K Formas diferenciales K.1.

Producto mixto y producto vectorial

En lo que sigue E denotar´a un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on k (habitualmente ser´a un subespacio vectorial k-dimensional de Rn , 1 ≤ k ≤ n, con el producto escalar inducido por el producto escalar usual de Rn ). Fijada una base ortonormal β = {u1 , u2 , · · · , uk } en E, este espacio eucl´ıdeo queda identificado con Rk , mediante la aplicaci´on lineal k X k Tβ : R → E, Tβ (x) = xj uj j=1

Obs´ervese que Tβ conserva el producto escalar y por lo tanto es una isometr´ıa lineal. Un conjunto M ⊂ E se dice que es medible Jordan en E cuando Mβ = Tβ−1 (M) es medible Jordan en Rk , y en ese caso se define cE (M) = ck (Mβ ). Esta definici´on no depende de la base ortonormal β fijada en E: Si β ′ = {u′1 , u′2 , · · · , u′k } es otra base ortonormal de E, la aplicaci´on lineal T = Tβ−1 ◦ Tβ ′ : Rk → Rk es una isometr´ıa que conserva el producto escalar, luego | det T | = 1 (esto, que es un resultado bien conocido de geometr´ıa eucl´ıdea, ha sido establecido en el corolario J.9). Como T (Mβ ′ ) = Mβ , en virtud del teorema J.8 se cumple que Mβ es medible Jordan si Mβ ′ es medible Jordan, y en ese caso ck (Mβ ) = | det T |ck (Mβ ′ ) = ck (Mβ ′ ). En lo que sigue ME ser´a la familia de los conjuntos M ⊂ E que son medibles Jordan, y cE : ME → [0, +∞) el contenido de Jordan en E que se acaba de definir. Los resultados recogidos en el siguiente ejercicio, que se obtienen reformulando con las nuevas definiciones resultados conocidos, se dejan al cuidado del lector. Ejercicio K.1 Sean E, F espacios eucl´ıdeos de dimensi´ on k.

a) Si G ⊂ E es un subespacio propio y M ⊂ G es acotado entonces M ∈ ME y cE (M) = 0 b) Si T : E → F es una aplicaci´ on lineal y M ∈ ME entonces T (M) ∈ MF y cF (T (E)) = | det T | cE (M), donde det T es el determinante de T respecto a una base ortonormal en E y una base ortonormal en F .

472

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El paralelep´ıpedo definido por v1 , v2 , · · · , vk ∈ E es el conjunto P (v1 , v2 , · · · , vk ) = L(Q) P donde Q = [0, 1]k , y L : Rk → E es la aplicaci´on lineal L(x) = kj=1 xj vj . Si β = {u1 , u2 , · · · , uk } es una base ortonormal de E, y v1 , v2 , · · · , vk ∈ E, utilizaremos la notaci´on detβ (v1 , v2 , · · · , vk ) para designar el determinante de la matriz cuadrada (αij )1≤i,j≤k , formada con las coordenadas de los vectores vi respecto P a la base β, es decir vi = kj=1 αij uj , (1 ≤ i ≤ k).

Proposici´ on K.2 Si E es un espacio eucl´ıdeo k-dimensional, y v1 , v2 , · · · , vk ∈ E entonces P (v1 , v2 , · · · , vk ) es medible Jordan en E, y su contenido vale q cE (P (v1 , v2 , · · · , vk )) = | det β (v1 , v2 , · · · , vk )| = | det(hvi |vj i)1≤i,j≤k | donde β = (u1 , u2 , · · · , uk ) es una base ortonormal de E.

Dem: Supongamos en primer lugar que los vectores v1 , v2 , · · · , vk son linealmente independientes. Consideremos las aplicaciones lineales L, Tβ : Rk → E definidas por L(x) =

k X

xj vj ;

Tβ (x) =

j=1

k X

xj uj

j=1

Para justificar que P := P (v1 , v2 , · · · , vk ) = L(Q) es medible Jordan en E debemos comprobar que Tβ−1 (P ) es medible Jordan en Rk . Seg´ un la proposici´on J.8 esto ocurre −1 k porque Tβ (P ) es la imagen de Q = [0, 1] mediante la aplicaci´on lineal T = Tβ−1 ◦L. Adem´as, teniendo en cuenta la definici´on de cE , seg´ un esta proposici´on cE (P ) = ck (Tβ−1 (P )) = ck (T (Q)) = | det T |ck (Q) = | det T | Para terminar debemos ver que | det T | vale lo que figura en el enunciado. Seg´ un la definici´on, detβ (v1 , v2 , · · · , vk ) es el determinante de la matriz A = (αij )1≤i,j≤k , P P P donde vi = kj=1 αij uj . Obs´ervese que Tβ ( ki=1 αij ej ) = ki=1 αij uj = vi , luego T (ei ) = Tβ−1 L(ei ) = Tβ−1 (vi ) = (αi1 , αi2 , · · · , αik ) ∈ Rk

