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6 EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES
E J E R C I C I O S
P R O P U E S T O S
6.1 El perímetro de un rectángulo viene dado por la expresión: 2 x 2 · y (x: largo; y: ancho). Calcula el perímetro de cualquier rectángulo; el que tú elijas. Respuesta abierta, por ejemplo, el perímetro de la tabla de una mesa de 1,2 metros de largo y 90 centímetros de ancho: P 2 x 2 y 2 1,2 2 0,9 2,4 1,8 4,2 m El perímetro de la mesa mide 4,2 metros. 6.2 Expresa en lenguaje algebraico. a) El número natural anterior al número n. b) El doble de un número. c) El tercio de un número. d) El cuadrado de un número menos el mismo número. x b) 2n c) a) n 1 3
d) y 2 y
6.3 Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas y escribe las frases correspondientes. e) (x y)2 a) a x c) a2 y 2 b) 2y d) (a y)2 f) (2p)3 a) Diferencia de dos números b) Doble de un número c) Diferencia de los cuadrados de dos números d) Cuadrado de la diferencia de dos números e) Cuadrado de la suma de dos números f) Cubo del doble de un número 6.4 Escribe la expresión algebraica de las siguientes frases. a) La diferencia de a y b. b) La diferencia del doble de a y del doble de b. c) El doble de la suma de a y b. a) a b b) 2a 2b c) 2(a b) 6.5 Calcula el valor numérico de 5a 2 b 2. a) Para a 1 y b 2. b) Para a 4 y b 10. a) 5 12 22 5 4 9 b) 5 42 102 80 100 180 6.6 Indica cuál de los números siguientes es el valor numérico de la expresión x 2 3x 5, para x 1. a) 10 b) 10 c) 9 d) 7 Para x 1, el valor numérico es: (1)2 3 (1) 5 1 3 5 9 6.7 Opera las siguientes expresiones algebraicas: a) a2 3a2 b) 4b3 2b3 a) a2 3a2 4a2 84
b) 4b3 2b3 2b3
c) 4x 3x c) 4x 3x x
6.8 Explica por qué cada una de estas expresiones no se puede reducir. b) a b c) 5p 3 5q3 a) 2y 2 y a) Porque la letra y tiene distintos exponentes. b) Porque son distintas letras. c) Porque las letras son distintas.
6.9 Una tarifa de taxis viene dada por esta fórmula y 1,95 0,75 x, siendo x los kilómetros recorridos e y el coste del servicio. a) ¿Qué significa 1,95 y 0,75 en la fórmula? b) Halla el coste de un recorrido de 5 kilómetros. a) 1,95 euros es el coste de la bajada de bandera, y 0,75 euros, el coste por kilómetro recorrido. b) y 1,95 0,75 5 5,70 €
6.10 Una empresa de alquiler de coches cobra 97 euros por día y 0,13 euros por kilómetro recorrido. Expresa mediante una fórmula el coste del alquiler c de un día, llamando x a los kilómetros recorridos. c 97,00 0,13 x
6.11 Halla el valor numérico de los dos miembros de la igualdad. x 3x 2 5x para x 1 ¿Teniendo en cuenta el resultado puedes afirmar que es una identidad? x 3x 2 1 3 1 2 2 5x 5 1 5 No es una identidad porque no se verifica para todos los valores de x; por ejemplo, para x 1 no se verifica.
6.12 Razona si las siguientes igualdades son o no identidades. a) 12x 3x 9x c) 3x 6 15 2x 25 b) 4x 5 3x 2 x 7 d) 2x 2y 2z 2(x y z) a) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene 9x, que es idéntico al segundo miembro. b) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene x 7, que es idéntico al segundo miembro. c) No es una identidad, pues al reducir el primer miembro se obtiene 3x 9, que no es idéntico al segundo. d) Es una identidad, pues al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro se obtiene una expresión idéntica a la del primer miembro.
