CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Capítulo 1 Introducción al análisis de estructuras de barras 1.1- Conceptos generales Se entiende por análisis estructural al estudio y determinación de tensiones, deformaciones y reacciones, que ocurren en una estructura al ser sometida a acciones exteriores que pueden ser: cargas, efectos térmicos, movimiento de apoyos, deformaciones impuestas, etc. El análisis estructural provee los fundamentos sólidos para producir buenos diseños estructurales, al ocuparse de establecer la relación entre causas y efectos. El desarrollo del proyecto de una estructura, proceso que se conoce como “diseño estructural”, se apoya en normas y preceptos que surgen del análisis estructural, así como también en reglas prácticas y empíricas que dependen fuertemente de la modalidad o carácter del proyectista. El análisis estructural propende a dar soluciones únicas y precisas. Por otro lado, el diseño estructural está influenciado por aspectos prácticos y subjetivos que hacen que dos diseños igualmente correctos o válidos puedan ser muy distintos entre sí.

En este curso se estudia la formulación y resolución de problemas estáticos y dinámicos para estructuras de barras, en general, en régimen elástico. Se presentan los métodos generales para abordar cualquier tipo de estructura, indicándose modalidades corrientes de estos métodos para la resolución de tipos particulares de configuraciones estructurales.

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1.2- Tipos de estructuras de barras y modelos de análisis Los dos tipos básicos de estructuras que se estudian en este curso son “reticulados” y estructuras de “alma llena”. Las estructuras de tipo “reticulado” consisten en barras prismáticas conectadas en nudos a los que convergen los ejes baricéntricos de las piezas concurrentes. Las cargas exteriores se suponen aplicadas en los nudos que se asume que no tienen capacidad de transmitir momentos flectores de una barra a otra adyacente (Figura 1.1). Suponiendo que el sistema descripto sea “inicialmente estable”, es decir, que sea por lo menos isostático (o hiperestático), las cargas se equilibran mediante esfuerzos axiales en las barras.

Figura 1.1 Las estructuras de “alma llena” poseen nudos rígidos capaces de transmitir momentos flectores entre las barras (Figura 1.2). Este tipo de estructuras presenta una gran cantidad de variantes; la Figura 1.2.a muestra una viga tipo “Vierendell” en la que las cargas se equilibran fundamentalmente a través de esfuerzos cortantes y flectores en las barras, aunque también con alguna participación de las fuerzas axiales.

b)

a)

Nd

c) Ad Figura 1.2 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2-

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Si a esta estructura se le colocan tensores según las diagonales y se supone que estos tensores no tienen capacidad alguna de transmitir flexión, el sistema continúa siendo de tipo nudos rígidos, pero los esfuerzos flexionales se reducen apreciablemente y las cargas aplicadas en los nudos son resistidas en una mayor proporción que en la Figura 1.2.a por fuerzas axiales. La representación gráfica de la relación entre la fuerza en una diagonal Nd y el área Ad de la sección de las diagonales, para un determinado estado de cargas exteriores, presenta la forma indicada en la Figura 1.2.c. La contribución del tensor resulta nula para valores de Ad próximos a cero, por lo que la deformación del bastidor, y por lo tanto el alargamiento del tensor ∆l , es independiente de Ad . El esfuerzo crece proporcionalmente con el área:

Nd = Ad .

E.∆l l

Dicha curva tiene una asíntota que corresponde al valor límite de carga axial que puede tomar la diagonal. Ello se debe a que, si bien a mayor Ad corresponde mayor Nd , para grandes secciones Ad comparables con las áreas de las restantes barras, el sistema comienza a comportarse casi como un reticulado y el valor de carga axial tiende al que se obtiene por medio de dicho modelo de cálculo, valor que naturalmente es acotado. Este ejemplo pone de manifiesto que una estructura de nudos rígidos podría analizarse, bajo ciertas condiciones de proporción entre sus miembros, como si fuese un reticulado. En tal caso, los esfuerzos de flexión que seguramente aparecen, son de menor importancia y se los considera “secundarios”. En realidad, las estructuras cuya configuración permite calificarlas como reticulados ideales (también denominadas “celosías” o “cerchas”) en la mayoría de los casos se construyen con nudos que no son articulaciones perfectas, sino que presentan una cierta rigidez que depende del sistema de unión entre las barras. Cuando se usan remaches o bulones es necesario introducir chapas de nudo que permiten la transferencia de esfuerzos entre las distintas barras que convergen al nudo, y la disposición de esos remaches o bulones producen cierto grado de rigidez a los giros relativos entre las barras. Si se trata de uniones mediante cordones de soldadura, la rigidez al giro relativo resulta aún más notable. Sin embargo, como se menciona más arriba, si la configuración (geometría del conjunto más las propiedades mecánicas de las barras) es de tipo reticulado, la rigidez al giro relativo de los nudos introduce ciertos esfuerzos de flexión y corte en las barras; estas solicitaciones se consideran “secundarias” ya que no son indispensables para equilibrar las cargas exteriores, y merecen un tratamiento especial en el proceso de diseño.

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Elección del modelo adecuado La definición de un modelo de cálculo que refleje la realidad física requiere el desarrollo de cierto juicio basado en resultados de análisis detallados de casos similares. La sensibilidad a la elección del modelo adecuado se va adquiriendo con la experiencia. Un camino aconsejable para desarrollar esa experiencia consiste en analizar una misma estructura con modelos diferentes variando parámetros tales como la rigidez relativa para determinar cuál es el esquema principal o primario de transmisión de las cargas. De lo contrario, un analista puede trabajar continuamente con un único esquema basado simplemente en el hecho que “no se cae” sin advertir que está dimensionando las componentes en forma ineficaz.

