Investigación Operativa Ing. Miranda Guía 1. Modelación y resolución gráfica Guía 2. Modelación con varias variables Guía 3. Modelación de procesos complejos Guía 4. Método simplex Guía 5. Modelo Dual Guía 7. Formulación de Programación Lineal Entera

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación Gráfica

Problema 1.2 Un fabricante de bombones entrega sus productos en cajas de un kilogramo, en dos variedades, A y B. La caja tipo A, contiene 300 gramos de bombones de licor, 500 gramos de bombones de nuez, y 200 gramos de bombones de fruta. La caja tipo B contiene 400 gramos, 200 gramos y 400 gramos de cada tipo de bombón respectivamente. La utilidad por cada caja de tipo A es de $ 120, y por cada de tipo B es de $ 90. El fabricante dispone de 100 kilogramos de bombones de licor, 120 kilogramos de bombones de nuez, y 100 kilogramos de bombones de fruta. Se pide definir la cantidad de cajas de cada tipo que debe armar en esta situación, para que su beneficio sea máximo. Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.2 Empiezo por definir las variables XA = cantidad de cajas a preparar del tipo A XB = cantidad de cajas a preparar del tipo B Sigo definiendo los recursos L = kg de bombones de licor disponibles = 100 N = kg de bombones de nuez disponibles = 120 F = kg de bombones de fruta disponibles = 100

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.2 Incorporo las restricciones de los recursos (ojo con las unidades) Licor) Nuez) Fruta)

0.3kg/caja·XA + 0.4kg/caja·XB ≤ 100 kg 0.5kg/caja·XA + 0.2kg/caja·XB ≤ 120 kg 0.2kg/caja·XA + 0.4kg/caja·XB ≤ 100 kg

Y la función que tengo que maximizar es el beneficio Beneficio)

120$/caja·XA + 90$/caja·XB (máximo)

Con XA , XB continuas positivas  Marzo 2013

Definido el Modelo

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.2

Las variables XA , XB me dan el espacio R2 Las restricciones me dan el Dominio. (0, 500)

Modelo 0.3·XA + 0.4·XB ≤ 100 0.5·XA + 0.2·XB ≤ 120 0.2·XA + 0.4·XB ≤ 100 Z(max) = 120·XA + 90·XB

XB

Solución: 200 cajas de tipo A, 100 cajas de tipo B

(0, 250)

Con un beneficio de 330000 $ (200, 100) (500, 0)

(240, 0) Marzo 2013

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XA

Programación Lineal. Formulación Gráfica

Problema 1.3 Una empresa produce concreto usando los ingredientes A y B. Cada kilo de ingrediente A cuesta $ 60 y contiene 4 unidades de arena fina, 3 unidades de arena gruesa y 5 unidades de piedrecillas. Cada kilo de ingrediente B cuesta $ 100 y contiene 3 unidades de arena fina, 6 unidades de arena gruesa y 2 unidades de piedrecillas. Cada saco de concreto debe contener por lo menos 12 unidades de arena fina, 12 unidades de arena gruesa y 10 unidades de piedrecillas. Formule un modelo de programación lineal y resuélvalo gráficamente.

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.3 Empiezo por definir las variables XA = cantidad de kg de ingrediente A a utilizar por saco XB = cantidad de kg de ingrediente B a utilizar por saco Sigo definiendo las restricciones Arena Fina = unidades mínimas de Arena Fina por saco= 12 Arena Gruesa = unidades mínimas de Arena Gruesa por saco = 12 Piedrecillas = unidades mínimas de Piedrecillas por saco= 10

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.3 Incorporo las restricciones (ojo con las unidades) Arena fina) Arena gruesa) Piedrecillas)

4u/kg·XA + 3u/kg·XB ≥ 12 u 3u/kg·XA + 6u/kg·XB ≥ 12 u 5u/kg·XA + 2u/kg·XB ≥ 10 u

Y la función que tengo que minimizar es el costo Costo)

60$/kg·XA + 100$/kg·XB (mínimo)

Con XA , XB continuas positivas  Marzo 2013

Definido el Modelo

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Programación Lineal. Formulación Gráfica Modelo

1.3

4·XA + 3·XB ≥ 12 3·XA + 6·XB ≥ 12 5·XA + 2·XB ≥ 10

(0, 5)

Z(min) = 60·XA + 100·XB

XB

(0, 4)

Solución: 2,4 kg de A, 0,8 kg de B Con un costo de 224 $/bolsa

(0, 2)

(2.4, 0.8) dir(6, 10) (2, 0)

(3, 0)

(4, 0)

XA Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación Gráfica Problema 1.7 Una empresa automotriz está equipada para producir automóviles y camiones. Su planta fabril está organizada en cuatro departamentos: Estampado, Montaje de motores, Línea de montaje de automóviles y Línea de montaje de camiones. La capacidad de producción de cada departamento está limitada de la siguiente forma: • Estampado: 25.000 automóviles o 40.000 camiones por año. • Montaje de motores: 33.333 automóviles o 16.667 camiones por año. • Línea de montaje de automóviles: 22.500 unidades por año. • Línea de montaje de camiones: 15.000 unidades por año. Por otra parte, se desea producir como mínimo 12.000 automóviles y 8.000 camiones por año, estimándose asimismo en 18.000 unidades la cantidad demandada máxima anual de automóviles. El margen de beneficios es de $ 15.000 por automóvil y $ 12.500 por camión. Se desea conocer el plan de producción que haga máximo el margen total de beneficios..

