Introducció a la Trigonometria 4t ESO

Índex:

pàg.

1. Unitats de mesura d'angles: graus i radians. ....................................... 3 2. Raons trigonomètriques bàsiques: sinus, cosinus i tangent. Definicions. .......................................................................................... 5 3. Relacions entre les raons trigonomètriques bàsiques. Relacions fonamentals. ........................................................................ 7 4. Resolució de triangles rectangles. ........................................................ 9 5. Ampliació del concepte d'angle. .......................................................... 11 6. Raons trigonomètriques d'angles de qualsevol amplitud. Circumferència goniomètrica. Signes de les raons. ............................. 13 7. Relació entre las raons trigonomètriques d'angles de quadrants diferents. ....................................................................... 15 8. Taula de valors. ................................................................................... 18 9. Exercicis de reforç. .............................................................................. 20 10.Exercicis d'ampliació. ......................................................................... 23

2

1. Unitats de mesura d'angles: graus i radians. Mesura en Graus (DEG): El grau és l'angle pla que, amb el vèrtex al centre d'un cercle, intercepta sobre la circumferència d'aquest cercle un arc de longitud 2πr/360. El seu símbol és: N°. Per tant, un angle complet (una volta, gir o revolució sencera) mesura 360°. Altres angles molt importants són: angle recte 90° i angle pla 180°. Un grau és igual a 60 minuts (1°=60´) i un minut és igual a 60 segons (1´=60´´). Mesura en radians (rad): El radian és l'angle pla que, amb el vèrtex al centre d'un cercle, intercepta sobre la circumferència d'aquest cercle un arc de longitud igual al radi. el simbolitzem per rad.

Equivalència entre graus i radians: La longitud d'una circumferència és 2πr, per tant, un angle complet mesura 2πr/r=2π rad, és a dir 360°=2π rad, o equivalentment 180°=π rad. Per tant, un radian equival, en graus, a 180/π, la qual cosa té un valor aproximat de: 1 rad = 57° 17´ 45´´ De la mateixa forma, tenim que un grau equival a π/180 rad, és a dir, lo que dóna un valor aproximat: 1°=0,017453... rad

3

Per tant, el factor conversió per passar de graus a radians és: radians a graus és:

π ; i per passar de 180°

°

180 . π

NOTA: si en fixem en una calculadora científica, observarem que per fer càlculs amb angles podem utilitzar diversos sistemes de mesura. Els principals són els graus i els radians, que apareixen a la pantalla amb les abreviatures DEG o D i RAD o R, les quals s'activen normalment amb la tecla MODE.

4

2. Raons trigonomètriques bàsiques: sin, cos i tan (tg). Definicions. Sobre un triangle rectangle, les raons trigonomètrics no són més que les raons de proporció que hi ha entre els seus catets i la hipotenusa. S'anomena sinus d'un angle a la raó entre el catet oposat i la hipotenusa. Es designa per:

sin x ⇒ sin x=

catet oposat hipotenusa

Per exemple, quan diem que

sin 30°=

1 (ja veurem perquè més endavant) 2

significa que en un triangle rectangle amb un angle de 30°, la hipotenusa és el doble del catet oposat, o lo que és el mateix que el catet oposat és la meitat de la hipotenusa. S'anomena cosinus d'un angle a la raó entre el catet contigu i la hipotenusa. Es designa per:

cos x ⇒ cos x=

catet contigu hipotenusa

5

S'anomena tangent d'un angle a la raó entre el catet oposat i el catet contigu. Es designa per:

tg x o tan x ⇒ tan x=

catet oposat catet contigu

Per exemple, en un triangle rectangle quan diem que tan 45°=1 no significa res més els dos catets estan en proporció 1, és a dir, els dos catets són iguals. Finalment, només comentar que existeixen les raons inverses del sinus, del cosinus i de la tangent, que s'anomenen, respectivament, cosecant ( cosec x ), secant ( sec x ) i cotangent ( cotg x ).