6.13 Copia las siguientes expresiones y rellena con el signo igual () o distinto (), según corresponda. a) 12 2 10 d) 8 5 40 b) 25 2 21 1 e) 20 4 2 32 c) 8 6 18 5 1 f) 2 5 2 16 2 a) 12 2 10 b) 25 2 21 1 c) 8 6 18 5 1
d) 8 5 40 e) 20 4 2 32 f) 2 5 2 16 2
6.14 Encuentra la condición que debe cumplir la letra para que se verifiquen cada una de las siguientes ecuaciones. a) x 2 8 b) a 2 6 c) 5 x 3 a) x 6
d) 4 x 10 2 e) 4r 20 f) 14 y 4 b) a 8
c) x 2
d) x 4
e) r 5
f) y 10 85
6.15 ¿Las siguientes ecuaciones son equivalentes? a) x 4 8 b) x 4 5
c) x 4 2 8 2
d) x 8 4
Son equivalentes las ecuaciones a, c y d porque tienen la misma solución, x 4. La b no es equivalente a las anteriores porque tiene distinta solución: x 1 6.16 Escribe tres ecuaciones que sean equivalentes entre sí. Respuesta abierta, por ejemplo: 4x x 8 x
5x x 6 2
x2
Las tres ecuaciones son equivalentes porque tienen la misma solución, x 2. 6.17 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x 7 7 12 b) 5 x 12 25 5
c) 24 x 6 50 6 d) 17 3 x 5 3
Como son ecuaciones sencillas, se puede calcular mentalmente el valor de la incógnita: b) x 13 c) x 38 a) x 12 6.18 Aplica la regla de la suma para hallar el valor de x. a) 7x 6 x 8 5x b) 6x 2 4x 9 x 8 a) 7x Se Se Se
d) x 12
c) 3 4x 7 5x 1
6 x 8 5x resta 5x: 2x 6 x 8 x68 resta x: suma 6: x 14
b) 6x 2 4x 9 x 8 5x 2 4x 17 Se resta x: Se resta 2: 5x 4x 15 x 15 Se resta: c) 3 4x 7 5x 1 Se resta 4x: 3 7 x 1 Se suma: 3 8 x Se suma 8: 11 x 6.19 Resuelve las siguientes ecuaciones. 3x a) —— 24 4
5x b) —— 2 20 2 2
3x a) 24 4
5x b) 2 20 2 2
Se multiplica por 4: 3x 96 x 32 Se divide entre 3:
Se multiplica por 2: 5x 4 40 4 Se resta 4: 5x 40 x8 Se divide entre 5:
6.20 Halla el valor de x. a) 3x 4 24 x
5x 2x b) —— 7 —— 25 3 3
a) 3x 4 24 x
5x 2x b) 7 25 3 3
4x 4 24 Se suma x: Se suma 4: 4x 28 Se divide entre 4: x 7
86
Se Se Se Se
multiplica por 3: 5x 21 2x 75 resta 2x: 3x 21 75 resta 21: 3x 54 x 18 divide entre 3:
6.21 Resuelve esta ecuación. 3(x 6) 5(2 x) 10 4(6 2x) Se Se Se Se Se
3x 18 10 5x 10 24 8x 2x 28 14 8x 6x 28 14 6x 42 x 7
suprimen paréntesis: opera para reducir términos: suma 8x: resta 28: divide entre 6:
6.22 Resuelve esta ecuación. 10x 55 95 10x —— 10x —— 2 2 Se Se Se Se Se
10x 55 20x 95 10x 10x 55 30x 95 20x 55 95 20x 40 x2
multiplica por 2: opera 20x 10x: resta 30x: suma 55: divide entre 20:
R E S O L U C I Ó N
D E
P R O B L E M A S
6.23 El doble de mi edad más 15 es la edad de mi padre que tiene 39 años. ¿Cuántos años tengo? Interpretación del enunciado
Lenguaje algebraico
¿Cuántos años tengo?
x
El doble de mi edad
2x
El doble de mi edad más 15
2x 15
Es igual a la edad de mi padre: 39 años
2x 15 39
Ecuación: 2x 15 39 2x 15 15 39 15 2x 24 x 12 Tengo 12 años.
6.24 En una clase de 27 alumnos hay 5 chicas más que chicos. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay? Interpretación del enunciado
Lenguaje algebraico
Número de chicos
x
Hay 5 chicas más que chicos
x5
El total de alumnos es 27
x x 5 39
Ecuación: x x 5 27 2x 5 27 2x 5 5 27 5 2x 22 x 11 Hay 11 chicos y 16 chicas. 87
6.25 Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina. ¿Cuántos años tiene cada uno? Interpretación del enunciado
Lenguaje algebraico
Edad de Cristina ahora
x
Daniel tiene ahora 8 años más que Cristina
x8
Dentro de 4 años la edad de Cristina será
x4
Dentro de 4 años la edad de Daniel será
x84
Dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina
x 8 4 2 (x 4)
Ecuación: x 8 4 2(x 4) x 12 2x 8 x 12 12 2x 8 12 x 2x 4 x 4 2x 4 4 x 4 2x x 4 x 2x x 4 x ⇒ x 8 4 8 12 Dentro de 4 años, Cristina tendrá 8 años, y Daniel, 16, que es el doble de 8.
