INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

J HON F REDY D ELGADO VÁSQUEZ

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS BUCARAMANGA 2004

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

J HON F REDY D ELGADO VÁSQUEZ Monografía presentada como requisito para optar al título de Licenciado en Matemáticas

Director

M ARLIO PAREDES G UTIÉRREZ Doctor en Matemáticas

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS BUCARAMANGA 2004

A mis padres

Agradecimientos

A Dios, por obsequiarme tan maravilloso milagro, la vida. A mis padres, por hacerme entender que la libertad que tengo en la vida es sinónimo de responsabilidad. A mi hermana Kelly Carolina, por compartir y luchar porque mis sueños sean una realidad. A Claudia, por darme la oportunidad de conocer lo más hermoso que hay en la vida, “el amor y la amistad”. Enseñandome a dejar entrar la alegría en mi corazón. Al profesor Marlio Paredes, por su paciencia, colaboración y orientación en el desarrollo de esta monografía. A los profesores, que durante mi estadía en la universidad incentivaron mis deseos de desarrollo personal y profesional. A mis amigos, por su continua voz de aliento para lograr alcanzar ascender este escalón en mi vida. A mi Alma Mater Universidad Industrial de Santander, la cual se convirtió en parte de mi vida, en donde no solo me prepare en un conocimiento científico, sino que también aprendí sobre la vida.

A todas aquellas personas que de forma directa o indirecta colaboraron con la realización de este trabajo.

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TITLE: INTRODUCTION TO THE HYPERBOLIC GEOMETRY1 AUTHOR: JHON FREDY DELGADO VÁSQUEZ2 KEY WORDS: Hyperbolic geometry, fifth postulate, euclidian geometry, parallel lines, paralellism angle. DESCRIPTION: In the early nineteenth century the problem of Euclides fifth postulate was resolved. Gauss and Bolyai were two mathematicians who, independently, make great advances in the study of the fifth postulate demonstration. The solution of this famous problem belongs to Nicolai Ivanovich Lobachevski who showed the impossibility to demonstrate the fifth postulate as a consequence of the another four postulates of the euclidian geometry. In addition, Lobachevski showed that it is possible to contruct a geometrical system consistent, in that system the parallel postulate is replaced with another postulate in which through a point out of a given line pass two lines parallel to the given line. In this way began the study of the non-ecludian geometries. This monograph makes an historical summary on the birth of the non-euclidian geometries, through the study of the fifth postulate of the euclidian geometry. We present the basic concepts of the hyperbolic geometry due to Lobachevski.

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Monograph Faculty of Sciences, School of Mathematics. Marlio Paredes, Ph.D. in Mathematics

TÍTULO: INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA3 AUTOR: JHON FREDY DELGADO VÁSQUEZ4 PALABRAS CLAVES: Geometría hiperbólica, quinto postulado, geometría euclidiana, rectas paralelas, ángulo del paralelismo. DESCRIPCIÓN: Las primeras décadas del siglo XIX trajeron la solución del problema del quinto postulado de Euclides. Gauss y Bolyai son dos matemáticos que independientemente realizaron grandes avances en el estudio de la demostración del quinto postulado. Pero los laureles de la resolución de esté famoso problema pertenece a Nicolai Ivanovich Lobachevski quien a finales de la tercera década de este siglo mostró la imposibilidad de demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana. Adicionalmente, Lobachevski mostró la posibilidad de construir un sistema geométrico coherente, en el que el postulado de la paralela única de Euclides se reemplaza por otro que nos dice que por un punto exterior a una recta, se pueden trazar por lo menos dos rectas que no se encuentren con la recta dada, dando inicio asi al estudio de las geometrías no euclidianas. Esta monografía hace un recuento histórico sobre el nacimiento de las geometrías no euclidianas, a través del estudio del quinto postulado de la geometría euclidiana. Además se presenta los conceptos básicos de la geometría hiperbólica, introducida por Lobachevski.

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Monografía Facultad de Ciencias, Escuela de Matemáticas, Licenciatura en Matemáticas. Marlio Paredes,

Ph.D. en Matemáticas

Índice general INTRODUCCIÓN

1

1. Preliminares

3

1.1. Fundamentos de la Geometría Euclidiana . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. El quinto postulado de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3. Nacimiento de una nueva Geometría . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.1. Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.2. Bolyai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.3. Lobachevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2. Geometría hiperbólica

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2.1. El quinto postulado de la geometría hiperbólica . . . . . . . . . .

33

2.2. Propiedades elementales de las paralelas . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3. Triángulos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4. El ángulo de paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5. Cuadriláteros especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

I

2.6. Suma de los ángulos de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.7. Puntos ultraideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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BIBLIOGRAFÍA

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II

Introducción La geometría fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. Como ciencia que compila una colección de proposiciones abstractas y sus pruebas, fue fundada en la cultura griega alrededor de los 600 años A.C. La geometría clásica ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor del año 300 A.C conocidos como Elementos [2]. Euclides y sus predecesores reconocieron lo que hoy en día todo estudiante de filosofía o matemáticas sabe: no todo se puede demostrar. En la construcción de una estructura lógica, una o mas proposiciones siempre deben admitirse como axiomas a partir de la cuales todas las otras son deducidas. En la época de Euclides, lo que hoy llamamos geometría euclidiana estaba totalmente desarrollada. De hecho, el trabajo de Euclides fue el de un compilador que reunió los teoremas conocidos, ya demostrados por sus predecesores, y los colocó en único texto con una presentación unificada. Según especialistas en historia de la matemática, quienes han analizado la obra, los Elementos de Euclides fueron escritos con el fin de presentar la teoría de los sólidos de Platón y la de los números racionales de Teteto, consideradas dos de las grandes contribuciones de los griegos a la matemática. Euclides se hizo famoso por la concepción del libro en si, el cual hoy en día es

considerado el primer tratado científico de la historia y fue modelo para otros de ramas de la ciencia diferentes a las matemáticas. Los diez axiomas de Euclides fueron presentados en dos grupos: las nociones comunes y los postulados. La diferencia entre ellos no es muy clara; las nociones comunes parecen haber sido consideradas como hipótesis aceptables para todas las ciencias, mientras que los postulados serían hipótesis particulares para la geometría. Es el quinto postulado de Euclides uno de los resultados más importante de los Elementos, ya que el estudio de éste a través de los siglos acumuló un entendimiento profundo de la geometría euclidiana y dió paso al nacimiento de nuevas geometrías, como es el caso de las geometrías hiperbólica y elíptica. Esta monografía tiene como objetivo realizar una introducción a la geometría hiperbólica. Para lo cual es necesario conocer y comprender algunas proposiciones de la geometría euclidiana, que faciliten el acercamiento a la geometría hiperbólica. De igual manera conocer el quinto postulado de Euclides y algunos resultados que aparecieron en el transcurso de los siglos debido a su estudio, los cuales se encuentran consignados en el primer capítulo. En este capítulo también encontraremos una reseña sobre los precursores de la geometría hiperbólica y su proceso de acercamiento a esta. En el segundo capítulo hacemos una presentación del quinto postulado de la geometría hiperbólica y una introducción a resultados referentes a paralelas, triángulos, ángulos y cuadriláteros en esta nueva geometría, que tuvo su nacimiento formal en el siglo XIX, gracias a matemáticos como Johann Bolyai y Nicolai Lobachevski.

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Capítulo 1 Preliminares 1.1.

Fundamentos de la Geometría Euclidiana

1.1.1. Reseña histórica La geometría es una ciencia muy antigua. Conocimientos geométricos no triviales ya eran manejados en la antigüedad (en Egipto, Babilonia y Grecia). Podemos decir que la forma en que la conocemos hoy en día tuvo su punto de partida en la antigua Grecia, cuando Euclides publicó los Elementos [2]. Realicemos un recorrido de la Geometría a través de la historia hasta llegar a la antigua Grecia y Euclides. BABILONIA. En la Mesopotamia, región situada entre los ríos Tigris y Eufrates, floreció una civilización cuya antigüedad se remonta aproximadamente a 57 siglos. En esta región se inventó la rueda. Tal vez de ahí el interés por descubrir las propiedades de la circunferencia, este afán los condujo a un resultado interesante, la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro era igual a 3. Este

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valor es muy famoso e interesante porque aparece en el antiguo testamento (primer libro de Reyes). Los babilonios llegaron a esta conclusión considerando que la longitud de la circunferencia era un valor intermedio entre los perímetros de los cuadrados inscrito y circunscrito a la circunferencia. En Babilonia se realizaron grandes avances en astronomía, conociendo que el año tiene aproximadamente 360 días. EGIPTO. La civilización egipcia basó su florecimiento en la agricultura. La aplicación de los conocimientos geométricos a la medida de la tierra fue la causa de que se bautizara a este segmento de la matemática con el nombre de Geometría que significa medición de tierras. Los faraones egipcios dividieron las tierras que conformaban sus imperios en parcelas. Cuando el Nilo, en sus crecidas periódicas se llevaba parte de las tierras, los topógrafos egipcios tenían que rehacer las divisiones y calcular cuanto debía pagar el dueño de cada parcela por concepto de impuestos, ya que este era proporcional a la superficie cultivada. Pero la utilización de los conocimientos geométricos no fue aplicada solamente en la agricultura, en Egipto el conocimiento de las matemáticas también fue usado por sus sacerdotes en la construcción. Hace más de 20 siglos fue construida la “Gran pirámide” maravilla que aún nos deja estupefactos. Un pueblo que emprendió una obra de tal magnitud poseía, sin lugar a dudas, extensos conocimientos de Geometría y Astronomía ya que se ha comprobado que, además de la precisión con que están determinadas sus dimensiones, la Gran Pirámide de Egipto está perfectamente orientada. Los pocos conocimientos y pruebas de la matemática egipcia los debemos a los papiros. Entre los problemas inmortalizados en estos se encuentran la medida del área de un triangulo isósceles, la medida del area de un trapecio isósceles y la

