INTRODUCCIÓN A FUNCIONES POLINÓMICAS CURSO DE NIVELACIÓN FAMAF- 2016 Dra. Cristina Esteley

Introducción

En el curso de nivelación, con el segundo cuadernillo trabajado, se encontraron, entre otros, con expresiones algebraicas y ecuaciones de primer y segundo grado. Las expresiones algebraicas vinculadas a ecuaciones primer y segundo grado, se relacionaron luego con las funciones lineales y cuadráticas trabajadas en el cuadernillo que toma como idea central el concepto de función. Para avanzar en la comprensión de este concepto se introdujeron las nociones de dominio, imagen y gráfico de una función que relaciona elementos de dos subconjuntos de números reales. Estudiaron también diferentes desplazamientos y reflexiones en el plano del gráfico de funciones como recurso para graficar. Finalmente analizaron con detalles tres funciones particulares: funciones lineales, cuadráticas y trigonométricas. En todo ese cuadernillo debieron acudir a recursos numéricos, algebraicos y visuales ya tratados en el curso de nivelación. En ese sentido y, tomando aportes tanto de los conceptos como procedimientos de cálculos o análisis puestos en juego hasta ahora en el curso de nivelación o ya aprendidos en sus escuelas, se busca presentar y discutir ideas relativas a funciones polinómicas y funciones racionales. Cabe indicar que las funciones lineales y cuadráticas son casos particulares de funciones polinómicas mientras las funciones racionales se expresan como cociente polinomios. No se intenta avanzar en profundidad en el tema sino hacer una presentación, introducción y exploración de algunas de las principales ideas o nociones relacionadas con funciones polinómicas o racioanles. Estos son temas que profundizarán en los cursos de primer año o incluso en cursos posteriores. Por la naturaleza del tema, en todo momento habrá un constante entramado entre visualización, recursos algebraicos y nociones asociadas al concepto de función y gráfico.

UNA INTRODUCCIÓN A FUNCIONES POLINÓMICAS Como ya se señaló en cuadernillos anteriores, por medio de las expresiones algebraicas se pueden poder en evidencia relaciones expresadas entre letras que representan números. Ustedes ya han visto y trabajado con diversas expresiones algebraicas. Por ejemplo las siguientes son algunos ejemplos de expresiones algebraicas: 






.   ; . ℎ.  ;  − 6.   +  − 2; 7  − 4 (1) Si bien todas representan expresiones algebraicas, existen algunas diferencias entre ellas. Por ejemplo, mientras que en las dos primeras expresiones no se expresan sumas o restas, en la tercera y cuarta expresiones están explícitamente indicadas. Para distinguir tales expresiones, denominamos como monomios a las expresiones:   ; . ℎ por ser ellos un único término. Las dos últimas expresiones dadas en (1) en cambio, se denominan polinomios ya que ponen en evidencia varios términos, esto es dos o más monomios vinculados por una suma o una resta. En los dos últimos casos solo hay una variable: x. En ese caso, decimos que ambas son polinomios en una variable o en una indeterminada. La expresión general para un polinomio en una variable es una expresión de la forma:    +    +    + ⋯ +    +   +  Donde  ,  … .  ,  ,  son números reales dados y denominados coeficientes del polinomio, en particular a  se lo llama el término independiente del polinomio; x es la variable o indeterminada y n es un número natural. Es importante notar que cada    es un monomio y son los términos del polinomio. En particular. Si el término    del polinomio es el de mayor grado (que presenta el mayor exponente), diremos que n es el grado del polinomio. Si además, queremos expresar que una función P es una “función polinómica” escribiremos: () =    +    +    + ⋯ +    +   +  donde los  y n cumplen las mismas condiciones indicadas antes. Las funciones polinómicas tienen como dominio cualquier conjunto A⊆ ℝ e imagen algún conjunto B ⊆ ℝ Algunos ejemplos de polinomios o monomios: ) 4.   , es un monomio de grado 5 y su coeficiente es el número 4 $