C Á L C U L O
M E N TA L
6.26 Determina cuáles de las siguientes expresiones son igualdades. a) 2 3 5 b) 1 6 8 c) 2 3 1 3 2
10 26 e) 7 —— —— 2 13 f) 21 4 2 42
d) 6 3 6 3 8
g) (1 5) 3 52 7
a) 2 3 5
10 26 e) 7 2 13
b) 1 6 8 c) 2 3 1 3 2 d) 6 3 6 3 8
f) 21 4 2 42 g) (1 5) 3 52 7
6.27 Encuentra el valor que tiene que tomar cada letra para que se verifiquen las siguientes igualdades. a) y 2 8
c) t 5 35
e) x + 2 3
b) x 2 6
d) z 10 5
f) p 15 5
a) y 6
c) t 40
e) x 1
b) x 4
d) z 15
f) p 20
a) c 6 1
c) t 2 3
e) 1 x 4
b) q 100 400
d) y 7 3
f) 15 d 12
a) c 5
c) t = 1
e) x 3
b) q 500
d) y 4
f) d 3
6.28 Resuelve estas ecuaciones.
88
6.29 Halla el valor de la incógnita en cada ecuación. a) 4x = 20 b) 16 = 4y
c) 9z 45 d) 100 10x
e) 4p 44 f) 20 10t
g) 75 25x h) 9q 90
i) 5a 45 j) 4x 20
a) x 5 b) y 4
c) z 5 d) x 10
e) p 11 f) t 2
g) x 3 h) q 10
i) a 9 j) x 5
6.30 Calcula el valor de la incógnita para el cual se verifica la igualdad. y p x 5 x a) 6y 12 c) 7 —— e) —— 11 g) 2 —— i) —— —— 2 4 9 3 3 t b) —— 10 3 a) y = 2 b) t = 30
m d) 5 —— 5 c) y 14 d) m 25
r f) —— 3 1
m 1 h) —— —— 2 2
1 3 j) z —— —— 2 2
e) x 99 f) r 3
g) p 8 h) m 1
i) x 5 j) z 2
E J E R C I C I O S
PA R A
E N T R E N A R S E
Letras y números 6.31 La superficie de un rectángulo es 4 2. La de otro rectángulo es 5 3. ¿Cómo expresarías la superficie de un rectángulo cualquiera? Largo x ancho xy 6.32 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones. a) El cubo de un número. b) El cuadrado de un número más el doble del mismo. c) Un número más el tercio del mismo. d) Un número par. e) Dos números enteros consecutivos. a) x 3
b) a2 2a
1 c) b b 3
d) 2n
e) n, n 1
6.33 Escribe con letras, números, y el signo igual (), las siguientes frases. a) El doble de un número más 3 es igual a 13. b) La mitad de un número es igual a 9. c) El cuadrado de un número es igual a 16. a) 2x 3 13
z b) 9 2
c) t 2 16
6.34 Escribe las siguientes operaciones en lenguaje ordinario. a) y 3 b) x 2
c) 10 t d) 3x
e) 3y 2 f) a2
a) Un número más 3. b) Un número menos 2. c) 10 menos un número. d) Triple de un número. e) Triple de un número menos 2. f) Cuadrado de un número. 89
6.35 Calcula los valores numéricos de las expresiones siguientes para x 1 y para x 2. a) 6x 2
c) 4(1 x 2) x d) —— 3x 1 2
b) 3(x 1) a) 6 1 2 4 b) 3 (1 1) 0 c) 4 (1 12) 0 1 5 d) 3 1 1 2 2
6 (2) 2 14 3 (2 1) 9 4 [1 (2)2] 12 2 3 (2) 1 8 2
6.36 Halla el valor de y en las siguientes igualdades para el valor de x indicado. a) y 0,5 2x b) y 1,75x
para x 5 para x 6
a) y 0,5 2 5 10,5 b) y 1,75 6 10,5
6.37 ¿Cuál de estas expresiones es una identidad? a) 4x 20
b) x y 1
c) 3x 6 3(x 2)
La expresión c es una identidad porque, al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro, el resultado es idéntico al primer miembro: 3(x 2) 3x 6.
6.38 Para el valor de x indicado, comprueba si se cumple o no la igualdad. a) 24 4x 4 b) 20 2x c) x 4 20 d) 12 5x x x
para para para para
x x x x
a) 24 4x 4 ⇒ 24 4 5 4 b) 20 2x ⇒ 20 22 c) x 4 20 ⇒ 24 4 20 d) 12 5x x x ⇒ 6 1
5 11 24 1
Sí se cumple la igualdad. No se cumple la igualdad. Sí se cumple la igualdad. No se cumple la igualdad.
6.39 Escribe en lenguaje algebraico. a) La edad de Carmen dentro de 6 años, si ahora tiene x años. b) La edad de Alberto hace 5 años, si ahora tiene x años. a) x 6 b) x 5
6.40 Expresa en lenguaje ordinario. x a) —— 3
b) (b 2)2
c) xz
d) x 2 2x
a) Tercio de un número. b) Cuadrado de la suma de un número y 2. c) Producto de dos números. d) Diferencia del cuadrado de un número y del doble del mismo. e) Diferencia del doble de un número y del triple de otro número f) Diferencia del cuadrado de dos números. 90
e) 2a 3b
f) x 2 y 2
6.41 Escribe con letras y números y utilizando el signo (). a) El doble de un número más 5 es igual a 27. b) Un número sumado a 6 es igual a 33. c) Un número más el doble del mismo es igual a 39. a) 2x 5 27
b) y 6 33
c) z 2z 39
Soluciones de una ecuación 6.42 Comprueba si el número asignado a x es la solución de la ecuación. a) 2x 10 16 x3 d) 10(x 2) 1 b) 10x 50 x5 e) 6x 2 31 5x c) 5x 10 7x 2 x4 a) 16 16 ⇒ Sí es la solución. b) 50 50 ⇒ Sí es la solución. c) 30 30 ⇒ Sí es la solución.
x2 x3
d) 0 1 ⇒ No es la solución. e) 16 16 ⇒ Sí es la solución.
6.43 Averigua para cada par de ecuaciones si son equivalentes. a) 2x 6 16 2x 22 b) 5y 10 30 5y 40 9x 6x 3x 27 0 c) —— 6 —— 3 3 3 a) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x 11. b) No son equivalentes porque tienen distinta solución, y 4 e y 8. c) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x 9.