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medida del área de un círculo. Además, en los papiros hay un estudio sobre los cuadrados que hace pensar que los egipcios conocían algunos casos particulares de la propiedad del triángulo rectángulo, que más tarde perpetuó a Pitágoras. GRECIA. La geometría de los egipcios era notablemente empírica, ya que los resultados se basaban más en la experiencia que en un sistema lógico de deducción a partir de axiomas y postulados. Los griegos, grandes pensadores, no se contentaban con conocer reglas y soluciones de casos particulares; ellos deseaban obtener explicaciones racionales de los casos generales. En Grecia se da nacimiento a la geometría como ciencia argumentada. Es probable que algunos matemáticos griegos fueran a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría, su gran merito recae en que ellos transformaron la geometría a partir de la deducción y la argumentación. Es indudable que fueron muchos los hombres que aportaron en Grecia a la matemática especialmente a la Geometría, nombres como Tales de Mileto, Pitágoras de Samos, Platón, Arquímedes de Siracusa, entre otros son algunos de esos grandes pensadores que participaron en la construcción de la Geometría, pero hay un nombre en especial que debemos recordar por ciertos aportes o mas bien por la recopilación de los resultados ya demostrados que se conocían. Este hombre fue Euclides (siglo IV A.C.), quien escribió una de las obras más famosas de todos los tiempos: “Elementos” (considerado el primer tratado científico de la humanidad), que consta de 13 capítulos llamados “libros”. De esta obra se han hecho tantas versiones y adaptaciones que solo existe un libro en la historia de la humanidad que lo aventaja, La Biblia. Euclides escribió sus libros partiendo de definiciones, postulados y axiomas con los cuales demuestra teoremas que, a su vez, le sirven para demostrar otros teore-

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mas. La composición de los Elementos está dada de la siguiente manera: Libro I. Relación de Igualdad de triángulos. Teoremas sobre paralelas. Suma de los ángulos de un polígono. Igualdad de las áreas de triángulos o paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitágoras. Libro II. Conjunto de relaciones de igualdad entre áreas de rectángulos que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado. Libro III. Circunferencia, ángulo inscrito. Libro IV. Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia. Libro V. Teorema general de la medida de magnitudes bajo la forma geométrica, hasta los números irracionales. Libro VI. Proporciones y triángulos semejantes. Libro VII, VIII y IX. Aritmética Libro X. Números inconmensurables bajo forma geométrica a partir de los radicales cuadráticos. Libro XI y XII. Relación entre volúmenes de prismas y pirámides; cilindro y cono. Libro XIII. La construcción de los cinco poliedros regulares.

1.1.2. Generalidades Los “Elementos” de Euclides son una obra en la que se sigue el método axiomático. Durante el transcurso de la historia se han encontrado varias fallas lógicas en los libros de Euclides, es decir no cumplen con todas las exigencias que impone la lógica. Sin embargo, todos los errores que se han encontrado no tiene punto de comparación con el mérito extraordinario de haber construido una ciencia deduc6

tiva a partir de conocimientos empíricos. Como ya se dijo antes los Elementos de Euclides contienen diez axiomas que fueron presentados en dos grupos: nociones comunes y postulados.

Nociones comunes I. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales. II. Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales III. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. IV. Las cosas que coinciden entre si son iguales entre sí. V. El todo es mayor que cualquiera de sus partes Postulados I. Se puede trazar una (única) recta ligando cualesquiera dos puntos. II. Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita. III. Se puede trazar un círculo con cualquier centro y radio dado. IV. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. V. Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

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Existen otras hipótesis que Euclides utilizó y no fueron mencionadas en la lista anterior. Entre ellas se destacan las siguientes: a. Las rectas son conjuntos ilimitados. b. Sean A, B y C tres puntos no colineales y sea m una recta que no contiene ninguno de estos puntos. Si m corta el segmento AB, entonces ella también cortara el segmento AC o el segmento CB. Este resultado es conocido como el teorema de Pasch. El primer libro de los Elementos contiene 48 proposiciones, a continuación citaremos algunas de estas para observar el trabajo de Euclides y otras que nos interesan para facilitar nuestro acercamiento al quinto postulado. Debemos decir que éstas han sido tomadas textualmente del libro original. Es importante aclarar que en el desarrollo de está monografía cuando se hable de igualdad entre figuras, segmentos de rectas y ángulos, lo que se desea expresar realmente es la congruencia entre estás, ya que la igualdad solamente se da entre medidas.

Proposición 1.1. (Proposición 1, Libro I de los Elementos [2]) Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada. Demostración. Sea AB la recta finita dada. Descríbase con el centro A y la distancia AB el radio del círculo BΓC, y con centro B y la distancia BA el radio del círculo AΓD y a partir del punto Γ donde los círculos se cortan entre sí, ver Figura 1.1. Trácense las rectas ΓA, ΓB hasta los puntos A, B. Puesto que el punto A es el centro del círculo BΓC, ΓA es igual a AB, si realizamos un análisis análogo para el punto B y el círculo AΓD, tendremos que ΓB es 8

Γ

C

A

B

D

Figura 1.1: Triángulo equilátero igual a AB, y si recordamos la primera noción común se concluirá que ΓA, ΓB y AB son iguales entre sí. Por consiguiente el triángulo ABΓ es equilátero y ha sido construido sobre una recta finita dada.

Proposición 1.2. (Proposición 15, Libro I de los Elementos [2]) Si dos rectas se cortan, hacen los ángulos del vértice iguales entre si. Demostración. Sean AB y CD, dos rectas que se cortan. A

D O

C

B Figura 1.2: Ángulos opuestos

Primero vamos a demostrar que los ángulos AOC y DOB son iguales. Sabemos que la suma de los ángulos AOC y AOD es igual a dos ángulos rectos; esto debido a que son ángulos adyacentes y que la suma de los ángulos AOD y DOB 9

es igual a dos ángulos rectos por la misma razón. Esto es, ]AOC + ]AOD = π

y

]AOD + ]DOB = π.

Si despejamos ]AOC de la primera igualdad y ]DOB de la segunda obtendremos ]AOC = π − ]AOD

y

]DOB = π − ]AOD.

(1.1)

Ahora comparando las igualdades tenemos ]AOC = ]DOB

(1.2)

Análogamente se demuestra la igualdad entre los ángulos ]AOD y ]COB.

Proposición 1.3. (Proposición 16, Libro I de los Elementos [2]) En todo triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos. Demostración. Sea ABC el triángulo (Figura 1.3) y prolonguemos el lado BC hasta un punto D. Vamos a probar que el ángulo externo ACD es mayor que el ángulo BAC. Córtese en dos partes iguales AC por el punto E y, trazada BE prolonguese en línea recta hasta F de tal forma que EF sea igual a BE. Trácese F C y prolónguese por el otro lado AC hasta G. Asi pues, como AE es igual a EC y BE a EF , los dos lados AE, EB son iguales repectivamente a los dos lados EC y EF y el ángulo AEB es igual al ángulo F EC, pues son opuestos por el vértice. Entonces la base AB es igual a la base F C y el triángulo ABE es congruente al triángulo CF E, y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por lados iguales son respectivamente iguales, entonces el ángulo BAE es igual 10

A

F

E B

D

C

G Figura 1.3: Ángulo externo al ángulo ECF . Pero el ángulo ECD es mayor que él ángulo ECF , luego el ángulo ACD es mayor que el ángulo BAE. De manera semejante, si se divide en dos la recta BC, se demostrará que también el ángulo ACD es mayor que el ángulo ABC.

Proposición 1.4. (Proposición 17, Libro I de los Elementos [2]) En todo triángulo dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos rectos. Demostración. Sea ABΓ el triángulo, ver Figura 1.4. A

∆

B

Γ

Figura 1.4: Suma de dos ángulos internos

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Prolónguese BΓ hasta ∆. Y puesto que el ángulo AΓ∆ es un ángulo externo del triángulo ABΓ, es mayor que el interno y opuesto ABΓ. Añadase a ambos AΓB, entonces los ángulos AΓ∆, AΓB son mayores que los ángulos ABΓ, BΓA. Pero los ángulos AΓ∆, AΓB son iguales a dos rectos, por tanto, los ángulos ABΓ, BΓA son menores que dos rectos. De manera semejante se demostraría que también los ángulos BAΓ, AΓB son menores que dos rectos, así como los ángulos ΓAB, ABΓ.

Proposición 1.5. (Proposición 27, Libro I de los Elementos [2]) Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, entonces las dos rectas serán paralelas entre sí. Demostración. Supongamos que al incidir sobre las dos rectas AB, Γ∆, la recta EZ forma los ángulos alternos AEZ, EZ∆ iguales entre sí, ver Figura 1.5. Vamos a probar que AB es paralela a Γ∆. Pues en caso contrario, si prolongamos A

E

B H

Γ

Z

∆

Figura 1.5: Ángulos alternos AB, Γ∆, se encontrarán o bien en el sentido de B, ∆, o bien en el sentido de A, Γ. Prolónguense y encuéntrense en el sentido de B, ∆ en H. Entonces el ángulo externo AEZ del triángulo HEZ es igual al ángulo interno y opuesto EZH, lo cual es imposible por la Proposición 1.5. Por tanto, AB, Γ∆ prolongadas nose

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encuentran en el sentido de B, ∆. De manera semejantedemostrariamos que tampoco se encuentran en el sentido de A, Γ. Pero las rectas que no se encuentran en ninguno de los dos sentidos son paralelas; por tanto, AB es paralela a ΓA.

