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Tema 2 Nivel IV ÁLGEBRA

Introducción al lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades.

Tipos de Lenguaje: Lenguaje numérico o aritmético: Utilizamos este lenguaje en matemáticas cuando solamente aparecen números. Ejemplo

3 + 8 = 11

3 · 5 = 15

Lenguaje algebraico o literal: Es el lenguaje en el que aparecen números y letras (incógnitas). Ejemplo: El doble de un número es 60 → 2 ∙ x = 60 Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos o ligados por las operaciones aritméticas de: Suma, resta, multiplicación y división. Términos de una expresión algebraica: Se llaman así a las expresiones numéricas o algebraicas separadas por los signos de sumar o restar.

Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases: a) El doble de un número. b) El cuadrado de un número menos tres. c) La suma de dos números. d) La diferencia de los cuadrados de dos números. e) La mitad de un número. f) El cuádruplo de un número. g) La suma de un número y su cuadrado.

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h) El doble de un número menos cinco. i) La tercera parte de un número. j) El cuadrado de la suma de dos números. k) El doble de la suma de tres números. l) El triple de la raíz cuadrada de un número. m) La suma de tres números consecutivos. n) Una cuarta parte de la suma de dos números. ñ) Un número aumentado en cinco unidades. o) El doble de un número menos el triple de otro. p) Las tres cuartas partes de un número. q) El cubo de la diferencia de dos números. r) El producto de dos números. s) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.

Igualdades notables Binomio al cuadrado : (a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9 Suma por diferencia : (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25 Binomio al cubo : (a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3 (x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 = x 3 + 9x2 + 27x + 27 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x · 32 − 33 = 8x 3 − 36x2 + 54x − 27 Trinomio al cuadrado : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1= = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1

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Repaso: Ecuaciones Primer Grado. Para resolver ecuaciones de primer grado es conveniente seguir siempre una misma estrategia que facilite su resolución. 7 · (x + 1) – 4 · (x + 3) = x – 9

Ejemplo:

1. Quitar paréntesis realizando las operaciones correspondientes: 7x + 7 – 4x – 12 = x – 9 2. Agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los términos sin la x en el otro (recuerda que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación cambia su signo): 7x – 4x – x = – 9 – 7 + 12 3. Operar: 2x = –4 4. Despejar la x: x

4  2 2

5. Comprobar la solución: para lo que se sustituye el valor obtenido en la ecuación de partida: 7 · (–2 + 1) – 4 · (–2 + 3) = –2 – 9  7 · (–1) – 4 · (1) = –11  –11 = –11 Resolver: a) x + 16 = 41

h) 2 · (13 + x) = 41 + x

b) 9x – 45 + 4x – 16 = 4

i)

c) 2x – 3 + x – 35 = 2 – 9x – 4

j) 4x – 3 · (1 – 3x) = –3

d) 3 · (x – 2) + 9 = 0

k) 4 · (2x) – 3 · (3x – 5) = 12x – 180

e) 8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30)

l)

f) x + (x + 2) = 36

m) (x – 2)2 = x2

g) 2 · (3x – 2) – (x + 3) = 8

n) x · (x + 4) = x2 + 8

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2 · (x – 3) – 3 · (4x – 5) = 17 – 8x

6 – x = 4 · (x – 3) – 7 · (x – 4)

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Ecuaciones de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado se caracterizan porque el termino de mayor grado que aparece en la ecuación tiene grado dos. Siempre que tengamos una ecuación de segundo grado la vamos a escribir de la siguiente manera ax 2  bx  c  0 Ecuaciones de segundo grado: completas e incompletas

Ecuaciones de segundo grado: completas

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Resuelve las siguientes ecuaciones

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Problemas 1. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números. 2. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. 3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. 4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m². 5. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². 6. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente. 7. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números? 8. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente? 9. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados. 10. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. 11. Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

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Resolución de sistemas de ecuaciones REPASO MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: Método de sustitución 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución

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Método de igualación 1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:

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Método de reducción 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3 Se resuelve la ecuación resultante. 4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

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PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1 1 1. ¿Qué fracción es igual a 3 cuando se suma 1 al numerador y es igual a 4 cuando se suma 1 al denominador? 2. Halla dos números cuya suma es 1 y su diferencia es 6. 3. El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el segundo más el cuádruple del primero es 9. ¿Cuáles son estos números?

1 4. Una persona compra un traje y un abrigo, y de 100 € le sobran 19 €. Sabiendo que 6 del coste 5. He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 €. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 €. Halla los precios de ambas cosas. 6. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Dispone en total de 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 7. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y de gallinas. 8. Varios amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 50 céntimos. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor de 130 céntimos. ¿Cuántas monedas hay de cada clase? 9. El cociente de una división es 3 y el resto es 5. Si el divisor disminuye en 2 unidades, el cociente aumenta en 1 y el resto nuevo es 1. Hallar el dividendo y el divisor. 10. La suma de las 2 cifras de un número es 8. Si al número se le añade 18, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Hallar el número. 11. Dos hermanos fueron a pescar. Al final del día uno dijo:”Si tú me das uno de tus peces, entonces yo tendré el doble que tú”. El otro le respondió:”Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú”. ¿Cuántos peces tenía cada uno? 12. Un jurado está compuesto por hombres y mujeres. El número de mujeres es igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado tendría el mismo número de hombres que de mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres habría en el jurado?. 13. La edad de una persona es el doble de la de la otra. Hace 7 años la suma de las edades era igual a la edad actual de la primera. Halla las edades de las personas.

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2 14. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mide 80 m. y la altura es 3 de la base. 15. Se desea mezclar vino de 5,50 €/l. con otro de 4 €/l. de modo que la mezcla resulte a 4,50 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla?. 16. Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg. de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo oro de 975 milésimas y oro de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase?. 17. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm, y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. 18. Halla 2 números cuya suma es 14, y la de sus cuadrados, 100. 19. De los 3 caños que afluyen a un estanque, uno puede llenarlo solo en 37 horas; otro, en 30 horas, y el tercero, en 20 horas. Halla el tiempo que tardarán en llenarlo juntos. 20. Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años será el doble. Halla las edades de cada una de las personas. 21. Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4,50 €, y otros, a 3,60 €, obteniendo de la venta 310,50 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? 22. El dividendo de una división es 1081, el cociente y el resto son iguales y el divisor es el doble del cociente. Halla el divisor. 23. En una fiesta juvenil hay chicas y chicos. Quince chicas abandonan la fiesta, quedando dos chicos por cada chica. Entonces 45 chicos se van y quedan 5 chicas por cada chico. ¿Cuántas chicas había inicialmente en el grupo? 24. En un triángulo se sabe que un ángulo tiene 36º más que otro. Calcular cuanto mide cada uno de los ángulos de dicho triángulo. 25. Hace 1 año la edad del padre era 3 veces mayor que la del hijo, pero dentro de 13 años no tendrá más que el doble . Halla las edades del padre y del hijo.

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