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.7 Empiezo por definir las variables XA = cantidad de autos a producir por año XC = cantidad de camiones a producir por año Sigo definiendo las recursos, ojo con esto: “Estampado: 25.000 automóviles o 40.000 camiones por año. “ “Montaje de motores: 33.333 autos o 16.667 camiones por año “

Supongo existe una capacidad de cada subproceso que voy a expresar en términos mas fáciles de entender Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.7 Defino un consumo en Ta HE/auto y Tc HE/camión entonces: Ta HE/auto ▪ XA + Tc HE/camión ▪ Xc ≤ HE disponibles /año

también se que: Ta HE/auto ▪ 25000 autos = HE disponibles /año Tc HE/camión ▪ 40000 camiones = HE disponibles /año reemplazo: (HE disp /año)/ 25000 autos ▪ XA + (HE disp /año)/ 40000 camiones▪ Xc ≤ HE disp /año

simplifico XA / 25000 autos ▪ Xc / 40000 camiones ≤ 1 Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación Gráfica

1.7 Incorporo las restricciones Estampado) Montaje Mot) Montaje Aut) Montaje Cam) Politica Aut) Politica Cam) Dem max Aut)

(1/25000aut)·XA + (1/40000cam)·XC ≤ 1 (1/33333aut)·XA + (1/16667cam)·XC ≤ 1 XA ·XB ≤ 22500 aut XA ·XC ≤ 15000 cam XA ·XB ≥ 12000 aut XA ·XC ≥ 8000 cam XA ·XB ≤ 18000 aut

Y la función que tengo que maximizar es el beneficio Costo)

15000$/auto·XA + 12500$/cam·XC (max)

Con XA , XC continuas positivas

Marzo 2013



Definido el Modelo

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(0, 40000)

Programación Lineal. Formulación Gráfica Modelo

1.7

(1/25000)·XA + (1/40000)·XC ≤ 1 (1/33333)·XA + (1/16667)·XC ≤ 1 XA ·XB ≤ 22500 XA ·XC ≤ 15000 cam XA ·XB ≥ 12000 aut XA ·XC ≥ 8000 cam XA ·XB ≤ 18000 aut

XC

Z(max) = 15000·XA + 12500·XB

Solución: XA = 17333 autos XC = 8000 camiones Con un beneficio de 360 M $

(0, 16667) (15000)

(8000) (33333, 0)

(25000, 0) (12000)

Marzo 2013

(18000) (22500)

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XA

Programación Lineal. Formulación con varias variables

En general en programación lineal Esquema del proceso Defino las variables fuertes Defino las relaciones entre las variables

Defino el Modelo

Defino las restricciones

Guía 2.X

Defino el funcional a optimizar

Por resolución gráfica, simplex, LINDO etc

Resuelvo el modelo Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.2 Un fraccionador de whisky importa el licor en tres distintas graduaciones A, B y C. Mediante la mezcla de estos licores, de acuerdo a sus fórmulas, se obtienen los whiskies de calidades comercializables Escocés, Kilt y Tartan. Las citadas fórmulas especifican las siguientes relaciones entre los elementos a mezclar. Se conocen también las disponibilidades y precios de los licores A, B y C que se indican en el siguiente cuadro. Se desea definir la composición de cada marca para maximizar el beneficio total. Marca

Especificación

P. Venta $/l

Tipo

Disponibilidad (l)

Costo $/l

A

2000

7

Escocés

No menos del 60 % de A No más del 20 % de C

6.8

Kilt

No menos del 15 % de A No más del 60 % de C

5.7

B

2500

5

Tartan

No más del 50 % de C

4.5

C

1200

4

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 Empiezo por definir las variables licores A

whisky XAE

B

C Marzo 2013

XCT

E

Xij = cantidad de licor i en litros para usar en el whisky marca j (9 variables)

K

I = cantidad total de licor I a utilizar (I= A, B, C) (3 variables)

T

J = cantidad total de whisky J a preparar (J= E, K, T) (3 variables)

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 Sigo con las restricciones de balance: El total del licor que empleo de A es igual a lo que uso de A para E mas lo que uso de A para K y mas lo que uso de A para T

A



X Aj



X Bj



X Cj

j  ( E , K ,T )

B

j  ( E , K ,T )

C

j  ( E , K ,T ) Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 Más restricciones de balance: El total del whisky que produzco de E es igual a la suma de lo que uso de los licores A, B y C para el E.

E



X iE



X iK



X iT

i  ( A , B ,C )

K

i  ( A, B ,C )

T

i  ( A , B ,C )

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 Sigo con las restricciones de disponibilidad: El licor A tiene disponibilidad de 2000 litros

A  2000l B  2500l C  1200l

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 Sigo con las restricciones de especificación: El escocés tiene no menos de 60% de licor A

X AE  0.6  E El escocés tiene no mas de 20% de licor C

X CE  0.2  E Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 Sigo con las restricciones, de especificación: El kilt tiene no menos de 15% de licor A

X AK  0.15  K El kilt tiene no mas de 60% de licor C

X CK  0.6  K El tartan tiene no mas de 50% de licor C

X CT  0.5  T Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 Y la función que tengo que maximizar es el beneficio: PV Escocés = 6.8 $/l

- Costo de A = 7 $/l

B  6.8 $l  E  5.7 $l  K  4.5 $l  T  7 $l  A  5 $l  B  4 $l  C ingreso

costo

Resumiendo... Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.2 VAR) A, DISP_A) DISP_B) DISP_C) BAL_A) BAL_B) BAL_C) BAL_E) BAL_K) BAL_T) AE_MIN) CE_MAX) AK_MIN) CK_MAX) CT_MAX) BEN) Marzo 2013

B, C, E, K, T, XAE, XAK, XAT, XBE, XBK, A B C - A + XAE + XAK + XAT - B + XBE + XBK + XBT - C + XCE + XCK + XCT - E + XAE + XBE + XCE - K + XAK + XBK + XCK - T + XAT + XBT + XCT XAE - 0.6·E XCE - 0.2·E XAK - 0.15·K XCK - 0.6·K XCT - 0.5·T

