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Inversas Generalizadas Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 15 de abril de 2009
´Indice 11.1. Inversas generalizadas . . . . . . . . . . 11.2. Uso de la inversa generalizada . . . . . . 11.3. M´etodo de c´alculo . . . . . . . . . . . . 11.4. Algoritmo para una inversa generalizada 11.5. Todas las posibles soluciones . . . . . . 11.6. Inversa de Moore-Penrose . . . . . . . .
11.1.
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1 2 3 3 4 6
Inversas generalizadas
Una matriz inversa generalizada de una matriz A m × n es una matriz n × m G que cumple: AGA = A
(1)
Ejemplo 1 Pruebe que para la matriz: A= dos inversas generalizadas son:
1 3 2 2 6 4
Soluci´ on Basta realizar los productos:
1 0 −42 −1 5 3 G1 = 0 0 , G2 = 0 0 2 2 AGA
AG1 A =
1 3 2 2 6 4
1 0 0 0 1 3 2 = 1 3 2 2 6 4 2 6 4 0 0
Por tanto, G1 s´ı es inversa generalizada de A Por otro lado, −42 −1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 5 3 AG2 A = = 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2 2 Por tanto, G2 s´ı es inversa generalizada de A⋄ Ejercicio 1
Pruebe que la inversa de Moore-Penrose es una inversa generalizada de A. Sugerencia Sustituya A = BF y −1 T G = FT BT BFFT B en A G A.
Ejercicio 2 Suponga que G (n × m) es una inversa generalizada de A (m × n), entonces muestre que lo es tambi´en G∗ = GAG + (In×n − GA)T + S(Im×m − AG) Para cualquiera que sean las matrices T y S de dimensiones adecuadas. Sugerencia Calcule AG∗ A desarrollando los productos.
Teorema 11.1 Si A es una matriz cuadrada que posee inversa, entonces A−1 es una inversa generalizada para A. Demostraci´ on Se prueba directamente que G = A−1 cumple A G A = A: AA−1 A = (AA−1 )A = IA = A⋄
11.2.
Uso de la inversa generalizada
El siguiente resultado indica c´omo se relaciona este concepto con la soluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema 11.2 Sea A una matriz m × n, G una matriz n × m y p un n´ umero entero positivo. Entonces X = GB es una soluci´ on al sistema AX = B para cualquier matriz B m × p para el cual es sistema es consistente si y s´olo si G es una inversa generalizada de A. Demostraci´ on Si G es la inversa generalizada de A y sea B una matriz para la cual el sistema se consistente y sea Xo una soluci´on, vemos que GB tambi´en lo es: A(GB) = AG(AXo ) = (AGA)Xo = AXo = B Por otro lado, suponga que GB es soluci´ on al sistema AX = B para todo B para el cual el sistema es consistente. En particular, para cada Bi = ai de donde se obtiene: A(Gai ) = ai y por tanto, AGA = A⋄ Ejercicio 3 2
Suponga que el sistema Ax = b es consistente. Pruebe que si G es una inversa generalizada de A entonces Gb es una soluci´ on al sistema. Sugerencia Como el sistema es consistente, existe un x0 tal que Ax0 = b. Premultiplique la relaci´on anterior por A G Utilice la propiedad de la inversa generalizada y de nuevo que Ax0 = b.
11.3.
M´ etodo de c´ alculo
El siguiente resultado indica c´omo se puede calcular una inversa generalizada de una matriz. Teorema 11.3 Sea B una matriz m×r de rango columna completo y F una matriz r×n de rango rengl´ on completo. Suponga que L es una inversa izquierda para B y que R es una inversa derecha para F. Entonces, R L es una inversa generalizada para B F. Demostraci´ on Directamente comprobemos que cumple la definici´ on de inversa generalizada: (BF)(RL)(BF) = B(FR)(LB)F = BIIF = BF⋄ Notaci´ on: Una inversa generalizada de la matriz A se simbolizar´ a por: A− y de acuerdo a la definici´ on: AA− A = A
11.4.
Algoritmo para una inversa generalizada
Una algoritmo para calcular la inversa generalizada a una matriz m × n A es: Encuentre una submatriz de A cuadrada de rango igual al de A. Denote por W a esta matriz. Una alternativa para determinarla consiste en: • aplicar rref a A para ubicar las posiciones de las columnas a conservar (las de los pivotes), y • aplicar rref a A′ para ubicar las posiciones de los renglones a conservar (las de los pivotes). Invierta y transponga W. Regrese (W−1 )′ a A en las posiciones correspondientes. En los elementos restantes ponga ceros. Transponga la matriz resultante.
