Juegos en Forma Estratégica de Información Incompleta Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes

Abril 6 de 2010

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Juegos de información incompleta

Un juego de información incompleta BG (o Juego Bayesiano) en forma estratégica es: BG = I , (Ai )i 2I , (Xi )i 2I , (π i )i 2I , F I es un conjunto de jugadores (…nito). Ai es un conjunto de acciones para cada jugador. Xi es un conjunto de información para cada jugador. π i : A X ! R es la utilidad de cada jugador, A = Π Ai , X = Π Xi . F es una distribución de probabilidad sobre X .

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i 2I

i 2I

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Un juego de informacion incompleta formalmente

La distribución F es el modelo probabilístico del espacio de información de todos los agentes. Asumimos que todos los elementos del juego son conocimiento común. Esto convierte un problema de información incompleta o asimétrica en uno de información completa. Las tres últimas observaciones son la propuesta original de Harsany.

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Un juego de informacion incompleta formalmente

Para simpli…car la exposición, vamos hacer los siguientes supuestos sobre F . F tiene una densidad f y f = Π fi donde fi es una densidad sobre Xi . i 2I

El jugador i utiliza la densidad Π fj para evaluar la información de los j 6 =i

demás agentes. Este supuesto quiere decir que la información de los jugadores es independiente. Esto no quiere decir que la información de los demás agentes no tenga consecuencias sobre su utilidad.

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Un juego de informacion incompleta formalmente Example (Batalla de los sexos modi…cado) I = f1, 2g .

AM = AH = fB, S g .

Dependiendo del estado del ánimo la mujer puede tener preferencias distintas por ir al partido o de compras. XM = fB, S g , XH = fN g .

Solo la mujer sabe al levantarse cual es su estado de ánimo. El hombre sabe el de él pero no el de ella. π M , π H : AM

AH

XM

XH ! R

El hombre tiene las mismas preferencias independientemente del estado de ánimo de la mujer. Formalmente π H no cambia de valor en su tercera componente.

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Un juego de informacion incompleta formalmente Example (Batalla de los sexos modi…cado) Las preferencias de la mujer dependen de su estado de ánimo (las del hombre son independientes): π M ( , , B, N ) : AM AH ! R Hombre B S Mujer B 3,2 2,1 S 0,0 1,3 Ánimo de ir al partido π M ( , , S, N ) : AM AH ! R Hombre B S Mujer B 1,2 0,1 S 2,0 3,3 Ánimo de ir de compras

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Un juego de informacion incompleta formalmente Example (Batalla de los sexos modi…cado) Estructura de información: el hombre le atribuye una probabilidad subjetiva p de que la mujer amanezca con ánimo de ir al partido. Formalmente fM , fH son densidades discretas sobre fB, S g , fN g respectivamente.

= fM ( B ) = p f H ( S ) = fM ( S ) = 1 f M ( N ) = fH ( N ) = 1 f

f = fM

H (B )

p

fH .

Obsérvese que en este caso la información no solo es privada sino que la información privada de ninguno de los dos afecta la utilidad del otro (i.e., valores privados).

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Estrategias y de…niciones de equilibrio Una estrategia es una función αi : Xi ! Ai . Una estrategia b αi : Xi ! Ai domina (débilmente) una estrategia αi : Xi ! Ai si para toda estrategia α i : X i ! A i y x 2 X : π i (b αi (xi ), α i (x i ), x )

π i (αi (xi ), α i (x i ), x )

con desigualdad estricta por lo menos para un α

i

y x.

Obsérvese que la de…nición anterior es equivalente a la siguiente. Una estrategia b αi : Xi ! Ai domina (débilmente) una estrategia αi : Xi ! Ai si para toda acción a i 2 A i y xi 2 Xi : π i (b αi (xi ), a i , x )

π i (αi (xi ), a i , x )

con desigualdad estricta por lo menos para un a i y xi . Una estrategia b αi : Xi ! Ai es dominante (débilmente) si domina (débilmente) a toda estrategia αi : Xi ! Ai .

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Estrategias y de…niciones de equilibrio

Example (Batalla de los sexos modi…cado) Las estrategias son: αM αH

: fB, S g ! fB, S g . : fN g ! fB, S g .

La estrategia αM (B ) = B, αM (S ) = S domina cualquier otra estrategia para la mujer luego es una estrategia dominante.