XCE, XCK, XCT ≤ 2000 ≤ 2500 ≤ 1200 = 0 Otra forma de = 0 formulación es = 0 economizando = 0 = 0 variables = 0 ≥ 0 ≤ 0A = X + X AE AK + XAT ≥ 0 ≤ 0 ≤ 0

6.8·E + 5.7·K + 4.5·T -7·A - 5·B - 4·C (máx) Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.4 Un taller de tejido de pullovers elabora varios modelos, los que se pueden agrupar desde el punto de vista técnico-económico en tres tipos de prendas diferentes: A, B y C. El taller posee 2 máquinas: I y II. Los pullovers A solo se pueden fabricar en la máquina I, los C en la II y los B en la I o en la II. Las dos máquinas trabajan 2 turnos de 8 horas de lunes a viernes. La materia prima utilizada es lana de dos calidades distintas: M se usa para los A y C, y N para los de tipo B. De la lana M es posible conseguir hasta 20 kg. por semana y de la N hasta 36 Kg. por semana. Existe un compromiso con un importante distribuidor de entregar 10 pullovers de tipo B por semana. El objetivo del problema es maximizar los beneficios. No es necesario que las prendas que comienzan a fabricarse en una semana se terminen durante la misma; es decir que pueden quedar pullovers a medio hacer de una semana para la próxima. Los standards de producción, standards de Materia Prima y el beneficio unitario para cada tipo de pulóver se dan en el siguiente cuadro:

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.4

A B C Disp. semanal

Marzo 2013

Standard de Producción (hs/pulóver) I II 5 6 4 4 80 hrs.

80 hrs

Standard de Mat. Prima (Kg./pul.) M N 1.6 1.8 1.2 20 Kg.

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36 Kg.

Beneficio unitario ($/pul.) 1000 1500 1800

Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.4 Empiezo por definir las variables: A: cantidad a fabricar de pullover A B: cantidad a fabricar de pullover B C: cantidad a fabricar de pullover C B1: cantidad de pullover a fabricar en la maq. I B2: cantidad de pullover a fabricar en la maq. II

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.4 Relaciones entre las variables: B = B1 + B2 Standard de Producción Standard de Mat. Prima Beneficio (hs/pulóver) (Kg./pul.) unitario I II M N ($/pul.)

Restricciones de capacidad hs hs 5  A  6  B1  80hs p p 4

A

5

-

1.6

-

1000

B

6

4

-

1.8

1500

-

4

1.2

-

1800

80 hrs.

80 hrs

20 Kg.

36 Kg.

C Disp. semanal

hs hs  B 2  4  C  80hs p p

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.4 Restricciones de mat. prima kg kg 1.6  A  1.2  C  20kg p p

kg 1.8  B  36kg p

Standard de Producción Standard de Mat. Prima Beneficio (hs/pulóver) (Kg./pul.) unitario I II M N ($/pul.)

Compromiso de ventas

5

-

1.6

-

1000

B

6

4

-

1.8

1500

-

4

1.2

-

1800

80 hrs.

80 hrs

20 Kg.

36 Kg.

C Disp. semanal

B  10 p

Beneficio máximo: Marzo 2013

A

1000

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$ $ $  A  1500  B  1800  C p p p

Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.4 VAR) A, B, B1, B2, C

BAL) MAQ1) MAQ2) LANAM) LANAN) REQB)

B1 + B2 – B 5·A + 6·B1 4·B2 + 4·C 1.6·A + 1.2·C 1.8·B B

= ≤ ≤ ≤ ≤ ≥

0 80 80 20 36 10

BEN = 1000·A + 1500·B + 1800·C (máx)

Otra forma de formulación es economizando variables B = B1 + B2

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Programación Lineal. Formulación con varias variables Problema 2.6 Cuatro fábricas envían sus productos a igual número de almacenes. Las capacidades de las fábricas y los costos de producción por unidad de producto en cada una de ellas se indican en la primera tabla. Los costos de transporte (dados en $/u) de cada fábrica a cada almacén se muestran en la segunda tabla. Las cantidades requeridas por cada almacén están dadas en toneladas. Se desea establecer el programa de distribución que minimice el costo total Fábrica

Capacidad (u)

Costo ($/u)

1

140

60

2

260

3 4

Marzo 2013

Almacén Fab

A

B

C

D

72

1

28

40

36

38

360

48

2

18

28

24

30

220

60

3

42

54

52

54

4

36

48

40

46

Req

180

280

150

200

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.6

Fábricas

1

Almacenes X1A

2

B

3

4 Marzo 2013

A

C

X4D

D

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Xij = cantidad de producto fabricado en i (1,2,3,4) para enviar al almacén j (A,B,C,D) (16 variables) I = cantidad total de producción de la fábrica I (1,2,3,4) (4 variables)

J = cantidad total de producción que llega al almacén (A,B,C,D) (4 variables)

Programación Lineal. Formulación con varias variables

2.6 Restricciones: Capacidad fábrica 1,2,3 y 4 Requerimiento de los almacenes A, B, C y D Minimizar el costo de producción y el costo del transporte sumados Tarea para el hogar: resolver economizando variables Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Una empresa fabrica y vende dos productos A y B, cuyo diagrama de proceso es el siguiente: El producto A puede seguir cualquiera de los dos procesos alternativos de producción, mientras que para el producto B existe un único procedimiento de fabricación. Las características y rendimiento de los productos según sus procesos están dados en las siguientes tablas: Al realizarse el estudio se verificó que los centros 1 y 4 pueden funcionar como máximo 16 horas por día y los centros 2 y 3, solamente 12 horas netas por día. Los medios de despacho de la empresa están limitados a una capacidad conjunta para A y B de 2500 litros diarios. Se deben producir al menos 600 litros por día de A. Se pide determinar la mezcla de ventas que maximice el margen de beneficios. Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7

Producto A (I)

Centro 2

Centro 1

Centro 4

Centro 3

Producto B

Producto A (II)

