Introducci´ on a la F´ısica Experimental Gu´ıa de la experiencia Elasticidad por tracci´ on. Determinaci´ on de la constante el´ astica de un muelle. Departamento de F´ısica Aplicada. Universidad de Cantabria. Febrero 28, 2005

Tenga en cuenta que la lectura previa de esta gu´ıa y la comprobaci´ on de las ecuaciones le llevar´ a del orden de tres horas, incluyendo la consulta de las palabras clave, y que la lectura de la bibliograf´ıa espec´ıfica en ingl´es le llevar´ a entre una y dos horas. Resumen

Se proponen dos m´etodos alternativos para obtener experimentalmente la constante el´astica recuperadora de un muelle. El primero est´a basado en la aplicaci´on de la ley de Hooke (procedimiento est´atico) y el segundo en las propiedades que caracterizan el movimiento de un cuerpo cuando se desplaza ligeramente de su posici´on de equilibrio (procedimiento din´amico). Se introduce el concepto de masa equivalente del muelle.

Introducci´ on La constante el´astica de un resorte, k, juega un papel muy importante en todos los fen´omenos f´ısicos en los que interviene el muelle, por lo que su determinaci´on experimental es importante. Se describen a continuaci´on dos m´etodos diferentes para determinar dicha constante el´astica. Primer m´ etodo (est´ atico) Si un objeto s´olido (pi´ensese en una barra o un muelle met´alicos) est´a sometido a fuerzas que tienden a alargarlo o comprimirlo (fuerzas de tracci´ on) la forma del objeto var´ıa. Si el objeto recupera su forma original despu´es de suprimir las fuerzas aplicadas, se dice que el objeto est´a en su zona el´ astica. La mayor´ıa de los cuerpos tienen un comportamiento el´astico cuando son sometidos a fuerzas 1

de tracci´on, siempre que estas fuerzas no superen el l´ımite de elasticidad del material del que est´an hechos. Cuando las fuerzas aplicadas superan este l´ımite, el cuerpo ya no recupera su forma original, queda con una deformaci´on permanente y se dice que el objeto est´a en su zona pl´ astica. Si todav´ıa se aumenta la fuerza de tracci´on alcanza el punto de rotura y el cuerpo termina rompi´endose. Por debajo del l´ımite el´astico, hay todav´ıa una regi´on en la que el comportamiento del cuerpo es lineal, es decir, las variaciones producidas en su longitud son proporcionales a las fuerzas de tracci´on que se aplican (ley de Hooke).

l

F

F

Figura 1: Barra sometida a fuerzas iguales y de sentido contrario en sus extremos.

La Fig. 1 muestra una barra s´olida de longitud l sometida a una tracci´on F en ambos extremos. La barra se encuentra en equilibrio, pero las fuerzas aplicadas tienden a alargar la barra. El incremento relativo de longitud ∆l/l se denomina deformaci´on. El cociente entre la fuerza y el ´area A de la secci´on recta de la barra se denomina tensi´ on. En la regi´on lineal, se verifica que la tensi´on es proporcional a la deformaci´on y la constante de proporcionalidad se denomina m´odulo de Young (Y ): Y = (F/A)/(∆l/l). Esta relaci´on tambi´en puede escribirse bajo otro aspecto m´as utilizado cuando el objeto del que se trata es un muelle: la fuerza de tracci´on es proporcional al incremento de longitud que se produce y la constante de propor´ cionalidad se denomina constante recuperadora (k) o el´astica: F = k∆l. Esta se conoce como ley de Hooke y es una de las primeras leyes cuantitativas en F´ısica. Segundo m´ etodo (din´ amico) Cuando un objeto colocado al extremo de un muelle se separa ligeramente de su posici´on de equilibrio estable y luego se deja libre, comienza a describir un movimiento arm´onico simple (m.a.s.) (ver Fig. 4) Si, a partir de su posici´on de equilibrio, se aplica al cuerpo de masa m una peque˜ na fuerza instant´anea en la direcci´on longitudinal del muelle, el conjunto muelle-objeto comienza a oscilar. A partir de la segunda ley de Newton, se puede escribir la ecuaci´on de movimiento de la masa m m

d2 l = −2k (l − l0 ) . dt2

2

(1)

(a)

m

k

k l0 l

(b)

Figura 2: (a) Cuerpo de masa m entre dos muelles de constante el´astica k y longitud en reposo l0 . (b) Cuando se desplaza de su posici´on de equilibrio, con los muelles de longitud l0 + ∆l y l0 − ∆l respectivamente, al dejarlo libre, el cuerpo oscilar´a.