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Estrategias y de…niciones de equilibrio

Equilibrio en estrategias dominantes (débilmente): b α : X ! A es un equilibrio en estrategias dominantes si para todo i 2 I , b αi es una estrategia dominante (débilmente). Más adelante daremos un ejemplo de un equilibrio en estrategias dominantes en juegos de información incompleta (el equilibrio en la subasta al segundo precio).

La importancia del concepto de equilibrio en estrategias dominantes es doble. De una parte supone una forma débil de racionalidad y de otra, es independiente de la estructura de información. La doctrina de Wilson hace referencia a las características deseables de los mecanismos de asignación de recursos.

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Estrategias y de…niciones de equilibrio Equilibrio de Nash-Bayesiano. b α : X ! A es un equilibrio de Nash-Bayesiano si para todo jugador i 2 I y para todo estrategia αi : Xi ! Ai y xi 2 Xi : E i [ π i (b αi (xi ), b α i (X i ), xi , X i )jXi

E i [π i (αi (xi ), b α i (X i ), xi , X i )jXi

= xi ] = xi ]

En el caso particular en que la estructura de información, hX , F i es independiente, la última desigualdad la podemos escribir como: E i [ π i (b αi (xi ), b α i (X i ), xi , X i )]

E i [π i (αi (xi ), b α i (X i ), xi , X i )]

donde el valor esperado se calcula utilizando la densidad f i .

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Estrategias y de…niciones de equilibrio Example (Batalla de los sexos modi…cado) Supongamos que: b αM

b αH

: fB, S g ! fB, S g . : fN g ! fB, S g .

es un equilibrio de Nash-Bayesiano. Para la mujer, ella no tiene ninguna incertidumbre sobre el estado de ánimo del hombre. Entonces debe cumplirse: π M (b αM (xM ), b αH (N ), xM , N )

π M (αM (xM ), b αH (N ), xM , N )]

Como ella tiene una estrategia dominante el candidato a b αM es: b αM (B ) = B, b αM (S ) = S.

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Estrategias y de…niciones de equilibrio

Example (Batalla de los sexos modi…cado) Para el hombre, él tiene que calcular su mejor reacción a esta estrategia: E

αM (XM ), b αH (N ), XM , N )] H [ π H (b

E

pπ H (B, b αH (N ), B, N ) + (1

pπ H (B, αH (N ), B, N ) + (1

αM (XM ), αH (N ), XM , N )] H [ π H (b p )π H (S, b αH (N ), S, N )

p )π H (S, αH (N ), S, N )

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Estrategias y de…niciones de equilbrio

Example (Batalla de los sexos modi…cado) Supongamos que b αH (N ) = B, entonces la desigualdad anterior se reduce a: pπ H (B, B, B, N ) + (1

p )π H (S, B, S, N )

pπ H (B, S, N, B ) + (1

p )π H (S, S, N, S )

es fácil mostrar que p > 43 .

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Estrategias y de…niciones de equilbrio

Example (Batalla de los sexos modi…cado) Si p < 34 , la estrategia óptima es b αH (N ) = S. Si p =

3 4

existe un equilibrio en estrategias mixtas.

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Estrategias y de…niciones de equilbrio Example (Competencia imperfecta) Las …rmas tienen funciones de costos: ci (qi ) = cqi c 2 f1, 2g .

El valor de c es común a ambas …rmas. La …rma 1 está informada del costo pero la …rma 2 no. La …rma 2 le atribuye una probabilidad subjetiva p de que el costo sea c = 1 para la …rma 1. La función de demanda inversa es: P (Q ) = max fM

dQ, 0g

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Estrategias y de…niciones de equilbrio

Example (Competencia imperfecta) Representación como un juego de información incompleta: I = f1, 2g . A1

A2 = R+

R+ .

X1 = f1, 2g , X2 = fx g . 2 π i : R+

f1, 2g Para la …rma 1:

fx g ! R es el payo¤ de cada jugador.

π 1 (q11 , q2 , 1, x ) = (M

d (q11 + q2 )

1)q11

π 1 (q12 , q2 , 2, x ) = (M

d (q12 + q2 )

2)q12

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Un Juego de informacion incompleta formalmente Para la …rma 2: π 2 (q11 , q2 , 1, x ) = (M

d (q11 + q2 )

1)q2

π 2 (q12 , q2 , 2, x ) = (M

d (q12 + q2 )

2)q2

Obsérvese que el payo¤ de la …rma 2 depende de la información de la …rma 1. Sin embargo, la información es puramente privada. Esto no sucedia en el caso de la batalla de los sexos. Esto pone de mani…esto que en un juego de información incompleta la información puede ser completamente privada aún cuando la información privada de cada jugador afecte el payo¤ de los demás jugadores.