Programación Lineal. Formulación con varias variables A42I

Problema 2.7

AI: cantidad de producto A Producto A en litros por día mediante el método(I)I

AI = 0.8 A42I

Centro 2 A24I= 0.95 A12I

A01I A12I = 0.9 A01I

Centro 1

A12I

A24I

Centro 4 A42I = 0.85 A24I

Lo que mas me conviene es definir muchas variables AJKM: producto que salió del centro J, que se asigna al centro K para fabricar el producto A según el método M Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 A12II

Centro 2 A24II= 0.95 A12II

A01II A12II = 0.9 A01II

A24II

Centro 1

Centro 4 A43II = 0.85 A24II

AII

Centro 3 AII= 0.75 A43II A43II

Producto A (II)

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7

B13

B

Centro 1

Centro 4

B13 = 0.9 B01

B = 0.8 B34

B01

Centro 3

B34

B34 = 0.85 B13 Marzo 2013

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Producto B

Programación Lineal. Formulación con varias variables A42I

Problema 2.7

AI A12II

Centro 2

Producto A (I)

A12I A01II A01I B

A24I

Centro 1

Centro 4

Producto B

B34

B01

B13

Centro 3 A43II

AII

Producto A (II)

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7

A = AI + AII AI = 0.8 A42I

Hasta ahora tengo variables: A, B, AI, AII, A01I, A01II, B01, A12I, A12II, A42I, B13, A43II, A42I, B34

AII= 0.75 A43II A42I = 0.85 A24I A43II = 0.85 A24II A24I= 0.95 A12I A24II= 0.95 A12II A12I = 0.9 A01I A12II = 0.9 A01II

B = 0.8 B34 B34 = 0.85 B13 B13 = 0.9 B01 Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Restricciones: Demanda máxima de A y B en de 1750 y 1500 l/día

A ≤ 1750 l/d B ≤ 1500 l/d Producir al menos 600 l/día de A A ≥ 600 l/d Capacidad conjunta de 2500 l diarios

A + B ≤ 2500 l/d Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Restricciones: Tasa de procesamiento del centro 1 es de 300 l/hora para A o 500 l/ hora para B. Y el centro 1 funciona 16 horas por día.  A01I  A01II  l 300 h



B 01 l 500 h

h  16 d

A01II

A01I

Centro 1 B01

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Restricciones: Tasa de procesamiento del centro 2 es de 450 l/hora para A (1era vez) y de 400 (2da vez). Y el centro 2 funciona 12 horas por día.

 A12 I  A12 II  l 450 h

Marzo 2013



A 42 I l 400 h

h  12 d

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A42I

A12II

Centro 2 A12I

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Restricciones: Tasa de procesamiento del centro 3 es de 350 l/hora para A y de 480 para B. Y el centro 2 funciona 12 horas por día. A 43 II l 350 h



B13 l 480 h

h  12 d

B13

Centro 3 A43II

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Restricciones: Tasa de procesamiento del centro 4 es de 250 l/hora para A y de 400 para B. Y el centro 4 funciona 16 horas por día. A 24 I l 250 h



B 34 l 400 h

h  16 d

A24I

Centro 4 B34

Marzo 2013

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Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Funcional: Maximizar el beneficio $ $ $ $  $   $  B  60 A  180 B  50 A 01 I  50 A 01 II  60 B 01     CostoCentros   día l l l l l    

Precio de venta

Costo de materia prima

CostoCentros CostoC1  CostoC 2  CostoC3  CostoC 4

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Los costos están dados en $/h para cada centro para cada producto. La tasa de procesamiento del centro 1 es de 300 l/hora para A o 500 l/ hora para B. El centro 1 cuesta operarlo 1500$/h para el A y 3000$/h para el B $ $ $ 1500 3000  l  h  A01II  l  h  B01  l  h CostoC1  A01I        día  300 l  día  300 l  día  500 l h h h 1500

A01II  l  A01I   h   día  A01It    l  día  300 h

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

A01I

Centro 1 B01

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Los costos están dados en $/h para cada centro para cada producto. $ $ $ 2000 2200  l  h  A12 II  l  h  A42 I  l  h CostoC 2  A12 I   día   día  l l  día  450 l 450 400 h h h 2000

A42I

A12II

Centro 2 A12I Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Los costos están dados en $/h para cada centro para cada producto. $ $ 2500  l  h  B13  l  h CostoC 3  A43II   día  l  día  350 l 480 h h 2500

B13

Centro 3 A43II Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 Los costos están dados en $/h para cada centro para cada producto. $ $ 2400  l  h  B34  l  h CostoC 4  A24 I   día  l  día  250 l 400 h h 1800

A24I

Centro 4 B34

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 MODELO A, B, AI, AII, A01I, A01II, B01, A12I, A12II, A42I, B13, A43II, A42I, B34

A = AI + AII AI = 0.8 A42I

AII= 0.75 A43II  A01I  A01II  300

l h

 A12 I  A12 II  l 450 h

A 43 II l 350 h



 

B 01 l 500 h

h  16 d

A 42 I l 400 h

h  12 d

B13 l 480 h

h  12 d

A42I = 0.85 A24I A43II = 0.85 A24II A24I= 0.95 A12I A24II= 0.95 A12II A12I = 0.9 A01I A12II = 0.9 A01II B = 0.8 B34

A 24 I l 250 h

Marzo 2013



B 34 l 400 h

 16

h d

B34 = 0.85 B13 B13 = 0.9 B01 Investigación Operativa - 71.07

A ≤ 1750 l/d B ≤ 1500 l/d A ≥ 600 l/d A + B ≤ 2500 l/d

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.7 MODELO $ $ $ $  $   $  B  60 A  180 B  50 A 01 I  50 A 01 II  60 B 01     CostoCentros   l l l l  día   l  CostoCentros CostoC1  CostoC 2  CostoC3  CostoC 4