lo que significa que la matriz de la aplicaci´on lineal T = Tβ−1 ◦L : Rk → Rk (respecto a la base can´onica de Rk ) tiene como columnas las filas de la matriz A = (αij )1≤i,j≤k , y por lo tanto det T = det A = det β (v1 , v2 , · · · , vk ). Obs´ervese que si los vectores v1 , v2 , · · · , vk son linealmente dependientes el paralelep´ıpedo P (v1 , v2 , · · · , vk ) es un conjunto acotado contenido en un subespacio propio de E y por lo tanto, seg´ un el ejercicio K.1, tiene contenido nulo, luego la primera igualdad del enunciado es evidente porque detβ (v1 , v2 , · · · , vk ) = 0. Finalmente, Pk para establecer la segunda igualdad del enunciado basta observar que hvi |vj i = p=1 αip αjp , lo que significa que la matriz B = (hvi |vj i)1≤i,j≤k coincide 473

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con el producto AAt (donde At es la traspuesta de A). Se sigue de esto que det B = det A det At = (det A)2 , y queda establecido que q | det β (v1 , v2 , · · · , vk )| = | det(hvi |vj i)1≤i,j≤k | Orientaci´ on de un espacio vectorial. Sea E un espacio vectorial de dimensi´on k, y β = (u1 , u2 , · · · , uk ), β ′ = (u′1 , u′2 , · · · , u′k ), bases ordenadas de E. Sea A = (αij )1≤i,j≤k la matriz de la aplicaci´on lineal que transforma la base β en la base β ′ : u′i =

k X

αij uj ,

1 ≤ i ≤ k.

j=1

Si det A > 0 se dice que las dos bases tienen la misma orientaci´on. As´ı queda definida una relaci´on de equivalencia en la familia de las bases ordenadas de E con la que esta familia queda descompuesta en dos clases de equivalencia. Se dice que el espacio vectorial E est´a orientado cuando se ha elegido una de las dos clases de equivalencia que se declara como clase positiva. A la otra clase de equivalencia se le llama clase negativa y define en E la orientaci´on opuesta. En la pr´actica, un espacio vectorial se orienta eligiendo una de las dos orientaciones posibles mediante uno de sus representantes, es decir eligiendo una base ordenada β = (u1 , u2 , · · · uk ), como base positiva. La orientaci´on can´onica del espacio Rn es la definida con la base can´onica ordenada en la forma habitual, β = (e1 , e2 , · · · , en ). Aunque Rn tiene una orientaci´on can´onica, sin embargo para un subespacio kdimensional E ⊂ Rn no hay definida de forma natural una orientaci´on can´onica y para algunas de las cuestiones que se estudian m´as adelante convendr´a elegir de forma adecuada las orientaciones de los subespacios que intervienen. Dado un hiperplano E = {x ∈ Rn : h x | z i = 0} determinado por un vector normal z 6= 0, es f´acil comprobar que dos bases {u1 , u2 , · · · un−1 }, {v1 , v2 , · · · vn−1 } de E tienen la misma orientaci´on si y s´olo si {u1 , u2 , · · · un−1 , z} y {v1 , v2 , · · · vn−1 , z} son bases de Rn con la misma orientaci´on. Esto permite dar la siguiente definici´on: La orientaci´on inducida en E por el vector normal z es la determinada por una base {u1 , u2 , · · · un−1 } de E tal que {u1 , u2 , · · · un−1 , z} es una base positiva para la orientaci´on can´onica de Rn . Es claro que para cada t > 0 (resp. t < 0) los vectores z y tz inducen la misma orientaci´on (resp. orientaciones opuestas) en E. Producto mixto. Sea E un espacio eucl´ıdeo orientado de dimensi´on k y β = (u1 , u2 , · · · , uk ) una base ortonormal positiva. El producto mixto de k vectores ordenados (v1 , v2 , · · · , vk ) ∈ E k , denotado [v1 · v2 · · · vk ], se define como el valor del determinante det β (v1 , v2 , · · · vn ) = det(vij )1≤i,j≤n , donde

k X

vij uj = vi , 1 ≤ i ≤ k

j=1

El producto mixto [v1 · v2 · · · vk ] es no nulo si y s´olo si los vectores {vi : 1 ≤ i ≤ k} son linealmente independientes, y en este caso, de acuerdo con la proposici´on K.2, 474