Hay que establecer el esquema primario o fundamental de: Fuerzas axiales

o bien

Flexión-Corte-Normal

para la transmisión de las cargas a tierra. Como esto no siempre es obvio se debe adquirir sensibilidad experimentando distintos modelos para una misma estructura y comparando los resultados. El caso de la Figura 1.2.b, aún para pequeña rigidez relativa de las barras de los tensores, presenta un esquema primario de reticulado por ser “más fácil” (en realidad es más “rígido” y por lo tanto requiere menos deformaciones) transmitir cargas por efecto axial. Este hecho fortuito permite analizar como reticulado ideal a muchas estructuras cuyos nudos son relativamente rígidos como consecuencia de las uniones soldadas o remachadas. Por otro lado, no a todo lo que se asemeja a un reticulado conviene siempre analizarlo como tal. Cuando se debe analizar una torre para antena como la indicada en la Figura 1.3 puede resultar más conveniente adoptar un modelo de viga continua con propiedades equivalentes de corte y flexión, propiedades que deberán calcularse previamente de acuerdo con criterios que se describen más adelante. Las riendas o cables de la estructura funcionan como apoyos elásticos.

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K equivalente

( E.I ) equivalente ( Ac .G ) equivalente

Realidad Fisica (Reticulado)

Modelo Estructural (Alma llena) Figura 1.3

1.3- Ecuaciones para el análisis de sólidos deformables En la Figura 1.2.b, se define como esquema “primario” o “fundamental” el constituido por el reticulado de igual forma con los nudos articulados. Esa estructura es estáticamente determinada o isostática y los esfuerzos axiales en la barras pueden ser obtenidas por consideraciones estáticas únicamente (equilibrio). Como ya se indicó, la verdadera estructura de la Figura 1.2.b equilibra parte de las cargas con esfuerzos de flexión en sus barras en una proporción que depende de la rigidez relativa de sus miembros; por lo tanto, salvo para valores muy extremos de Ad , la repartición de cargas no puede calcularse con consideraciones estáticas únicamente. El concepto de “rigidez”, como relación entre esfuerzos y deformaciones de una pieza, se torna crucial. En este ejemplo, la elongación de las diagonales causada por las fuerzas axiales Nd deberán ser compatibles con los desplazamientos de los nudos extremos, valores que a su vez dependen de las fuerzas en las barras de la viga. Estas condiciones adicionales a las de equilibrio se denominan ecuaciones de compatibilidad, y resultan necesarias para definir unívocamente los esfuerzos y las deformaciones del sistema hiperestático. Resumiendo, se puede concluir que para realizar el análisis estructural es necesario, en general, definir y resolver ecuaciones simultáneas de: a) Equilibrio b) Compatibilidad c) Relaciones de rigidez Los grandes métodos generales de análisis estructural corresponden a diferentes modalidades de eliminación de incógnitas en las ecuaciones a), b) y c), cuyos significados son: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5-

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a) Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero. b) Establecen condiciones de congruencia geométrica y se las conoce también como relaciones cinemáticas. c) Se refieren a las propiedades constitutivas del material que relacionan los esfuerzos (axial, flector, corte o torsión) con las respectivas deformaciones específicas (axial, curvatura flexional, distorsión al corte, y ángulo unitario de torsión). Nótese que las condiciones de compatibilidad son independientes tanto del tipo de material como de las secciones de las barras (ambas determinan la rigidez). Por ejemplo, en el caso de la Figura 1.2.b establecen que los extremos de los tensores permanecen unidos a los nudos de la columna en que se insertan.

1.4- Grado de hiperestaticidad Para un modelo isostático es posible determinar todas las fuerzas (internas y externas) utilizando únicamente ecuaciones de equilibrio, aunque es corriente que por norma de diseño las estructuras tengan que cumplir ciertas condiciones de máxima deformación. La práctica corriente limita la flecha (por ejemplo a 1/500 o 1/800 de la luz según el caso y tipo de estructura) de modo que para resolver completamente el problema se debe recurrir a los tres tipos de ecuaciones ya mencionados, aún para las estructuras isostáticas. El concepto de grado de hiperestaticidad es el aspecto central para la formulación del Método de las Fuerzas que se desarrolla en el primer tercio del curso; posteriormente se estudia el método de los desplazamientos, donde el concepto de hiperestaticidad se torna irrelevante desde el punto de vista del análisis estructural. De todos modos, más allá de la importancia relativa de la hiperestaticidad, o “redundancia estructural” para el desarrollo del método de análisis estructural, debe destacarse que la redundancia estructural es de fundamental importancia para el diseño de las estructuras, que deriva de la existencia de caminos alternativos para equilibrar las cargas aplicadas en el caso de falla o deterioro en algunas de sus componentes. En este tipo de fallas se enmarcan la formación de rótulas plásticas imprevistas, asentamiento de las fundaciones, u otros defectos o situaciones imprevistas en el comportamiento de una estructura. De no existir redundancia, la estabilidad del conjunto depende del funcionamiento correcto de todas las componentes y no hay margen para fallas locales. Por lo tanto, se debe tener presente que la redundancia estructural es reconocida como uno de los aspectos más significativos al momento de diseñar una estructura y establecer los márgenes de seguridad frente a los distintos tipos de solicitaciones. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