6

3. Relacions entre les raons trigonomètriques bàsiques. Relacions fonamentals. A partir de les definicions de les tres raons trigonomètriques tenim que:

y h x cos A= h y tan A= x sin A=

y tan A=

⇒

h sin A sin A = ⇒ tan A= x cos A cos A h tan A=

És a dir, la primera relació fonamental és:

y

sin A cos A

h

A

x

En el triangle rectangle, d'acord amb el teorema de Pitàgores, tenim que:

x 2 y 2 =h 2

 2

2

x y  =1 h h

També ho podem escriure com:

Finalment, aplicant les definicions trigonomètriques anteriors obtenim la relació fonamental (o relació pitagòrica):

cos 2 Asin2 A=1 sin2 A cos 2 A 1 A partir d'aquí podem fer, si cos A≠0 , , amb la qual  = cos 2 A cos 2 A cos2 A cosa obtenim: tan 2 A1=sec2 A De forma semblant, podem obtenir:

cotg 2 A1=cosec 2 A

Utilitzant aquestes relacions, i les obtingudes a partir de les definicions, podem calcular les raons trigonomètriques d'un angle si en coneixem una raó trigonomètrica qualsevol i també obtenir una infinitat d'altres relacions trigonomètriques. 7

Observem el quadre resum:

En qualsevol triangle rectangle es verifica que la hipotenusa és més gran que qualsevol dels catets. Per tant, com que el sinus i els cosinus d'un angle són la raó entre u catet i la hipotenusa, es compleix que:

– 1≤ sin α ≤1

– 1 ≤ cos α ≤1

En canvi, com que la tangent és el quocient entre els dos catets (entre el sinus i el cosinus), pot prendre qualsevol valor real:

tg α∈R

8

4. Resolució de triangles rectangles. Resoldre un triangle vol dir trobar els seus elements: els tres costats i els tres angles. Un triangle queda determinat quan es coneixen tres dels seus elements, dels quals un, com a mínim, ha de ser un costat, perquè si els tres elements coneguts fossin angles, resoldríem un qualsevol dels possibles triangles semblants. Quan es tracta de triangles rectangles, sempre es coneix un dels elements que és l'angle recte. Així, ens podem trobar quatre casos de resolució de triangles rectangles: a) Es coneixen la hipotenusa i un catet. b) Es coneixen els dos catets. c) Es coneixen la hipotenusa i un angle. d) Es coneixen un catet i un angle. La nomenclatura utilitzada amb els triangles, normalment és la següent (essent A l'angle recte en el cas dels triangles rectangles): B

a c

C

A

b

Cas a) Dades a i b; incògnites c, B i C. Càlcul de B:

sin B=

Càlcul de C: C=90°-B. Càlcul de c:

cos B=

b −1 b i amb la calculadora científica B=sin . a a

c a

⇒ c=a⋅cos B o també c= a 2 −b 2

Cas b) Dades b i c; incògnites a, B i C. Càlcul de B:

tg B=

b −1 b i amb la calculadora B=tg . c c

Càlcul de C: C=90°-B. Càlcul de a:

a= b 2 c 2 o també sin B=

b a

⇒

a=

b sin B

9

Cas c) Dades a i B; incògnites b, c i C.

b a c Càlcul de c: cos B= a Càlcul de b:

sin B=

⇒ b=a⋅sin B ⇒ c=a⋅cos B

Càlcul de C: C=90°-B. Cas d) Dades b i B; incògnites a, c i C.

b b ⇒ a= a sin B b b ⇒ c= Càlcul de c: tg B= c tg B Càlcul de a:

sin B=

Càlcul de C: C=90°-B. Observem el quadre resum:

10

5. Ampliació del concepte d'angle. La interpretació geomètrica de l'angle com una regió plana només permet expressar angles més petits o iguals a 360°.