Cuando el cuerpo cuelga de un muelle vertical, entonces m

d2 l = −2k (l − lE ) , dt2

(2)

donde k(lE − l0 ) = mg [6]. Despreciando la masa del muelle frente a la del objeto, este u ´ltimo describe un m.a.s. de per´ıodo T dado por la expresi´on, r

T = 2π

m , k

(3)

en donde m es la masa del objeto y k la constante recuperadora del muelle (consulte la Ref. [1] en la p. 413) [7]. En una segunda aproximaci´on a la descripci´on de la oscilaci´on del cuerpo, hay que tener en cuenta la masa del muelle. Se observa en primer lugar que no todas las partes del muelle oscilan con la misma amplitud. Mientras que el punto del muelle unido al objeto oscila como ´el, el punto del muelle unido al soporte no se mueve. Es decir, las diferentes partes del muelle oscilan con amplitudes diferentes. Por esta raz´on, admitiendo que el muelle es real (no ideal) y que, por tanto, posee una masa distinta de cero, no se puede, sencillamente, sustituir en (3) la masa m del objeto por la del conjunto muelleobjeto, sino que se asocia al muelle una ‘masa efectiva’ (me ) de manera que el per´ıodo de oscilaci´on del conjunto muelle-objeto ser´a, s

T = 2π

m + me , k

(4)

Para estimar la masa equivalente de un muelle de masa m0 se puede determinar la variaci´on de energ´ıa cin´etica ∆T que experimenta el muelle de 3

longitud L cuando es estirado de tal manera que su extremo libre se mueve con velocidad V . El extremo fijo permanece con velocidad 0. Como a lo largo del muelle diferentes partes se van a mover con velocidades diferentes, se debe empezar por poner que 1 dT = v 2 dm , (5) 2 siendo v la velocidad con que se mueve la porci´on de masa dm correspondiente. Si el muelle es homog´eneo, con densidad ρ = m0 /L, entonces dm = m0 dl/L, siendo dy un elemento diferencial de longitud. Si la velocidad de cada elemento dl es proporcional a su distancia al extremo fijo entonces v(l) = V l/L, y 1 dT = 2

lV L

!2

m0 dl . L

(6)

Integrando para dl entre 0 y L, se tiene que ∆T =

1 m0 2 V . 2 3

(7)

Este resultado sugiere que si para un objeto de masa m0 que se mueve todo ´el con velocidad V su energ´ıa cin´etica es m0 V 2 /2, en los intercambios de energ´ıa un muelle que se mantiene fijo por un extremo y que se estira siguiendo la ley de Hooke se comporta como si fuera un cuerpo de masa –efectiva– m0 /3 [8].

Reflexiones previas a la realizaci´ on del experimento Antes de llevar a cabo las experiencias, considere las siguientes cuestiones: 1.- Despu´es de consultar alg´ un texto de F´ısica (por ejemplo, la Ref. [1], pg. 359 y ss. ´o la Ref. [2], pg. 110 y ss.), represente una curva t´ıpica de la tensi´on aplicada en funci´on de la deformaci´on producida para una barra met´alica, se˜ nalando los puntos y regiones significativos de los que se ha hablado en la Introducci´on. 2.- Consulte una tabla de valores del m´odulo de Young para algunos metales y otros materiales. Escr´ıbalos e indique las unidades en las que se expresan. 3.- Dise˜ ne un procedimiento experimental para determinar la constante el´astica k de un muelle utilizando directamente la ley de Hooke. ¿Puede calcular, a partir de esa constante k, el m´odulo de Young? Explique c´omo. 4.- Dise˜ ne un procedimiento experimental para determinar la constante el´astica k de un muelle utilizando la Eq. (4). 5.- Demuestre que al ser T 2 = (2πk)−1 m + (2πk)−1 me , 4

(8)

la representaci´on gr´afica del los cuadrados de los per´ıodos T 2 del muelle frente a las masas colgadas del mismo, m, le permite obtener la constante el´astica y la masa efectiva del muelle.

Figura 3: Muelles, juego de pesas y cron´ometro digital.

Descripci´ on del material Para llevar a cabo este tipo de experiencias se utiliza el siguiente material (ver Figs. 3 y 4): 1. Soporte con escala m´etrica. 2. Muelles. 3. Platillo. 4. Juego de pesas. 5. Cron´ometro digital.

Modo operativo Primer m´ etodo (est´ atico) Tome nota del di´ametro de la secci´on recta del muelle (recuerde las normas para determinar una medida directa). Cuelgue verticalmente, del v´astago que hay en la parte superior del soporte, un extremo del muelle. Cuelgue el platillo en el extremo inferior del muelle. Tome nota de la cota que se˜ nala el borde del platillo (vac´ıo) sobre la escala y util´ıcela como referencia (cero) de las medidas posteriores. Tome siempre como ´ındice de lectura, de las sucesivas medidas sobre la escala, el borde del platillo. Aseg´ urese de no cometer error de paralaje (Ref. [3]). Coloque, cuidadosamente, una pesa sobre el platillo, el´ıjala adecuada para producir un peque˜ no alargamiento del muelle. Tome nota de la fuerza aplicada 5