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si (v1 , v2 , · · · , vk ) es una base positiva para la orientaci´on de E, el producto mixto [v1 · v2 · · · vk ] coincide con el valor del contenido de Jordan en E del paralelep´ıpedo P (v1 , v2 , · · · , vk ), y con el valor opuesto cuando (v1 , · · · , vk ) es una base negativa. Esto pone de manifiesto que el valor de [v1 · v2 · · · vk ] = det β (v1 , v2 , · · · , vk ) es independiente de la base ortonormal positiva β que se ha elegido. La aplicaci´on Λ : E k → R, Λ(v1 , v2 , · · · , vk ) = [v1 · v2 · · · vk ] recibe el nombre de k-forma fundamental del espacio eucl´ıdeo orientado E. Aunque para el c´alculo expl´ıcito de [v1 · v2 · · · vk ] hay que considerar una base ortonormal positiva de E sin embargo esta aplicaci´on est´a definida de modo intr´ınseco, ya que s´olo depende de la estructura eucl´ıdea y de la orientaci´on de E. Conviene hacer notar que no es imprescindible usar siempre la misma base ortonormal positiva de E, por lo que desde el punto de vista pr´actico, para el c´alculo de un valor concreto [v1 · v2 · · · vk ], puede resultar c´omodo utilizar una base ortonormal positiva que dependa de (v1 , v2 , · · · , vk ). Producto vectorial. Sea E un espacio eucl´ıdeo orientado de dimensi´on k y β = (u1 , u2 , · · · , uk ) una base ortonormal positiva de E. Dados (k−1) vectores ordenados (v2 , v2 , · · · , vk ) de E consideremos la aplicaci´on L : E → R, definida por L(x) = [x · v1 · · · vk ] = det β (x, v2 , · · · , vk ) Obs´ervese que esta aplicaci´on no depende de la base ortonormal positiva β que hayamos elegido y que, en virtud de las propiedades de los determinantes, L es lineal. Usando la identificaci´on can´onica entre vectores de un espacio eucl´ıdeo y formas lineales sobre el mismo (proposici´on B.8), existe un u ´ nico vector z ∈ E tal que para todo x ∈ E se cumple L(x) = hx | zi, es decir hx | zi = [x · v2 · · · vk ] = det β (x, v2 , · · · , vk ) Este vector, denotado z = v2 × v2 × · · · × vk , recibe el nombre de producto vectorial los (k − 1) vectores ordenados (v2 , v2 , · · · , vk ). De la definici´on se deduce que z es ortogonal a los vectores {vj : 2 ≤ j ≤ k}, y que z 6= 0 si y s´olo si estos vectores son linealmente independientes. En este caso, sea F ⊂ E el hiperplano de E generado por los vectores {vj : 2 ≤ j ≤ k}, y n el vector unitario ortogonal a F para el cual (n, v2 , · · · , vk ) es una base positiva de E. Como hn | zi = detβ (n, v2 , · · · , vk ) > 0, se sigue que z tiene la direcci´on y el sentido de n, luego (z, v2 , · · · vk ) es una base positiva de E, y de acuerdo con la proposici´on K.2 y el ejercicio K.3 kzk2 = hn | zi = det β (n, v2 , · · · , vk ) = cE (P (n, v2 , · · · , vk )) = cF (P (v2 , · · · , vk )) es decir, la norma eucl´ıdea del producto vectorial z = v2 × · · · × vk es el volumen (k − 1)-dimensional del paralelep´ıpedo generado por los vectores (v2 , · · · , vk ) luego, seg´ un la proposici´on K.2, tambi´en se cumple que q kzk2 = | det(hvi |vj i)2≤i,j≤k |

Si se conocen las coordenadas de los vectores vj , 2 ≤ j ≤ k respecto a una P base ortonormal positiva β = (u1 , u2 , · · · , uk ), vi = kj=1 vij uj , 2 ≤ i ≤ k, para 475

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obtener las P coordenadas del producto vectorial z = v2 × · · · × vk respecto a esta base z = kj=1 zj uj , basta calcular los productos escalares zj = huj | zi = [uj · v2 · · · vk ] = det β (uj , v2 , · · · , vk )

luego zj =

0 0 ··· 1 v21 v22 · · · v2j ··· ··· ··· ··· vk1 vk2 · · · vkj

es decir, el producto vectorial v2 × · · · × vk es desarrolla formalmente el determinante u1 u2 · · · uj v v · · · v2j z = 21 22 ··· ··· ··· ··· vk1 vk2 · · · vkj

