Juegos Bayesianos Tema 1: Tipos, Creencias y Equilibrio Bayesiano Universidad Carlos III de Madrid

Repaso: Juego estático con Información completa §  Jugadores §  Estrategias (acciones) §  Pagos para cada combinación de estrategias o preferencias sobre las combinaciones de estrategias §  Todo ello es conocimiento común entre los jugadores.

El Juego Bayesiano §  Los pagos no son conocimiento común. §  Información Incompleta significa que al menos un jugador no conoce la función de pagos alguno de sus rivales.

§  Juego estático con información incompleta = Juego bayesiano estático.

Ejemplos §  Duopolio de Cournot pero sin saber los costes marginales de la otra empresa. §  Subasta sin saber las valoraciones de los demás participantes. §  Contribuciones privadas a un bien público sin conocer costes o valoraciones de los demás. §  Negociación con alguien sin conocer su factor de descuento. §  Batalla de los sexos sin saber si el otro prefiere estar solo o acompañado.

En este tema se aprenderá a: §  Identificar los elementos de un juego con información incompleta y representarlos §  Entender un Juego Bayesiano como un Juego en Forma Extensiva con información imperfecta §  Encontrar Equilibrios de Nash Bayesianos (ENB)

Ejemplo 1 El Jugador 1 puede elegir entre dos acciones A y B. El Jugador 2 puede elegir entre dos acciones I y D Los pagos dependen de los tipos de jugadores. El Jugador 1 es de un solo tipo y este es conocido por el Jugador 2. §  El Jugador 2 puede ser del tipo x o de tipo y. §  El Jugador 2 sabe su tipo pero el Jugador 1 no sabe con certeza el tipo del Jugador 2 (información incompleta asimétrica). §  El Jugador 1 sabe que el Jugador 2 es del tipo x con probabilidad 2/3, y del tipo y con probabilidad 1/3. §  §  §  § 

Modelizamos “no conocer los pagos” como “no conocer los tipos” 2 tipo x (2/3) I

D

A

4 ,

3

3 ,

1

B

3 ,

6

2 ,

3

2 tipo y (1/3) I

D

A

3 ,

3

1 , 6

B

1 ,

1

5 , 3

Juego Bayesiano como Juego Dinámico con Información Incompleta Azar t2=x

t2=y

2.1 I

2.2 D

I

D 1

A

B A

B A

B

A

B

El Jugador 1 tiene 1 conjunto de información por lo que su estrategias será una acción. El Jugador 2 tiene 2 Conjuntos de información, por tanto cuatro estrategias: II, ID, DI, DD.

Mejores respuestas J2 §  Correspondencias de mejor respuesta. §  El jugador 2 conoce su tipo (y el tipo del jugador 1): Ø  Si 2 es del tipo x: •  La estrategia D está estrictamente dominada por la estrategia I. Su mejor estrategia (acción) será I.

Ø  Si 2 es del tipo y: •  La estrategia I está estrictamente dominada por la estrategia D. Su mejor estrategia será D.

Mejor respuesta del 1 §  El Jugador 1 conoce su tipo pero no conoce el tipo del Jugador 2. §  El Jugador 1 evalúa su pago esperado Jugando A y su pago esperado jugando B para las posibles estrategias del Jugador 2, S2={II, ID, DI, DD} Pago esperado de jugar A U (A, II) = (2/3) 4 + (1/3) 3 = 11/3 U (A, ID) = (2/3) 4 + (1/3) 1 = 9/3 U (A, DI) = (2/3) 3 + (1/3) 3 = 9/3 U (A, DD) = (2/3) 3 + (1/3) 1= 7/3

Pago esperado de jugar B: U (B, II) = (2/3) 3 + (1/3) 1= 7/3 U (B, ID) = (2/3) 3 + (1/3) 5= 11/3 U (B, DI) = (2/3) 2 + (1/3) 1= 5/3 U (B, DD) = (2/3) 2 + (1/3) 5= 9/3

II

ID

DI

DD

A

11/3

3

3

7/3

B

7/3

11/3

5/3

3

Equilibrio de Nash Bayesiano §  Dado que el Jugador 2 tiene estrategias dominantes jugará I si es del tipo x y jugará D si es del tipo y. §  Ante la estrategia ID la mejor respuesta del jugador 1 es B. El único equilibrio Bayesiano de este juego es (B, ID).