3
(2)
Ejemplo 2 Determine una inversa generalizada de:
−6 2 −2 −3 5 2 A = 3 −1 −3 1 3 −1
Soluci´ on Como A →GJ
1
0
−1 3
0
0
1
0
0
0
11 24 1 8 0
1 0 , A′ →GJ 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0
Entonces, son renglones independientes el 1 y el 2, y son dos columnas independientes la 1 y la 3. Tales renglones y columnas de A debemos conservar para formar W: 5 1 − 24 8 −6 −2 W= , (W−1 )′ = 3 5 −1 1 12
Por tanto:
5 − 24 0 ′ 1 G = − 12 0 0 0
11.5.
1 8 1 4
0 0 ,G = 0 0
4
5 − 24
1 − 12
0
0
1 8
1 4
0
0
0
0 0 0
Todas las posibles soluciones
Teorema 11.4 Todas las posibles soluciones de un sistema consistente: Ax = b pueden ser generadas de ˜ = Gb + (GA − I) z x para una inversa generalizada G y un vector adecuado z Demostraci´ on Primeramente veamos que la f´ ormula genera efectivamente soluciones a Ax = b: A˜ x = A (Gb + (GA − I) z) = AGb + (AGA − AI) z = AGb = b ˜ genera soluciones al sistema de ecuaciones. Por otro lado, si x˙ es una Por consiguiente, la f´ ormula para x ˜: soluci´on cualquiera, se toma z = −x˙ y se sustituye en x ˜ = Gb − (GA − I) x˙ = G (b − Ax) ˙ + x˙ = x˙ ⋄ x 4
Teorema 11.5 Todas las soluciones a Ax = b para b 6= 0 pueden ser generadas de x = Gb usando todas las inversas generalizadas G de A.
Lema 11.6 Para todo vector z y para todo vector b no cero existe una matriz X tal que z = Xb. Tomar Xij = zi /bk para j = k y cero en otro caso (bk 6= 0). Demostraci´ on Sea x ˜ una soluci´ on a Ax = b, por consiguiente, existe una z tal que: ˜ = Gb + (GA − I) z. x Por el lema anterior, existe X tal que z = −Xb y sustituyendo en la f´ ormula anterior: ˜ = Gb + (GA − I) (−Xb) x = [GAG + (I − GA)X + (−G)(AG − I)] b = G∗ b Ejemplo 3 Encuentre todas las soluciones al sistema 5 2 −1 2 7 2 2 3 1 9 1 x = 5 1 4 −1 2 −1 −3 −1 −6 3 0 1 −2 −1 Soluci´ on Determinando una inversa generalizada de la matriz 5 1 −5 G= 15 0 0
⋄
de coeficientes tenemos: −9 8 0 0 21 −17 0 0 −3 6 0 0 0 0 0 0
Por tanto, al sustituir en la f´ ormula de todas las soluciones
x = Gb + (GA − I) z obtenemos:
7 0 5 −9 8 0 0 9 1 −5 21 −17 0 0 0 5 x= + 0 6 0 0 15 0 −3 −6 0 0 0 0 0 0 −1 −6 − 7z4 1 69 + 28z4 x= 15 3 − 9z4 −15z4
5
0 0 0 0
z1 0 −7/15 0 28/15 z2 0 −9/15 z3 z4 0 −1
Ejemplo 4 Encuentre todas las soluciones al sistema 7 7 −1 5 2 −1 2 9 4 2 6 2 3 1 1 4 1 4 −1 X = 5 2 −6 1 −5 2 −1 −3 −1 −1 3 −1 3 0 1 −2
11.6.
