π radianes, utilizando el concepto de radián.

Expresión de medidas de ángulos en grados y en radianes.

3) Expresar la medida de un ángulo en grados o en radianes.

Medida de un ángulo en grados o en radianes.

4) Determinar ángulos definidos en la circunferencia trigonométrica.

Formulación de caracterís- Respeto por las Circunferencia trigoDeterminación de ángulos ticas de la circunferencia conjeturas nométrica. definidos en la circunfeformuladas por los Centro, radio, ángulos. trigonométrica. rencia trigonométrica. compañeros. Ubicación de ángulos, Ubicación del lado terminal

Participación respetuosa en la exposición de las ideas, al trabajar con los compañeros.

Formulación de equivalencias entre los grados y los radianes, utilizando diferen- Valoración de la tes estrategias. importancia de relacionar datos Resolución de ejercicios en numéricos y estique debe expresar la memaciones en sidida de un ángulo dada en tuaciones de la radianes, en grados, y vivida cotidiana. ceversa.

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OBJETIVOS

CONTENIDOS en posición estándar, positivos y negativos, de cualquier medida, en la circunferencia trigonométrica. Ángulos que definen los cuadrantes (cuadrantales), determinados por arcos de medida: a. 90° + 360° k , con k ∈ZZ. b. ½ π + 2k π rad, con k ∈ZZ. c. 180° + 360° k , con k ∈ZZ. d. π + 2k π rad, con k ∈ZZ. e. 270° + 360° k , f.

con k ∈ZZ 3/2 π + 2k π rad, con k ∈ZZ.

Ángulos coterminales. Ángulo de referencia.

PROCEDIMIENTOS de un ángulo de cualquier medida, en el respectivo eje o cuadrante. Identificación de las medidas, en los intervalos ]0°, 360°[ y ]0, 2π[ , que debe tener un ángulo para que sea considerado ángulo cuadrantal, y generalización de estas medidas en IR. Identificación de las condiciones que hacen que uno o varios ángulos sean coterminales. Determinación del ángulo de referencia de ángulos dados.

VALORES Y ACTITUDES

Actitud crítica ante hábitos que reflejen la vivencia de los derechos humanos, la conservación ambiental, la salud y la actitud crítica hacia las estrategias de resolución de ejercicios matemáticos.

APRENDIZAJES POR EVALUAR

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OBJETIVOS 5) Analizar la función seno y la función coseno de acuerdo con su criterio, su dominio y su codominio.

CONTENIDOS Función coseno y función seno: Criterio, dominio, codominio y ámbito. f: IR [-1,1] f(α) = cos α = x f: IR [-1,1] f(α) = sen α = y Imágenes mediante la función seno y función coseno, de los siguientes valores ( en grados y en radianes): 0, π 3π , ± 2π , ± , ±π , ± 2 2 π 3π 5π 7π ± ,± ,± ,± 4 4 4 4 π 2π 4π 5π ,± , ± ± ,± 3 3 3 3 π 5π 7π 11π ,± ± ,± ,± 6 6 6 6 .

(Continuación)

PROCEDIMIENTOS Exploración, en diversas fuentes informativas, acerca de situaciones del entorno que se pueden modelar mediante las funciones seno o coseno. Explicación de información que da a conocer situaciones del entorno que se pueden modelar mediante las funciones seno o coseno.

VALORES Y ACTITUDES Valoración de elementos del ambiente social, cultural y natural. Espíritu crítico hacia los datos relacionados con la deforestación, contaminación ambiental, entre otros.

Valoración de la Definición de las funciones conservación del ambiente y de los seno y coseno. recursos que este le proporciona. Cálculo de los valores senα y cosα, cuando α es igual a 3π 5π 2π 11π ,± ,± ,± ± , me2 4 3 6 diante: € Utilización de ángulos de referencia en la circunferencia trigonométrica.

€ Aplicación de fórmulas.

Disposición para

APRENDIZAJES POR EVALUAR Análisis de la función seno y la función coseno, de acuerdo con su criterio, su dominio y su codominio.

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OBJETIVOS

CONTENIDOS

5) Analizar la función seno y la función coseno de acuerdo con su criterio, su dominio y su codominio.