En el Método de las Fuerzas, las dimensiones del sistema de ecuaciones que se plantea y resuelve para hallar la distribución de esfuerzos es igual al grado de hiperestaticidad. Por lo tanto, el grado de hiperestaticidad determina el volumen del esfuerzo de cálculo necesario para hallar la solución, de allí su importancia operativa en el análisis estructural. Al margen de estas cuestiones computacionales, se insiste que las estructuras isostáticas tienen un único mecanismo o esquema para equilibrar las cargas, mientras que en las hiperestáticas, si falla un mecanismo, pueden en ciertas condiciones comenzar a trabajar de una manera distinta y aún equilibrar las cargas a través de un mecanismo alternativo. Por ejemplo, si la viga continua de dos tramos de la Figura 1.4 llega a fluencia por el momento flector sobre el apoyo central, puede desarrollar una rótula plástica y trabajar como dos vigas simplemente apoyadas hasta que comience a plastificarse en el interior de los tramos. Para que sea posible esta distribución de esfuerzos es indispensable que la viga presente capacidad de deformación plástica sin que pierda su capacidad portante. Esto no ocurriría para una viga de material frágil, ya que en ese caso al llegar al máximo momento se produciría una falla frágil, y el mecanismo de redistribución de esfuerzos no alcanzaría a desarrollarse. (Figura 1.5)

l

Figura 1.4

a)

b)

M

M Mr

Mp

κ

κ Ley momento - curvatura para un material elasto-plástico ideal

Ley momento-curvatura para un material frágil linealmente elástico

Figura 1.5

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1.5- Vigas prismáticas de eje recto (ecuación de la elástica) Las barras prismáticas son aquellas que tienen una sección transversal constante a lo largo de su desarrollo y su eje longitudinal es recto. El caso de una viga de sección continuamente variable puede ser aproximado por tramos rectos de sección constante. Sea una pieza prismática sometida a acciones de corte, flexión, axial y torsional descripta a través de las variables Q( x) , M ( x) , N ( x) y M t ( x) donde x es la variable independiente sobre el eje de la pieza. En la Figura 1.6 se indican los esfuerzos asumiendo que no hay carga axial ni momento torsor distribuido en el tramo dx , es decir, sólo hay flexión y corte.

M + dM N

N

M

Mt

Q

Q + dQ

dx

Mt

+

Convención de signos de la elastica

+

+

y

q(+)

Q (+ )

M (+ ) κ (+ )

θ (+) M (+)

y (+ )

Figura 1.6 Como ya se ha visto en el curso de Resistencia de Materiales, para el cálculo de la elástica o deformación de la viga en flexión son necesarios los tres ingredientes básicos antes mencionados.

a) Equilibrio Equilibrio de fuerzas:

Q + q.dx − (Q + dQ) = 0 ∴ q=

dQ dx

(Ec. 1.1)

Equilibrio de momentos: dx − M − Q.dx − (q.dx). + ( M + dM ) = 0 ∴ 2 1424 3 Inf . orden superior

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Q=

dM dx

(Ec. 1.2)

b) Ley de Hooke De la misma manera que se asocia la deformación específica ε al esfuerzo normal, se asocia la curvatura κ al momento flector a través de las relaciones:

ε=

N A.E

κ=

; M = E.I .

M E .I

;

Siendo κ =

dφ dx

1 dφ = r dx (Ec. 1.3)

A éstas se puede agregar la relación entre el corte y su distorsión asociada γ :

γ=

Q Ac.G

Por simplicidad, en el presente análisis no se tiene en cuenta la contribución del corte a la elástica.

c) Compatibilidad Recordando que las secciones planas perpendiculares al eje baricéntrico permanecen planas y perpendiculares a la línea baricéntrica (elástica) después de la deformación, se tiene:

y

θ

dy dx x

φ=

dy dx

(Ec. 1.4)

Una vez planteados los tres tipos de ecuaciones se pueden hacer las siguientes sustituciones: Derivando (Ec. 1.4) y sustituyendo en (Ec. 1.3) queda: M = E.I .

d2y dx 2

(Ec. 1.5)

Derivando (Ec. 1.5) y sustituyendo en (Ec. 1.2) se tiene: d3y Q = E.I . 3 dx

(Ec. 1.6)

Derivando (Ec. 1.6) y sustituyendo en (Ec. 1.1) se tiene: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9-

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q = E .I .

d4y dx 4

(Ec. 1.7)

La (Ec. 1.7) se designa habitualmente “ecuación diferencial de la elástica”. Resulta conveniente destacar que la ecuación de la elástica es una ecuación de equilibrio donde la incógnita que es el desplazamiento “y” se expresa como función de la carga “ q ”. Asimismo, se debe notar que no es lo mismo resolver (Ec. 1.7) que (Ec. 1.1). La ecuación (Ec. 1.7) no puede resolver el equilibrio sin considerar la deformación mientras que (Ec. 1.1) es sólo una de las ecuaciones diferenciales de la viga. Debe tenerse presente que al utilizar (Ec. 1.7) da lo mismo que la viga sea isostática o hiperestática porque este planteo es equivalente a estar resolviendo el problema por el Método de Rigidez (nota: el Método de Rigidez, también llamado Método de los Desplazamientos se estudia en detalle más adelante) Ejemplo:

q = cte

A

B

x l Figura 1.7 Solución Homogénea:

Y0 = C0 + C1.x + C2 .x 2 + C3 .x 3 Solución Particular: Se propone una solución tal que derivando cuatro veces dé una constante. Yp = C p .x 4