Resolución de ecuaciones 6.44 Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a) x 5 11 c) 3 x 14 b) 2 x 5 d) x 1 2 a) x 5 11 Se resta 5:
x6
b) 2 x 5 Se resta 2:
x3
e) 3 x 1 f) 5 x 2
d) x 1 2 Se resta 1: x 3 e) 3 x 1 Se suma x: 3 1 x Se suma 1: 4x
c) 3 x 14 x 17 Se suma 3:
f) 5 x 2 Se suma x: Se resta 5:
5x2 x 3
6.45 Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones. 2x a) 4x 8 b) x 5 c) —— 4 7 a) 4x 8 Se divide por 4:
x2
b) x 5 Se multiplica por 1: x 5
2x c) 4 7 Se multiplica por 7: Se divide por 2:
3x 18 d) —— —— 5 15 2x 28 x 14
3x 18 d) 5 15 Se multiplica por 15: 9x 18 x2 Se divide por 9: 91
6.46 Resuelve estas ecuaciones. a) 5x 30 0 b) 3x 5 4 c) 6 7x 20
x d) —— 55 2 5x e) —— 3 7 4 3x f) —— 15 0 10
a) 5x 30 0 5x 30 30 30 x6
x d) 5 2 x 2 5 2 2 x 10
b) 3x 5 4 3x 5 5 4 5 3x 9 x3
5x e) 3 7 4 5x 4 4 3 4 7 4 5x 12 28 5x 12 12 28 12 5x 40 x8
c) 6 6 7x x
7x 20 7x 6 20 6 14 2
3x f) 15 0 10 3x 10 10 15 0 10 3x 150 0 3x 150 150 150 3x 150 x 50
6.47 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5(2 x) 3(x 6) 10 4(6 2x)
c) 3(x 3) 5(x 1) 6x
b) 4(x 2) 1 5(x 1) 3x
d) 3(5x 9) 3(x 7) 11(x 2) 7
a) 5(2 x) 3(x 6) 10 4(6 2x)
c) 3(x 3) 5(x 1) 6x
10 5x 3x 18 10 24 8x 2x 28 14 8x 2x 28 8x 14 8x 8x 6x 28 14 6x 28 28 14 28 6x 42 6 6 x 7 b) 4(x 2) 1 5(x 1) 3x 4x 8 4x 7 4x 7 2x 7 2x 7 2x 12 x6 92
1 5x 5 3x 2x 5 2x 2x 5 2x 5 757
3x 3x 3x 4x 4x
9 9 9 9 9
5x 5 6x 5 x x 5 x x 5 959
4x 4 x1 d) 3(5x 9) 3(x 7) 11(x 2) 7 15x 27 3x 21 11x 22 7 12x 48 11x 15 12x 48 48 11x 15 48 12x 11x 63 12x 11x 11x 63 11x x 63
6.48 Resuelve. x3 a) —— 4 2
x1 c) —— 8 4
x3 b) —— x 5 3
12x 3x d) —— 2 —— 4 3 2
x3 a) 4 2 2(x 3) 4 (2) 2 x 3 8 x 3 3 8 3 x 5
x3 b) x 5 3 x3 3 3 (x 5) 3 x 3 3x 15 x 3 3x 3x 15 3x 2x 3 15 2x 3 3 15 3 2x 12 x 6
x1 c) 8 4 x1 4 8 (4) 4 x 1 32 x 1 1 32 1 x 31
12x 3x d) 2 4 3 2 3x 4x 2 4 2 3x 2 (4x 2) 2 4 2 2 8x 4 3x 8 8x 4 3x 3x 8 3x 5x 4 8 5x 4 4 8 4 5x 4 5x 4 5 5 4 x 5 93
6.49 Resuelve las siguientes ecuaciones. x1 x4 1 a) —— —— 2 —— 6 3 4 2x 5 x b) —— —— —— 7 0 3 4 6 1 c) 3 2x —— 2(x 3) 7 2 95 x 10x 55 d) 10x —— —— 2 2 5x 7 2x 4 3x 9 e) —— —— —— 5 2 3 4
x1 x4 1 a) 2 6 3 4 m.c.m.(6, 3, 4) 12
95 x 10x 55 d) 10x 2 2 20x (95 x) 10x 55
x1 x4 1 12 12 2 6 3 4 2(x 1) 4(x 4) 24 3
2x 2 4x 16 27 2x 14 27 2x 14 14 27 14 2x 41
20x 95 x 10x 55 21x 95 10x 55 21x 95 10x 10x 55 10x 11x 95 55 11x 95 95 55 95 11x 40 40 x 11
2x 41 2 2 41 x 2 2x 5 x b) 7 0 3 4 6 m.c.m. (2, 3, 4) 12 2x 5 x 12 7 0 12 3 4 6 4 2x 3 5 2x 12 7 0
8x 15 2x 84 0 10x 69 0 10x 69 69 69 10x 69
5x 7 2x 4 3x 9 e) 5 2 3 4 m.c.m.(2, 3, 4) 12 5x 7 2x 4 3x 9 12 12 12 12 5 2 3 4 6(5x 7) 4(2x 4) 3(3x 9) 60 30x 42 8x 16 9x 27 60 22x 58 9x 87 22x 58 9x 9x 87 9x 13x 58 87
69 x 10
13x 58 58 87 58 13x 29
1 c) 3 2x 2 (x 3) 7 2 3 6x 2x 6 7 2 12x 3 4x 12 14 16x 9 14 16x 9 9 14 9 16x 5 5 x 16 94
29 x 13
P R O B L E M A S
PA R A
A P L I C A R
6.50 Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple que Alicia. Si entre los tres gastan 72 euros, ¿cuánto ha gastado cada uno? Gasto de Alicia:
x
Gasto de Juan:
2x
Gasto de Ana:
3x
Gasto total:
x 2x 3x 72
Ecuación: x 2x 3x 72 6x 72 x 12 ⇒ 2x 24, 3x 36 Alicia gasta 12 euros; Juan, 24, y Ana, 36.