Proposición 1.6. (Proposición 28, Libro I de los Elementos [2]) Si una recta al incidir sobre dos rectas hace un ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos rectos, las rectas serán paralelas entre sí. Demostración. Supongamos que al incidir sobre las dos rectas AB, Γ∆, la recta EZ hace el ángulo externo EHB igual al interno y opuesto HΘ∆, o los ángulos internos del mismo lado: BHΘ, HΘ∆ iguales a dos rectos, ver Figura 1.6. Como E A Γ

H

B Θ

∆ Z

Figura 1.6: Ángulos alternos opuestos el ángulo EHB es igual al ángulo HΘ∆, mientras que el ángulo EHB es igual al ángulo AHΘ, entonces el ángulo AHΘ también es igual al ángulo HΘ∆. Por ser estos ángulos alternos tenemos que AB es paralela a Γ∆. Como los ángulos BHΘ, HΘ∆ son iguales a su vez a dos rectos, también los ángulos AHΘ, BHΘ son iguales a dos rectos. Por tanto, los ángulos AHΘ, BHΘ son iguales a los ángulos BHΘ, HΘ∆. Quítemos de ambos el ángulo BHΘ, entonces el ángulo 13

restante AHΘ es igual al ángulo restante HΘ∆ y son alternos. Por tanto, AB es paralela a Γ∆.

Proposición 1.7. (Proposición 29, Libro I de los Elementos [2]) La recta que incide sobre rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales entre sí, y el ángulo externo igual al interno y opuesto, y los ángulos internos del mismo lado iguales a dos rectos. Demostración. Supongamos que la recta EZ incide sobre las rectas paralelas AB y Γ∆. Debemos probar que los ángulos alternos AHΘ, HΘ∆ son iguales, que el ángulo externo EHB es igual al interno y opuesto HΘ∆, y que los internos del mismo lado: BHΘ, HΘ∆ son iguales a dos rectos, ver Figura 1.6. Si AHΘ no es igual a HΘ∆, uno de ellos es mayor. Sea AHΘ el mayor, añadase a ambos el ángulo BHΘ, entonces los ángulos AHΘ, BHΘ son mayores que los ángulos BHΘ, HΘ∆. Pero los ángulos AHΘ, BHΘ son iguales a dos rectos. Por tanto, los ángulos BHΘ, HΘ∆ son menores que dos rectos. Ahora, como las rectas prolongadas indefinidamente a partir de ángulos menores que dos rectos se encuentran, luego las rectas AB y Γ∆ prolongadas indefinidamente se encontrarán. Lo cual no es posible porque se les ha supuesto paralelas, por lo tanto el ángulo AHΘ no es diferente del ángulo HΘ∆, luego son iguales. Como el ángulo AHΘ es igual al ángulo EHB entonces el ángulo EHB es también igual al ángulo HΘ∆. Añadase a ambos BHΘ, entonces los ángulos EHB y BHΘ son iguales a los ángulos BHΘ y HΘ∆. Pero los ángulos EHB, BHΘ son iguales a dos rectos, por tanto, los ángulos BHΘ y HΘ∆ son también iguales a dos rectos.

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Proposición 1.8. (Proposición 31, Libro I de los Elementos [2]) Por un punto dado trazar una línea recta paralela a una recta dada. Demostración. Sea A el punto dado y BΓ la recta dada. Hay que trazar por el punto A una línea recta paralela aBΓ. Tómese al azar un punto ∆ en BΓ y trácese E

A

B

Z

Γ ∆

Figura 1.7: Una paralela en la geométria euclidiana A∆, ver Figura 1.7. Constrúyase en la recta ∆A y en el punto A de ella el ángulo ∆AE igual al ángulo A∆Γ y sea AZ el resultado de prolongar en línea recta EA. Dado que la recta A∆ al incidir sobre las dos rectasBΓ, EZ ha hecho iguales los ángulos alternos EA∆, A∆Γ, entonces EAZ es paralela a BΓ. Por consiguiente, se ha trazado la línea EAZ paralela a la recta dada BΓ por el punto dado A. De los cinco postulados de Euclides, el V es el que, desde un comienzo, llamó más la atención. Desde entonces se trató de demostrar, con un resultado muy poco satisfactorio. Finalmente se pensó que si de verdad era un postulado, el hecho de negarlo, aceptando los demás no debía conducir a contradicción alguna. De está manera procedieron Lobachevski (1793-1856) y Riemann (1826-1866). Con estas negaciones o nuevos postulados se construyeron nuevas geometrías que se llaman Geometrías no Euclidianas.

15

1.2.

El quinto postulado de Euclides

El libro de Geometría, y podríamos decir de Matemáticas, más importante es sin duda los Elementos. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones mas controvertidas de la historia de las matemáticas. El quinto postulado dice: Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. El quinto postulado de Euclides es muy famoso. Muchos matemáticos han tratado de demostrarlo como teorema, pero no se ha conseguido (ni se conseguirá). Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Bolyai (1802-1860) y Gauss (17771855) fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el quinto postulado. Lobachevski (1792-1856), matemático ruso, en su libro Nuevos elementos de Geometría, formuló una nueva geometría partiendo del postulado de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una paralela a ella. Lobachevski demostró que el quinto postulado no se puede probar y que la geometría que se desarrolla, partiendo de este nuevo quinto postulado es consistente. La geometría que obtenía, aunque consistente, le parecía tan contraria al sentido común que la calificó como Geometría Imaginaria. A esta geometría se le llama hoy en día geometría hiperbólica. Bolyai (1802-1860) también demostró la imposibilidad de probar el quinto postulado y la existencia de geometrías no euclidianas. El padre de Bolyai envió a Gauss el trabajo de su hijo y Gauss le contestó a labando el trabajo y diciéndole que el había llegado hacía tiempo a la misma conclusión pero que no se había atrevido a publicar nada por miedo a ser mal interpretado. Bernhard Riemann (1826-1866) partiendo del postulado "Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela", desarrolló la Geometría Elíptica. A 16

estas geometrías se les llama geometrías no euclideas. A la geometría euclidiana se le denomina también geometría plana. En la geometría euclidiana la suma de los ángulos de un triángulo es 180o , en la elíptica la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180o y en la hiperbólica, menor de 180o .

Sin duda alguna una de las consecuencias mas notorias en la busqueda de una prueba del quinto postulado, fue producir un gran número de afirmaciones equivalentes. A continuación se citarán algunos de los sustitutos mas conocidos.

POSTULADO V1 . Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única recta paralela a la recta dada.

Esta es la formulación más conocida del quinto postulado pues es la que aparece en la mayoría de los libros de texto de geometría y es atribuida al geometra John Playfair. En la geometría euclidiana la afirmación anterior puede ser facilmente deducida, utilizando el quinto postulado de Euclides para lograrlo. Dados una recta m y un punto P fuera de m, es consecuencia de los cuatro primeros postulados que existe una recta m0 paralela a m que pasa por P . Su construcción, basada en la proposición 1.5, es la siguiente: Trace la recta n perpendicular a m que pasa por P y trace por P la recta m0 perpendicular a n. Entonces m0 y m son paralelas. Para probar la unicidad supongamos la existencia de otra paralela a la recta dada, digamos m00 pasando por el punto P . Esta recta forma un ángulo agudo con n, luego por el quinto postulado concluimos que m00 intercepta a m. Este absurdo prueba el resultado.

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m00

P

m0 m

n Figura 1.8: Grafica para el quinto postulado Ahora tenemos que probar que el quinto postulado es una proposición en la teoría desarrollada a partir de los cuatro postulados de Euclides mas el Postulado V1 . Para esto hacemos uso de la Figura 1.9, en donde vamos a suponer que α + β es menor que dos ángulos rectos y que las rectas m y m0 son paralelas. n0

S m

0

β β0 α

m

Θ

Figura 1.9: equivalencia Trazamos por el punto S una recta n0 formando un ángulo β 0 tal que α + β 0 sea igual a dos rectos. De acuerdo con la Proposición 1.5, esta nueva recta es paralela a m. Entonces tendremos dos rectas diferentes pasando por S paralelas a una misma recta, lo cual es absurdo segun V1 . Esto completa nuestra prueba. A continuación se presentarán otros postulados equivalentes al quinto postulado, con el objetivo de exhibir el transcurso de este a través de la historia de la Geome-

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tría Euclidiana.

POSTULADO V2 . La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a dos ángulos rectos.

Este es el enunciado clásico del teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, este es parte fundamental de la Geométria Euclidiana. Para probar la equivalencia con el quinto postulado, es suficiente probar que con los cuatro primeros postulados y el Postulado V1 se puede llegar al quinto postulado. Pero para esto vamos a necesitar los siguientes dos lemas. Lema 1.1. Todo ángulo externo de un triángulo es siempre igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes. Demostración. Sea ABC el triángulo dado, x el ángulo exterior que tomaremos. Por lo tanto, A y C serán los ángulos interiores no adyacentes a x. C β

x A

B

Figura 1.10: Algo interesante sobre ángulos Sabemos que la suma de los ángulos x y B es igual a dos rectos (debido a que son ángulos adyacentes), por lo tanto trasponiendo se obtendrá: ]x = 2R − ]B 19

Ahora, si trazamos una recta m que pase por el vertice C y paralela a la recta AB, entonces podemos decir que el ángulo A es igual al ángulo β ya que son alternos internos. Si realizamos el mismo análisis para el ángulo x, diremos que el ángulo x es igual a la suma de los ángulos C y β ya que son alternos internos. Pero hay algo importante que concluimos anteriormente:

]A = ]β. Por lo tanto podemos concluir que el ángulo x es igual a la suma de los ángulos A y C. Si tomamos cualesquiera de los dos ángulos exteriores restantes, podemos realizar el mismo análisis y concluiremos que: Cualquier ángulo externo de un triángulo es siempre igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes. Lema 1.2. Por un punto P , se puede trazar una recta, formando con una recta dada un ángulo menor que cualesquiera número positivo dado. P

n

B

Θ1 Θ1

m A1

Θ2 A2

A3

Figura 1.11: Un ángulo menor a cualquier número positivo

Demostración. Consideremos un punto P , una recta m y una perpendicular a m que pasa por P . La perpendicular corta a m en un punto que llamaremos A1 . 20

Sobre m, sea A2 un punto tal que A1 A2 = P A1 . Por consiguiente el triángulo P A1 A2 es un triángulo isósceles con un ángulo de base Θ1 midiendo la mitad de un ángulo recto. Marcamos otro punto A3 , como lo muestra la Figura 1.11, tal que A2 A3 = P A2 . Como en el caso anterior, el ángulo de la base de este triángulo será Θ2 = Θ1 /2. Este argumento puede ser repetido cuantas veces se quiera, obteniendose en una etapa n (n ∈ N), un ángulo: Θn = Θ1 /2n−1 Es claro entonces que, dado cualquier número positivo ε, podemos escoger n suficientemente grande tal que Θn < ε. Estamos ahora preparados para probar que si la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos, entonces, por un punto exterior a una recta, pasa una única recta paralela a una recta dada. En realidad, Sea m una recta y P un punto fuera de m (ver Figura 1.12). Por lo tanto, podemos construir una recta n paralela a m y que pase por P . Sea entonces ABP el triángulo dado y α, β y γ los ángulos internos del triángulo ABP . La recta n que pasa por el vértice P del triángulo y es paralela a la recta m , permite la formación de los ángulos Θ y Ψ. Debido a que Θ, Ψ y γ son ángulos consecutivos la suma de ellos es igual a dos ángulos rectos. Pero Θ y α son iguales debido a que son alternos internos. Si realizamos un análisis análogo a los ángulos Ψ y β obtendremos que son iguales. Por lo tanto, si sustituimos α por Θ y β por Ψ en Θ + Ψ + γ = 2R (donde R representa un ángulo recto), obtendremos: α + β + γ = 2R. Que es en conclusión lo que se deseaba probar. 21

P Θ

γ

n

Ψ

α

β

A

B

m

Figura 1.12: Suma de los ángulos Un corolario que se desprende a partir de el postulado anterior es: La suma de los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto. La prueba de este es obvia ya que si los tres ángulos suman dos rectos y uno de ellos mide un recto entonces, la suma de los otros dos deberá valer un ángulo recto.

POSTULADO V3 . Las rectas paralelas son equidistantes.

POSTULADO V4 . Existe un par de triángulos semejantes y no congruentes.

POSTULADO V5 . Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos.

POSTULADO V6 . Si tres de los ángulos de un cuadrilátero son rectos, entonces, el último también es recto.

22

1.3.

Nacimiento de una nueva Geometría

El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro período anterior, la edad de oro de la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. Este siglo fue también, con la excepción de la época Heróica de la Antigua Grecia, el más revolucionario de la historia de la Matemática. Los esfuerzos a lo largo de tantos siglos en busca de demostrar el quinto postulado de Euclides habían acumulado frutos y un entendimiento profundo de la geometría euclidiana por muchas mentes. Como ocurre frecuentemente en las matemáticas, cuando sucede un descubrimiento, no es concebido por un solo hombre. El descubrimiento realizado durante la segunda y tercera década del siglo XIX por Lobachevski, Bolyai y Gauss de los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclidiana y en los años 60-70 la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias geométricas transformaciones de carácter revolucionario. Sin embargo, el primer intento de creación de una nueva geometría (inconscientemente) lo dio en siglo XVIII el jesuita Girolamo Saccheri, profesor de Matemáticas en la universidad de Pavia, en Italia, quien se propuso negar el postulado euclidiano de la paralela, y a continuación dedujo todas las consecuencias lógicas de esta negación, en la búsqueda de una contradicción que demostrase mediante el absurdo el famoso postulado. En otras pa labras, el procedimiento de Saccheri es el siguiente: tomemos cinco axiomas, de los cuales cuatro coinciden con los de Euclides y el quinto es la negación del quinto postulado de Euclides. Desarrollemos las consecuencias de este conjunto de axiomas así manipulado y si encontramos una contradicción, habremos demostrado que es erróneo rechazar el quinto postulado de Euclides. Esto fue lo que hizo Saccheri. A lo largo de su 23

proceso deductivo, aparecieron teoremas que a la luz de la intuición resultaban monstruosos. Sin embargo la monstruosidad, no es incoherencia y la intuición puede engañarnos. Aunque al comienzo cometió algún un error, Saccheri encontró la contradicción que buscaba y pensó que había logrado el objetivo que se había marcado previamente. En realidad, sin darse cuenta de ello, había construido la primera geometría no euclidiana. Esta contradicción empeoró pero tuvo que esperar todavía un siglo para verse conscientemente elaborada y desarrollada. La gran obra de Saccheri , un tratado de Geometría Euclideana que publicó en 1733, de la cual no hay indicio que Bolyai, Gauss ni Lobachevski la hayan leído.

1.3.1. Gauss En los años que antecedieron la consolidación del descubrimiento o nacimiento de una nueva geometría, la figura dominante en el mundo matemático era Carl Friedrich Gauss ( 1777-1855 ), quien dio grandes aportes y contribuciones a la matemática en general y en especial al nuevo descubrimiento. Solamente algunos de sus resultados, fruto de muchos años de investigación sobre problemas e inquietudes relacionados con el quinto postulado, se hicieron públicos durante su vida. Algunas cartas a otros interesados en aquellos problemas, críticas sobre paralelas y notas inéditas descubiertas entre sus trabajos, son toda la evidencia disponible de que él fue el primero en entender claramente la posibilidad de una geometría lógicamente precisa y diferente de la euclidiana, ya que se dió cuenta de la naturaleza intrínseca de las dificultades de demostrar el quinto postulado. La hipótesis que formuló es que “La suma de los ángulos de un triangulo es menor a 180o , conduce a una geometría muy curiosa”. Esta geometría es completamente consistente. En su época consideró, en una carta a un amigo (Taurinus, F. A.), que 24

los teoremas eran paradójicos y para los no iniciados absurdos, aunque con un poco de reflexión no tienen nada de imposible. Gauss no publicó sus investigaciones por temor al “griterió de los torpes”. Y la gloria de la fundación de la geometría no euclidiana hiperbólica corresponde al húngaro Janos Bolyai ( 1802-1860) y al ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856).

1.3.2. Bolyai El húngaro Wolfgang Bolyai (Bolyai Farkas, 1775-1856), se convirtió en amigo de Gauss a finales del siglo XVIII mientras estudiaban en la universidad. Los dos discutían frecuentemente sobre problemas relacionados con la teoría existente sobre paralelas. Después de la universidad continuaron su discusión por medio de cartas. En 1799 una carta escrita por Gauss a Bolyai, muestra que los dos se encontraban trabajando en la prueba del quinto postulado. En 1804, Bolyai creyó tener la solución de dicho problema, presentando sus ideas a Gauss por medio de un pequeño tratado titulado teoría paralela, el cual envió acompañado de una carta. Sin embargo su demostración tenía un error, Gauss contestó a su amigo indicándole el error. Bolyai continuó tratando de demostrar su idea y cuatro años más tarde envió nuevamente junto a una carta un tratado donde complementaba su prueba. Gauss nunca contestó a esta. Desconcertado, Bolyai colocó toda su atención en otras actividades como profesor, poeta, músico e inventor. A pesar de sus ocupaciones logró colocar sus ideas en un tratado de dos volúmenes. Wolfgang Bolyai fue un hombre muy talentoso, lamentablemente fue mas conocido por ser el padre de Johann. El 15 de Diciembre de 1802, nació Johann Bolyai (Bolyai Janos, 1802-1860). Johann estudio matemáticas como su padre, por lo cual fue natural que muy joven generara interés por el teorema de las paralelas. Durante 25

su estancia en el Royal College para ingenieros, en Viena durante 1817, dedicó mucho esfuerzo en probar el quinto postulado de Euclides, a pesar de que su padre le había sugerido dejar ese problema de lado. Hacia 1820, sus esfuerzos para probar el quinto postulado a través de sustituirlo por una afirmación contradictoria (negarlo), comenzaba a dar resultados que se tornaban interesantes y especiales. Su atención fue girando de dirección gradualmente ante la posibilidad de formular una nueva geometría, una geometría general, con la geometría euclidiana como caso particular. Al negar el quinto postulado, se generaban dos hipótesis posibles a considerar. La primera tenía que ver con que dado un punto externo a una recta, la no existencia de una recta paralela a la recta dada que pase por el punto. La segunda posibilidad que se podía cotejar era el hecho de que puede haber más de una recta paralela a la recta dada que pase por el punto tratado. Iniciando desde este punto, Bolyai observó que la existencia de dos de estas rectas acarreaba la existencia de una infinidad de estas. Estos resultados constituían el origen de la nueva geometría. Al parecer lo que mas impresionaba a Bolyai era el hecho de que las proposiciones no dependían del quinto postulado, y que por lo tanto, eran válidas en cualquier geometría. En 1831 Bolyai realizo un apéndice de 26 paginas al tratado de su padre, donde plasmaba las investigaciones de 10 años. Farkas Bolyai el padre de Johann, le envió una copia del texto a su amigo Gauss. La respuesta fue inesperada: “Si digo que soy incapaz de elogiar este estudio, quizás le extrañe. Pero no puede ser de otra manera, porque ello equivaldría a elogiar mis propios trabajos. En efecto, el enfoque preconizado por su hijo y los resultados que ha obtenido coinciden casi enteramente con las ideas que han ocupado mi espíritu desde hace 30

26

ó 35 años. No tengo la intención de publicar estas meditaciones durante mi vida, pero había decidido escribirlas para que pudieran conservarse. Es, en consecuencia una sorpresa agradable para mí el poder ahorrarme ese trabajo, y me llena de alegría el pensamiento de que es precisamente el hijo de mi amigo de siempre, el que me ha suplantado de forma tan notable.” Cuando Johann recibió de su padre una copia de esta carta, fue decepcionante, y llegó a pensar que Gauss pretendía arrebatarle su descubrimiento. Este suceso dejo tan mal a Johann Bolyai que abandonó sus actividades matemáticas. Sin embargo, en una carta escrita por Gauss a su amigo G. I. Gerling, dice: Considero al joven geómetra Bolyai un genio de primera fila, porque estos resultados coinciden con los que obtuve hace mucho tiempo. Tristemente el reconocimiento de Gauss al trabajo de Johann Bolyai nunca fue público por lo cual el trabajo de Johann no fue conocido en ese momento, ni tampoco se dio a conocer los avances de que Gauss estaba al tanto en geometría.