Resulta fácil obtener de la ecuación (Ec. 1.7) la relación entre C p y q : Cp =

q 24.E.I

Y = Y0 + Yp = C0 + C1.x + C2 .x 2 + C3 .x 3 +

q .x 4 24.E.I

Para calcular las cuatro constantes es necesario aplicar las cuatro condiciones de borde:

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CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

En B:

En A:

Y (0) = 0

Y (l ) = 0

dY (0) = φ (0) = 0 dx

d 2Y M (l ) = (l ) = 0 2 dx E .I

Se puede apreciar que la hiperestaticidad no aparece en este análisis. Si se considera el caso isostático u otras condiciones de apoyo sólo es necesario cambiar las condiciones de borde.

q = cte

A

B x l Figura 1.8

En B:

En A:

Y (0) = 0

Y (l ) = 0

d 2Y (0) = 0 dx 2

d 2Y (l ) = 0 dx 2

Derivamos (Ec. 1.2) y reemplazando en (Ec. 1.1): d 2M =q dx 2

(Ec. 1.8)

Que aparenta ser un camino más sencillo porque permite encontrar la distribución del momento flector integrando dos veces la carga dato “q”. Sin embargo, la (Ec. 1.8) no podrá resolverse a menos que el sistema sea isostático. Si, por ejemplo, a la viga de la figura se le agrega la condición de que los extremos no giren, se torna indispensable considerar los desplazamientos para obtener la solución del problema. La hiperestaticidad puede acarrear complicaciones cuando se la plantea de una determinada manera (Método de las Fuerzas) pero si se utiliza el Método de los Desplazamientos, la solución se obtiene sin mayor esfuerzo a pesar del grado de hiperestaticidad.

1.6- Conceptos generales de la estática de sistemas deformables La estática es la parte de la mecánica que estudia el planteo y resolución de las condiciones o ecuaciones de equilibrio. “Equilibrio estático” es la condición que se da cuando no se producen aceleraciones en las componentes o en el conjunto del sistema. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11-

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Considérese en primer lugar configuraciones estructurales que en sus condiciones de servicio sufren deformaciones “pequeñas”. La “pequeñez” de las deformaciones será precisada cuantitativamente más adelante; por el momento será suficiente con aclarar que la forma de la estructura en su conjunto o algunas de sus componentes no cambia apreciablemente de forma al actuar las cargas exteriores. Sea el reticulado “ideal” (con articulaciones perfectas en la intersección de los ejes baricéntricos de las barras) de la Figura 1.9.a , que se puede apreciar es isostático. a)

b)

P

Configuración Original

Configuración Deformada

Figura 1.9 En la Figura 1.9.b se esquematiza en escala distorsionada la configuración deformada correspondiente a una carga P en el extremo del voladizo. Dado que se estima que las deformaciones son pequeñas, es posible plantear las ecuaciones de equilibrio como si las fuerzas en las barras actuaran en la dirección original. En realidad esto resulta sólo una primera aproximación, pero de esta manera se simplifica el cálculo ya que se reduce al caso de un sistema rígido estudiado en el curso anterior de “estática”. O sea que los esfuerzos en la barras se pueden calcular por los procedimientos de la estática sin tener en cuenta la deformabilidad de las barras.

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C

B

Figura 1.10 Supóngase ahora que se agrega una barra que vincule los puntos B y C (Figura 1.10). Esta estructura no es más isostática y no es posible por consideraciones estáticas exclusivamente determinar los esfuerzos de todas las barras. Se designa con T al esfuerzo de la barra CB y se analiza cómo varía T en función del área A de la sección transversal de la barra CB manteniendo constante las restantes barras. Al tender A a cero, la barra se hace infinitamente flexible, por lo que la fuerza T tiende a cero. Naturalmente T = 0 cuando A = 0 . Al aumentar A, la fuerza T aumenta ya que en forma relativa la barra se hace más rígida frente a la estructura original. Si A → ∞ , T debe tender a un limite finito (dicho valor corresponde a la reacción de apoyo móvil perpendicular a BC actuando en C ). En forma cualitativa se espera una ley de variación de T en función de A como se indica en la Figura 1.11.

T

Límite

A Figura 1.11 Un caso conceptualmente similar es la torre de alma llena arriostrada con un tensor según la Figura 1.12.

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CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

P

Figura 1.12 Para poder calcular la fuerza T será necesario determinar la “deformabilidad” de la torre sin el tensor, ya sea ésta de reticulado o de alma llena. La determinación de la “deformabilidad” requiere el cálculo de la elástica que describe la posición en el espacio de la estructura deformada. La modalidad operativa del cálculo de estas deformaciones es distinta según sea un reticulado o un elemento de alma llena, y será estudiado en detalle en las secciones que siguen. Desde el punto de vista global, sin embargo, en el Método de las Fuerzas se procede de la siguiente manera: 1) Determinación de la elástica de la torre sola bajo la acción de las cargas exteriores P . 2) Imposición de las condiciones de compatibilidad de deformaciones entre la torre y el tensor. Estas condiciones llevan a la determinación del esfuerzo en el tensor 3)

Cálculo de los esfuerzos y deformaciones de la torre bajo la acción de las cargas

exteriores P y del esfuerzo en el tensor T , considerado también como una fuerza exterior.