Inversa de Moore-Penrose
Definici´ on Sea A una matriz cualquiera y A = BF una factorizaci´ on donde B es de rango columna completo y F es de rango rengl´ on completo. La inversa de Moore-Penrose de A es la matriz: M = FT BT AFT Se puede demostrar que M es la u ´nica matriz que cumple
−1
BT
AMA = A MAM = M AM es sim´etrica. MA es sim´etrica. Ejercicio 4 Sea A una matriz cualquiera y A = BF una factorizaci´ on donde B es de rango columna completo y F es de rango rengl´ on completo. Pruebe que la inverse a Moore-Penrose de A M = FT BT AFT satisface:
−1
BT
AMA = A Sugerencia En la expresi´ on A M A sustituya A = BF y la matriz M propuesta. El punto clave estar´a en la inversa de BT BFFT . Aqu´ı conviene considerar a esta matriz como BT BFFT = BT B FFT
Note que las matrices BT B y FFT son cuadradas de rango rengl´ on y por tanto son invertibles y por tanto: −1 −1 T −1 BT BFFT = FFT B B
Proceda simplificando matrices con sus inversas. Ejercicio 5
6
(3)
Sea A una matriz cualquiera y A = BF una factorizaci´ on donde B es de rango columna completo y F es de rango rengl´ on completo. Pruebe que la inverse a Moore-Penrose de A −1 T M = FT BT AFT B satisface:
MAM = M Sugerencia Vea la sugerencia al problema anterior. Ejercicio 6 Sea A una matriz cualquiera y A = BF una factorizaci´ on donde B es de rango columna completo y F es de rango rengl´ on completo. Pruebe que la inverse a Moore-Penrose de A −1 T B M = FT BT AFT prueba que la matriz A M es sim´etrica. Sugerencia Tome su transpuesta y simplifique como se suguiere en problema previo. Ejercicio 7 Sea A una matriz cualquiera y A = BF una factorizaci´ on donde B es de rango columna completo y F es de rango rengl´ on completo. Pruebe que si M es la inversa a Moore-Penrose de A: −1 T M = FT BT AFT B Entonces la matriz M A es sim´etrica. Sugerencia Vea la sugerencia del problema anterior.
Ejemplo 5 Determine la inversa de Moore-Penrose de la matriz A: 1 0 −1 1 2 2 A= 0 2 −1 4 5 3
Soluci´ on: Al aplicar eliminaci´ on gaussiana se obtiene:
1 0 −1 1 0 1 1 1 0 0 0 0
Por consiguiente, la factorizaci´ on A = BF es:
1 0 1 0 −1 1 A = BF = 0 2 0 1 1 1 −1 4 7
Recuerde que la matriz F es la matriz reducida que se obtiene de A, eliminando en el resultado los posibles renglones de ceros, mientras que B es la matriz cuyas columnas son las columnas de A que tienen las posiciones de los pivotes en F. Por tanto, 6 −12 T T B AF = −12 60
De donde:
M = FT
Ejercicio 5
T T −1 T B = B AF
Determine la inversa de Moore-Penrose de la matriz 1 0 0 2 A= −1 4
1 9 1 18 −1 18 1 6
5 18 1 18 −2 9 1 3
−1 18 1 18 1 9 0
A: 1 1 1 2 5 3
Sugerencia Siga el proceso del ejemplo de las notas. Ejercicio 6 Determine la inversa de Moore-Penrose de la matriz: 1 0 2 2 −1 5 0 1 −1 1 3 −1 Teorema 11.7 Sean x1 ,x2 ,. . . ,xt soluciones a un sistema consistente Ax = b con b 6= 0. Entonces t X
λi xi
i=1
es soluci´ on si y s´olo si t X
λi = 1
i=1
Demostraci´ onP ˜ = ti=1 λi xi , as´ı: Definamos x
A˜ x=A
t X i=1
λ i xi
!
=
t X
λi Axi =
t X i=1
i=1
8
λi b =
t X i=1
λi
!
b
˜ es soluci´ Por tanto, x on, es decir A˜ x = b, si y s´olo si (recuerde que b 6= 0) t X
λi = 1⋄
i=1
Teorema 11.8 Sea A una matriz m × n con rango rA entonces el sistema consistente: Ax = b para b 6= 0 tiene n − rA + 1 soluciones que forman un conjunto linealmente independiente. Demostraci´ on Hay k = (n − rA ) soluciones linealmente independientes a Ax = 0 digamos z1 ,z2 ,. . . ,zk . Si x0 es una soluci´ on a Ax = b defina xi = x0 + zi para i = 1, . . . , k. Si el conjunto de formado por xi para i = 0, 1, . . . , k fuera linealmente dependiente , y debido a que x0 no puede ser el vector cero pues Ax0 = b 6= 0 , deber´ıa haber un vector xj (j ≥ 1) que fuera combinaci´ on de los anteriores x0 , . . . xj−1 . As´ı xj =
j−1 X
λ i xi
i=0
Por consiguiente y por el lema anterior, j−1 X
λi = 1
i=0
Por lo que la suma anterior queda: xj = x0 + z j =
j−1 X
λi (x0 + zi ) =
x0 + z j =
j−1 X i=0
Y as´ı cancelando x0 tenemos:
λi
λ i x0 +
i=0
i=0
De donde:
j−1 X
!
x0 +
zj =
j−1 X
λ i z i = x0 +
i=1
j−1 X
j−1 X
λi z i
i=1
j−1 X
λi z i
i=1
λi z i
i=1
lo cual dice que el conjunto z1 , . . . zk es linealmente dependiente. Lo cual es imposible.⋄
9