Suposem que un mòbil es desplaça en una circumferència de radi r partint de A i girant en sentit contrari a les agulles d'un rellotge. Per exemple, podem imaginar el moviment d'una de les cistelles d'una sínia de fira. Aleshores. * si el mòbil s'atura a P, l'arc recorregut és AP i l'angle corresponent és α. * si el mòbil no s'atura a P, continua girant, passa per A i s'atura la segona vegada que passa per P, el camí recorregut és una volta sencera més l'arc AP i l'angle final seria altre cop α, però havent descrit abans una angle complet. * si el mòbil fa k voltes abans d'aturar-se a P, l'angle descrit seria k angles complets més l'angle α. En aquests dos últims casos no té sentit parlar de sector circular. Però si que podem comparar el camí descrit amb l'arc que determina un radian: el quocient entre l'arc descrit pel mòbil i l'arc d'un radian ens dóna la mesura en radians de l'arc descrit pel mòbil. Així, per exemple, dues voltes equivalen a 4π rad o, fent la conversió, 720°. Prenent el semieix positiu com a origen dels angles, quan el gir és en el sentit contrari a les agulles del rellotge se'n diu sentit positiu; i sentit negatiu quan el gir és en el sentit de les agulles del rellotge. Per acabar, a tall d'exemple, com es calcula l'angle més petit que 360° corresponent a 7210°? Si fem la divisió entera, obtenim: 7210°=20·360°+10° Això significa que l'angle 7210° correspon a donar 20 voltes més un angle de 10°, i tot això en sentit positiu. Si fos en sentit negatiu escriuríem: -7210°=20·(-360°)+(-10°) la qual cosa significaria que hem donat 20 voltes en el sentit de les agulles del rellotge i, a més, un angle de 10° en el mateix sentit. 11

Observeu el diagrama resum:

Els eixos de coordenades divideixen la circumferència en quatre parts, que com sabem s'anomenen quadrants, que com podem comprovar al gràfic, els angles divisoris corresponents són: 0°=0 rad 90°= π/2 rad 180°= π rad 270°= 3π/2 rad

12

6. Raons trigonomètriques d'angles de qualsevol amplitud. Circumferència goniomètrica. Signes de les raons trigonomètriques. Es tracta de generalitzar la definició de raó trigonomètrica a angles no aguts. Per això observem la figura següent i recordem que les raons trigonomètriques no varien sobre triangles semblants, per la qual cosa podem considerar la circumferència de radi 1, la qual rep el nom de goniomètrica:

Tenint en compte les definicions de les raons sobre un triangle rectangle, a partir de la figura deduïm que les coordenades del punt P són: (x,y)=(cos α,sin α) i si la circumferència tingués radi r, aleshores, les coordenades serien:

sin α=

ordenada y = radi r

cos α=

abscissa x = radi r

tg α=

ordenada y = abscissa x

Això ens permet fer una extensió de les definicions de les raons trigonomètriques d'un angle agut a un angle qualsevol, donat que les raons trigonomètriques no depenen del valor del radi de la circumferència escollida.

13

Per tant, per a un angle qualsevol α, la definició de les raons trigonomètriques és la següent:

El signe de les raons trigonomètriques es calcula fàcilment si sabem el quadrant en què es troba l'angle, ja que aleshores sabem el signe de l'ordenada i el de l'abscissa (el radi de la circumferència és sempre un valor positiu). Podem comprovar-ho al gràfic següent:

El signe de la resta de raons trigonomètriques s'obté a partir del signe del sinus i del cosinus.

14

7. Relació entre las raons trigonomètriques d'angles de quadrants diferents. En aquest apartat anem a veure les relacions existents entre les raons trigonomètriques de dos angles que presenten alguna propietat entre ells. Aquest estudi permet reduir qualsevol angle a un altre que es trobi al primer quadrant. En primer lloc cal recordar algunes definicions: Angles complementaris són els angles que sumen 90° o π/2 rad. Angles suplementaris són els angles que sumen 180° o π rad. Angles oposats són els angles que sumen 0° o 0 rad o múltiples enters de l'angle complet. Raons trigonomètriques d'angles complementaris ( α i 90°– α): Els triangles OEC i OAB de la figura són iguals perquè tenen la hipotenusa i els seus angles iguals.