··· 0 · · · v2k ··· ··· · · · vkk



el vector z que resulta cuando se · · · uk · · · v2k ··· ··· · · · vkk



A continuaci´on vemos el significado geom´etrico del valor absoluto de las coordenadas del producto vectorial z = v2 × · · · × vk (respecto a una base ortonormal positiva β = (u1 , u2 , · · · , uk ) de E). Por comodidad en la notaci´on razonamos, sin p´erdida de generalidad, con la primera coordenada de z. Con la f´ormula z1 = det β (u1 , v2 , · · · , vk ) y la proposici´on K.2 obtenemos que |z1 | es el contenido en E del paralelep´ıpedo P (u1 , v2 , · · · vk ): |z1 | = | det β (u1 , v2 , · · · vk )| = cE (P (u1 , v2 , · · · , vk )) Desarrollando el determinante anterior por la primera fila se obtiene que |z1 | = | det β ′ (v2′ , · · · vk′ )| P donde β ′ = (u2 , · · · , uk ) y los vectores vi′ = kj=2 vij uj son las proyecciones ortogonal de los vectores vi sobre el subespacio F1 = {x ∈ E : hx | u1 i = 0}. Como β ′ es una base ortonormal de F1 resulta que |z1 | tambi´en es el contenido en F1 del paralelep´ıpedo P (v2′ , · · · , vk′ ) ⊂ F1 , es decir |z1 | = cF1 (P (v2′ , · · · , vk′ )) Por otra parte z1 = hu1 | zi = kzk2 cos θ, donde θ es el ´angulo agudo formado por las rectas que generan u1 y z. Obs´ervese que esto est´a de acuerdo con el resultado del ejercicio K.4 seg´ un el cual cF1 (P (v2′ , · · · vk′ )) = cF (P (v2 , · · · vk )) cos θ, ya que P (v2′ , · · · , vk′ ) es la proyecci´on ortogonal sobre F1 del paralelep´ıpedo P (v2 , · · · , vk ) y θ es el ´angulo agudo que forman los hiperplanos F y F1 . R An´alogamente, |zj | es el contenido, en el subespacio Fj = {x ∈ E : hx | uj i = 0}, del la proyecci´on ortogonal de P (v2 , · · · vk ) sobre este subespacio.

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Ejercicio K.3 Sean {vi : 1 ≤ i ≤ k} vectores linealmente independientes de un espacio eucl´ıdeo k-dimensional E, y sea Ei ⊂ E, el subespacio (k − 1)-dimensional generado por los vectores {v1 , · · · , vi−1 , vi+1 , · · · , vk }. Se llama base i-´esima del paralelep´ıpedo P (v1 , · · · , vk ) ⊂ E, al paralelep´ıpedo de dimensi´ on (k − 1) Bi = P (v1 · · · , vi−1 , vi+1 , · · · , vk ) ⊂ Ei La longitud de la altura correspondiente a esta base es hi = |hvi | ni i|, donde ni ∈ E es un vector unitario ortogonal a Ei . Demuestre que cE (P (v1 , · · · , vk )) = cEi (Bi )hi (as´ı, para k = 3, el volumen de un paralelep´ıpedo es igual al producto del ´ area de una de sus bases por la longitud de la correspondiente altura). ´n solucio Por comodidad en la notaci´on suponemos i = 1. Sea β1 = (u2 , u3 , · · · , uk ) una base ortonormal de E1 , y u1 ∈ E un vector unitario ortogonal a E1 , de modo que β = (u1 , u2 , · · · , uk ) es una base ortonormal de E. Cambiando el signo de u1 si es preciso, podemos suponer que h1 = hv1 | u1 i > 0, de modo que es h1 es la longitud de la altura que corresponde a la base B1 = P (v2 , · · · , vk ). Descomponiendo v1 = y1 + z1 , con y1 = hv1 | u1 i u1 , z1 = v1 − y1 , es claro que hz1 | u1 i = 0, luego z1 ∈ E1 . Como E1 est´a generado por los vectores {v2 , · · · , vk }, se sigue que det β (z1 , v2 , · · · , vk ) = 0, luego det β (v1 , v2 , · · · , vk ) = det β (y1 , v2 , · · · , vk ) + det β (z1 , v2 , · · · , vk ) = = det β (y1 , v2 , · · · , vk ) La primera fila del u ´ ltimo determinante, formada por las coordenadas de y1 respecto a la base β, es (h1 , 0, · · · , 0), donde h1 = hy1 | u1 i = hv1 | u1 i > 0 es la longitud de la altura que corresponde a la base B1 . Para i > 1 la fila i-´esima de este determinante, formada por las coordenadas de vi respecto a la base β de E, es de la forma (0, αi2 , · · · , αik ), donde (αi2 , · · · , αik ) son las coordenadas respecto a la base β1 de E1 . Desarrollando el determinante det β (y1 , v2 , · · · , vk ) por la primera fila se obtiene que su valor es h1 detβ1 (v2 , · · · , vk ) y as´ı queda demostrado que cE (P (v1 , · · · , vk )) = h1 cE1 (P (v2 , · · · , vk )) Ejercicio K.4 Sean F, G ⊂ E hiperplanos distintos del espacio eucl´ıdeo k-dimensional E, y θ el ´angulo agudo que forman estos hiperplanos. Si π : E → G es la proyecci´on ortogonal de E sobre G y M ⊂ F es medible Jordan en F , entonces π(M) ⊂ G es medible Jordan en G y cG (π(M)) = cF (M) cos θ. ´n solucio F ∩ G ⊂ E es un subespacio de dimensi´on (k − 2), en el que podemos fijar una base ortonormal (u3 , · · · , uk ). Existen vectores unitarios v ∈ F , w ∈ G tales que βF = (v, u3 , · · · , uk ),

βG = (w, u3 , · · · , uk )