6.51 Las medidas de la figura vienen dadas en centímetros. El perímetro mide 36 centímetros. Calcula los lados de la figura.
Ancho
Doble del ancho + 5
Ancho:
x
Largo:
2x 5
Perímetro: 2x 2 (2x 5) 36 Ecuación: 2x 2 (2x 5) 36 2x 4x 10 36 6x 10 36 6x 10 10 36 10 6x 26 6x 26 6 6 x 4,33 ⇒ 2x 5 2 4,33 5 13,66 El ancho mide 4,33 centímetros, y el largo, 13,66.
6.52 Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 210 euros en premios, de modo que a cada uno le correspondan 10 euros más que al que se quede en posición inmediata inferior. ¿Cuántos euros recibe cada uno? Número de euros para el que queda en 5.ª posición: Número de euros para el queda en 4.ª posición: Número de euros para el que queda en 3.ª posición: Número de euros para el que queda en 2.ª posición: Número de euros para el que queda en 1.ª posición: El reparto total es: x (x 10) (x 10 10)
x x 10 x 10 10 x 10 10 10 x 10 10 10 10 (x 10 10 10) (x 10 10 10 10) 210
Ecuación: x (x 10) (x 10 10) (x 10 10 10) (x 10 10 10 10) 210 x x 10 x 20 x 30 x 40 210 5x 100 210 5x 100 100 210 100 5x 110 x 22 El 5.º recibe 22 euros; el 4.º, 32; el 3.º, 42; el 2.º, 52, y el 1.º, 62. 95
6.53 La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años menos que ella. Si entre las tres suman 37 años. ¿Cuántos años tiene Patricia? Edad de Patricia:
x
Edad de la hermana mayor:
x6
Edad de la hermana menor:
x8
Entre las tres suman:
x x 6 x 8 37
Ecuación: x x 6 x 8 37 3x 2 37 3x 2 2 37 2 3x 39 x 13 Patricia tiene 13 años.
6.54 El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno de los lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado? Longitud de uno de los dos lados iguales:
x
Longitud del lado desigual:
x 2
Perímetro:
x x x 20 2
x Ecuación: x x 20 2 2x 2x x 40 5x 40
x x 8 ⇒ 4 2
Los lados iguales miden 8 centímetros cada uno, y el otro lado, 4 centímetros.
6.55 La diferencia de dos números es 10, siendo el menor la sexta parte del mayor. ¿Cuál es el valor de cada uno? Número mayor:
x
Número menor:
x 6
Diferencia:
x x 10 6
Ecuación:
x x 10 6 6x x 60 5x 60
x x 12 ⇒ 2 6 El número mayor es 12, y el menor, 2. 96
6.56 El transporte de un tipo de libros se realiza en cajas de igual largo que ancho y de 30 centímetros de altura. Para reforzar las aristas de cada caja se aplica cinta adhesiva. Para una caja se necesitan 400 centímetros de cinta. ¿Cuánto miden las aristas de una caja? Altura:
30
Cuatro aristas (en altura):
120
Una arista a lo largo o a lo ancho:
x
Ocho aristas a lo largo o a lo ancho:
8x
Longitud de cinta:
120 8x 400
Ecuación: 120 8x 400 120 8x 120 400 120 8x 280 x 35 Las aristas de una caja miden 35, 35 y 30 centímetros.
6.57 El doble de las horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir. ¿Qué hora es? Horas transcurridas:
x
Horas que quedan por transcurrir:
24 x
Doble de las horas transcurridas:
2x
Cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir:
4 (24 x)
Ecuación: 2x 4 (24 x) 2x 96 4x 2x 4x 96 4x 4x 6x 96 x 16 Son las 16.00.
6.58 La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números. Un número:
x
Siguiente:
x1
Siguiente:
x2
Ecuación: x x 1 x 2 2 (x 2) 1 3x 3 2x 4 1 3x 3 2x 5 3x 3 2x 2x 5 2x x35 x3353 x=2⇒x13
x24
Los números son: 2, 3 y 4. 97
6.59 El perímetro de esta pieza mide 38 centímetros. Calcula el valor de los lados desconocidos. 2x + 4 5 9
2x
Ecuación: 9 2x 4 4 5 2x 4 38 4x 26 38 4x 26 26 38 26 4x 12 x3 2x 2 3 6 cm 2x 4 2 3 4 10 cm Los lados desconocidos miden 6 y 10 centímetros.
6.60 De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan 20 metros. Halla la longitud de una pieza de tela. Longitud de la pieza de tela: x x x x Ecuación: x 20 2 5 10 m.c.m.(2, 5, 10) 10 x x x 10 x 10 10 10 10 20 2 5 10 10x 5x 2x x 200 10x 8x 200 2x 200 x 100 La longitud de una pieza de tela es de 100 metros.