1.3.3. Lobachevski A pesar de que Bolyai se entero del trabajo de Nikolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856) apenas en 1848, éste ya había publicado sus conclusiones en 1829, dos años antes de la publicación del apéndice. Nikolai Lobachevski nació el 1 de Diciembre de 1792 en Nizhñi Novgorod, en una modesta familia. Cuando Lobachevski cumplió los 10 años, su madre lo llevó junto a sus dos hermanos a la ciudad de Kazan para que estudiaran (educación media). Desde un comienzo se distinguió por sus capacidades y aplicación, en 1807 ingreso a la Universidad de Kazan. Donde se graduó en 1811. Inmediatamente se convirtió en instructor de esta, siendo promovido a profesor rápidamente. Una copia de sus notas de cla27

se de 1815, revelan que ya por aquella época estaba tratando de probar el quinto postulado de Euclides. En 1823, Lobachevski terminó un texto de geometría, el cual no fue publicado, en este se presentaba sus estudios sobre el quinto postulado, uno de los resultados más interesantes era el hecho de que el quinto postulado no se podía demostrar matemáticamente. Durante 1826, en una conferencia sobre matemáticas y física ofrecida en la universidad de Kazan, Lobachevski sugiere la existencia de una nueva geometría, basada en el hecho de que por un punto fuera de una recta pasan más de una recta paralela. En 1829 publicó unas memorias, sobre las bases de la geometría, en donde expuso totalmente su teoría referente a las paralelas. Esta publicación fue la primera sobre la geometría no euclidiana, lamentablemente su publicación y expansión para el resto del mundo fue muy lenta o casi nula, debido a que el texto de Lobachevski se encontraba escrito en ruso. En los años siguientes Nikolai Lobachevski escribió varios trabajos sobre la nueva geometría, con la esperanza de trazar alguna atención sobre su obra, talvez el más importante fue un libro titulado "Geometrischen Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien"(Investigaciones geométricas acerca de las líneas paralelas), escrito en alemán. Lobachevski estaba convencido de que la única persona en el mundo que podría emitir un concepto final sobre su trabajo en geometría era la figura científica más importante de ese tiempo: Gauss, con este fin decidió enviarle una versión de su libro investigaciones geométricas acerca de las líneas paralelas, hay que hacer énfasis que dicho texto es una versión completa de la teoría de Lobachevski. En la biblioteca de Gauss se encontraron dos ejemplares del texto. Se presume que uno lo adquirió directamente Gauss y el otro lo recibió del mismo Lobachevski. En una carta de Gauss al astrónomo Encke, en 1840, se refería a Lobachevski, en

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esta se lee lo siguiente: “Comienzo a leer en ruso con bastante éxito, y encuentro en esto gran satisfacción. El señor Knorre me ha enviado una memoria de Lobachevski (de Kazan), escrita en ruso, y tanto está memoria como un librito en alemán sobre las líneas paralelas (acerca del cual apareció en el Repertorium de Gersdorf una nota por completo estúpida) despertaron en mí el deseo de saber más sobre este agudo matemático. Según Knorre, en las memorias científicas de la universidad de Kazan, que se publicaron en ruso, han salido muchos trabajos suyos.” Y en 1846 le escribe al astrónomo Schumacher, mencionándole que se encuentra leyendo una vez más el libro de Lobachevski (investigaciones geométricas acerca de las líneas paralelas), reconociendo un gran merito en el trabajo de Nikolai, pero reconociendo que los resultados obtenidos ya eran de su conocimiento, pero demostrados por métodos totalmente diferentes. Lamentablemente como sucedió en el caso de Johann Bolyai, Gauss no realizó ningún comentario público que tuviera que ver con el trabajo de Lobachevski en la Geometría.

Los trabajos de Bolyai y Lobachevski no recibieron el reconocimiento cuando fueron publicados, a pesar de que representaban el resultado de siglos de investigación en el mundo matemático. Pero esto no debe ser sorpresa, la historia nos ha enseñado que grandes descubrimientos y aportes al ámbito científico se han reconocido después de mucho tiempo, en algunos casos después de la muerte de sus creadores, como es el caso de la geometría hiperbólica. En este caso particular el retraso en su publicación y expansión tal vez se debido a varias razones: Bolyai abandonó sus investigaciones matemáticas debió a la respuesta de Gauss, hay que reconocer que esta golpeo y maltrato demasiado la parte psicológica de Johann.

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En el caso de Lobachevski tal vez son dos las limitaciones más marcadas, primero sus tratados y publicaciones eran escritas en ruso y en aquella época el Latín, Alemán y Francés eran las principales lenguas de la ciencia. Por ello Nikolai se vió abocado a realizar un libro en alemán (Investigaciones Geométricas acerca de las líneas paralelas), y la segunda limitación que tuvo que enfrentar Nicolai fue el rechazo de gran parte de sus contemporáneos en el imperio ruso. A pesar de las dificultades e impedimentos, a partir de la publicación de la correspondencia de Gauss, nueve años después de la muerte de Lobachevski, e impulsados por eventos como: La primera traducción a Francés de Geometrischen Untersuchungen zur Theorie der parallellinien publicada en 1866, la del apéndice al año siguiente y la famosa conferencia de Riemann de 1854 que fue dada a conocer en 1868 "Sobre las hipótesis en que se apoyan los fundamentos de la Geometría", se dió inicio a una época de evolución no solo en las matemáticas sino en la ciencia.

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Capítulo 2 Geometría hiperbólica Como se ha venido mencionando, la geometría hiperbólica se hadesarrollado abstractamente a partir del conjunto de conocimientos que surgieron en el estudio del Quinto Postulado (de Euclides), pues nace al negarlo: “Son muchas las paralelas a una recta que pasan por un punto fuera de ella”. A principios del siglo XIX algunos matemáticos como Bolyai y Lobachevski presentaron sus fundamentos para el nacimiento de la geometría hiperbólica. Estaban convencidos de su solidez y por consiguiente de su “existencia o posibilidad”. Pero es también cierto que se encontraban en franca minoria. En algunas ocasiones se les calificaba de extravagancia o vil locura entre la comunidad científica. Como se ha mencionado anteriormente matemáticos de renombre y que contaban con el reconocimiento del mundo cientifico, como es el caso de Gauss, conocian resultados de geometría hiperbólica pero no los hicieron públicos por temor al descrédito. Fue hasta la segunda mitad de ese siglo que gracias al surgimiento de modelos del plano hiperbólico basados en la geometría euclidiana, que la comunidad matemática acabo por reconocerla. 31

La presentacion que se da en este de texto a la geometría hiperbólica será axiomática como homenaje a sus precursores que se dieron el lujo de creer lo increible, de crearlo y demostrarlo, reconociendo que este texto es tan solo una introducción a esta geometría. A pesar de lo citado anteriormente, al decir que nuestro acercamiento a la geometría hiperbólica se realizará por el camino axiomático, daremos a continuación ideas intuitivas respecto a sus puntos, líneas y plano hiperbólico, con la intención de que esto facilite al lector el acercamiento a la geometría hipebólica. El modelo de puntos, líneas y plano que se presenta a continuación es debido a la interpretación realizada por F. Klein del sistema geométrico de Lobachevski, basada en la geometría proyectiva [5].

Puntos: El plano hiperbólico, H, consiste de los puntos interiores del círculo unitario: H := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1}

Figura 2.1: El plano hiperbólico Líneas: Las líneas rectas, del plano hiperbólico son sus intercepciones con las 32

líneas rectas euclidianas. Es decir son cuerdas del círculo unitario cuyos extremos pertenecen al borde del círculo unitario, por ende, los segmentos que representan rectas hiperbólicas son abiertos (no contienen sus extremos propios). Es claro entonces que por cada par de puntos en H hay una única recta que pasa por ellos, y por tanto, que si dos rectas diferentes en el plano hiperbólico se interceptan, entonces se interceptan en un único punto.

2.1.

El quinto postulado de la geometría hiperbólica

Como se ha mencionado anteriormente el quinto postulado de Euclides es equivalente a la afirmación: Por un punto fuera de una recta, puede ser trazada una única recta dada. En nuestra introducción a la geométria hiperbólica, nos encontramos con un postulado característico de esta, que ocupa el lugar del quinto postulado en la geométria Euclidiana.

POSTULADO. Por un punto fuera de una recta, se pueden trazar por lo menos dos rectas que no se encuentran con la recta dada.