PROCEDIMIENTOS € Triángulos especiales. € Uso de la calculadora.

VALORES Y ACTITUDES atender lineamientos del docente en la resolución de tareas.

APRENDIZAJES POR EVALUAR

Cálculo de senα y cosα para los otros valores daConfianza en el dos en el contenido, utilizando cualquier estrategia. trabajo escolar que realiza, tanto indiJustificación de la vidualmente como variación en el signo de las con los compañeimágenes obtenidas, tanto ros. para la función seno como para la función coseno. Análisis de características de las funciones seno y coseno, tales como: € La imagen de un valor α mediante la función seno o coseno, no puede ser menor que –1 ni mayor que 1. € La representación gráfica de la función seno, interseca el eje de ordenadas en el punto (0,0) y la de la función coseno en el punto (0,1).

6) Analizar la Función tangente: función tangente criterio, dominio, co-

Exploración en diversas fuentes informativas, acer-

Reflexión al observar datos

Análisis de la función tangente de acuerdo con su

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OBJETIVOS CONTENIDOS de acuerdo con dominio y ámbito. su criterio, su dominio y su Imágenes, mediante la función tangente, de codominio. los siguientes valores (en grados y en radianes): 0, ± π ,±2π , π 3π 5π 7π ±

,± ,± 4 4 4 π 2π 4π 5π ± ,± ,± ,± 3 3 3 3 ±

4

π

6

,±

,±

5π 7π 11π ,± ,± 6 6 6

PROCEDIMIENTOS ca de situaciones del entorno que se pueden modelar mediante la función tangente. Explicación de información que da a conocer situaciones del entorno que se pueden modelar mediante la función tangente.

Valoración de la conservación del ambiente y de los recursos que este proporciona.

Definición de función tanInterés y empeño gente. por aplicar sus destrezas en la Cálculo de la imagen mebúsqueda de diante la función tangente de los valores descritos en explicaciones lógicas. el contenido. Análisis de la variación en el signo de las imágenes obtenidas para la función tangente. Análisis de características de la función tangente, tales como: - El dominio de la función tangente es

(Continuación) 6) Analizar la función tangen-

VALORES Y ACAPRENDIZAJES POR TITUDES EVALUAR relacionados con criterio, su dominio y su codominio. la deforestación, contaminación ambiental, entre otros.

IR - { t∈ IR / t = con k ∈ ZZ

π + kπ }, 2

Criticidad en el análisis de la información proveniente de diversas fuentes.

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OBJETIVOS te…

7) Analizar la información que proporcionan el criterio y la gráfica de las funciones seno, coseno y tangente, que modelan relaciones de la cultura cotidiana y sistematizada.

(Continuación) 7) Analizar la información…

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS - El ámbito es IR. - La representación gráfica interseca el eje de ordenadas en el punto (0,0).

Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente: periodicidad, intervalos de monotonía, intersección con los ejes cartesianos, puntos de discontinuidad.

Representación, en un sistema de ejes cartesianos, de los puntos correspondientes a los valores obtenidos en los objetivos 6 y 7, para cada una de las funciones seno, coseno y tangente. Trazado de las curvas correspondientes. Identificación de los intervalos de monotonía, las intersecciones con los ejes cartesianos, los puntos de discontinuidad (en la función tangente), en cada una de las funciones graficadas.

VALORES Y ACTITUDES

Disposición para ayudar a sus compañeros. Espíritu crítico ante la información obtenida de profesionales en ejercicio y la ofrecida por su profesor. Valoración de elementos del ambiente social, cultural y natural.

Adquisición de hábitos que Reconocimiento de la periodicidad de las funciones reflejen la vivencia trigonométricas estudiadas. de los derechos humanos, la Exploración, con profesio- conservación ambiental, la nales (como ingenieros), salud y la sobre problemas sexualidad. específicos que pueden ser analizados a través de

APRENDIZAJES POR EVALUAR

Análisis de la información obtenida del criterio y la gráfica de cada una de las funciones trigonométricas estudiadas.

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OBJETIVOS

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS gráficos de las funciones trigonométricas.