CostoCentros puede ser definida o no como variable según aporte claridad al modelo, también CostoC1, etc. TAREA PARA EL HOGAR: pasar todas las ecuaciones e inecuaciones a la forma nominal de la programación lineal Marzo 2013

$ $ $ 1500 1500 3000 l l  l      h  A01II h  B01 h CostoC1  A01I   día   día  l l  día  300 l 300 500 h h h $ $ $ 2000 2000 2200 l l  l      h  A12 II h  A42 I h CostoC 2  A12 I   día   día  l l  día  450 l 450 400 h h h  l  CostoC 3  A43II   día 

$ $ 2500 l  h  B13  h  día  l l 350 480 h h

2500

$ $ 1800 2400  l   l  h h CostoC 4  A24 I   B34    l l día día   250   400 h h

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 (bis) Un hotel planea recibir a los participantes de una convención que dura una semana. Para los banquetes previstos, la empresa organizadora de la convención solicitó que se utilizaran manteles de un color especial. El costo de dichos manteles es de 250 $/mantel. El lavado de dichos manteles toma normalmente 2 días; es decir un mantel sucio, enviado a lavar inmediatamente después de ser utilizado el día 2, es regresado a tiempo para ser utilizado el día 5. Sin embargo, la lavandería tiene también un servicio de mayor costo que regresa los manteles en 1 día. Los gastos de lavandería son de 100 $/mantel y de 150 $/mantel respectivamente. Debe considerarse además, que el hotel no desea (por las características de estos manteles), comprar más manteles que los necesarios para el día, ni enviar manteles a lavar si no van a ser utilizados durante esta convención. Plantear un modelo que permita calcular como el hotel satisface sus necesidades minimizando gastos. Día (i) 1 2 3 4 5 6 7 Manteles necesarios 5 6 7 8 7 9 10

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 (bis) Día Xi compro manteles nuevos Bi busco lavanderia Dmi Disp manteles limpios antes Ui uso Dmsi Disponibilidad manteles sucios MLPi Mando a lavar premium MLNi Mando a lavar normal DMLsi Disp manteles limpios que sobran DMSsi Disp manteles sucios que sobran

1

2

3

4

5

6

7

7

9

10

5 5 5

5 5 5

6

7

8

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 (bis) Día Xi compro manteles nuevos Bi busco lavanderia Dmi Disp manteles limpios antes Ui uso Dmsi Disponibilidad manteles sucios MLPi Mando a lavar premium MLNi Mando a lavar normal DMLsi Disp manteles limpios que sobran DMSsi Disp manteles sucios que sobran

1

2

3

4

5

6

7

8

7

9

10

4

6

3 6

5 5 3 1 2

7

6

7

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 (bis) Día Xi compro manteles nuevos Bi busco lavanderia Dmi Disp manteles limpios antes Ui uso Dmsi Disponibilidad manteles sucios MLPi Mando a lavar premium MLNi Mando a lavar normal DMLsi Disp manteles limpios que sobran DMSsi Disp manteles sucios que sobran

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

7

9

10

COSTO(min) = 250X1 + 250X2 + 250X3 + 250X4 + 250X5 + 250X6 + 250X7 + 150MLP1 + 150MLP2 + 150MLP3 + 150MLP4 + 150MLP5 + 100MLN1 + 100MLN2 + 100MLN3 + 100MLN4

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 (bis) Día Xi compro manteles nuevos Bi busco lavanderia Dmi Disp manteles limpios antes Ui uso Dmsi Disponibilidad manteles sucios MLPi Mando a lavar premium MLNi Mando a lavar normal DMLsi Disp manteles limpios que sobran DMSsi Disp manteles sucios que sobran

-B3 -B4 -B5 -B6 -B7

+ + + + +

MLP1 MLP2 MLP3 MLP4 MLP5

= + + + +

0 MLN1=0 MLN2=0 MLN3=0 MLN4=0

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

7

9

10

-Dm1 -Dm2 -Dm3 -Dm4 -Dm5 -Dm6 -Dm7

+ + + + + + +

X1=0 X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 +

DMLs1=0 DMLs2 + DMLs3 + DMLs4 + DMLs5 + DMLs6 +

B3=0 B4=0 B5=0 B6=0 B7=0

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 (bis) Día Xi compro manteles nuevos Bi busco lavanderia Dmi Disp manteles limpios antes Ui uso Dmsi Disponibilidad manteles sucios MLPi Mando a lavar premium MLNi Mando a lavar normal DMLsi Disp manteles limpios que sobran DMSsi Disp manteles sucios que sobran

Dm1 Dm2 Dm3 Dm4 Dm5 Dm6 Dm7

-

U1>=0 U2>=0 U3>=0 U4>=0 U5>=0 U6>=0 U7>=0

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

7

9

10

-Dms1 -Dms2 -Dms3 -Dms4 -Dms5 -Dms6 -Dms7

+ + + + + + +

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7

=0 + DMSs1=0 + DMSs2=0 + DMSs3=0 + DMSs4=0 + DMSs5=0 + DMSs6=0

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 (bis) Día Xi compro manteles nuevos Bi busco lavanderia Dmi Disp manteles limpios antes Ui uso Dmsi Disponibilidad manteles sucios MLPi Mando a lavar premium MLNi Mando a lavar normal DMLsi Disp manteles limpios que sobran DMSsi Disp manteles sucios que sobran