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son bases ortonormales de F y G respectivamente. Adem´as, cambiando si es preciso el signo de w, podemos suponer que 0 < hv | wi = cos θ, donde θ es el ´angulo agudo entre los vectores v, w. Sea p : F → G la restricci´on de la proyecci´on ortogonal π : E → G, que viene dada por π(x) = x − hx | nin, donde n ∈ E es un vector unitario ortogonal a G. La matriz de la aplicaci´on lineal p : F → G respecto a las bases βF , βG tiene como columnas las coordenadas de p(v), p(u3 ), · · · , p(uk ) respecto a la base βG = (w, u3, · · · , uk ). Las coordenadas de p(v) vienen dadas por los productos escalares hp(v) | wi = hv | wi = cos θ;

hp(v) | uj i = hv | uj i = 0, si j ≥ 3

Por otra parte, para j ≥ 3 es p(uj ) = uj , de modo que la matriz de la aplicaci´on lineal p respecto a las bases indicadas es diagonal, con diagonal (cos θ, 1, 1, · · · , 1). Si M ⊂ F es medible Jordan en F , seg´ un el ejercicio K.1 b), π(M) = p(M) ⊂ G es medible Jordan en G y se cumple cG (π(M)) = | det p| cF (M) = cos θ cF (M).

K.2.

Formas multilineales alternadas

Sea Gk el grupo de las permutaciones de {1, 2, · · · k}. Para cada σ ∈ Gk sea ν(σ) el n´ umero de parejas (i, j) tales que 1 ≤ i < j ≤ k y σ(i) > σ(j) (n´ umero de inversiones de σ). La aplicaci´on signatura ε : Gk → {−1, 1}, definida por ε(σ) = (−1)ν(σ) tiene las siguientes propiedades que la caracterizan: i) ε(σ) = 1 si σ es la identidad; ii) ε(σ) = −1 si σ es una transposici´on; iii) ε(στ ) = ε(σ)ε(τ ) para cada σ, τ ∈ Gk . En lo que sigue E es un espacio vectorial real de dimensi´on n ≥ k. Definici´ on K.5 Una aplicaci´on multilineal T : E k → R se dice que es alternada (o antisim´etrica) cuando T (x1 , x2 , · · · xk ) = 0 siempre que xi = xj para alg´ un par (i, j) con 1 ≤ i < j ≤ k. Para una aplicaci´on multilineal T : E k → R son equivalentes a) T es alternada; b) T (x1 , · · · xk ) = ε(σ)T (xσ(1) , · · · xσ(k) ) para cada σ ∈ Gk y cada (x1 , · · · xk ) ∈ E k Es inmediato que b) ⇒ a). La demostraci´on de a) ⇒ b) basta hacerla cuando σ es una transposici´on: Dada una pareja de indices 1 ≤ i < j ≤ k, utilizando a) y el car´acter multilineal de T se obtiene el resultado: Si x′i = xj , y x′j = xi , resulta 0 = T (x1 , · · · xi−1 , xi + xj , xi+1 , · · · xj−1 , xj + xi , xj+1 · · · xk ) = T (x1 , · · · xi , · · · xj , · · · xk ) + T (x1 , · · · x′i , · · · x′j , · · · xk ) Se llama alternada o antisimetrizada de la aplicaci´on multilineal B : E k → R a la aplicaci´on multilineal BA : E k → R definida por X BA (x1 , · · · xk ) = ε(σ)B(xσ(1) , · · · xσ(k) ) σ∈Gk

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Se deja al cuidado del lector la comprobaci´on de que BA es multilineal alternada, y que B es alternada si y s´olo si BA = k!B. En lo que sigue Γk (E) denotar´a el espacio vectorial formado por todas las aplicaciones multilineales alternadas T : E k → R. En particular Γ1 (E) = E ∗ es el espacio dual, y conviene introducir el convenio Γ0 (E) = R. A los elementos de Γk (E) se les suele llamar k-formas exteriores sobre E, k-formas de grado k, y tambi´en kcovectores. El producto tensorial f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fk de k formas lineales f1 , f2 , · · · fk ∈ E ∗ , es la aplicaci´on multilineal B : E k → R definida por B(x1 , x2 , · · · xk ) = f1 (x1 )f2 (x2 ) · · · fk (xk )) y su producto exterior, denotado f1 ∧f2 ∧· · ·∧fk , es la aplicaci´on multilineal alternada BA asociada al producto tensorial, es decir X (f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk )(x1 , · · · xk ) = ε(σ)f1 (xσ(1) ) · · · fk (xσ(k) ) = det(fi (xj ))1≤i,j≤k σ∈Gk