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Un juego de informacion incompleta formalmente

f1 y f2 son probabilidades discretas sobre f1, 2g y fx g respectivamente.

= f1 (f1g) = p f 2 (f2g) = f1 (f2g) = 1 f 1 (fx g) = f2 (fx g) = 1 f

2 (f1g)

p

Una estrategia para la …rma 1 son dos niveles de producción q11 y q12 y para la …rma 2 es un nivel de producción q2 . Supongamos que (q b11 , q b12 , q b2 ) es un equilibrio de Nash - Bayesiano. Entonces deben cumplirse las siguientes condiciones.

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Un juego de informacion incompleta formalmente

Para la …rma 1, para todo q11 2 R+ y q12 2 R+ ,

(M (M

d (q b11 + q b2 ) d (q b12 + q b2 )

1)q b11 2)q b12

(M (M

Para la …rma 2, para todo q2 2 R+ , p (M p (M

d (q b11 + q b2 )

d (q b11 + q2 )

1)q b2 + (1

1)q2 + (1

d (q11 + q b2 ) d (q12 + q b2 ) p )(M p )(M

1)q11 2)q12

d (q b12 + q b2 )

d (q b12 + q2 )

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2)q b2

2)q2

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Suponiendo que existe una solución interior a los tres problemas de maximización es fácil mostrar que la solución es: q b11 =

q b12 = q b2 =

2M

1 p 6d 2M 4 p 6d M 2+p 3d

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Example (Subasta al Segundo Precio) . Vamos a considerar el modelo básico de subastas. Este es el modelo de valores privados, información independiente y un único objeto. También vamos asumir (por simplicidad aunque esto no es importante para el resultado …nal): Neutralidad al riesgo. Simetría de la información. Esto es, Xi y fi es la misma para todos los agentes.

En particular supongamos que Xi = R+ . La interpretación que hacemos de la información xi 2 Xi es que esta representa la valoración (privada) que del objeto que se está subastando tiene cada agente.

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Un juego de informacion incompleta formalmente Example Tenemos un conjunto …nito de participantes I . Cada agente hace una oferta en un sobre cerrado. El espacio de aciones de cada agente es R. Es decir, una estrategia para cada jugador es una función bi : R+ ! R. El payo¤ de los agentes es: πi

:

RI

π i (bi , b i , xi , x i ) = xi

I R+ !R

max fbj g si bi > max fbj g j 6 =i

π i (bi , b i , xi , x i ) = 0 si bi < max fbj g

j 6 =i

j 6 =i

En caso de empate el objeto se asigna con igual probabilidad a cada uno de los agentes que quedaron empatadados.

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Example La expresión del payo¤ pone en evidencia algunos de los supuestos que hicimos anteriormente (valoración privada y neutralidad al riesgo). Vamos a demostrar que la estrategia de revelar la verdad para cada jugador, bi (xi ) = xi es un equilibrio en estrategias dominantes (débilmente). Supongamos que cada agente observa su valoración privada y hace una oferta por el bien.

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Example Fijemos un agente, digamos el agente i y concentremonos en su estrategia. Sea Y1 = max fbj g . Y1 determina si el agente i gana o j 6 =i no. bi (xi ) > xi no es racional (en el sentido débil) pues la estrategia bi que es igual bi en todas partes excepto en xi donde es revelar la verdadera valoración la domina (débilmente) - disminuye la probabiidad de ganar cuando la valoración es xi , nunca paga menos y con probabilidad positiva paga más. El argumento es independiente de las estrategias utilizadas por los demás jugadores.

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Example Si bi (xi ) < xi pueden suceder tres cosas: Pago Y1 bi < xi i gana xi Y1 bi < Y1 < xi i pierde 0 bi < xi Y1 i pierde 0 Comparando con el resultado que hubiera tenido de utilizar la estrategia de revelar la verdad, es claro que esta úlitma domina.

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Example ¿Donde utilizamos la estructura de información? ¿Donde utilizamos la neutralidad al riesgo? Formalmente lo que hemos hecho es demostrar que la estrategia bi (xi ) = xi domina a cualquier otra estrategia bi .Esto es: π i (xi , b i , xi , x i )

π i (bi (xi ) , b i , xi , x i )

para todo x 2 X y b i (lo que hicimos fue considerar los diferentes casos de Y1 y mostrar que esta desigualdad se cumplia siempre).

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