Representación de un JB §  El conjunto de jugadores, N={1,2,…,n}. §  Los tipos de los jugadores. §  La distribución de probabilidades sobre combinaciones de tipos, (un conjunto de creencias sobre los tipos de los rivales) §  Las acciones/estrategias posibles. §  Unas funciones de pagos que ahora dependen no sólo de las acciones sino también de los tipos.

Pagos, creencias y estrategias ! La función de pagos del Jugador i se escribirá como:

ui (ai , a−i ; ti , t−i ) donde ai ∈ Ai , a−i ∈ A−i , ti ∈ Ti , t−i ∈ T−i . ! Creencias: " Cada jugador conoce su tipo y por tanto su función de pagos. " Cada jugador que desconoce la función de pagos de algunos de sus rivales tiene creencias (una distribución de probabilidad) sobre sus tipos, que las denotaremos por

pi (t−i | ti ) para t−i ∈ T−i , ti ∈ Ti . ! Estrategias: Una acción para cada posible tipo del jugador.

En el ejemplo 1 §  Jugadores, N={1,2}. §  Los tipos de los jugadores: el jugador 1 tiene un tipo y el 2 tiene dos: x, y. §  Probabilidades sobre tipos: Cada uno de los tres tipos tiene creencias sobre los demás. (p(t2 = x / t1 ) = 2 / 3, p(t2 = y / t1 ) =1/ 3). (p( t1 / t2 = x) =1). (p( t1 / t2 = y) =1).

§  Estrategias de 1: {A, B}. De 2: {II, ID, DI, DD} §  Los pagos: las 2 matrices (transparencia 7).

La Batalla de los Sexos con información incompleta §  Una pareja: ella forofa del Fútbol y él forofo de la Ópera. §  Las preferencias de Él dependen de si está agobiado o no. Si está agobiado prefiere pasar la noche sin su pareja. Si está tranquilo (normal) prefiere la ópera al fútbol, y prefiere pasar la noche con ella en el fútbol que solo en la ópera §  Ella cree que es igual de probable que Él esté agobiado como que no lo esté.

Pagos Pagos si Él normal Prob. = 1/2 Ella

F

O

F

2 ,

1

0 ,

0

O

0 ,

0

1 ,

2

Pagos si Él agobiado Prob. = 1/2 Ella

Él

Él F

O

F

2 ,

0

0 ,

2

O

0 ,

1

1 ,

0

Mejor Respuesta de ÉL Él Normal F Ella

O

F

2 ,

1

0 ,

0

O

0 ,

0

1 ,

2

Él Agobiado F Ella

O

F

2 ,

0

0 ,

2

O

0 ,

1

1 ,

0

MR de Él (F) = FO

MR de Él (O) = OF

Si ella elige fútbol la mejor respuesta de ÉL es: fútbol si normal y ópera si agobiado. Si ella elige ópera la mejor respuesta de ÉL es: ópera si normal, y fútbol si agobiado

Mejor Respuesta de Ella FF

FO

OF

OO

F

2

1

1

0

O

0

0.5

0.5

1

MR(FF) = F MR(FO) = F MR(OF) = F MR(OO) = O

MR(F) = FO MR(O) = OF

Ø ENB: (fútbol, (fútbol si normal, y ópera si agobiado))

La Batalla de los Sexos con información incompleta. Análisis alternativo. Azar 1/2

1/2

Él.Normal

Él.Agobiado O

F

F

O Ella

F

O

F

O F

O

F

O

Pagos de Él

1

0

0

2

0

1

2

0

Pagos de Ella

2

0

0

1

2

0

0

1

ENPS en la forma extensiva §  No hay subjuegos, por tanto el ENPS coincide con el EN FF

FO

OF

OO

F

2, 0.5

1, 1.5

1, 0

0, 1

O

0, 0.5

0.5, 0

0.5, 1.5

1, 1

Extensiones §  Ella tiene dos tipos, Él solo uno. La matriz de la forma normal será 4x2. §  Ella tiene un tipo, Él tres tipos. La matriz de la forma normal será 2x8 (no se verá en este curso). §  Ella y Él tienen dos tipos (no se verá en este curso).