Es f´acil comprobar que el producto exterior (f1 , f2 , · · · fk ) → f1 ∧ · · · ∧ fk es una aplicaci´on multilineal alternada, definida en (E ∗ )k , y con valores en Γk (E), es decir, para cada permutaci´on σ ∈ Gk se cumple fσ(1) ∧ fσ(2) ∧ · · · ∧ fσ(k) = ε(σ)f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk Se deduce de esto que f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk = 0 cuando hay dos factores iguales o proporcionales y tambi´en cuando f1 , f2 , · · · fk son linealmente dependientes. Tambi´en se puede demostrar la validez del rec´ıproco, de modo que f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk 6= 0 si y s´olo si f1 , f2 , · · · fk son linealmente independientes. Nuestro siguiente objetivo es describir una base de Γk (E) asociada a una base {e1 , e2 , · · · en } de E. Para ello conviene introducir alguna notaci´on preliminar que abrevie la escritura. Sea Jk la familia formada con las sucesiones finitas crecientes de k n´ umeros naturales {j1 < j2 < · · · < jk }, con 1 ≤ j1 < jk ≤ n. Dada una matriz A = (aij )1≤i≤k,1≤j≤n con k filas y n columnas, si J = {j1 < j2 < · · · jk } es un elemento de Jk escribiremos ∆J (A) para designar el valor del determinante de la matriz obtenida extrayendo de A las k columnas indicadas por los sub´ındices j1 < j2 < · · · < jk , X ∆J (A) = ε(σ)a1jσ(1) a2jσ(2) · · · akjσ(k) σ∈Gk

Asociada a una base {e1 , e2 , · · · en } de E consideramos en E ∗ la base dual {dx1 , dx2 , · · · dxn } P donde dxj es la forma lineal dxj (x) = xj que asignan al vector x = nj=1 xj ej ∈ E su coordenada xj . An´alogamente, para cada J = {j1 < j2 < · · · < jk } ∈ Jk escribimos dxJ como una abreviatura del producto exterior dxj1 ∧ dxj2 · · · ∧ dxjk . 479

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Teorema K.6 Si {e1 , e2 , · · · en } es una base de E y {dx1 , dx2 , · · · dxn }, es su base dual en E ∗ entonces {dxJ : J ∈ Jk } es una base de Γk (E) Sea (x1 , x2 , · · · xk ) ∈ E k y A = (aij )1≤i≤k,1≤j≤n la matriz formada con P las coordenadas de los vectores xi respecto a la base {e1 , e2 , · · · en }, es decir xi = nj=1 aij ej . Entonces, con la notaci´on abreviada que hemos introducido, para cada J ∈ Jk se verifica dxJ (x1 , x2 , · · · xk ) = ∆J (A). Dada T ∈ Γk (E) su car´acter multilineal nos permite escribir X T (x1 , x2 , · · · xk ) = a1i1 a2i2 · · · akik T (ei1 , ei2 , · · · eik ) 1≤i1 ,i2 ,···ik ≤n

Como T es alternada, son nulos los sumandos donde intervienen sub´ındices repetidos, de modo que la suma la podemos suponer extendida a todas los subconjuntos {i1 , i2 , · · · ik } ⊂ {1, 2, · · · n} de k elementos distintos. Utilizando que T es alternada podemos asociar todos los sumandos que corresponden a permutaciones σ de un sistema creciente J = {j1 < j2 < · · · < jk } ∈ Jk , cuya suma vale X a1jσ(1) a2jσ(2 ) · · · akjσ(k) T (ejσ(1) , ejσ(2) , · · · ejσ(k) ) = σ∈Gk

= T (ej1 , ej2 , · · · ejk )

X

ε(σ)a1jσ(1) a2jσ(2 ) · · · akjσ(k) =

σ∈Gk

= T (ej1 , ej2 , · · · ejk )∆J (A) = T (ej1 , ej2 , · · · ejk )dxJ (x1 , x2 , · · · xk ) Sumando todos estos t´erminos la suma inicial se escribe en la forma " # X T (x1 , x2 , · · · xk ) = αJ dxJ (x1 , x2 , · · · , xk ) J∈Jk

donde αJ = T (ej1 , ej2 , · · · ejk )(x1 , x2 , · · · xk ) cuando J = {j1 < j2 < · · · jk }. Queda demostrado que T es una combinaci´on lineal de las formas multilineales {dxJ : J ∈ Jk } y para P terminar basta verificar que estas formas son linealmente independientes: Si 0 = J∈Jk αJ dxJ lo hacemos actuar sobre (ej1 , ej2 , · · · ejk ) con (j1 < j2 · · · < jk ) = J ∈ Jk se obtiene que es nulo el coeficiente αJ . Corolario K.7 Si E es un espacio vectorial real on n y k ≤ n entonces
de dimensi´ Γk (E) es un espacio vectorial de dimensi´ on nk . (Si k > n entonces Γk (E) = {0}). Dem: Inmediato

Sea β = {e1 , e2 , · · · en } una base ordenada de E y {dx1 , dx2 , · · · dxn } su base dual n en E ∗ . Si (x1 , x2 , · · · xn ) ∈ EP sea detβ (x1 , x2 , · · · xn ) el determinante de la matriz A = (aij )1≤i,j≤n donde xi = nj=1 aij ej , 1 ≤ i ≤ n. Entonces dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn (x1 , x2 , · · · , xn ) = det β (x1 , x2 , · · · xn ) 480