-DMLs1 -DMLs2 -DMLs3 -DMLs4 -DMLs5 -DMLs6 -DMLs7

+ + + + + + +

Dm1 Dm2 Dm3 Dm4 Dm5 Dm6 Dm7

-

U1=0 U2=0 U3=0 U4=0 U5=0 U6=0 U7=0

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

7

9

10

-DMSs1 -DMSs2 -DMSs3 -DMSs4 -DMSs5 -DMSs6 -DMSs7

+ + + + + + +

Dms1 Dms2 Dms3 Dms4 Dms5 Dms6 Dms7

- MLP1 - MLP2 - MLP3 - MLP4 - MLP5 =0 =0

- MLN1=0 - MLN2=0 - MLN3=0 - MLN4=0 =0

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 Un granjero tiene 100 acres de campo que puede utilizar indistintamente para sembrar trigo o maíz. Los rendimientos anuales son de 60 bushel por acre de trigo y 95 bushels por acre de maíz. Los requerimientos de mano de obra son de cuatro horas anuales por acre, con un adicional de 0.15 horas por bushel de trigo y 0.70 horas por bushel de maíz. El costo de las semillas y fertilizantes es de 0.20 dólares por bushel de trigo y 0.12 dólares por bushel de maíz. El trigo se vende a 1.75 dólares por bushel y el maíz a 0.95 dólares por bushel. A su vez, el trigo y el maíz pueden comprarse a 2.50 dólares y 1,50 dólares por bushel respectivamente. El granjero puede dedicarse también a criar cerdos y/o pollos. Los cerdos se venden a 40 dólares cuando tienen un año de edad. Para los pollos se utiliza como unidad de medida la cantidad equivalente a un cerdo (es decir, el número de pollos necesarios para obtener un ingreso de 40 dólares en un año). Los requerimientos alimenticios de un cerdo son de 25 bushels de trigo o 20 bushels de maíz por año (o una combinación), requiriendo de 25 horas de trabajo y ocupando 25 pies cuadrados de espacio cubierto. Una cantidad de pollos equivalentes requiere 25 bushels de trigo o 10 bushels de maíz (o su combinación), 40 horas de trabajo y 15 pies cuadrados de espacio cubierto. El granjero dispone de 10000 pies cuadrados de espacio cubierto y puede utilizar 2000 horas anuales propias y 2000 horas anuales de su familia. Puede contratar personal a 1.50 dólares la hora, debiendo dedicar en este caso 0,15 horas de su tiempo a tareas de supervisión de cada hora contratada. Averiguar cuál será la distribución de recursos del granjero que maximice sus beneficios y la consiguiente cantidad de acres sembrados de cada producto y la producción anual de cerdos y pollos.

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8

Bushel = medida de volumen equivalente a 35.2 litros

Variables: Vendo Trigo

Compro Trigo TRIGO

Cerdo

Terreno MAÍZ

Pollo

Compro Maíz Vendo Maíz Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8

Compro Trigo

Vendo Trigo TRIGO

Cerdo

Terreno Pollo

MAÍZ Compro Maíz

Variables: Tp: bushels de trigo producido Tc: bushels de trigo comprado Mp: bushels de maíz producido Mc: bushels de maíz comprado

Marzo 2013

Vendo Maíz

Tv: bushels de trigo vendido Tac: bushels de trigo p/cerdos Tap: bushels de trigo p/pollos

Mv: bushels de maíz vendido Mac: bushels de maíz p/cerdos Map: bushels de maíz p/pollos

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 Ecuaciones de balance: Tp + Tc = Tv + Tac + Tap Mp + Mc = Mv + Mac + Map

Restricciones de terreno: tiene 100 acres de terreno. Los rendimientos anuales son de 60 bushel por acre de trigo y 95 bushels por acre de maíz. Tp bushels   bushels  60   acre 

Marzo 2013



Mp bushels   bushels  95   acre 

 100  acres 

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 Variables nuevas: CC: cerdos criados por año PC: pollos criados por año

De acuerdo a: Los requerimientos alimenticios de un cerdo son de 25 bushels de trigo o 20 bushels de maíz por año (o una combinación) Tac bushels _ t   bushels _ t  25   cerdo 

Marzo 2013



Mac bushels _ m   bushels _ m  20   cerdo 

 CC  cerdo 

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 También el balance de los pollos: Una cantidad de pollos equivalentes requiere 25 bushels de trigo o 10 bushels de maíz (o su combinación) Tap bushels _ t   bushels _ t  25    cerdo.eq 



Map bushels _ m   bushels _ m  10    cerdo.eq 

 PC  cerdo.eq 

Restricción de espacio: El granjero dispone de 10000 pies cuadrados de espacio cubierto. Cerdos 25 pies cuadrados y pollos 15  p2   p2  2   25  CC cerdo  15 PC cerdo . eq  10000 p          cerdo   cerdo.eq  Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 Variables nuevas: HH: Horas anuales totales dedicadas a la producción HTotG: Horas anuales totales dedicadas por el granjero Sup. + Prod. HF: Horas anuales totales dedicadas por su familia HC: Horas anuales totales contratadas

De acuerdo a: El granjero puede utilizar 2000 horas anuales propias y 2000 horas anuales de su familia. Puede contratar personal a 1.50 dólares la hora. En este caso 0,15 horas de su tiempo a tareas de supervisión. HTG: Horas anuales totales dedicadas por el HH = HTG + HF + HC granjero a la producción HSG: Horas anuales totales dedicadas por el HTotG = HSG + HTG granjero a la supervisión HSG = 0.15 HC Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 Requerimiento de mano de obra: HH: Horas anuales totales dedicadas a la producción Los requerimientos de mano de obra son de cuatro horas anuales por acre, con un adicional de 0.15 horas por bushel de trigo y 0.70 horas por bushel de maíz. Requerimientos del cerdo son de 25 horas y de 40 horas los del pollo.    h Tp bushel   h Mp bushel  h h HH   4 4  0.15 Tp bushel   0.7 Mp bushel  bushel bushel acre acre bushel bushel       60 90  acre   acre         

25

Marzo 2013

h h CC cerdo  40 PC cerdo.eq  cerdo cerdo.eq

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 Disponibilidades de MH: 2000 horas anuales propias y 2000 horas anuales de su familia. HTotG ≤ 2000 h HF ≤ 2000 h