6.61 Un segmento que mide 22 centímetros se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 centímetros más que la otra. ¿Cuánto mide cada trozo? Longitud de una parte:
x
Longitud de la otra parte:
22 x
Ecuación: x (22 x) 6 x 22 x 6 x 28 x x x 28 x x 2x 28 x 14 ⇒ 22 x 22 14 8 Una parte mide 14 centímetros, y la otra, 8. 98
6.62 Tres personas se reparten 3 000 euros. Una recibe 65 euros más que otra, y esta 200 euros más que una tercera. ¿Qué dinero recibe cada una? Dinero recibido por la tercera persona: x Ecuación: x (x 200) [(x 200) 65] 3 000 x x 200 x 200 65 3 000 3x 465 3 000 3x 465 465 3 000 465 3x 2 535 x 845 ⇒ x 200 1 045
x 200 65 1 110
Las tres personas reciben 845 euros, 1 045 y 1 110. 6.63 Una barra mide 74 centímetros y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 veces mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color. Longitud pintada de blanco: Longitud pintada de azul:
x 74 x
x Ecuación: 74 x 14 · 2 74 x 7x
74 x x 7x x 74 8x 9,25 x ⇒ 74 x 74 9,25 64,75 cm La parte pintada de blanco mide 9,25 centímetros, y la pintada de azul, 64,75. 6.64 El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y éste, tiene 24 años menos que su padre. ¿Cuántos años tiene cada uno? Edad del hijo: Edad del padre:
x 3x
Ecuación: x 3x 24 x 24 3x 24 24 x 24 3x x 24 x 3x x 24 2x 12 x ⇒ 3x 36 David tiene 12 años, y su padre, 36. 6.65 En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas blancas más 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas bolas hay de cada color. Número de bolas blancas: Número de bolas rojas: Número de bolas azules:
x x 14 x6
Ecuación: x (x 14) (x 6) 98 x x 14 x 6 98 3x 8 98 3x 8 8 98 8 3x 90 x 30 ⇒ x + 14 = 30 + 14 = 44 rojas
x 6 30 6 24 azules
Hay 30 bolas blancas, 44 rojas y 24 azules. 99
R E F U E R Z O
Letras y números 6.66 Escribe en lenguaje matemático las siguientes frases. a) Dos números pares consecutivos. b) La edad dentro de 10 años de una persona que tiene ahora x años. c) La edad hace 1 año de un niño que ahora tiene y años. d) La mitad de un número es igual a 9. e) El perímetro de un cuadrado. x b) x 10 c) y 1 d) 9 a) 2n, 2n + 2 2
e) 4x (x, lado)
6.67 Escribe en lenguaje ordinario frases que correspondan a las siguientes expresiones matemáticas. a) x 1 d) x 2 b) 3x e) (a b)2 c) x 1 f) a2 b2 a) Un número más 1 b) Triple de un número c) Un número menos 1
d) Cuadrado de un número e) Cuadrado de la suma de dos números f) Suma de los cuadrados de dos números
t 6.68 Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2t 6 —— para los valores de 4. 2 a) t 1 c) t 10 b) t 1 d) t 20 t 1 7 a) 2t 6 2 1 6 2 2 2 t 1 1 17 b) 2t 6 2 (1) 6 2 6 2 2 2 2 t c) 2t 6 2 10 6 5 19 2 t d) 2t 6 2 (20) 6 10 40 6 10 56 2 6.69 Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones para el valor que se indica. a) 5x 2 4 para x 1 b) 4x x 5x 10 para x 2 a) 3 4 ⇒ No se cumple. b) 6 0 ⇒ No se cumple. 6.70 ¿Qué valor hay que asignar a x para que se verifique la ecuación? x 1 x 1 x1
Resolución de ecuaciones 6.71 Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a) x 20 32 c) 12 x 12 b) x 5 12 d) 3 x 15 a) x x x b) x x x
100
20 32 20 20 32 20 12 5 12 5 5 12 5 17
c) 12 x 12 12 x 12 12 12 d) 3 x 15 3 x x 15 x 3 15 x 3 15 15 x 15 12 x
6.72 Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones. a) 3x 33
1 b) —— x 3 7
c) 57 3x
4 2 d) —— x —— 3 5
a) 3x 33
1 b) x 7
c) 57 3x
4 2 d) x 3 5
3x 33 3 3
1 7 x 3 7 7
57 3x 3 3
4 2 3 x 3 3 5
x 11
x 21
19 x
6 4x 5 6 5 4x 5 5 20x 6 20x 6 20 20 3 x 10
6.73 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x 3 5 3x b) 9x 8 10x 7x 15 5x a) 2x 3 5 3x 2x 3x 3 5 3x 3x 5x 3 5 5x 3 3 5 3 5x 2 5x 2 5 5 b) 9x 8 10x 7x 15 5x 19x 8 12x 15 19x 8 12x 12x 15 12x 7x 8 15 7x 8 8 15 8 7x 7 x1
6.74 Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 73 discos. Irene tiene el doble de discos que Alejandro más 1. ¿Cuántos discos tiene cada uno? Número de discos de Alejandro:
x
Número de discos de Irene:
73 x
Ecuación: 73 x 2x 1 73 x x 2x 1 x 73 3x 1 73 1 3x 1 1 72 3x 24 x ⇒ 73 x 73 24 49 discos Alejandro tiene 24 discos, e Irene, 49. 101
6.75 La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. ¿Qué edad tiene cada uno? Edad de Fátima:
x
Edad de Pablo:
2x
Ecuación: x 2x 15 3x 15 x 5 ⇒ 2x 10 Fátima tiene 5 años, y Pablo, 10.