Ejemplo: Sea ahora el ejemplo de la viga con un apoyo elástico central según la Figura 1.13.

q

Sección A

h

l/2

l/2 Figura 1.13

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CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Interesa conocer el diagrama de momentos flectores de la viga y el esfuerzo axial en la barra de apoyo. Se supondrá que el módulo elástico de la viga y de la columna es E en ambas componentes. De acuerdo a lo indicado antes, la determinación de la fuerza de reacción R que se genera en la barra central requiere los siguientes pasos: 1) Determinar la elástica de la viga sola, o sea, simplemente apoyada en los extremos. Por integración de la ecuación de la elástica se sabe que la flecha al centro δ 0 es: 5 q.l 4 δ0 = 384 E.I 2) Para establecer la condición de compatibilidad entre la viga y la barra debe reconocerse que esta última genera una fuerza concentrada R . Para ello se calcula el efecto que − R tiene sobre la barra y el que + R tiene sobre la viga. La viga bajo la acción de R , se deforma con una flecha central δ1 , según la ecuación de la elástica dada por:

δ1 = −

1 R.l 3 (hacia arriba) 48 E.I

La barra bajo − R se deforma: δ 2 =

R.h A.E

La condición de compatibilidad establece que debe existir continuidad de desplazamiento vertical en la unión de la viga y de la barra. Por eso:

δ 0 + δ1 = δ 2 ∴

5 q.l 4 1 R.l 3 R.h − = 384 E.I 48 E.I A.E

5 q.l 4 I R = 384 3 l h + 48.I A

(Ec. 1.9)

Nótese que R es independiente de E , cuando E es uniforme para toda la estructura. Si se mantiene I constante, la ley de variación de R es función de A está dada por la (Ec. 1.9) y tiene el aspecto indicado en la Figura 1.14.

R

Rmax

A Figura 1.14 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

La asíntota horizontal corresponde al valor máximo de la reacción central que ocurre cuando A → ∞ o sea que se tiene un apoyo rígido al centro. Según (Ec. 1.9) se tiene que : 5 Rmax = .q.l 8 3) El diagrama final de momentos flectores se obtiene por superposición de la parábola debido a P y del triángulo debido a R (Figura 1.15)

B A Figura 1.15 El vértice A del triángulo puede resultar por debajo del vértice de la parábola B (según Figura 1.15) o por encima del mismo, según el valor de R , que a su vez depende de la rigidez de la barra. En todo el desarrollo de este ejemplo se han empleado dos hipótesis de linealidad que son independientes entre sí. Por un lado, el material de la barra y de la viga cumple con la ley de Hooke. Por otro lado, al sufrir pequeñas deformaciones, la ecuación de la elástica es lineal, o sea que a doble carga corresponde el doble de deformación. La primera hipótesis se refiere al material de la estructura y la segunda al comportamiento cinemático de la misma. Estas hipótesis son aceptables en muchas situaciones prácticas, aunque deben reconocerse los tipos de casos donde estas simplificaciones no son apropiadas. Como ejemplo ilustrativo de estructuras con comportamiento no lineal, se puede mencionar al cable tendido de la Figura 1.16.a.

a) A

B l

b)

P

A

B

δ Figura 1.16 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Su forma corresponde a la curva funicular del peso propio del cable y que pasa por puntos de apoyo. Al aplicar una carga concentrada P el cable cambia apreciablemente de forma (Figura 1.16.b) y aún cuando sea de material linealmente elástico, el comportamiento de la estructura será no lineal, es decir que la relación entre la flecha δ y la magnitud de la carga no es lineal, por efectos cinemáticos. Se dice que la estructura posee “no linealidad geométrica”. Otro ejemplo de este tipo es la viga cargada axial y transversalmente al mismo tiempo (Figura 1.17).

V

P

P l

Figura 1.17 El diagrama de momentos flectores tiene dos componentes. Una debido a V de variación lineal en función de x, y tiene la forma de un triángulo. Otra debido a P , tiene una forma suave, sin quiebres y se debe a la excentricidad de P con motivo de la deformación provocada por V . Naturalmente esta última componente no aparecerá si se planteara la ecuación diferencial de la elástica suponiendo el eje longitudinal recto. Esta parte del diagrama es función no lineal de P , o sea que, a doble P no corresponde doble momento adicional. En este caso, dependiendo del valor de P a considerar, puede ocurrir el fenómeno de inestabilidad de forma o pandeo en el cual los momentos flectores provocados por P no pueden ser equilibrados sino con grandes deformaciones transversales de la viga.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 1: Dado el sistema hiperestático simétrico del croquis, cuyas barras son del mismo material, se pide: a) Expresar la fuerza en la barra central ( N1 ) en función de la relación de áreas ⎛ A1 ⎞ ⎜ ⎟ suponiendo todas las barras en el periodo lineal. ⎝ A2 ⎠

b) Expresar la tensión en la barra central (σ 1 ) en función de su área A1 suponiendo fijos A2 = 0,1cm 2 y P = 1000 Kg . c) Graficar N1 en función de A1 para A2 = 0,1cm 2 y P = 1000 Kg suponiendo que la tensión de fluencia para ambas barras es σ f = 2600 240

Kg . cm 2

240

(1)

( 2)

( 2)

320

A P

Ecuaciones de equilibrio: Se plantea una ecuación de equilibrio de fuerzas verticales en el nudo A . N1 N2

N2 α

P

l2 =

( 320 ) + ( 240 )

cos(α ) =

2

2

= 400cm

320 = 0.80 400

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -18-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

∑F

V

= N1 + 0,80.N 2 + 0,80.N 2 − P = 0

Ecuación de equilibrio: N1 + 1, 60.N 2 = P

(Ec. 1.10)