Observemos que si existen dos rectas pasando por un punto y sin interceptar la recta dada, existen infinitas rectas con esta propiedad. Consideremos dos de estas rectas m y m0 que pasan por un punto P y no interceptan a una recta n. Alrededor de la intercepción de las rectas m y m0 (en el punto P ), se forman cuatro ángulos. La recta n esta contenida en uno de ellos. Si observamos todas las rectas que pasan por el punto P y cruzan los ángulos α y β son rectas que tampoco

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α

m

P

β

m0 n

Figura 2.2: Quinto postulado de la geométria hiperbólica E

P

F

B A

A0

n

Q

Figura 2.3: Infinitas rectas que no intersectan a n interceptan a la recta n. Y es obvio que este conjunto de rectas es infinito. Con un conjunto tan grande de rectas que no interceptan a n, es conveniente modificar la definición de paralelismo. Vamos a llamar paralela a la recta n que pasa por P apenas a dos de tales rectas, las cuales describiremos mas adelante. Proposición 2.1. Dada una recta n y un punto P fuera de esta, existen exactamente dos rectas m y m0 que pasan por el punto P y que separan el conjunto de las rectas que interceptan n del conjunto de las rectas que no interceptan n. Demostración. Trazamos una perpendicular por el punto P a la recta n y designamos por Q el pie de esta perpendicular. Posteriormente, trazamos una recta pasando por P y perpendicular al segmento P Q, la cual sabemos que no intercepta la recta n. Escogemos dos puntos E y F sobre esta recta de tal forma que 34

P pertenezca al segmento EF y considere el triángulo EF Q. Como el punto P pertenece al lado EF todas las rectas que pasan por P , con excepción de la que pasa por E y F , son rectas que cortan el segmento EF en un punto y que por tanto también cortan el segmento EQ o el segmento QF . Inicialmente, nos restringiremos a las rectas que cortan el segmento EQ. Observese que en este segmento cada punto representa una de las rectas que pasa por P . Estos puntos pueden separarse en dos clases, la de los que representan las rectas que no iterceptan a n y que llamaremos N , y la de los que representan rectas que interceptan a n y que llamaremos M. Es claro que N ∩ M es vacio, que E ∈ N y que Q ∈ M. Adicionalmente si A ∈ M entonces QA ⊂ M. Para ver esto, sea A0 el punto de n donde la recta que pasa por P y A intercepta a n, observemos que cualquier recta que penetre en el triángulo P QA0 por el vértice P debe cortar el lado QA0 . Asi, si B ∈ N entonces EB ∈ N . Entonces existe un punto S que separa los conjuntos M y N . La pregunta que surge inmediatamente es si este punto de separación pertenece al conjunto M o al conjunto N . Supongamos que pertenece a M o sea la recta que pasa por P y S e intercepta n en un punto S 0 . Tomemos ahora cualquier punto de la semirecta de origen Q, pasa por S 0 y y que esta fuera del segmento QS 0 . Es claro que esta recta intercepta EQ en un punto que está por fuera del segmento QS, lo cual es un absurdo y por tanto S ∈ N . El mismo argumento puede repetirse para el segmento QF obteniendo asi otro punto de separación en ese lado. Estos dos puntos corresponden a las rectas que separan todas las rectas que pasan por el punto P en dos categorías, las que interceptan a n y las que no interceptan a n. Además, estas dos rectas no interceptan a n.

35

Llamaremos las dos rectas de la proposición anterior paralelas a la recta n que pasan por P . Proposición 2.2. Las rectas paralelas a una recta n que pasan por P forman ángulos iguales con la perpendicular a n que pasa por P . Además el ángulo mencionado es agudo.

P α2 α 1

α1

R2

Q

R1

Figura 2.4: Ángulos iguales y agudos Demostración. Sea P Q el segmento perpendicular a n que pasa por el punto P . Sean α1 y α2 los dos ángulos citados en la proposición. Supongamos que α1 < α2 . En el lado en que está α2 , tracemos una recta que pase por P y forme un ángulo α1 con P Q. Es entonces claro que tal recta cortará a n en un punto, que llamaremos R2 . Sea entonces R1 , un punto en la recta n, tal que Q sea el punto medio de R1 R2 . Los triángulos P QR1 y P QR2 son entonces congruentes. En consecuencia, el ángulo QP R1 = α1 , lo cual es un absurdo.

2.2.

Propiedades elementales de las paralelas

Ciertas propiedades de las paralelas euclidianas son válidas en la geometría hiperbólica. Tres de estas se darán a continuación. 36

Teorema 2.1. Si una recta es paralela, pasando por un punto y en un determinado sentido, a una recta dada, entonces, ella es en cada uno de sus puntos, paralela en el mismo sentido a la recta dada. mA

P

R U

N

n

B

T O

S

M

Figura 2.5: Paralela en todos sus puntos

Demostración. Supongamos que la recta m que pasa por A y B sea una de las paralelas a n pasando por P . Digamos que es la paralela a la derecha. Ahora tomemos un punto cualquiera de m, al que llamaremos R. Debemos mostrar que m es también una de las paralelas a la recta n pasando por el punto R y que es paralela a la derecha. Entonces tendriamos dos casos a considerar:

CASO 1. El punto R está en el lado del punto P en la dirección del paralelismo. Tracemos P Q y RS perpendiculares a n. Vamos a mostrar que toda recta pasando por n y entrando en el ángulo SRB corta la recta n. Sea RT un segmento de una de estas rectas y escojamos un punto cualquiera U en el. A continuación tracemos P U y RQ. Por el paralelismo en el punto P , tenemos que la recta P U debe cortar n en un punto M y, por el axioma de Pasch, debe cortar el segmento RQ en un punto N . Nuevamente usando el axioma de Pasch, concluimos que la semirecta

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RU prolongada, debe cortar el lado QM del triángulo QN M . De donde se sigue el resultado.

CASO 2. El punto R, esta en el lado del punto P en la dirección opuesta al paralelismo. En este caso la demostración es esencialmente la misma y por eso no la presentamos. Teorema 2.2. Si una recta es paralela a una segunda entonces la segunda es paralela a la primera. A

P

R

L

m

B

E F G C

K

O

H J

n

D

Figura 2.6: Paralelas recíprocas

Demostración. Considerense las rectas m y n que pasan por los puntos A y B, C y D, respectivamente. Sea P un punto del segmento AB. Supongamos ahora que m sea paralela a la recta n pasando por P en una dirección, digamos que sea a la derecha. Tracemos P Q perpendicular a n y QR perpendicular a m. El punto R estará a la derecha de P (del lado del paralelismo), de lo contrario el triángulo P QR tendría dos ángulos no agudos, lo cual es prohibido por el teorema del ángulo externo. Debemos probar que la recta n es paralela a la recta m pasando por el punto Q.

38

Para esto, tenemos que probar que toda recta que pasa por el punto Q y divide el ángulo RQD, intercepta a la recta m. Considérese una de estas rectas y sea E uno de sus puntos dentro del ángulo citado. Tracemos la recta P F perpendicular a esta recta. El punto F pertenece a la semirecta de origen en Q pasando por E. En la semirecta SP Q (semirecta de origen en P y que pasa por Q) marquemos un punto G, de modo que P G = P F . El punto G ∈ P Q, ya que P F < P Q como cateto e hipotenusa de un triángulo rectángulo. Tracemos una perpendicular GH al segmento P Q y construya un ángulo GP I igual al ángulo F P B. Sea J el punto en donde la semirecta SP I corta la recta n. Como la semirecta SGH corta el lado P Q del triángulo P QJ, pero no corta el lado QJ, entonces, debe cortar P J en algún punto K. En SP B marquemos un punto L tal que P L = P K y tracemos F L. Se puede observar que P GK y P F L son congruentes (primer caso de congruencia). Por lo tanto, ]P F L = ]P GK = 90o , luego, los puntos Q, F , E y L son colineales. Entonces la semirecta SQE corta la recta m, como se quería demostrar. El siguiente y último teorema lo presentamos sin demostración. Teorema 2.3. Si dos rectas son paralelas a una tercera en la misma dirección entonces son paralelas entre si. Con el fin de simplificar los enunciados se introduce la noción de punto ideal. Lo que se hace es agregar dos puntos a cada recta del plano, los cuales en el orden de estas rectas se ubican uno antes de todos sus puntos y otro después de todos los puntos. El procedimiento que utilizado es el mismo que se usa para incluir los puntos +∞ y −∞ en el conjunto de los número reales. Ellos serán denominados puntos ideales. Admitiremos que estos nuevos puntos son adicionados de modo 39

tal que las rectas paralelas tengan en común un punto ideal en la dirección del paralelismo, o sea que el mismo punto ideal es adicionado a rectas paralelas en el lado del paralelismo. Así, dos rectas son paralelas si tienen un punto ideal en común.

2.3.