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.8 Funcional, maximizar beneficios: El costo de las semillas y fertilizantes es de 0.20 dólares por bushel de trigo y 0.12 dólares por bushel de maíz. El trigo se vende a 1.75 dólares por bushel y el maíz a 0.95 dólares por bushel. A su vez, el trigo y el maíz pueden comprarse a 2.50 dólares y 1,50 dólares por bushel respectivamente. Los cerdos se venden a 40 dólares. Los pollos igual. Puede contratar personal a 1.50 dólares la hora Ben  0.2

$ $ $ $ Tp bushel   0.12 Mp bushel   1.75 Tv bushel   0.95 Mv bushel  bushel bushel bushel bushel

 2.5

$ $ $ $ Tc bushel   1.5 Mc bushel   40 CC cerdo  40 PC cerdo.eq  bushel bushel cerdo cerdo.eq

$ 1.5 HC  h h Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10 Una empresa tiene actualmente K$10000 y desea maximizar su activo financiero total en 10 años. Al comenzar cada año, esta persona tiene cinco oportunidades de inversión. La inversión A tiene una rentabilidad de 12% luego de 2 años (p.ej., si se invierten K$4000 en A al comienzo del año 5, se tendrán K$4400 al comienzo del año 7). La inversión B tiene una rentabilidad de 17% luego de 3 años. La inversión C tiene una rentabilidad de 35% luego de 5 años. La inversión D tiene una rentabilidad de 52% luego de 7 años. La inversión E tiene una rentabilidad de 70% luego de 9 años. Dado que el objetivo es maximizar el activo financiero en exactamente 10 años, no se deben hacer inversiones que generen rentabilidad luego del período de 10 años. Por ejemplo, la inversión D al comienzo del año 5 no genera retorno hasta el comienzo del año 12 (o fin del año 11), lo que no debe ocurrir. Entonces, las únicas oportunidades para la alternativa de inversión D son al comienzo de los primeros cuatro años. Las inversiones en las alternativas B y D están limitadas a K$5000 por año, y la inversión en C está limitada a K$2500 por año. Desarrollar un modelo de programación lineal que permita determinar el monto de dinero a colocar en cada inversión al comienzo de cada año de manera tal de maximizar el activo financiero total al finalizar los 10 años.

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10 Esquema Me llevo la plata

Comienzo a invertir Inv

P1

A

IA1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

RA3

B C D

IA1: Inversión en A en $ a comienzos del periodo 1

E RA3: Retorno que obtengo de A en $ a comienzos del período 3 Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

P8

P9

P10

Int

T

12%

2

17%

3

35%

5

52%

7

70%

9

RA3 = IA1. 1.12

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10 Esquema Me llevo la plata

Comienzo a invertir Inv

P1

A

IA1

Int

T

12%

2

RB6

17%

3

C

IC6

35% RC11

5

D

ID6

52%

7 RC11

70%

9

B

P2

P3

P4

P5

P6

P7

RA3 IB3

E

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

P8

P9

P10

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10 Esquema Me llevo la plata

Comienzo a invertir Inv

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

A

IA1

IA2

IA3

IA4

IA5

IA6

IA7

IA8

IA9

B

IB1

IB2

IB3

IB4

IB5

IB6

IB7

IB8

C

IC1

IC2

IC3

IC4

IC5

IC6

D

ID1

ID2

ID3

ID4

E

IE1

IE2

IE2: Inversión en E en $ a comienzos del periodo 2 Marzo 2013

9 años

Investigación Operativa - 71.07

P10

Int

T

12%

2

17%

3

35%

5

52%

7

70%

9

RE11 = IE2.1.7

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10 Esquema Me llevo la plata

Comienzo a invertir Inv

P1

A

B C

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

RA3

RA4

RA5

RA6

RA7

RA8

RA9 RA10 RA11

12% 2

RB4

RB5

RB6

RB7

RB8

RB9 RB10 RB11

17% 3

RC6

RC7

RC8

RC9 RC10 RC11

35% 5

RD8

RD9 RD10 RD11

52% 7

RE11

70% 9

D E

Marzo 2013

P9

P10

RE10

Investigación Operativa - 71.07

Fin

Int

T

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10 Vinculo las variables A RA3=1.12 IA1 RA4=1.12 IA2 RA5=1.12 IA3 RA6=1.12 IA4 RA7=1.12 IA5 RA8=1.12 IA6 RA9=1.12 IA7 RA10=1.12 IA8 RA11=1.12 IA9

Marzo 2013

B RB4=1.17 IB1 RB5=1.17 IB2 RB6=1.17 IB3 RB7=1.17 IB4 RB8=1.17 IB5 RB9=1.17 IB6 RB10=1.17 IB7 RB11=1.17 IB8

C RC6=1.35 IC1 RC7=1.35 IC2 RC8=1.35 IC3 RC9=1.35 IC4 RC10=1.35 IC5 RC11=1.35 IC6

Investigación Operativa - 71.07

D RD8=1.52 ID1 RD9=1.52 ID2 RD10=1.52 ID3 RD11=1.52 ID4 E RE10=1.70 IE1 RE11=1.70 IE2

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10

Mas ecuaciones de balance Periodo 01 I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

A

IA1

IA2

IA3

IA4

IA5

IA6

IA7

IA8

IA9

B

IB1

IB2

IB3

IB4

IB5

IB6

IB7

IB8

C

IC1

IC2

IC3

IC4

IC5

IC6

D

ID1

ID2

ID3

ID4

E

IE1

IE2

I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

RA3

RA4

RA5

RA6

RA7

RA8

RA9 RA10

RA11

RB4

RB5

RB6

RB7

RB8

RB9

RB10

RB11

RC6

RC7

RC8

RC9

RC10

RC11

RD8

RD9 RD10 RD11

A

G2: monto en $ que guardo sin invertir a princípios del período 1 para el período 2 P01) Marzo 2013

