Juegos Repetidos Tema 1: Juegos repetidos un número finito de veces

Universidad Carlos III de Madrid

1

Juegos repetidos un número finito de veces §  Un juego repetido un número finito de veces es un juego dinámico en el que un juego simultáneo (juego de etapa) se juega un número finito de veces y los resultados de cada etapa son observados antes de la siguiente. §  Ejemplo: Jugar el dilema del prisionero varias veces. El juego de etapa es el juego simultáneo del dilema del prisionero.

2

Resultados §  El juego repetido tiene un único ENPS si el juego de etapa (el juego simultáneo) tiene un único EN. –  En el ENPS se juegan las estrategias de EN en cada etapa.

§  Si el juego de etapa tiene 2 o más EN, pueden existir ENPS en los que en alguna etapa NO se juegan estrategias que sean EN sino que se juega algo que es mejor para los dos jugadores. 3

Un juego repetido dos veces §  Pensemos en un juego repetido dos veces Ø Dos jugadores juegan el mismo juego simultáneo dos veces, en t=1 y en t=2 Ø El resultado de la primera vez que se juega (de t=1) es observado antes de jugarlo una segunda vez Ø El pago del juego repetido es la suma de los pagos en cada jugada (t=1, t=2)

Ø  ¿Cual es el ENPS? Jugador 2

Jug. 1

L1 R1

L2 1 , 1 0 , 5

R2 5 , 0 4 , 4

4

Forma extensiva 1 R1

L1 2

2

L2

1

1 L1

L2

1+1 1+1

L1

R1 2

2

R2 L2

1+5 1+0

L2

R2

1+0 1+5

2 R2 L2 1+4 1+4

5+1 0+1

2

5+5 5+0 0+0 0+5

1

1 L1

R1 R2 L2

R2

2 R2 L2

5+4 0+4

0+1 5+1

L1

R1 2 R2 L2

0+5 0+0 5+0 5+5

2

R1 2

R2 L2

R2 L2

R2

0+4 4+1 5+4 4+1

4+5 4+0 4+0 4+5

4+4 4+4 5

Conjuntos de Información y Estrategias Cada Jugador: 5 CI Ej de estrategia: L1 R1 R1 L1 L1

1.1

L1

R1

R2

L2

2.1 L2 1.2

1.3

L1

L1

R1

L2

1+1 1+1

R2 L2

1+5 1+0

1+0 1+5

1+4 1+4

L1

R1

2. 3

R2 L2

5+1 0+1

R2 L2

5+5 5+0 0+0 0+5

1.5

1.4 R1

2. 2

R2

R1

2.4

R2 L2

5+4 0+4

L1

0+1 5+1

R2 L2

0+5 0+0 5+0 5+5

2.5

R2 L2

R2 L2

0+4 4+1 5+4 4+1

4+5 4+0 4+0 4+5

4+4 4+4 6

Subjuegos: 4 + Juego Completo 1 R1

L1 2

2

L2

L2

R2 1

1 L1

R1

2 2

R2 L2

6 1

1 6

Subjuego1

2 R2

L2

5 5

6 1

L1

R2 L2

5 5

9 9

Subjuego 2

1 6

L1

R1 2

2

R2 L2

10 0

1

1 R1

2

2 L2

L1

R2

R2 L2

5 5

0 10

Subjuego 3

R1 2

2 R2 L2 4 9

5 5

R2 L2 9 4

4 9

Subjuego 4

8 8 7

Otra forma de representarlo 1 R1

L1 2

2

L2 1

(1, 1)

L1 2

L2

R2 L2

1

(5, 0) L1

R1

2

L2

R2 1

2

2 R2 L2

R2 L2

R1 2

2 R2 L2

R2 L2

1

(4, 4) L1

(0, 5)

L1

R1

R2

R1 2

2 R2 L2

R2 L2 R2

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1

5 0

Los pagos totales serán (1, 1) + pagos en ese subjuego

0 5

4 4

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1

5 0

0 5

4 4 8

Calculamos el EN del Subjuego 1 El resultado es independiente de que se tomen los pagos sólo de esa etapa o los pagos totales Pagos t=2

Jug. 1

Jugador 2

L1 R1

L2 1 , 1 0 , 5

Pagos t=1 + t=2

Jug. 1

R2 5 , 0 4 , 4

Jugador 2

L1 R1

L2 2 , 2 1 , 6

R2 6 , 1 5 , 5

9

EN de subjuegos §  En cada uno de los cuatro subjuegos hay un único EN que es EN = {L1,

L 2}

§  Sustituimos, por inducción hay atrás, el subjuego por sus pagos en el EN y resolvemos el juego completo 10

Sustituimos el subjuego por su pago en EN 1

R1

L1 2

2

L2 1

(2, 2)