Triángulos generalizados

Consideremos, inicialmente, los triángulos generalizados formados por dos puntos ordinarios y un punto ideal. Vamos a representar los puntos ideales por letras griegas mayúsculas. Así mismo, nos referiremos al triángulo generalizado ABΩ, que tiene vértices ordinarios A y B, y el vértice ideal Ω. Como en la Figura 2.7, la cual queda formada por el segmento AB y por dos semirectas paralelas con orígenes en los puntos A y B. A

Ω B Figura 2.7: Triángulo generalizado

Teorema 2.4. Si una recta penetra en un triángulo generalizado ABΩ por uno de sus vértices, entonces, ella corta el lado opuesto a este vértice. Demostración. Si la recta penetra por A, o por B, entonces, debe interceptar el lado opuesto. Esto ocurre simplemente porque las rectas AΩ y BΩ son paralelas. 40

Considérese, pues una recta que proviene del punto Ω y pasa en algún punto P interior del triángulo. Por paralelismo, la semirecta SAP intercepta BΩ en un punto Q. Por el axioma de Pasch, una recta que viene de Ω y pasa por P debe interceptar uno de los otros lados del triángulo ABQ. No puede interceptar BQ, pues de lo contrario, coincidirá con el lado BΩ. Luego, intercepta AB. A

P Ω Q B Figura 2.8: Intercepción del lado opuesto

Teorema 2.5. (Teorema del ángulo externo) Un ángulo externo de un triángulo generalizado ABΩ es siempre mayor que el ángulo interno que no le es adyacente. Demostración. Dado un triángulo generalizado ABΩ, sea C un punto de la semirecta SAB , fuera del segmento AB. Tenemos que ]CBΩ es un ángulo externo del triángulo. Debemos probar que ]CBΩ >]BAΩ. Para esto, tracemos a partir de B un segmento BD, tal que ]CBΩ = ]BAΩ. Como consecuencia de los cuatro primeros postulados, la recta que pasa por B y D no intercepta AΩ. En consecuencia, el punto D no puede estar en la región interior del triángulo ABΩ. Si el punto D está fuera del triángulo, como en la Figura 2.9, entonces, el resultado

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está demostrado. Nos falta solamente excluir las posibilidades de que el punto D esté sobre BΩ. L

}Ω

A

M N B

D

C Figura 2.9: El ángulo externo Suponga que esto sucede, sea M el punto medio de AB. Bajemos una perpendicular de M hasta un punto N ∈ BΩ. En la recta que pasa por A y Ω, marquemos el punto L de modo que LA = BN y que L y N estén en lados opuestos relativamente a la recta que pasa por A y B. Por el primer caso de congruencia de triángulos (ordinarios), LAM = N BM y enconsecuencia, LN es una perpendicular común a LΩ y a N Ω. Lo cual es absurdo ya que esto contradice la proposición 2.2. Diremos que dos triángulos generalizados, ABΩ y A0 B 0 Ω0 , son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices de modo que, los lados finitos se correspondan y sean congruentes, y los ángulos correspondientes sean también congruentes. Como en el caso de los triángulos ordinarios, escribiremos ABΩ = A0 B 0 Ω0 , para decir que dos triángulos son congruentes y que la congruencia lleva A en A0 , B en B 0 y Ω en Ω0 . A continuación se darán las condiciones mínimas bajo las cuales dos triángulos generalizados, del tipo que venimos considerando, 42

son congruentes. Teorema 2.6. (Caso 1 de congruencia de triángulos) Si AB = A0 B 0 y ]BAΩ = ]B 0 A0 Ω0 entonces ABΩ = A0 B 0 Ω0 (ver Figura 2.10). Demostración. Debemos mostrar que ]ABΩ = ]A0 B 0 Ω0 . Vamos a suponer que este no es el caso, y sin perdida de generalidad, podemos suponer que ]ABΩ > ]A0 B 0 Ω0 . Sea SBC una semirecta tal que los ángulos ABC, y, A0 B 0 Ω0 son iguales. Esta semirecta penetra en el ángulo ABΩ. Ahora, por el Teorema 2.4 podemos decir que esta semirecta corta a el lado AΩ en el punto D. Tomemos un punto D0 en A0 Ω0 , tal que AD = A0 D0 , por lo que podemos decir que los triángulosABD y A0 B 0 D0 son iguales. Por lo tanto, ]ABD = ]A0 B 0 D0 = ]A0 B 0 Ω0 lo cual es un absurdo. A

D C

B´

A´ Ω D´

B Ω´ Figura 2.10: Primer caso de congruencia

Teorema 2.7. (Caso 2 de congruencia de triángulos) Si ]ABΩ = ]A0 B 0 Ω0 y ]BAΩ = ]B 0 A0 Ω0 entonces los triángulos ABΩ y A0 B 0 Ω0 son iguales. 43

A

A´

Ω

Ω´

C B

B´ Figura 2.11: Segundo caso de congruencia

Demostración. Debemos probar que AB = A0 B 0 . Supongamos que este no sea el caso. Sin perdida de generalidad, podemos suponer AB > A0 B 0 . Sea C un punto de AB tal que AC = A0 B 0 . Consideremos la recta CΩ, por el primer caso de congruencia de triángulos generalizados, tenemos que ACΩ = A0 B 0 Ω0 . Por lo tanto, ]ACΩ = ]A0 B 0 Ω0 . Como este último es, por hipótesis, igual al ángulo ABΩ, entonces, el triángulo CBΩ posee un ángulo externo igual a un ángulo interno no adyacente. Y esto es una contradicción al teorema del ángulo externo (Teorema 2.5). Teorema 2.8. Si AB = A0 B 0 , ]ABΩ = ]BAΩ y ]A0 B 0 Ω0 = ]B 0 A0 Ω0 entonces los triángulos ABΩ y A0 B 0 Ω0 son iguales. Demostración. Es suficiente probar que los ángulos ABΩ y A0 B 0 Ω0 son iguales (ya que tendríamos el primer caso de congruencia de triángulos). Vamos a suponer que este no sea el caso. Podemos asumir, sin perdida de generalidad que ]ABΩ > ]A0 B 0 Ω0 . Construyamos entonces, ángulos ABC y BAD iguales entre si e iguales al ángulo A0 B 0 Ω0 . Por el Teorema 2.3 y por el axioma de Pasch, concluimos que las semirectas SAD y SBC se interceptan en un punto, que llamaremos E, en el interior del triángulo ABΩ. Ubiquemos en el lado A0 Ω0 del triángulo A0 B 0 Ω0 44

A

A´ D

E

C

E´

Ω

B

Ω´

B´ Figura 2.12: Igualdad de triángulos

un punto E 0 , talque A0 E 0 = AE. Se deduce que los triángulos ABE y A0 B 0 E 0 son congruentes. Entonces tenemos que los ángulos A0 B 0 E 0 y ABE son iguales. Como este último es igual al ángulo A0 B 0 Ω0 , el punto E 0 debe pertenecer a B 0 Ω0 . Por lo tanto hemos llegado a un absurdo.

2.4.

El ángulo de paralelismo P Θ h Ω A Figura 2.13: Ángulo de paralelismo

Considérese un triángulo generalizado AP Ω, como en la Figura 2.13, en el que el ángulo ]A = 90o . Por el teorema del ángulo externo para triángulos generalizados, es fácil concluir que el ángulo P es agudo. A este lo llamaremos el ángulo de paralelismo. Debido al primer caso de congruencia de triángulos generalizados, 45

probado en la sección anterior, podemos deducir inmediatamente que, el ángulo de paralelismo depende del segmento de recta AP . Vamos a representar por h tal segmento y por Θ el ángulo de paralelismo, observar la Figura 2.13. Una consecuencia inmediata del teorema del ángulo externo es que la función Θ es estrictamente decreciente, esto es: Si h1 < h2 entonces Θ(h1 ) > Θ(h2 ). Como el tamaño del segmento AP es arbitrario, la función Θ está definida para cualquier número real no negativo siendo igual a un ángulo recto cuando h = 0. Se puede probar que la función Θ tiene por imagen el conjunto de todos los ángulos en el intervalo (0o , 90o ], tendiendo a cero cuando h crece demasiado (es decir, tiende a +∞). Así, Θ es continua ya que es estrictamente decreciente. Podemos extender la definición de Θ a valores negativos de h a través de la ecuación: Θ(h) + Θ(−h) = 180o . Esto permite que podamos colocar coordenadas en una recta, en la forma usual, y tengamos la función Θ definida para cada punto de esta recta.

2.5.

Cuadriláteros especiales

Como se ha mencionado anteriormente, la búsqueda de probar el quinto postulado de Euclides originó resultados equivalentes a este, algunos han sido mencionados en el primer capítulo de esta monografía, dentro de ellos encontramos uno que se debe al jesuita Girolamo Saccheri (1667-1733) también mencionado anteriormente. Saccheri usó como base de sus investigaciones cuadriláteros. Otro postulado equivalente que también utiliza a los cuadriláteros, es el producido por Johann 46

Heinrich Lambert (1728-1777). A continuación hablaremos del trabajo desarrollado por Saccheri. Supongamos un cuadrilátero ABCD con sus lados AB y CD iguales y los ángulos DAB y ABC rectos, ver Figura 2.14. Tales cuadriláteros son comúnmente llamados cuadriláteros de Saccheri. En la geometría euclidiana ellos serían rectángulos, pero esto no ocurre en la geometría hiperbólica. En un cuadrilátero de Saccheri, el lado común a los dos ángulos rectos (DAB y ABC) es llamado base y el lado opuesto a la base es llamado tapa, los otros dos son llamados simplemente lados del cuadrilátero. Los dos ángulos no rectos son denominados ángulos de la tapa o simplemente ángulos del cuadrilátero. D

H

C

A

M

B

Figura 2.14: Cuadrilátero de Saccheri

Proposición 2.3. La recta que une los puntos medios de la base y de la tapa de un cuadrilátero de Saccheri es perpendicular a la tapa y a la base; los ángulos de la tapa son congruentes. Demostración. Sea AB la base del cuadrilátero de Saccheri DABC. Sean M y H los puntos medios de la base y la tapa respectivamente, ver Figura 2.14. Es fácil probar que ]DAM = ]CBM y que en consecuencia los triángulos DM H y CM H son iguales. Se sigue de lo anterior que M H es perpendicular a DC, y 47

sumando los ángulos en M que M H es también perpendicular a AB. Sumando ángulos en D y C obtenemos la igualdad de los ángulos de la tapa. Corolario 2.1. La base y la tapa de un cuadrilátero de Saccheri forman parte de rectas que no se interceptan. Teorema 2.9. los ángulos de la tapa de un cuadrilátero de Saccheri son agudos. Demostración. Usaremos las mismas letras de la figura anterior. Sea Ω un punto ideal de la recta que pasa por A y B. Sin perdida de generalidad podemos suponer que B ∈ AΩ. Consideremos entonces, las semirectas DΩ y CΩ. Sea E un punto tal que C ∈ DE. D

C

A

B

E

Ω

Figura 2.15: La parte superior de un cuadrilátero Debido al corolario anterior, sabemos que DΩ está contenida en el ángulo ADE y que CΩ está contenida en el ángulo BCE. Tenemos entonces que los ángulos ADΩ y BCΩ son iguales, por ser ángulos de paralelismo correspondientes a segmentos congruentes. Además, en el triángulo generalizado CDΩ, el ángulo externo ECΩ es mayor que el ángulo interno no adyacente CDΩ. Por lo tanto, ]BCE > ]ADC = ]BCD. Por consiguiente, ]BCD es agudo.