Ecuaciones de compatibilidad: Se plantea una condición geométrica que establece que el desplazamiento de los extremos

A de las barras ( 2 ) y (1) son iguales. Aceptando la hipótesis de pequeñas deformaciones se obtiene el alargamiento de las barras ( 2 ) proyectando el desplazamiento A sobre la dirección original de las barras:

∆l2 = ∆.cos(α )

(Ec. 1.11)

∆l1 = ∆

(Ec. 1.12)

∆l2 = 0,80.∆

(Ec. 1.13)

Para barra (1) :

Para barra ( 2 ) :

Ecuación de compatibilidad:

∆l2 = 0,80.∆l1

(Ec. 1.14)

Nótese que (Ec. 1.10) y (Ec. 1.14) son válidas aunque alguna barra entre en fluencia y sólo se basan en la hipótesis de deformaciones pequeñas que permitió formular: 1º) La ecuación de equilibrio (Ec. 1.10) en el sistema indeformado y 2º) la ecuación cinemática (Ec. 1.11).

Ecuaciones constitutivas: Son las ecuaciones que definen el comportamiento del material, es decir la relación

σ − E . Se supondrá un material elasto-plástico con el siguiente diagrama:

σ 2600

σ f = 2600 α

Kg cm 2

ε Ecuaciones constitutivas: Ai .E ⎧ ⎪∆li . l ......σ < 2600 Ni = ⎨ i ⎪2600. A ...en fluencia i ⎩

(Ec. 1.15)

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -19-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

(Ec. 1.16) Suponiendo todas las barras en el período lineal se puede despejar ∆l1 y ∆l2 a partir

a)

de (Ec. 1.15) y llevarlas a (Ec. 1.14). Luego despejando N 2 en función de N1 , que llevado a (Ec. 1.10) permite finalmente despejar N1 . N1 =

P 1, 024 1+ A1 / A2

(Ec. 1.17)

Estos resultados son válidos si σ 1 < 2600 y σ 2 < 2600 . Nótese que para llegar a (Ec. 1.17) se deben utilizar necesariamente ecuaciones constitutivas, ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad.

b)

Haciendo A2 = 0,10 en (Ec. 1.17) y dividiendo por A1 , se tiene:

σ1 =

N1 = A1

1000 ⎛ 0,1024 ⎞ A1. ⎜ 1 + ⎟ A1 ⎠ ⎝

σ1 =

1000 ( A1 + 0,1024 )

En (Ec. 1.18) se puede apreciar que si A1 → 0 , σ 1 →

(Ec. 1.18) 1000 Kg ≈ 9765 2 lo que 0,1024 cm

demuestra que para valores pequeños de A1 la barra central entra en fluencia. Haciendo

σ 1 = 2600

Kg en (Ec. 1.18) permite despejar el área mínima para la cual no hay fluencia. cm 2

Kg 1000 < 2600 2 A1 + 0,1024 cm

∴

A1 > 0.28cm 2

Por lo tanto la expresión (Ec. 1.17) debe limitarse: ⎧2600..................0 ≤ A1 ≤ 0.28 ⎪ σ 1 = ⎨ 1000 ⎪ A + 0,1024 ..... A1 ≥ 0.28 ⎩ 1

c)

(Ec. 1.19) (Ec. 1.20)

Según (Ec. 1.19) la fuerza que toma la barra central es muy pequeña si el área A1

tiende a cero o es muy pequeña ( N1 = 2600. A1 cuando A1 < 0.28cm 2 ) y en tal caso debe considerarse la posibilidad de que las barras ( 2 ) también entren en fluencia. La máxima fuerza N 2 resulta: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

( N 2 )max = 0,10.2600 = 260 Kg Valor que llevado a (Ec. 1.10):

( N1 )min + 1, 60. ( N 2 )max = 1000 Kg De donde:

( N1 )min = 584 Kg Como se sabe que: N1 = 2600. A1

( A1 )min = 0.225cm 2 A1

0

0,10

(Ec. 1.21)

0,225

0,25

0,282

0,50

1,00

2,00

10,00

σ1

2600

2600

2600

1660

907

476

99

N1

584

650

734

830

907

951

990

σ2

2600

2188

1664

1062

581

304

63

N2

260

219

166

106

58

30

6,30

144 42444 3 14442444 3 14444444244444443 (I )

( II )

( III )

N1 [ Kg ]

1000

800

Zona ( I ) : No hay equilibrio

600 400

(I )

( II )

( III )

⎧⎪ Barra (1) : Fluencia Zona ( II ) : ⎨ ⎪⎩ Barra (2) : Elástica Zona ( III ) : Todas las barras elásticas

200

0,225 0,20

0,282 0,40

A1 ⎡⎣cm2 ⎤⎦ 0,60

0,80

1,00

1,20

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 2: Dado el sistema simétrico del ejercicio anterior cuyas barras tienen igual sección A1 = A2 = 0,10cm 2 y el mismo material σ f = 2600

Kg . Se pide: cm 2

a) Determinar la máxima carga portante Pu . b) Determinar la carga que produce la primera fluencia. c) Graficar la relación P − ∆ y calcular la rigidez de los distintos tramos. d) Determinar si existe alguna relación entre las áreas A1 y A2 de modo que las barras ( 2 ) y (1) entren simultáneamente en fluencia. 240

240

σ

(1)

( 2)

( 2)

320

σ f = 2600

2600

Kg cm2

α A

ε Kg E = 2,10 x10 cm2 6

P

a)

La carga última se obtiene cuando entran en fluencia todas las barras. La fuerza en

cada barra se obtiene a partir del área y la tensión de fluencia σ f . N1 = 2600.0,10 = 260 Kg N 2 = 2600.0,10 = 260 Kg Llevando a (Ec. 1.10): (260) + 1, 60.(260) = Pu Pu = 676 Kg

b)

Haciendo

(Ec. 1.22)

A1 = 1 en (Ec. 1.17) resulta: A2 N1 =

P = 0, 494.P 1 + 1, 024

(Ec. 1.23)

Valor que llevando a (Ec. 1.10): _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

N 2 = 0,3162.P

(Ec. 1.24)

Como las áreas son iguales, la barra central tiene mayor tensión y es la primera en entrar en fluencia.