(m)

(p)

(cp) (r)

Figura 4: Dispositivo experimental para medir constantes el´asticas de muelles. Bajo el peso de un platillo (p) un muelle (m) de longitud conocida se alarga. Al colocar una cierta masa conocida (cp) sobre el platillo el muelle se alarga hasta una nueva longitud de equilibrio que se puede medir con una regleta (r).

y del correspondiente alargamiento producido. Repita el proceso con cinco fuerzas distintas. Tome nota, de nuevo, de la cota que se˜ nala el borde del platillo (vac´ıo) sobre la escala y del di´ametro de la secci´on recta del muelle. Tabule los resultados y repres´entelos gr´aficamente. Ajuste los puntos experimentales obtenidos a la curva adecuada, de acuerdo con su respuesta a la 3a pregunta del apartado Reflexiones previas, y obtenga la constante el´astica k del muelle. Seguidamente, obtenga el m´odulo de Young Y . Segundo m´ etodo (din´ amico) Cuelgue verticalmente, del v´astago que hay en la parte superior del soporte, un extremo del muelle. Cuelgue el platillo en el extremo inferior del muelle. Recuerde que el platillo no es parte del muelle sino una masa mP adicional. Coloque, cuidadosamente, una masa mj conocida (una pesa) sobre el platillo, el´ıjala adecuadamente para producir un peque˜ no alargamiento del muelle. Estire ligeramente el muelle tirando levemente del platillo hacia abajo durante un instante y libere el sistema. Determine el per´ıodo de oscilaci´on 1 Ti de la masa y anote el correspondiente valor de mi = mj + mP . Repita el proceso con cinco masas distintas. Tabule los resultados y represente gr´aficamente los puntos experimentales (mi , Ti2 ). Aj´ ustelos a una recta (recuerde la ecuaci´on (4). A partir de la pendiente de esta recta (caso de que lo sea) y de su ordenada en el origen, obtenga los valores experimentales de me y k. Contraste y discuta posteriormente los re1

Describa el procedimiento que sigue para determinar el per´ıodo.

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sultados experimentales obtenidos mediante este procedimiento con el valor de k obtenido mediante el m´etodo est´atico y el valor de me estimado te´oricamente [9].

Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia 1.- ¿Por qu´e se le ha pedido que repita las medidas de las dimensiones del muelle despu´es de utilizarlo? 2.- ¿Cu´al de los dos m´etodos, el est´atico o el din´amico, es m´as preciso? Justifique la respuesta. 3.- ¿Cu´al es la mejor estimaci´on del valor de la constante el´astica del muelle, considerando conjuntamente los dos experimentos (mejor experimento combinado)? Consulte las Refs. [4] ´o [5]. 4.- Compare el valor del m´odulo de Young del muelle que ha obtenido con los que muestra la tabla que elabor´o en Reflexiones previas. ¿Encuentra alg´ un material que posea un valor parecido de esta cantidad?

Referencias [1] Tipler P. A., F´ısica, Ed. Revert´e S.A., Barcelona (1999), 4a edici´on, tomo I. [2] G´omez del Campo, J.C., Mec´ anica, Ed. Paraninfo, S. A., Madrid (1995). [3] Meiners H. F., Eppenstein W. y Moore K. H., Experimentos de F´ısica, Ed. Limusa S. A., M´exico (1980), pg. 23. [4] Lyons L., Data analysis for Physical Science students, Cambridge University Press, (1996), pg. 31 y ss.. [5] Barford N. C., Experimental measurements: precision, error and truth, John Wiley and Sons Ltd., 2a edici´on, (1987), pg. 74 y ss.. [6] H Erlichson, The vertical spring-mass system and its equivalent, Physics Teacher 14, 573-573 (1976); A Scott, Transfer of energy in a spring-mass pendulum, The Physics Teacher 23, 356 (1985) [7] J. W. Dewdney, Simple pendulum equivalent to spring mass system, Am. J. Phys. 26, 340 [8] L Ruby, Equivalent mass of a coil spring, The Physics Teacher 38, 140-141 (2000) [9] D S Mills, The spring and mass pendulum. An exercise in mathematical modeling,

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[10] A Scott, Transfer of energy in a spring-mass pendulum, The Physics Teacher 23, 356 (1985) El p´endulo de Wilberforce consta de un muelle el´astico del que se cuelga un cuerpo que puede tambi´en girar, una mezcla de p´endulo de torsi´on y muelle el´astico. De esta forma, adem´as de los modos de oscilaci´on del muelle se presentan modos de oscilaci´on de torsi´on. [11] J Williams, R Keil, Doing physics: A Wilberforce pendulum, A spring winder, The Physics Teacher 21, 257-258 (1983) [12] R E Berg and T S Marshall, Wilberforce pendulum oscillations and normal modes, Am. J. Phys. 59, 32-38 (1991)

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