48

Si observamos con atención la proposición 2.3 nos damos cuenta que depende solamente de los cuatro primeros postulados, siendo, por tanto, también válida en la geometría euclidiana. Lambert también utilizó, como figura fundamental de su estudio de geometría un cuadrilátero, pero con una característica interesante, con tres ángulos rectos. Estos cuadriláteros son conocidos como cuadriláteros de Lambert. Su único ángulo no conocido es llamado el ángulo del cuadrilátero de Lambert. Teorema 2.10. El ángulo de un cuadrilátero de Lambert es siempre agudo Demostración. Sea ABCD un cuadrilátero de Lambert con ]A = ]B = ]D = 90o . Prolonguemos la semirecta SBA , marcando un punto E, tal que EA = AB. Tracemos además un segmento de recta F E perpendicular a AB y congruente a BC, ver Figura 2.16. Tracemos las semirectas F A, F D y AC. Es inmediato que los triángulos F EA y CBA son iguales. Como consecuencia, obtenemos la F

D

C

E

A

B

Figura 2.16: Cuadrilátero de Lambert congruencia de los triángulos F AD y CAD. Por tanto, el ángulo ADF es recto entonces los puntos F , D y C son colineales. Por construcción, F EBC es un cuadrilátero de Saccheri luego el ángulo BCD es agudo.

49

Teorema 2.11. Sea ABCD un cuadrilátero con ]A = ]B = 90o . Entonces, ]C > ]D si y sólo si AD > CB. Demostración. Si AD > BC, tomemos un punto E sobre la semirecta AD, tal que AE = BC y tracemos EC (ver Figura 2.17). Entonces, EABC es un cuadrilátero de Saccheri, luego ]AEC = ]BCE. Como ]AEC es un ángulo externo del triángulo DEC y claramente ]BCD > ]BCE, podemos concluir que ]ADC < ]BCD. La prueba de la afirmación recíproca se puede hacer fácilD C

E

A

B

Figura 2.17: Un resultado interesante mente y no la presentaremos aquí.

2.6.

Suma de los ángulos de un triángulo

En la geometría euclidiana la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a dos rectos, dicho resultado se demostró en el primer capítulo. Un resultado que se deduce del anteriormente citado es que la suma de los dos ángulos restantes de un triángulo rectángulo es igual a un recto. En la geometría hiperbólica existen resultados similares, los cuales vamos a presentar a continuación.

50

Teorema 2.12. La suma de los ángulos de cualquier triángulo rectángulo es menor que dos ángulos rectos. Demostración. Sea ABC un triángulo rectángulo con un ángulo recto en C, ver Figura 2.18. Sabemos con base en los cuatro primeros postulados, que la suma de cualesquiera dos ángulos de un triángulo es siempre menor que dos ángulos rectos. Así, los otros dos ángulos de nuestro triángulo son agudos. Tracemos un A

Q

D

M

C

P

B

Figura 2.18: Ángulos internos de un triángulo segmento AD de tal forma que ]DAB = ]ABC. Sea M el punto medio de AB. Tracemos una semirecta M P perpendicular a BC. En la semirecta SAD se marca un punto Q tal que AQ = P B. Entonces tenemos que los triángulos AQM y BP M son iguales. En consecuencia, el ángulo M QA es un ángulo recto y P , M y Q son colineales. Por lo tanto, ACP Q es un cuadrilátero de Lambert con ángulo agudo en el vértice A. Luego la suma de los dos ángulos no rectos del triángulo rectángulo ABC, que es exactamente igual al ángulo agudo CAD, es menor que un ángulo recto. El siguiente resultado es un corolario inmediato del teorema anterior. Teorema 2.13. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos ángulos rectos. 51

Corolario 2.2. La suma de los ángulos de todo cuadrilátero es menor que cuatro ángulos rectos. Teorema 2.14. Si los tres ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a los tres ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A

D

A´ C´

E

B´ C

B Figura 2.19: Ángulos congruentes

Demostración. Sean ABC y A0 B 0 C 0 dos triángulos tales que ]A = ]A0 , ]B = ]B 0 y ]C = ]C 0 , ver la Figura 2.19. Supongamos que los lados correspondientes no son iguales. Por ejemplo, supongamos que AB > A0 B 0 , sea entonces un punto D en AB tal que AD = A0 B 0 . En la semirecta SAC marquemos un punto E tal que AE = A0 C 0 . Entonces tenemos que los triángulos ADE y A0 B 0 C 0 son iguales. Es claro que AE < AC, pues de no ser cierto sería una contradicción a nuestra hipótesis. Entonces, BDEC es un cuadrilátero en el que la suma de los ángulos internos es igual a cuatro rectos, lo que esta en franca contradicción al Corolario 2.2. Esto concluye nuestra demostración. El siguiente teorema lo presentamos sin demostración. Teorema 2.15. La función ángulo de paralelismo Θ está definida para cualquier número real no negativo, es sobreyectiva y tiene como rango el intervalo (0o , 90o ]. 52

2.7.

Puntos ultraideales

Vamos ahora a llevar nuestra atención a las rectas que no se interceptan. Sabemos que si dos rectas tienen una perpendicular en común, entonces estas rectas no se interceptan. La afirmación inversa es también verdadera y se constituye en una de las propiedades importantes de la geometría hiperbólica. Teorema 2.16. Dos rectas que no se interceptan tienen una y solamente una perpendicular común. Demostración. En esta demostración tenemos que realizar dos pruebas, la primera relacionada con la existencia y la segunda con la unicidad. Existencia. Sean m y n un par de rectas que no se interceptan. Escojamos dos puntos cualesquiera A y B en n y tracemos los segmentos AC y BD perpendiculares a m. Si AC = BD, ACDB es un cuadrilatero de Saccheri. Se sigue de inmediato que n y m poseen una perpendicular común. Si AC no es congruente a BD, podemos suponer, sin perdida de generalidad, que AC > BD. Vamos a llamar Ω a un punto ideal de la semirecta SAB . Ubiquemos un punto E en AC tal que EC = BD y marquemos un punto cualesquiera H en la semirecta SCD fuera del segmento CD. A continuación construimos el ángulo CEF igual al ángulo DBΩ con un punto F en el cuadrilatero ACDB. Vamos a mostrar que la semirecta SEF intercepta a n. Para esto, considere las semirectas CΩ y DΩ las cuales están respectivamente dentro de los ángulos ACH y BDH. Como por el teorema del ángulo externo ]HDΩ > ]HCΩ, entonces podemos trazar una línea CJ penetrando el ángulo ACDΩ tal que los ángulos ]HCJ = ]HDΩ. Tal recta imterceptará la recta n en un punto que por simplicidad podemos suponer que es el punto J. Una inspección de la información que 53

n

A

Ω‘

B K M

F

J

Ω

m C

D L

N

H

Figura 2.20: Puntos ultraideales tenemos sobre las figuras F ECJ y JBDΩ nos convence de que SEF es paralela a SCJ . Inmediatamente SEF intercepta la recta n en un punto K situado en el intercalo AJ. Tracemos el segmento KL perpendicular a la recta m como en la Figura 2.20. En la semirecta BΩ ubiquemos un punto M tal que M B = EK, en la semirecta SDH marquemos un punto N talque N D = CL y tracemos la recta M N . Usando congruencia de triángulos, es facil ver que los cuadriláteros EKLC y BM N D son congruentes, entonces M N es perpendicular a M y M N = KL. Por lo tanto, el cuadrilátero KLN M es un cuadrilátero de Saccheri y de ahí se deduce el resultado al que queriamos llegar. Unicidad. Si existieran dos rectas perpendiculares a las rectas, tendríamos un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, lo cual vimos que es imposible. Esto concluye la demostración. Volvemos nuevamente nuestra mirada al plano y aumentamos la familia de puntos con un nuevo conjunto al que llamaremos puntos ultraideales. El conjunto de puntos sera indizado por las rectas del plano; o sea, vamos a asociar a cada recta m uno de estos puntos que representaremos por Γm . Estos puntos serán adicionados

54

a los puntos ordinarios e ideales, segun la siguiente regla:

En una recta n serán agregados los puntos ultraideales Γm , en donde m es cualquier recta perpendicular a n.

Como consequencia de esta regla y del teorema anterior, dos rectas que no se interceptan tienen ahora en común exactamente un punto ultraideal. Además, el conjunto de todas las rectas que pasan por el punto ultraideal Γm está constituido exactamente por el haz de rectas perpendiculares a la recta m. Observese que ahora dos rectas cualesquiera siempre se interceptan y el punto común a las dos rectas puede ser: 1. Ordinario 2. Ideal (en el caso de las rectas paralelas) 3. Ultraideal (en el caso de las rectas que no se interceptan)

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Bibliografía [1] João L. M. BARBOSA. Geometría hiperbólica. CEGRAF - UFG, Universidad Federal de Goiás, Goiânia, Brasil, 2002. [2] EUCLIDES. Elementos. Biblioteca Clásica Gredos, Editorial Gredos, Madrid, 1994. [3] Bernardo MAYORGA. Lobachévski y la geometría euclidiana. Lecturas Matemáticas, Vol. 15, 29–43, 1994. [4] Alexander ORTIZ. La Genesis de las Geometrías no Euclidianas. Universidad industrial de Santander, 1999. [5] N. V. EFÍMOV. Geometría Superior. Mir, Moscú, 1984

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