σ1 =

N1 = 4,94.P A1

⇒

σ f = 2600 = 4,94.P

Pf = 526, 24 Kg

(Ec. 1.25)

c) Durante el período lineal elástico el desplazamiento se puede obtener indistintamente a partir de (Ec. 1.12) o (Ec. 1.13) calculando los alargamientos de las barras a partir de la ley de Hooke (Ec. 1.15). De (Ec. 1.12): ∆ = ∆l1 =

N1.320 (0, 494.P).320 = 6 0,10.2,10 x10 0,10.2,10 x106

∆ = 0, 000753.P

(Ec. 1.26)

La (Ec. 1.26) es válida mientras las barras ( 2 ) y (1) se comportan linealmente. A partir de la definición de rigidez K , en el período lineal: P = K .U

∴

K=

P P = U 0, 000753.P

K = 1328

Kg cm

(Ec. 1.27)

Cuando la carga es mayor que Pf , (Ec. 1.12) y (Ec. 1.13) mantiene validez, pero ∆l1 no puede calcularse en la hipótesis lineal (ley de Hooke). Utilizando la (Ec. 1.13), y la ley de Hooke que sigue válida para las barras ( 2 ) (hasta que dichas barras entren también en fluencia y se produzca el colapso del sistema): ∆=

∆l2 N 2 .400 = = 0, 00238.N 2 0,80 0,80.(0,10.2,10 x106 )

N 2 se calcula teniendo en cuenta que N1 = cte = σ f . A1 = 2600.0,10 = 260 Kg mientras dura la fluencia. Empleando (Ec. 1.10) que mantiene validez a pesar de la fluencia, se tiene: (260) + 1, 60.N 2 = P

∴

N2 =

P − 260 1, 60

⎛ P − 260 ⎞ ∆ = 0, 00238. ⎜ ⎟ ⎝ 1, 60 ⎠ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -23-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

∆ = −0,38675 + 0, 001488.P

(Ec. 1.28)

La rigidez del segundo tramo se obtiene a partir de la definición de rigidez para los casos no lineales: K = lim

∆U → 0

∆P dP = ∆U dU

De (Ec. 1.28) se tiene P = 672.∆ + 260 , derivando se tiene: K * = 672

Kg cm

(Ec. 1.29)

Recuérdese que la validez de (Ec. 1.28) y (Ec. 1.29) está limitada al valor de Pf . Pf < P < Pu .

P [ Kg ] 700

600

Pu = 676 ≈ 1, 28.Pf Pf = 526, 24

K * = 672

500 400 300 260

200

K = 1328

100

0,396 0,20

0,619

∆ [ cm] 0,40

0,60

0,80

1,00

Nota 1: la carga de fluencia puede incrementarse en un 28% antes que se produzca el colapso. Nota 2: la rigidez del sistema estructural se reduce a la mitad al entrar en fluencia la barra central.

d)

Las expresiones (Ec. 1.23) y (Ec. 1.24) desarrollados para A1 = A2 muestran que la

barra (1) entra primero en fluencia. Corresponde preguntarse si es posible lograr que las barras entren simultáneamente en fluencia con una relación apropiada de A1 y A2 . Llamando

A2 = λ y empleando (Ec. 1.17): A1

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -24-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

N1 =

P 1 + 1, 024.λ

(Ec. 1.30)

Llevando (Ec. 1.30) a (Ec. 1.10) permite despejar: N2 =

P − N1 1, 60 N2 =

0, 64.λ 1 + 1, 024.λ

(Ec. 1.31)

Si se pretende que:

σ1 = σ 2 ∴

N1 N 2 = A1 A2

∴

λ = 0, 64.λ

∴

A2 N 2 = A1 N1

¡¡¡ No hay solución !!!

Alternativa: Por la ley de Hooke, tenemos σ = E.ε

ε1 =

∆l1 ∆ = l1 320

ε2 =

∆l2 ∆ = l2 320

⎫ ⎪ ⎪σ2 = 0, 64!!! ⎬ 0,80.E ⎪ σ 1 .∆ ⎪ ∴ σ2 = 400 ⎭

∴ σ1 =

E .∆ 320

σ 2 = 0, 64.σ 1 !!!!

Conclusión: Si todas las barras están en el periodo lineal, la tensión en la barra (1) es mayor que en las barras ( 2 ) independientemente del valor de las áreas.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -25-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 3 Determinar el diagrama que relaciona el valor de la carga P y el desplazamiento de su punto de aplicación en la viga de la Fig.(c). Se supone que el material se comporta elasto-plásticamente según la Fig.(a) y que la sección tiene un diagrama momento-curvatura indicado en la Fig.(b).

