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14 Busca el menor número de seis cifras cuya división entre 7 es exacta. Busca también el mayor. • El menor número de seis cifras es 100 000. 100 000 : 7 = 14 285,… El menor número de seis cifras múltiplo de 7 será 14 286 · 7 = 100 002. • El mayor número de seis cifras es 999 999. 999 999 : 7 = 142 857, exacto. El mayor número de seis cifras múltiplo de 7 es 999 999.

15 El número de litros de aceite que contiene un barril es tal que puede envasarse de forma exacta en garrafas de 3 litros, de 7 litros o de 25 litros, pero no en garrafas de 4 litros ni de 9 litros. ¿Cuál puede ser el contenido del barril, sabiendo que está entre mil y dos mil quinientos litros? El número buscado ha de ser múltiplo de 3 · 7 · 25 = 525. Y, además, ha de estar entre 1 000 y 2 500 litros. 525 · 2 = 1 050 8 podría ser No podemos multiplicar 525 por 3, porque al ser ya múltiplo de 3, lo sería de 9. Tampoco podemos multiplicarlo por 4. 525 · 5 = 2 625 8 es superior a 2 500 El contenido del barril es de 1 050 litros.

16 El número de participantes en un desfile es tal que se pueden agrupar así: EN FILAS DE

3

EN FILAS DE

5

EN FILAS DE

25

pero no pueden hacerlo así: NI EN FILAS DE

4

NI EN FILAS DE

9

¿Cuál es el número de participantes si sabemos que es mayor que 900 pero menor que 1 000? 3 · 25 = 75 (si es múltiplo de 25, ya lo es de 5). Hemos de buscar múltiplos de 75 entre 900 y 1 000. Multiplicaremos por 2, pero no por 4. Y no podemos multiplicar por 3, ya que sería múltiplo de 9. 75 · 2 = 150 75 · 5 = 375 75 · 7 = 525 75 · 10 = 750 75 · 11 = 825 75 · 13 = 975 El número buscado es 975.

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17 Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen de tres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco, también sobran dos. a) ¿Cuántas personas componen el grupo si sabemos que su número está comprendido entre 10 y 20? b) ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50? a) Si le restásemos 2 al número que buscamos, debería ser múltiplo de 3 y de 5, es decir, de 15. Buscamos un número 2 unidades mayor que un múltiplo de 15. El único número comprendido entre 10 y 20 que cumple esa condición es el 17 (observa que también cumple la primera, es impar). b) Entre el 20 y el 50 están: 15 · 2 + 2 = 32 y 15 · 3 + 2 = 47 Pero solo el segundo es impar (cumple la primera condición). Son 47.

18 Rafa tiene 37 años; Elena, 36, y el producto de las edades de sus tres hijas es 390. ¿Qué edades tienen las hijas? Da todas las posibles soluciones. Hemos de encontrar tres números cuyo producto sea 390 = 2 · 3 · 5 · 13 y que, además, puedan ser, razonablemente, edades de hijas de una pareja de menos de 40 años. Si 13 lo multiplicamos por 2, 3 ó 5, el resultado (26 años, 39 años…) ya no es razonable, no pueden ser hijas de una pareja de menos de 40 años. Por tanto, una de las chicas tiene 13 años. °13, 5, 6 § Las posibles soluciones son: ¢13, 10, 3 § £13, 15, 2

19 En un centro escolar hay 5 grupos, A, B, C, D y E, de 2.º ESO, con 28, 31, 24, 26 y 29 alumnos, respectivamente. En uno de los grupos, el número de chicas es doble que el de chicos. ¿Cuál de los grupos es y cuántos chicos y chicas hay? Si el número de chicas es doble que el de chicos, el total de alumnos ha de ser múltiplo de 3. Por tanto, es el grupo C, con 24 personas, de las que 8 son chicos y 16 son chicas.