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Como Γn (E) es de dimensi´on 1, con base {dx1 ∧dx2 ∧· · ·∧dxn } se sigue que cualquier n-forma exterior T ∈ Γn (E) es de la forma T = µdx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn , con µ ∈ R, luego (x1 , x2 , · · · xn ) → det β (x1 , x2 , · · · xn ) es la u ´ nica forma multilineal alternada de grado n que toma el valor 1 sobre (e1 , e2 , · · · en ). An´alogamente a como se define el producto exterior de formas lineales se define el producto exterior de formas multilineales alternadas: Definici´ on K.8 Dadas S ∈ Γp (E), T ∈ Γq (E), con 1 ≤ p, q ≤ n, su producto exterior S ∧ T ∈ Γp+q (E) es la forma multilineal alternada asociada a la forma 1 S(x1 , · · · xp )T (xp+1 , · · · xp+q ), es decir multilineal (x1 , · · · xp , xp+1, · · · xp+q ) → p!q! (S ∧ T )(x1 , · · · xp+q ) =

1 X ε(σ)S(xσ(1) , · · · xσ(p) )T (xσ(p+1) , · · · xσ(p+q) ) p!q! σ∈G p+q

Es f´acil comprobar que el producto exterior de formas multilineales es lineal respecto a cada factor. Una forma multilineal alternada T ∈ Γk (E) se dice que es descomponible si se puede expresar como producto exterior de k formas lineales, es decir, si es de la forma T = f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk donde fi ∈ E ∗ . En virtud del teorema K.6 toda forma exterior de grado k se puede expresar como suma de formas exteriores descomponibles de grado k. Lema K.9 Si S = f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fp ∈ Γp (E), T = g1 ∧ · · · g2 ∧ · · · gq ∈ Γq (E) son formas descomponibles, entonces S ∧ T = f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fp ∧ g1 ∧ · · · g2 ∧ · · · gq . Dem: Sea W = f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fp ∧ g1 ∧ · · · g2 ∧ · · · gq . Sea G′ (resp. G′′ ) es subgrupo de Gp+q formado por las permutaciones que s´olo permutan los p primeros (resp. q u ´ ltimos) elementos, dejando fijos los restantes. En Gp+q se considera la siguiente relaci´on de equivalencia: σ ∼ τ si σ = τ σ ′ σ ′′ con σ ′ ∈
G′ , σ ′′ ∈ G′′ . Cada clase de equivalencia contiene p!q! elementos, luego hay p+q clases de equivalencia. Si D ⊂ Gp+q es un conjunto formado con un elemento p de cada clase de equivalencia, se verifica: X W (x1 , · · · xp+q ) = ε(σ)f1 (xσ(1) ) · · · fp (xσ(p) )g1 (xσ(p+1) ) · · · gq (xσ(p+q) ) = σ∈Gp+q

=

X

ε(τ )S(xτ (1) , · · · xτ (p) )T (xτ (p+1) , · · · xτ (p+q) )

τ ∈D

donde

S(xτ (1) , · · · xτ (p) ) =

X

ε(σ ′ )f1 (xτ σ′ (1) ) · · · fp (xτ σ′ (p) )

σ′ ∈G′

T (xτ (p+1) , · · · xτ (p+q) ) =

X

ε(σ ′′ )g1 (xτ σ′′ (1) ) · · · gq (xτ σ′′ (p) )

σ′′ ∈G′′

Usando que p!S = SA , q!T = TA se obtiene que W (x1 , · · · xp+q ) = 481

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" #" # X 1 X X ε(σ ′ )S(xτ σ′ (1) , · · · xτ σ′ (p) ) ε(σ ′′ )T (xτ σ′′ (p+1) , · · · xτ σ′′ (p+q) ) = = p!q! τ ∈D σ′ ∈G′ σ′′ ∈G′′ =