D

C B

1 90-α O

α

E

A

D'això se'n dedueix:

sin90°−α=

CE OA = =cos α OC OB

cos 90 °−α=

OE AB = =sin α OC OB

Finalment:

tg 90°−α=

CE AB 1 = = =cotg α OE OA tg α

15

També es pot deduir a partir d'un triangle rectangle; observa la figura:

Raons trigonomètriques d'angles suplementaris ( α i 180°– α): Sobre la circumferència unitat, està clar que, per simetria, els dos triangles rectangles de la figura són iguals; aleshores:

sin180°−α= y=sin α tg 180 °−α=

cos 180 °−α=−x=−cos α y y =− =−tg α −x x

16

Raons trigonomètriques d'angles que difereixen 180° (α i 180°+ α): Observem la figura

Els dos triangles rectangles són iguals perquè tenen iguals la hipotenusa (radi) i els seus angles. A partir d'això deduïm:

sin180°α=− y=−sin α tg 180 °α=

cos 180 °α=−x=−cos α −y y = =tg α −x x

Raons trigonomètriques d'angles oposats ( α i –α o 360°–α): Donat que els triangles rectangles OBC i OAC tenen la mateixa hipotenusa i els mateixos angles, són iguals. Per tant: B 1 O

α -α

A A C

sin−α=

CA −AB = =−sin α OC OB

cos −α= tg −α=

OA OA = =cos α OC OB

CA − AB = =−tg α OA OA

17

8. Taula de valors. Si dividim un angle recte en dos o tres parts obtenim els angles de 45°, 30° i 60°; aquests angles també apareixen a l'escaire i al cartabó. La calculadora ens dóna les raons trigonomètriques de qualsevol angle, però en la majoria de casos són aproximacions. Anem a trobar els valors exactes de les raons trigonomètriques dels angles anteriors per tal de construir una taula de valors. Raons trigonomètriques de l'angle 45°: La meitat d'un quadrat ens dóna un triangle rectangle isòsceles com el de la figura, i, per tant, amb angles de 45°. Aleshores.

c 2 =a 2a 2 =2a 2

⇒

c=a  2

Per tant,

a a 2 a cos 45°=sin 45 °= = = i tg 45 °= =1 c a 2 2 a Raons trigonomètriques dels angles 30° i 60°: La meitat d'un triangle equilàter ens determina un triangle rectangle com el de la figura i, per tant, tenim que c=2a. Aleshores:

c2 3 2 b =c −a =c − = c 4 4 2

2

2

2

⇒

3 b=  c 2

Per tant,

a a 1 sin 30°= = = c 2a 2

3 c

b 2 3 cos 30 °= = = c c 2

1 2 3 tg 30°= =  3 3 2

I, donat que 30° i 60° són angles complementaris:

cos 60°=

1 2

3 sin 60°=  2

tg 60°= 3

18

Raons trigonomètriques dels angles 90°, 180° i 270°:

A partir de les definicions de les raons per angles no aguts, si observem la figura tenim que: sin 90°= 1

tg 90°=1/0 ⇒ tg 90°=±∞

cos 90°=0

sin 180°= 0

cos 180°=-1

sin 270°=-1

cos 270°=0

tg 180°=0 tg 270°=±∞

D'aquesta manera, obtenim la següent taula:

graus

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

radians

0

π/6

π/4

π/3

π/2

π

3π/2

sin

0

1 2

2

3

1

0

-1

cos

1

3

2 2

1 2

0

-1

0

tg

0

3

1

3

±∞

0

±∞

2 3

2

2

Com exercici, es pot ampliar aquesta taula amb els angles de 30°, 45° i 60° traslladats als diferents quadrants.