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20 Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas, se puede obtener cualquier número. Por ejemplo, con 55 : 5 – 5 obtenemos el 6. Busca, con la mínima cantidad de cincos: a) Los veinte primeros números naturales. b) Los números 111 y 125. c) Los números 500, 1 000 y 3 000. a) 1 = 5 : 5 2 = (5 + 5) : 5 3 = (5 + 5 + 5) : 5 4 = 5 – (5 : 5) 5=5 6 = 5 + (5 : 5) 7 = (5 + 5) : 5 + 5 8 = 5 + 5 – (5 + 5) : 5 9 = (5 + 5) – (5 : 5) 10 = 5 + 5

11 = 55 : 5 12 = (55 + 5) : 5 13 = (55 + 5 + 5) : 5 14 = (5 + 5 + 5) – (5 : 5) 15 = 5 + 5 + 5 16 = (55 : 5) + 5 17 = (55 + 5) : 5 + 5 18 = (55 + 5 + 5) : 5 + 5 19 = (5 · 5) – 5 – (5 : 5) 20 = 5 · 5 – 5

b) 111 = 555 : 5

125 = 5 · 5 · 5

c) 500 = 555 – 55

1 000 = (5 + 5) · (5 + 5) · (5 + 5)

3 000 = 55 – 5 · 5 · 5

21 ¿Cuántas veces se utiliza la cifra 9 al escribir todos los números del 1 al 1 000? Hay 1 000 números. De ellos, la décima parte tienen el 9 como cifra final 8 1 000 : 10 = 100 Otra décima parte tienen el 9 como cifra de las decenas. Y otra décima parte tienen el 9 como cifra de las centenas. Hay, por tanto, 300 “nueves”. Un razonamiento más rápido: Al escribir del 1 al 1 000, escribimos 3 000 cifras (consideramos que el 7, por ejemplo, se escribe 007 y no contabilizamos una de las cifras del 1 000). La décima parte, 300, son “nueves”. Este razonamiento vale para cualquier cifra excepto para el “cero”.

22 ¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremas suman lo mismo que las dos centrales? Puesto que son capicúas, son de la forma ABBA. Si las cifras extremas suman lo mismo que las centrales, las cuatro cifras son iguales: AAAA. Hay, por tanto, nueve: 1 111 2 222 3 333 …. 9 999

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23 Escribe un número de dos cifras. Escribe otro número que tenga las mismas cifras, pero cambiadas de orden. Resta ambos números. ¿Puedes decir por qué esa diferencia es siempre un múltiplo de 9? a b = 10a + b °

¢ Su diferencia, 9a – 9b = 9(a – b) es múltiplo de 9

b a = 10b + a £

24 Escribe el año de tu nacimiento. Réstale la suma de sus cifras. El número resultante es múltiplo de 9. ¿Ocurre lo mismo con los años de otros amigos? ¿Puedes explicar por qué? Por ejemplo, 1992 – (1 + 9 + 9 + 2) = 1971, que es múltiplo de 9. En general, a

b

c

d = 1 000a + 100b + 10c + d

a

b

c

d – (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c, que es múltiplo de 9.

25 Busca los cuatro números naturales más pequeños (A, B, C y D) que cumplen esta condición:

10% DE A

20% DE B

TODOS IGUALES 30% DE C

40% DE D

A es el doble de B, el triple de C y el cuádruplo de D. Si tomamos A = 12, B = 6, C = 4 y D = 3, se cumple la condición (fíjate en que 12 es el múltiplo más pequeño de 2, 3 y 4): 10% de 12 = 1,2 20% de 6 = 1,2 30% de 4 = 1,2 40% de 3 = 1,2

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26 Coloca los números del 1 al 9, uno en cada círculo, de modo que todos los lados del triángulo sumen 23. Hay dos soluciones.

La suma del 1 al 9 es: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 Los números que están en las esquinas se suman dos veces. Si cada lado suma 23, 23 · 3 = 69 69 – 45 = 24, que es la suma de los números que están en las esquinas. Estos números solo pueden ser 7, 8 y 9. Poniendo 7, 8 y 9 en las esquinas, hay dos soluciones: 7 6

7 4

2 8

5 3

1

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5

6

3 9

8

1 2

4

9