6.76 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5[(x 4) 6] 4(x 6) b) 2(x 3) 6(5 x) 3x 4 c) 3x 8 5x 5 2(x 6) 7x
a) 5[(x 4) 6] 4(x 6) 5[x 4 6] 4x 24 5[x 2] 4x 24 5x 10 4x 24 5x 10 4x 4x 24 4x x 10 24 x 10 10 24 10 x 14
b) 2(x 3) 6(5 x) 3x 4 2x 6 30 6x 3x 4 4x 24 3x 4 4x 24 24 3x 4 24 4x 3x 28 7x 28 28 7x 7 7 x 4
c) 3x 8 5x 5 2(x 6) 7x 2x 3 2x 12 7x 2x 3 5x 12 2x 3 5x 5x 12 5x 3x 3 12 3x 3 3 12 3 3x 9 x3
6.77 Resuelve las siguientes ecuaciones. 4x x a) —— 2(x 1) —— 3 2
2x 6 b) —— x 5 2
4x x a) 2(x 1) 3 2 m.c.m.(2, 3) 6 4x x 6 6 2(x 1) 6 3 2
2x 6 2x 10
2 4x 12(x 1) 3x
2x 6 2x 2x 10 2x
8x 12x 12 3x
4x 6 10
4x 12 3x
4x 6 6 10 6
4x 12 3x 3x 3x
4x 16
7x 12 0
x4
7x 12 12 0 12 7x 12 12 7x = 7 7 12 x 7 102
2x 6 b) x 5 2 2x 6 (2) (2) (x 5) 2
A M P L I A C I Ó N
6.78 Resuelve las siguientes ecuaciones. x1 x4 x3 a) —— —— —— 1 2 5 4
x3 x3 x5 b) —— —— —— 1 8 10 4
x1 x4 x3 a) 1 2 5 4 m.c.m.(2, 5, 4) 20 x1 x4 x3 20 20 20 20 1 2 5 4 10 (x 1) 4 (x 4) 5 (x 3) 20 10x 10 4x 16 5x 15 20 9x 11 20 9x 11 11 20 11 9x 9 x1
x3 x3 x5 b) 1 8 10 4 m.c.m.(8, 10, 4) 40 x3 x3 x5 40 40 40 40 1 10 8 4 5 (x 3) 4 (x 3) 10 (x 5) 40 5x 15 4x 12 10x 50 40 x 27 10x 90 x 27 x 10x 90 x 27 9x 90 27 90 9x 90 90 117 9x 117 9x 9 9 x 13
6.79 Si tenemos 2 800 euros en billetes de 500 euros y de 100 euros, de manera que el número de estos es el doble que el de los primeros. ¿Cuántos billetes se tienen de cada clase? Número de billetes de 500 euros:
x
Número de billetes de 100 euros:
2x
Ecuación: 500x (2x) 100 2 800 500x 200x 2 800 700x 2 800 700x 2 800 700 700 x 4 ⇒ 2x 2 4 8 Tenemos 4 billetes de 500 euros y 8 billetes de 100.
6.80 Hace 12 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre tenía 27 años cuando nació el hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos? Edad actual del hijo:
x
Edad actual de la madre:
x 27
Edad del hijo hace 12 años:
x 12
Edad de la madre hace 12 años:
x 27 12
Ecuación: x 27 12 4 (x 12) x 15 4x 48 x 15 x 4x 48 x 15 3x 48 15 48 3x 63 3x x 21 Edad actual del hijo: 21 años. Edad actual de la madre: 21 27 48 años. La edad actual de la madre es de 48 años, y la del hijo, de 21. 103
6.81 Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra de las unidades es 7. ¿En qué año nació el autor de El Quijote? El siglo
XVI
comprende los años 1500 a 1599, ambos inclusive.
El año es: 15d7, donde d es la cifra de las decenas. Ecuación: 1 5 d 7 17 13 d 17 13 d 13 17 13 d4 La cifra de las decenas es 4, luego el año en que nació Cervantes fue el 1547. 6.82 Con los baldosines cuadrados que tengo puedo formar un cuadrado y sobran 23. Si formo otro de 1 baldosín más por lado, faltan 46. ¿Cuántos baldosines tengo? Lado del cuadrado:
x
Con los baldosines se puede formar un cuadrado y sobran 23: x 2 23 Si el lado es x 1, faltan 46 para completar un cuadrado:
(x 1)2 46
Ecuación: x 2 23 (x 1)2 46 x 2 23 x 2 2x 1 46 x 2 23 x 2 x 2 2x 45 x 2 23 2x 45 23 45 2x 45 45 68 2x x 34 ⇒ x 2 23 342 23 1 179 Tengo 1 179 baldosines.
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
6.83 El almacén En un almacén hay cajas marrones, amarillas y blancas, correspondiendo cada color a un tamaño determinado. Se almacenan apilando una caja encima de otra.
Una pila formada por 3 cajas marrones alcanza la misma altura que una de 2 amarillas, y una pila de 4 cajas marrones y 2 amarillas tiene la misma altura que una de 4 amarillas y una blanca. Si las cajas blancas tienen 50 centímetros de altura, ¿qué altura tienen las demás? altura 3 cajas marrones altura 2 cajas amarillas x altura de caja marrón 3x altura 2 cajas amarillas 50 cm altura caja blanca Ecuación: 4x 3x 6x 50 7x 6x 50 7x 6x 50 x 50 cm La altura de la caja marrón es de 50 cm La altura de la caja amarilla es de 75 cm 104
6.84 Visita al museo La comisión de actividades extraescolares de un colegio está estudiando las empresas que ofrecen autocares. La empresa Viajes Escolares, S.A., envía la siguiente respuesta comercial.