19

9. Exercicis de reforç: 1. Calcula la mesura, en graus i radians, de cada un dels següents angles: a) L’angle d’un triangle equilàter. b) Els angles d’un rombe, un dels quals mesura 30°. 2. Utilitza la calculadora per a trobar x en cada un dels següents casos, determinant els angles aguts amb una precisió de segons i arrodonint les raons angulars a las mil·lèsimes: °

'

°

x=tan 35 10 ; cos x=0, 27 ; x=sin 75 ; x=cos

π ; sin x=0,8 ; tan x=7, 35 12

3. La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 13 cm, i un dels seus catets, 12 cm. Troba les raons trigonomètriques de l’angle oposat al catet menor i l’àrea del triangle. Fes un dibuix per explicar els càlculs realitzats. 4. Les rectes tangents a una circumferència des d’un punt exterior, que dista del centre 50 m, formen un angle de 48°. Donat que les rectes tangents són perpendiculars als radis en el punt de tangència, troba l’àrea del cercle. Fes un dibuix aproximat que t’ajudi en els càlculs. 5. Calcula el valor de les raons desconegudes (sin, cos i tan) de l’angle agut α en els següents casos: a)

sin α=0,8

b)

cos α=

1 3

c)

tan α=

4 3

6. Si x és un angle agut, simplifica tot el que sigui possible les següents expressions:

A=

1cos x 1−cos x ⋅ 1−sin x 1sin x

cos3 x sin3 x B= − sin x cos x

7. Les mesures, en metres, de les diagonals d’un rombe són proporcionals als números 6 y 8. Amb aquestes dades, troba els dos angles del rombe. Fes un dibuix que t’ajudi a resoldre el problema. 8. S’observa el punt més alt, D, d’un arbre des d’un punt, B, del terra, sota un angle de 30°. El punt B dista 18 m del peu, A, de l’arbre. Quina és la seva altura? A quina distància d del punt B en la línia AB hauríem de situar-nos per observar el punt D des de un punto C amb un angle de 20°?

20

9. En la figura, l’angle A és de 90°, i els segments AD y DC tenen la mateixa mesura. Són iguals els angles α i β? Raona la teva resposta.

10. En el paral·lelogram ABCD, calcula la mesura de la diagonal BD i l’àrea del paral·lelogram.

11. Expressa els següents angles com a suma d’un nombre enter de voltes i un angle menor que 360˚ o 2π rad: -940°

3.000°

17 π rad 3

-27π rad

12. Indica en quin quadrant estan situats cada un dels següents angles: 1780° -490°

22 π rad 5

−

80 π rad 7

13. En una circumferència de 20 m de radi, un arc mesura 65 m. Calcula en graus i radians l’angle central que li correspon. 14. Donats els angles α = 78˚, β = -260˚ i γ = 105°, indica en quin quadrant estan situats els següents angles:

A=5α−3β4γ

B=

3α β α−2γ − 4 6

15. Sense utilitzar la calculadora, calcula el valor exacte de las expressions:

A=3 sin 270 °4 tan 135°−2 cos300 ° B=2 sin 315°−tan 900 °3 cos 540° 2 3 1 C= 2 sin 135°  tan 240 °− cos 315 ° 3 2

21

16. Sabent que α és un angle agut, tal que trigonomètriques:

sin  180 −α 

sin  900 −α 

°

°

cos α=0,6 , calcula les següents raons tan  90 −α 

cos  180 α 

°

°

17. Amb l’ajut de la calculadora i utilitzant el mode angular en graus, troba, amb tres xifres decimals significatives, els valors de les següents raons trigonomètriques:

cos 385°

tan

18 π ° sin −2 .050  7

cos

13 π 3

18. Calcula el valor del sinus i el cosinus d’un angle del quart quadrant, la tangent del qual val

−

3 . Expressa les solucions en forma fraccionària. 4

19. Troba, sense fer ús de la calculadora, quins angles de la circumferència goniomètrica compleixen les següents condicions: a) El sinus val