VALORES Y ACTITUDES

APRENDIZAJES POR EVALUAR

Análisis de problemas que se refieren a situaciones de aplicación práctica de las funciones trigonométricas estudiadas. 8) Aplicar la relación de reciprocidad de las funciones secante, cosecante y cotangente, con las funciones coseno, seno y tangente, en la comprobación de identidades trigonométricas.

(Continuación) 8) Aplicar la relación …

Relación recíproca de las funciones secante, cosecante y cotangente con las funciones coseno, seno y tangente. Comprobación de identidades.

Explicación del concepto de elemento recíproco. Reconocimiento de las funciones secante, cosecante y cotangente como recíprocas del coseno, seno y tangente, respectivamente. Reconocimiento de las identidades trigonométricas. Explicación de procedimientos que pueden ser utilizados para comprobar identidades que requieran de la relación establecida entre las funciones mencionadas. Aplicación de las relaciones recíprocas estudiadas, en la comprobación de

Interés y empeño por aplicar sus destrezas en la búsqueda de explicaciones lógicas.

Aplicación de la relación de reciprocidad de las funciones secante, cosecante y cotangente con las funciones coseno, seno y tangente, en la comprobación de identidades trigonométricas.

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OBJETIVOS

CONTENIDOS

9)Analizar equivalencias de expresiones trigonométricas.

Relaciones trigonométricas fundamentales: 2 2 • sen θ + cos θ = 1 2 2 • 1 + cot θ = csec θ 2 2 • tan θ +1 = sec θ • sen(-θ) = -senθ • cos(-θ) = cosθ • tan(-θ) = -tanθ Relaciones para ángulos complementarios.

PROCEDIMIENTOS identidades trigonométricas.

VALORES Y ACTITUDES

Valoración de Comprobación de las relaciones trigonométricas elementos del detalladas en el contenido. ambiente social, cultural y natural. Análisis de procedimientos utilizados para establecer las relaciones trígonométricas fundamentales.

APRENDIZAJES POR EVALUAR

Análisis de equivalencias de expresiones trigonométricas.

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OBJETIVOS 10) Demostrar identidades trigonométricas.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

Identidades trigonométricas en las que, para su verificación, se requiera de la aplicación de las identidades fundamentales descritas anteriormente y de las identidades: ¾ tanθ = sen θ cos θ

Reconocimiento de identidades trigonométricas. Formulación de hipótesis sobre el proceso para comprobar las identidades.

VALORES Y ACTITUDES Perseverancia en la búsqueda de estrategias y procedimientos.

Respeto por la convivencia escolar, manifestando equidad de ¾ cot θ = cosθ género con sen θ personas de Planificación de la diferente sexo, demostración de ¾ sec θ = 1 etnia, edad, credo, identidades cosθ clase social y con trigonométricas. necesidades 1 Aplicación de identidades educativas ¾ csc θ = , sen θ trigonométricas, en la reso- especiales. lución de ejercicios en que además de la utilizadebe demostrar otras idención de procedimientos tidades trigonométricas. aritméticos y algebraicos sencillos. Reconocimiento de las herramientas aritméticas o algebraicas necesarias para comprobar identidades trigonométricas.

APRENDIZAJES POR EVALUAR Demostración de identidades trigonométricas.

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OBJETIVOS 11) Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas, como solución de ejercicios y problemas provenientes de la cultura cotidiana y sistematizada.

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS

Ecuaciones trigonomé- Indagación en diversas tricas. fuentes informativas, acerca de la necesidad de reResolución de ecuasolver ecuaciones trigonociones trigonométricas métricas en la solución de sencillas en el interva- problemas relacionados con la vida cotidiana. lo [0, 2π[. Descripción del concepto de solución de una ecuación trigonométrica. Interpretación del proceso seguido para resolver una ecuación trigonométrica. Justificación de las herramientas usadas para resolver una ecuación trigonométrica. Resolución de ecuaciones trigonométricas. Resolución de problemas que requieren la solución de ecuaciones trigonométricas.

VALORES Y ACTITUDES Interés por analizar información proveniente de diversas fuentes. Orden al relacionar datos numéricos y estimaciones en situaciones de la vida cotidiana.

APRENDIZAJES POR EVALUAR Resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas, como solución de ejercicios y problemas provenientes de la cultura cotidiana y sistematizada.