B C D E

P9

P10

P10

RE10

10000 = IA1 + IB1 +IC1 + ID1 + IE1 + G2 Investigación Operativa - 71.07

P11

RE11

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10

Mas ecuaciones de balance Periodo 12 I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

A

IA1

IA2

IA3

IA4

IA5

IA6

IA7

IA8

IA9

B

IB1

IB2

IB3

IB4

IB5

IB6

IB7

IB8

C

IC1

IC2

IC3

IC4

IC5

IC6

D

ID1

ID2

ID3

ID4

E

IE1

IE2

I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

RA3

RA4

RA5

RA6

RA7

RA8

RA9 RA10

RA11

RB4

RB5

RB6

RB7

RB8

RB9

RB10

RB11

RC6

RC7

RC8

RC9

RC10

RC11

RD8

RD9 RD10 RD11

A

G3: monto en $ que guardo sin invertir a princípios del período 2 para el período 3 P12) Marzo 2013

B C D E

P9

P10

P10

RE10

G2 = IA2 + IB2 +IC2 + ID2 + IE2 + G3 Investigación Operativa - 71.07

P11

RE11

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10

Mas ecuaciones de balance Periodo 23 I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

A

IA1

IA2

IA3

IA4

IA5

IA6

IA7

IA8

IA9

B

IB1

IB2

IB3

IB4

IB5

IB6

IB7

IB8

C

IC1

IC2

IC3

IC4

IC5

IC6

D

ID1

ID2

ID3

ID4

E

IE1

IE2

I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

RA3

RA4

RA5

RA6

RA7

RA8

RA9 RA10

RA11

RB4

RB5

RB6

RB7

RB8

RB9

RB10

RB11

RC6

RC7

RC8

RC9

RC10

RC11

RD8

RD9 RD10 RD11

A

G4: monto en $ que guardo sin invertir a princípios del período 3 para el período 4 P23) Marzo 2013

B C D E

P9

P10

P10

RE10

G3 + RA3 = IA3 + IB3 +IC3 + ID3 + G4 Investigación Operativa - 71.07

P11

RE11

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10

Mas ecuaciones de balance Periodo 34 I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

A

IA1

IA2

IA3

IA4

IA5

IA6

IA7

IA8

IA9

B

IB1

IB2

IB3

IB4

IB5

IB6

IB7

IB8

C

IC1

IC2

IC3

IC4

IC5

IC6

D

ID1

ID2

ID3

ID4

E

IE1

IE2

I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

RA3

RA4

RA5

RA6

RA7

RA8

RA9 RA10

RA11

RB4

RB5

RB6

RB7

RB8

RB9

RB10

RB11

RC6

RC7

RC8

RC9

RC10

RC11

RD8

RD9 RD10 RD11

A

G5: monto en $ que guardo sin invertir a princípios del período 4 para el período 5 P34) Marzo 2013

B C D E

P9

P10

P10

RE10

G4 + RA4 + RB4 = IA4 + IB4 +IC4 + ID4 + G5 Investigación Operativa - 71.07

P11

RE11

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10

Mas ecuaciones de balance Periodo 56

Periodo 45 I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

A

IA1

IA2

IA3

IA4

IA5

IA6

IA7

IA8

IA9

B

IB1

IB2

IB3

IB4

IB5

IB6

IB7

IB8

C

IC1

IC2

IC3

IC4

IC5

IC6

D

ID1

ID2

ID3

ID4

E

IE1

IE2

I

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

RA3

RA4

RA5

RA6

RA7

RA8

RA9 RA10

RA11

RB4

RB5

RB6

RB7

RB8

RB9

RB10

RB11

RC6

RC7

RC8

RC9

RC10

RC11

RD8

RD9 RD10 RD11

A B

P45)

C + IB5 +IC5 + G6 G5 + RA5 + RB5 = IA5 D

P56)

G6 + RA6 + RB6 + RC6 = IA6 + IB6 +IC6 + G7 E

P67)

G7 + RA7 + RB7 + RC7 = IA7 + IB7 + G8

Marzo 2013

Investigación Operativa - 71.07

P9

P10

P10

RE10

P11

RE11

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10

Mas ecuaciones de balance

Lo que gané en el año 9 que se I meP1 liquida a principios del año 10A no IA1 puedo invertirlo, tengo que B IB1 C IC1 guardarlo todo D ID1 -> G11

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

IA2

IA3

IA4

IA5

IA6

IA7

IA8

IA9

IB2

IB3

IB4

IB5

IB6

IB7

IB8

IC2

IC3

IC4

IC5

IC6

ID2

ID3

ID4

P3

P4

P5

P6

P7

P8

RA3

RA4

RA5

RA6

RA7

RA8

RA9 RA10

RA11

RB4

RB5

RB6

RB7

RB8

RB9

RB10

RB11

RC6

RC7

RC8

RC9

RC10

RC11

RD8

RD9 RD10 RD11

E

IE1

IE2

I

P1

P2

A B

P78)

P2

C G8 + RA8 + RB8 + RC8 + RD8 = IA8 + IB8 +G9 D

P89)

G9 + RA9 + RB9 + RC9 + RD9 = IA9 + G10 E

P910)

G10 + RA10 + RB10 + RC10 +RD10 + RE10 = G11

FUNCIONAL) Marzo 2013

G11 + RA11 + RB11 + RD11 + RC11 + RE11 Investigación Operativa - 71.07

P9

P10

P10

RE10

P11

RE11

Programación Lineal. Formulación con varias variables

Problema 2.10

Más ecuaciones de balance Las inversiones en las alternativas B y D están limitadas a K$5000 por año, y la inversión en C está limitada a K$2500 por año.

IB1