L1 2

L2

1 1

R2 L2

5 0

0 5

1

(6, 1) L1

R1

2

L2

R2

2

4 4

1 1

R2 L2

5 0

0 5

R2 L2

4 4

1 1

L1

R1 2

2

R2 L2

5 0

0 5

1

(5, 5)

(1, 6)

L1

R1

2 R2 L2

1

R2

R1 2

2 R2 L2

4 4

1 1

R2 L2

5 0

0 5

R2

4 4 11

Calculamos EN del juego completo con “pagos sustituidos”

L1

L2 2 , 2

R2 6 , 1

R1

1 ,

5 ,

6

5

El pago de EN (1, 1) de la segunda etapa ha sido añadido a los pagos en t=1

12

ENPS §  ENPS: (L1 L1L1L1L1, L2 L2L2L2L2) §  El jugador 1 juega L1 en t= 1, y juega L1 en t=2 para todo resultado posible en t=1. §  El jugador 2 juega L2 en t= 1, y L2 en t=2 para cualquier resultado de la primera etapa

13

Juego repetido de un Juego de etapa con dos EN §  Juguemos dos veces el juego de etapa que abajo se describe en Forma Normal. §  Notemos que tiene 2 EN y que (M1, M2) no es EN, pero tiene pagos que Pareto dominan los de los ENs. §  ¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1 en un ENPS?

L2

M2

R2

L1

1 ,

1

5 ,

0

0 ,

0

M1

0 ,

5

4 ,

4

0 ,

0

R1

0 ,

0

0 ,

0

3 ,

3 14

Forma Extensiva (informal) 1 L1 2 L2 1 (1, 1)

2 M2

(5, 0)

(1, 1)

R2 (0, 0)

L2 (0, 5)

M2 (5, 0)

R2 (0, 0)

2 M2

(4, 4) 1

R2

R1

2 L2 (0, 5)

M2 (4, 4)

L2

(0, 0) (0, 0)

M1

L1

2 L2

R1

M1

R2

L2

(0, 0) (0, 0)

M2 (0, 0)

R2 1 (3, 3)

2 M2 (0, 0)

R2 (3, 3) 15

¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1 en un ENPS? §  Sí, si usamos estrategias con “premios” y “castigos” creíbles. –  Esto es, si premiamos y castigamos jugando estrategias que sean EN

§  Premio: Jugar (R1, R2) –  Pagos: (3, 3)

§  Castigo: Jugar (L1, L2) –  Pagos de 1

16

Estrategias de ENPS §  Estrategias de ENPS Ø  t=1, jugador 1 juega M1, y el 2 juega M2. Ø  t=2, Ø 1 juega R1 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega L1 si se jugó algo distinto. Ø 2 juega R2 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega L2 si se jugó algo distinto.

§  ¿Por qué constituyen un ENPS? –  En cada subjuego de t=2, o se juega ( R1, R2 ), o se juega ( L1, L2 ), por lo tanto en cada subjuego las estrategias generan un EN –  ¿Son EN del juego completo?

17

Forma extensiva 1 L1 2 L2 1 (1, 1) + (1, 1)

2 M2

(5, 0) (1, 1)

(1, 1)

R2 (0, 0) (1, 1)

L2 (0, 5) (1, 1)

M2 (5, 0)

R2 (0, 0)

2 M2

(4, 4) (3, 3) 1

L1

2 L2

R1

M1

R2 (0, 0) (1, 1)

M1

(0, 5)

M2 (4, 4)

(0, 0) (1, 1) R1

2 L2

L2

R2

L2

(0, 0) (0, 0)

M2 (0, 0) (1, 1)

R2 1 (3, 3) (1, 1)

2 M2 (0, 0)

R2 (3, 3) 18

EN del juego completo -Por

inducción hacia atrás, sustituimos los subjuegos por sus pagos en EN -El juego en forma Normal que resulta tiene (M1, M2) como jugada de EN Jugador 2 L2

M2

R2

L1

2 ,

2

6 ,

1

1 ,

1

Jugador 1 M1

1 ,

6

7 ,

7

1 ,

1

R1

1 ,

1

1 ,

1

4 ,

4

Intuición §  Miremos el juego de etapa: Si 1 juega M1 al Jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 5 en lugar de 4). Para que no se desvíe: 4 + premio > 5 + castigo, esto es 4+3 > 5+1 Lo mismo aplica al Jugador 2. Además, para que sea ENPS los premios y castigos deben ser jugadas que sean EN L2

M2

R2

L1

1 ,

1

5 ,

0

0 ,

0

M1

0 ,

5

4 ,

4

0 ,

0

R1

0 ,

0

0 ,

0

3 ,

3 20

§  Si los pagos en el desvío fueran mayores (desviarse es más atractivo) no podríamos sostener (M1, M2) en t=1 en un ENPS Si 1 juega M1 al jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 7 en lugar de 4). Para que no se desvíe, debe ser: 4 + premio >7 + castigo, pero eso NO se cumple (7