&

#)  .   + 2.   + √7.  − 1 , es un polinomio de cuatro términos, de grado 5, con $

coeficiente principal igual a  y término independiente igual a -1



&

') − .   + 2.   + √3.   , no es un polinomio ya que el exponente del segundo  término no es un número natural Los dos ejemplos más conocidos por ustedes de funciones polinómicas son las funciones lineales y las cuadráticas.. En gen general, ral, la función lineal se representa por un polinomio de uno o de dos términos (binomio) binomio) y es de grado uno. Mientras que la función cuadrática se representa generalmente por un polinomio de uno o, a lo sumo tres términos (trinomio) ( de grado 2. Como tal vez recordar recordarán,, el proceso de graficar estas funciones, especialmente una función cuadrática, involucra un cierto trabajo. En el caso de lo loss polinomios de grado mayor a 2 ese proceso por una lado se complejiza y por el otro tiene similitudes con lo realizado con funciones cuadráticas cuadráticas. Consideremos ahora, dos ejemplos de polinomios sencillos y sus gráficas. Uno de ellos de grado 3 y el otro de grado 4. Ejemplo 1: Sea () =  . Para ayudarnos comencemos construyendo una tabla de valores. x () = 

-2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8 Tabla de valores para () = 

tomando solo cinco valores con fines ilustrativo

Gráfico de la función () = 

En el gráfico se pone en evidencia que el Dominio e imagen de () son todos los números reales. Tanto a partir del gráfico como la tabla o de la expresión de la función, podemos inferir que la misma se anula en x=0. Esto es, 0 es raíz de la función función. En n x=0 el gráfico

toca a eje x sin atravesarlo. Considerando onsiderando el gráfico de () =  , se puede observar que la función toma valores más grandes a medida que x crece, este aspecto también se observa en la tabla considerando rando los pocos valores tomados pero si agregan más valores de x y calculan los correspondientes de y podrán observar este hecho.

Si ahora uno considera las funciones () =  + 1 o +() = ( + 3) , podemos hacer uso de las transformaciones ya estudiadas e imaginar cómo serían los gráficos de esas funciones. ( ) =  + 1 y de +() = ( + 3)

Ejemplo 2 Gráficos de ()

Gráfico de la función ()) =  + 1

Gráfico de () = ( + 3)

¿Se comportaron lo gráficos en la forma que esperaba? Ejemplo 3 

De manera similar podríamos también graficar () =   , )() = 2.   o *() =    . En estos tres casos podemos anticipar que la función tiene como dominio todos los reales pero, o, por ser una potencia par, la imagen serán cero y todos los reales positivos. Relacionando esta función con la cuadrática, ppodemos también conjeturar onjeturar que se hace cero solo en x=0 y que el gráfico es simétrico respecto del eje y. Lo dicho es válido tanto para ( ) ya que en cada uno de los dos últimos casos los coeficientes () como para )() o *() dados no modifican el valor nulo ni el signo de la función original (estos es () =   ) Contrastemos lo esperado con los gráficos.

Gráfico de () =  

( ) = 2.   Gráfico de )()



Gráfico de *(() =  .  

En todos los casos, los gráficos cumplen con lo esperado y el efecto de los coeficientes 2 y  

sobre las ramas del gráfico es similar a lo que ocurría con la función cuadrática, cuadrática esto es

las ramas se cierran o abren más respectivamente respectivamente. Como el gráfico de P(x) no fue objeto de traslación en los tres gráficos Pareciera que en los ejemplos tratados, las dificultades para graficar no son importantes o al menos no tan importantes bajo ciertas condiciones condiciones. Desde luego, cuando se trabaja con polinomios cuyas expresiones son más complejas el proceso de graficar y el trabajo algebraico o analítico se complejiza.

Para avanzar en ideas y comprensión sobre el proceso para graficar funciones polinómica y reconocer algunas dificultades es que subyacen en tal proceso, consideremos el gráfico de un polinomio asociado a una expresión más compleja que las anterio anteriores:

() =   − 6 + 11  − 6

Gráfico de P(x)

A partir de la expresión algebraica dada, no se puede rápidamente predecir los cortes del gráfico con el eje x o la forma del gráfico. Vamos a ampliar el gráfico y agregar cuadrícula para tratar de obtener más información sobre el comportamiento de la función

