Interpretación geométrica de la derivada El matemático francés Pierre de Fermat (1601 – 1665) al estudiar máximos y mínimos de ciertas funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máximo o un mínimo, la tangente a ella debe ser horizontal. y Esto lo condujo al problema de definir con precisión el concepto de recta tangente a un curva.

x

Suponer que una recta es tangente a una curva en un punto si la corta sólo en ese punto (como lo sugiere el comportamiento de las tangentes a una circunferencia) es falso, como vemos en los ejemplos que siguen) r

Q

P

P

La recta r corta a la curva en P, pero no es tangente en P.

La recta r corta a la curva en otro punto (el Q) y es tangente en P. Para que la recta r sea tangente a la curva en el punto P, es necesario que pase por P pero no es suficiente, es necesario además conocer su dirección, es decir, su pendiente. Para obtener la dirección de esa recta a una curva en P, vamos a comenzar considerando las pendientes de las rectas secantes que pasen por P y por otro punto Q que vamos a ir moviéndolo sobre la curva, acercándose al punto P. y

y Q

y

P

Q

Q' P

x

x

x

y

y

x

x

y

La pendiente de la recta que pasa por P y Q está dada por la

 y . A medida que el punto Q se va acercando al x punto P, el  x se va haciendo cada vez más chico, fórmula

P

llegando a tender a cero cuando la pendiente de la recta tiende a una posición límite que es la de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P. Decimos entonces que la pendiente de la recta tangente por el punto P es: x

1

m = lím

x  0

y f ( x   x)  f ( x) = lím = fórmula que corresponde a la de la derivada de una función f x  0 x x

en un punto. Si las coordenadas del punto P son ( x1 ; y1), la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P será f ‘ (x1), es decir el valor de la derivada de la función en x = x1. Por lo tanto la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual al valor de la derivada de la función en ese punto. Y la ecuación de la recta tangente es f(x) = f ‘ (x1) x + b. ¿Existe siempre la derivada de una función en un punto? Como la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto, no existirá derivada de una función en aquellos puntos donde el gráfico no tenga tangente o bien la tenga pero que sea vertical. Ejemplo 1 Si queremos buscar la tangente a la curva en el punto P, vemos que el límite de las secantes es diferente según nos P acerquemos a P por la izquierda o por la derecha. Podría decirse que la curva tiene una tangente a P por la derecha tangente por la izquierda y otra por la izquierda. Pero la tangente en P no existe. La derivada en P no existe. tangente por la derecha

Ejemplo 2 f(x) = x

Esta función está formada por dos rectas, una creciente, de ecuación f(x) = x y otra decreciente, de ecuación f(x) = -x. Por lo tanto para todos los x positivos, la tangente es 1, que es la pendiente de la recta f(x) = x. Para todo valor de x negativo, la tangente es –1, que es la pendiente de la recta f(x) = -1. ¿Qué pasa en x = 0?. Tenemos que por la derecha hay una tangente y por la izquierda otra diferente, por lo tanto la derivada de f(x) = x en x = 0

 x si x  0  x si x  0 f ( x)  1 . En cambio el lím x  0 f ( x)  1 . Al tener distintos límites

no existe. Se puede escribir la definición de módulo: x   Por lo tanto si hallamos lím x  0 

laterales, decimos que la función no tiene límite en ese punto. Ejemplo 3 Consideremos la función f(x) = x que está definida para los reales mayores o iguales a 0. La recta tangente por la derecha es vertical. La pendiente de esa recta el igual a la tangente de 90º (que es el ángulo que forma con el eje de las x). Como la tangente de 90º no existe, derivada no existe en x = 0.

tangente vertical

Ejercicios 1) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función f(x) = x2 en el punto de abscisa igual a 1. Sabemos que la ecuación de una recta responde a la fórmula f(x) = m x + b , donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen. Como dijimos que la pendiente de la recta tangente (es decir m) en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto, vamos a hallar la fórmula de la derivada de la función. 2

f ‘ (x) = 2x Como queremos saber cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 en x = 1, hallamos f ‘ (1) = 2 . 1 f ‘ (1) = 2 P Es decir que m = 2. En la fórmula de la recta f(x) = mx + b, conocemos m y conocemos un punto perteneciente a la curva y a la recta, que es el punto de tangencia. Sabemos que x = 1, para hallar la imagen de 1, tengo que reemplazar en la fórmula de la parábola (la fórmula de la recta todavía no la tengo). Hallamos entonces f(1) = 12 = 1. Por lo tanto las coordenadas del punto P son (1; 1). En la ecuación de la recta reemplazamos a x por 1 y a f (x) por 1 y nos queda: f(x) = m x + b 1=2.1+b 1–2=b -1 = b Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2 en el punto x = 1 es f(x) = 2x – 1 Trabajo práctico

Problemas interpretación geométrica de la derivada En todos los casos, graficar las rectas pedidas. 1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x2 + 2x, en x = 1 y en x = -1

2) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) =

x en x =

1 4

3) Hallar en punto del gráfico de la función f(x) = x2 + x + 1 en el que la recta tangente sea paralela a la recta f(x) = 3x – 7.

3

4) Hallar en punto del gráfico de la función f(x) = - 2 x2 + 2 x + 12 en el que la recta tangente sea perpendicular a la recta f(x) = - ½ x + 3

5) Hallar los puntos del gráfico de la función f(x) = x3 + 4 en el que la pendiente de la recta tangente sea igual a 3. Hallar las ecuaciones de dichas rectas.

6) Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la función f(x) =

 x3  4 en el punto de intersección 2

con el eje de abscisas.

7) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) =

2 en x = 2. x

4

8) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el origen y es paralela a la recta t, siendo t la tangente a s = -1. f(x) = x3 + 2 en

9) Dada f(x)

1 1 hallar los puntos de su gráfica donde la recta tangente tiene pendiente - . x2 9

5