σ 2600

σ f = 2600

M

Kg cm2

Mf = Mp

ε

K

Fig.(a)

Fig.(b)

P 12, 70

A 150

150

Sección doble T

B

C 300

I = 512cm 4

Fig.(c) Este ejemplo supone que al entrar en fluencia las fibras externas, entra en fluencia toda la sección, vale decir que el modulo plástico de la sección W p es igual al modulo elástico. Wp

W=

Para perfiles doble T la relación

I 512 = = 80, 63cm3 ( h / 2 ) 6,35

Wp W

≈ 1,10 . Tomando el factor de forma igual a la unidad

se busca simplificar el cálculo y lo que es más importante, poner de manifiesto que las estructuras hiperestáticas pueden, en general, desarrollar formas alternativas de equilibrar la carga después de entrar en fluencia. Para determinar la carga de fluencia Pf debemos determinar donde ocurre el máximo M en el periodo elástico y su valor en función de P . Siendo este un problema hiperestático no es posible determinar directamente el diagrama de M (momentos flectores).

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -26-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Solución del problema hiperestático: De las tres reacciones verticales sólo se pueden calcular dos empleando ecuaciones de equilibrio estático. Nótese que si se conociera por ejemplo la reacción RB la determinación de las restantes reacciones y los esfuerzos internos resulta un simple problema de estática.

P

δ RB B

P

A

C

B

=

C

A

+

C

A

RB

δPB

RB

fig .( I )

fig.(II )

fig.(III )

Durante el periodo elástico vale el principio de superposición y por lo tanto el efecto simultaneo de P y RB es igual a la suma de los efectos por separado. Las vigas isostáticas de las figuras (II) y (III), pueden resolverse totalmente llegando a la ecuación de la elástica. Mientras que la viga hiperestática de la fig. (I) debe cumplir una condición cinemática extra, además de las ecuaciones de equilibrio estático. Dicha condición establece que el desplazamiento del punto B debe ser nulo. Descomponiendo dicho desplazamiento como la suma de los desplazamientos de las vigas de las figuras (II) y (III), se obtiene la llamada “Ecuación de compatibilidad”: B δ PB + δ RB =0

(Ec. 1.32)

Nótese que esta ecuación no es una ecuación de equilibrio y que a partir de ella se puede determinar RB . Para hallar los desplazamientos se recurre al resultado conocido de la elástica:

TABLA

a

P

b

A

x

δ1

δ2

θA =

P.a.b.(l + b) 6.l.E.I

δ1 =

P.b.x 2 2 .(l − b − x2 ) 6.l.E.I

x Pu

A

B MP

C MP

MP D MP No hay equilibrio ⇒ COLAPSO

96755 + 150.∆Pmax = 209638 ∆Pmax = 752 Kg Se puede calcular el desplazamiento δ (D∆P ) max superponiendo el desplazamiento por la flexión del voladizo DB con el desplazamiento de cuerpo rígido del extremo D causado por la rotación del extremo B. TABLAS

M

P

δ

θ

l

l θ=

P.l 3 δ= 3.E.I

M .l 3.E.I

752 × (150 ) (150 × 752 ) × 300 = + .150 3.E.I 3.E.I 3

δ

D ( ∆P ) max

δ (D∆P ) max = 2,36cm Diagrama de Carga - Desplazamiento: P [ Kg ] 5000 4193

4000 3340

3000 2000

1000

3,65

1,29 1,00

δ D [ cm] 2,00

3,00

4,00

5,00

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -31-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Pu = Pf + ( ∆P )max = 3440 + 752 Pu = 4193Kg

δ PuD = δ PfD + δ (D∆P ) max = 1, 29 + 2,36 δ PuD = 3.65cm Nótese que durante el primer tramo elástico la rigidez resulta: Al formarse la rotula plástica en D se reduce a:

3440, 2 Kg = 2660 2 cm 1, 2936

752,54 Kg = 318 2 cm 2,3621

Mientras que al formarse la segunda rotula plástica la rigidez se hace cero.

Procedimiento alternativo: El comportamiento de la estructura después de la formación de la rotula plástica en la sección D de la fig .(i ) , puede analizarse directamente sin descomponerlo en los estados de las figuras fig .(ii ) y fig .(iii ) . Basta suponer una rotula en el punto D y los momentos plásticos

M P actuantes sobre cada extremo que concurre a D.

P 209638 209638 A

RA =

B

C

P > 3440

D M B = 150.P = 1397, 6 × 300

209638 = 1397, 6(cte) 150

M D = 209638(cte)

La carga última se tiene cuando el momento flector en B es igual al momento plástico

MP . 150.Pu − 419280 = 209638 Pu = 4193Kg

Para calcular el desplazamiento en D causado por Pu se determina el desplazamiento del punto D como perteneciente a la viga DBC. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -32-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

TABLA

Pu − RA = 2795

M

δ

M P = 209638

l δ=

300

150

M .l 2 2.E.I

Cálculo de la carga última Pu por Trabajos virtuales. Cuando se conocen donde se van a forma las rotulas plásticas resulta muy simple determinar la carga última donde un desplazamiento virtual de cuerpo rígido al mecanismo formado por las rotulas y en equilibrio a través de los momentos plásticos M P .

Pu

B

A MP MP 150

MP 150

C MP 300

Sistema en equilibrio

δθ Diagrama de desplazamientos virtuales

Ecuación de T.V. − M p .δθ − M p .δθ − M p .δθ + M p .0 + Pu . (150.δθ ) = 0

−3.M p .δθ + 150.Pu .δθ = 0 Pu =

2 × 209638 150

Pu = 4193Kg

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -33-