Autocares: de 40 y de 50 plazas N.o total de autocares: 21 N.o total de plazas: 970
Averigua el número de autocares de cada tipo del que dispone la empresa x coches de 50 plazas y 21 x coches de 40 plazas 130 50x 40 (21 x) 970 ⇒ 50x 840 40x 970 ⇒ 10x 130 ⇒ x 13 10 13 coches de 50 plazas y 8 coches de 40 plazas A U T O E VA L U A C I Ó N
6.A1 Escribe en lenguaje algebraico estas frases. a) El triple de un número más la mitad del mismo. b) Un número menos 10 es igual al triple de dicho número. x a) 3x 2
b) x 10 3x
6.A2 Calcula el valor numérico de la siguiente expresión para x 3. 6 2x 1 x —— 5 4 Para x 3:
6 2x 6 2 (3) 12 1 x 5 1 (3) 5 1 3 5 4 3 5 6 4 4 4
6.A3 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma. a) 5x 16 4x 2
b) 12x 6 5 11x
a) 5x 16 4x 2 x 16 2 x 16 16 2 16 x 14
b) 12x 6 5 11x 12x 6 11x 5 11x 11x x65 x6656 x 11
6.A4 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto. a) 4x 48
x b) —— 12 5
x c) —— 2 7
a) 4x 48
x b) 12 5 x 5 5 12 5 x 60
x c) 2 7 x 7 7 2 7 x 14
4x 48 4 4 x 12
(1) (x) (1) 14 x 14 105
6.A5 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 6(x 1) 4(x 2)
b) 5(2x 3) 3(3x 6)
c) 9(2x 1) 3(5x 3) 18
a) 6(x 1) 4(x 2) 6x 6 4x 8 6x 6 4x 4x 8 4x 2x 6 8 2x 6 6 8 6 2x 14 x7
b) 5(2x 3) 3(3x 6) 10x 15 9x 18 10x 15 9x 9x 18 9x x 15 18 x 15 15 18 15 x3
c) 9(2x 1) 3(5x 3) 18 18x 9 15x 9 18 3x 18 x6
6.A6 Resuelve las siguientes ecuaciones. 3x a) 12 —— 2 10
x 3 b) 1 —— —— 2 4
2x 5 x c) —— —— —— 7 0 3 4 6
3x a) 12 2 10
x 3 b) 1 2 4
2x 5 x c) 7 0 3 4 6 m.c.m.(3, 4, 6) 12 2x 5 x 12 12 12 12 7 12 0 3 4 6 4 2x 15 2x 84 0
3x 10 12 10 10 2 10 120 3x 20
x 3 4 1 4 4 2 4 4 2x 3
120 20 3x + 20 20
4 2x 4 3 4
100 3x
2x 1
100 x 3
2x 1 2 2 1 x 2
8x 15 2x 84 0 8x 2x 69 0 10x 69 0 10x 69 69 0 69 10x 69 10x 69 10 10 69 x 10
6.A7 Halla el valor de x para el cual se cumple la ecuación.
m.c.m.(12, 6, 8) 24
3x 7 2x 3 x1 12 6 8
3x 7 2x 3 x1 24 24 24 12 6 8 2(3x 7) 4(2x 3) 3(x 1) 6x 14 8x 12 3x 3 6x - 14 5x 9 6x 14 5x 5x 9 5x x 14 9 x 14 14 9 14
x5
6.A8 El padre de Claudia tiene 37 años. Esta edad es 4 años más que el triple de la edad de Claudia. Calcula la edad de Claudia. Edad de Claudia: Edad del padre:
x 3x 4 37
Ecuación: 3x 4 37 3x 4 4 37 4 3x 33 x 11 La edad de Claudia es 11 años. 106
6.A9 Para vallar un campo rectangular se han necesitado 850 metros de valla. El largo del campo es el doble del ancho más 5 metros. Calcula el largo y el ancho del campo. Ancho: x Largo: 2x 5 Ecuación: 2x 2(2x 5) 850 2x 4x 10 850 6x 10 850 6x 10 10 850 10 6x 840 6x 840 6 6 x 140 Ancho: 140 metros Largo: 2 140 5 285 metros El ancho mide 140 metros, y el largo, 285. 6.A10 En un centro escolar se ha preparado una sala de proyección de cine, con varios bancos dispuestos uno detrás de otro. Si se colocan 10 alumnos en cada banco, quedan sin sitio 11 alumnos. Y si se colocan 11 alumnos en cada banco, quedan 7 plazas disponibles. ¿Cuántos alumnos hay en el grupo? x Número de bancos: Número de alumnos con 10 en cada banco: 10x + 11 Número de alumnos con 11 en cada banco: 11x 7 Ecuación: 10x 11 11x 7 10x 11 10x 11x 7 10x 11 x 7 11 7 x 7 7 18 x Número de bancos: x 18 Número de alumnos: 10x 11 10 18 11 191 alumnos En el grupo hay 191 alumnos.
M U R A L
D E
M AT E M Á T I C A S
Jugando con las matemáticas LA BOTELLA CON TAPÓN El precio de una botella y su tapón es de 1,50 euros. Si la botella cuesta 1 euro más que el tapón, ¿sabrías decir el precio de cada cosa? Precio del tapón: x Precio de la botella: x 1 x x 1 1,50 Ecuación: 2x 1 1,50 2x 1 1 1,50 1 2x 0,50 2 2 x 0,25 La botella cuesta 1,25 euros, y el tapón, 0,25.
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