Gráfico ampliado de P(x) y con cuadrícula visible

En función de este gráfico, podemos indicar que que: a) la imagen de P(x) es el conjunto de ) b) el grafico de todos los números reales mayor o igual a -1, esto es el intervalo ,−1, ∞), P(x) corta al eje y en el valor del término independiente (en este caso es cero); c) el gráfico

corta al eje x en x=0; x=1;; x=2 y x=3.. Tomando la noción de raíz trabajada para las ecuaciones lineal o cuadrática podemos afirmar que, 0; 1; 2; y 3 son raíces reales de la ecuación:   − 6 + 11  − 6 = 0 Pensando en lo trabajado con cuadráticas, si lográramos factorizar convenientemente el polinomio. De manera provisoria, esto es escribir cribir el polinomio original como producto de otros polinomios. En particular es convenientes factorizar de modo tal que fácilmente podamos al menos anticipar los cortes del gráfico de P(x) con el eje x y avanzar en otros análisis un poco más detallados detallado para 

 poder graficar. En particular  − 6 + 11 − 6 se puede escribir en forma factorizada del siguiente modo ( − 1)( − 2)( − 3) esto es equivalente a indicar que   − 6 + 11  − 6 = (( − 1)( − 2)( − 3). A partir de la expresión factorizada del polinomio dado, se hace evidente que el producto de las expresiones es cero si x=0; x=1; x=2 o x=3 ya que el producto es nulo si algunos de sus factores es nulo. Si bien existen procedimientos algebraico algebraicos y analíticos que nos permiten factorizar polinomios bajo ciertas condiciones condiciones,, ese trabajo excede lo propuesto para este curso de nivelación. A pesar de eso podremos avanzar con algunos problemas o ejercicios sobre Polinomios que les permitirán familiarizarse con ellos. Analicemos algunos ejemplos sencillos sencillos: Sean .() =   ; /() = (  − 4) ; 1(2) = 15( − 4) 4 5() = 15(  − 4) + 5 Las tres últimas funciones se construyen a partir de transformaciones sobre la primer función M(x). Cabe indicar que, si bien los polinomios asociados a las cuatro últimas funciones nes tiene asociada una representación algebraica sofisticada, escritos del modo en que así se presentan, teniendo a mano el gráfico de .() =   y apelando a las transformaciones sobre gráficos ya estudiadas es posible graficarlos. A continuación se presentan los gráficos de tales funciones y la expresión que adquiere el cada polinomio al desarrollar las expresiones indicadas arriba Gráfico de .(() =  

Gráfico de ( ) = ( − 4) /()

/() =   − 20  + 160 − 640  + 1280 − 1024

Gráfico de ( ) = 15( − 4) 1()

1() = 15  − 300 300  + 2400 − 9600  + 19200 − 15360 15360

Gráfico de 5() = 15( − 4) + 5 1() = 15  − 300 300  + 2400 − 9600  + 19200 − 15355 15355

Si bien con un avance más profundo en el trabajo algebraico con polinomios podrán explorar un mayor número de polinomios, las herramientas de las que disponen pueden ofrecerles un buen medio para analizar estas funciones.

EJERCICIOS 1Señale cuál de las siguientes expresiones son monomios. En caso de serlo indique el grado y coeficiente del mismo a) 8() = − 9 d) @() = 2 A ;

2-

b) :() = −3 <

e) B() = − 

c) =() = −30

f) 1() =



C D

Grafique: 

a) () =  > para  ∈ ,− −2, 2E 

b) )() = −    

c) *() =   > − 2 En todos los casos determine el conjunto imagen de las funciones dadas. 3Determine las raíces y conjunto imagen de los polinomios S(x) y K(x) a partir de la información presentada en los siguientes gráficos.

Gráfico de S(x)

Gráfico de K(x)

4- Determine las raíces de los siguientes polinomios a) F() =   ( + 5))( − 15) b) B() = ( + 2) ( − 6)

5- Tomando como referencia el gráfico de () =   dibujado anteriormente, grafique: a) +() = ( + 6) 

b) G() = ( + 6) 

c) )() = ( + 6) − 18

d) Determine las raíces de los polinomios dados en b) y c)

FUNCIONES RACIONALES Las funciones racionales se vinculan con expresiones algebraicas fraccionarias que se asemejan a las fracciones numéricas y se trabaja con ellas utilizando, en general, las mismas propiedades y técnicas empleadas con fracciones numéricas. De un modo general al se define a las funciones racionales R(x) como el cociente entre dos H(C)

polinomios: )() = I(C)

Para que esta expresión tenga sentid sentido o Q(x) debe ser no nulo.

Así, el dominio de una función racional es el conjunto