−

1 2

b) El cosinus val

20. Troba els angles x tals que següents: a)

sin  2x60 =− °

1 2

3 2

c) La tangent val -1

0° ≤x≤360 ° , els quals verifiquen les igualtats b)

5x−40° tan =−1 2

22

10. Exercicis d’ampliació: 1. Sobre una circumferència de radi R, se consideren: a) Per un arc de longitud L=3 R, quant val, en graus, l’angle central que determina? b) Para un sector circular de superfície S=2R 2 , quant val, en graus, l’angle central que avarca? 2. Calcula l’altura de la muntanya de la figura, sabent que dos observadors situats en dos punts A y B, distants 500 metres entre si, observen el cim D sota angles de 30˚ y 42°, respectivament.

sin a⋅cos a tan2 a = cos 2 a−sin 2 a 1−tan 2 a

3. a) Comprova si és certa la igualtat: b) Simplifica tot el que puguis l’expressió:

cos3 asin a⋅cos 2 asin2 a⋅cos asin3 a 4. Les bases d’un trapezi isòsceles mesuren 24 y 16 cm, i l’angle que formen els costats no paral·lels és de 30˚. Troba el perímetre i l’àrea del trapezi, fes un dibuix que ajudi a aclarir la solució del problema. 5. En una circumferència de 3 metres de radio es dibuixa una corda AB, tal que l’arc definit mesura 5 metres. Determina la longitud d’aquesta corda i la distància al centre de la circumferència. 6. En un polígon regular, calcula en graus i radians, en funció del nombre de costats: a) La mesura de l’angle central i de l’angle interior. b) La suma dels angles interiors del polígon. Aplica els resultats anteriors al cas del dodecàgon. 7. Proba que si A, B i C són las mesures dels angles d’un triangle qualsevol, es verifiquen les següents igualtats:

sin A=sin  BC 

sin  2ABC =−sin A

23

8. Una torre de telefonia està subjecta en el seu extrem superior C por dos cables tensos AC i CB collats a terra formant angles de 40˚ i 55˚, respectivament, tal i com mostra la figura (les dades en metres). Troba l’altura h de la torre i els metres de cable que s’han necessitat per a subjectar-la.

9. Amb les dades que proporciona la figura, sabent que els segments BD y DC tenen la mateixa longitud, troba l’àrea del triangle BCD i l’angle α amb una precisió de segons.

10. Utilitzant procediments trigonomètrics, demostra el teorema de l’altura que diu: «En tot triangle rectangle, el quadrat de l’altura és el producte de les projeccions dels catets sobre la hipotenusa», o lo que és el mateix, que h 2=m⋅n , essent h, m i n les dades assenyalades en la figura.

11. A las tres en punt, las agulles d’un rellotge formen un angle recte. A quina hora tornaran a formar, per primera vegada, un angle recte?

24

12. Considera un triangle ABC, rectangle en A. Quina relació existeix entre las raons trigonomètriques dels seus angles aguts? És certa la igualtat tan B⋅tan C=1 ?: 13. Sigui α un angle qualsevol, per el que estan definides les tres raons trigonomètriques sinus, cosinus i tangent. Proba que es verifica la igualtat:

tan 2 α−tan2 α⋅sin 2 α=sin 2 α 14. Simplifica tot el que puguis les següents expressions:

    

  

5π π 3π 7π − x −sin x cos − x −sin x 2 2 2 2 cos x 1sin x π B= − , per a x≠ 1−sin x cos x 2

A=cos

15. Troba totes les solucions de les següents equacions trigonomètriques:

cos 4x=sin  x135  2 cos2 xsin x−1=0 °

16. D’un angle α, situat en el tercer quadrant, se sap que el seu cosinus és el triple que el seu sinus. Calcula amb exactitud, i sense necessitat de calcular el valor de l’angle α, les següents raons:

sin  180 −α  °

cos  2π−α 

tan  90 −α  °

cos  πα 

25