1 X ε(σ)S(xσ(1) ), · · · xσ(p) )T (xσ(p+1) ), · · · xσ(p+q) ) = (S ∧ T )(x1 , · · · xp+q ) p!q! σ∈G p+q

Proposici´ on K.10 El producto exterior de formas exteriores es asociativo y anticonmutativo: Si R ∈ Γk (E), S ∈ Γp (E), T ∈ Γq (E), entonces i) R ∧ (S ∧ T ) = (R ∧ S) ∧ T . ii) S ∧ T = (−1)pq T ∧ S. Dem: En virtud de la bilinealidad del producto exterior de formas exteriores, basta demostrar las propiedades i) y ii) para formas exteriores descomponibles, y en este caso el resultado es consecuencia del lema K.9. Correspondencias entre sistemas de vectores y formas exteriores. En lo que sigue se supone que E es un espacio eucl´ıdeo orientado de dimensi´on n y que β = (e1 , e2 , · · · en ) es una base ortonormal positiva de E. Recordemos que el producto mixto [v1 · v2 · · · vn ] de n vectores ordenadosP (v1 , v2 , · · · vn ) ∈ E n , viene dado n por det β (v1 , v2 , · · · vn ) = det(vij )1≤i,j≤n , donde j=1 vij ej = vi , (1 ≤ i ≤ n). Su valor absoluto proporciona el contenido de Jordan en E del paralelep´ıpedo P (v1 , v2 , · · · vn ). Aunque para calcular el producto mixto hay que fijar en E una base ortonormal positiva sin embargo el producto mixto es una noci´on intr´ınseca que s´olo depende de la estructura eucl´ıdea y de la orientaci´on de E. La n-forma fundamental del espacio eucl´ıdeo orientado E es la aplicaci´on multilineal alternada Λ : E n → R, Λ(v1 , · · · vn ) = [v1 ·v2 · · · vn ], y con ella podemos asociar a cada sistema (u1 , · · · up ) ∈ E p , 1 ≤ p < n, la forma exterior ξp (u1 , · · · up ) ∈ Γk (E) de grado k = n − p, mediante la aplicaci´on ξp : E p → Γk (E), definida por ξp (u1 , u2 , · · · up )(x1 , · · · xk ) = Λ(x1 , · · · xk , u1 , · · · up ) Cuando p = 0, y p = n, conviene usar los convenios E 0 = R, Γ0 (E) = R, y denotar por ξ0 : E 0 → Γn (E), ξn : E n → Γ0 (E), las aplicaciones ξ0 (t) = tΛ, y ξn = Λ. Es inmediato que para 1 < p ≤ n la aplicaci´on ξp es multilineal y antisim´etrica. Merece atenci´on especial la aplicaci´on ξ1 : E → Γn−1 (E), que es un isomorfismo porque los dos espacios vectoriales E y Γn−1 (E) tienen dimensi´on n. La base de Γn−1 (E) es {µi : 1 ≤ i ≤ n} donde µ1 = dx2 ∧ · · · ∧ dxn , µn = dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1 , y para 1 < i < n, µi = dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn . P Seg´ un la demostraci´on del teorema K.6, las coordenadas de ξ1 (x) = ni=1 ai µi respecto a esta base vienen dadas por ai = ξ1 (x)(e1 , · · · ei−1 , ei+1 , · · · en ) = det β (e1 , · · · ei−1 , ei+1 , · · · en , x) = 482

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(−1)n−i det β (e1 , · · · ei−1 , x, ei+1 , · · · en ) = (−1)n−i xi Por otra parte sabemos que, en virtud de la estructura eucl´ıdea de E, hay una identificaci´on can´onica entre E y E ∗ que se obtiene asociando a cada x ∈ E la forma lineal fx : E → R definida por fx (y) = hx | yi. Seg´ un su definici´on, el producto vectorial z = x2 × x3 × · · · × xn es el vector que corresponde a la forma lineal x → Λ(x, x2 , · · · xn ) = ξn−1 (x2 , · · · xn )(x) luego ξn−1(x2 , · · · xn ) = fz . Ejercicio K.11 En las condiciones anteriores, si z = x2 × · · · × xn , se verifica ξ1 (z) = (−1)n−1 fx2 ∧ · · · ∧ fxn ´n solucio P n−i Si ξ1 (z) = nj=1 aj µj , hemos visto antes Pnque ai = (−1) zi . Calculemos ahora las coordenadas de T := fx2 ∧ · · · ∧ fxn = i=1 ti µi respecto a la misma base. Seg´ un la demostraci´on de K.6 estas coordenadas {ti : 1 ≤ i ≤ n} vienen dadas por
ti = T (e1 , · · · ei−1 , ei+1 , · · · en ) = det fxp (eq ) p6=1;q6=i Si xp =

luego

Pn

j=1 xpj ej ,

el u ´ ltimo determinante se escribe expl´ıcitamente as´ı ti =

x21 x31 ··· xn1

i−1 (−1) ti =

0 x21 x31 ··· xn1

· · · x2,i−1 x2,i+1 · · · x3,i−1 x3,i+1 ··· ··· ··· · · · xn,i−1 xn,i+1

··· 0 · · · x2,i−1 · · · x3,i−1 ··· ··· · · · xn,i−1

· · · x2n · · · x3n ··· ··· · · · xnn

1 0 x2i x2,i+1 x3i x3,i+1 ··· ··· xni xn,i+1



··· 0 · · · x2n · · · x3n ··· ··· · · · xnn



Seg´ un hemos visto en el ap´endice K.1 el u ´ ltimo determinante proporciona la coordenada zi del producto vectorial z, luego ai = (−1)n−i zi = (−1)n−i (−1)i−1 ti = (−1)n−1 ti , y as´ı queda establecido que ξ1 (z) = (−1)n−1 T . Cuando n = 3 y z = x2 × x3 , en virtud del ejercicio anterior ξ1 (z) = fx2 ∧ fx3 , y seg´ un la definici´on del producto vectorial tambi´en se cumple que ξ2 (x2 × x3 ) = fz . Interpretaci´on geom´etrica de la forma multilineal ξ1 (u) Comenzamos con la interpretaci´on geom´etrica de la forma multilineal ξ1 (u) cuando E = Rn y u ∈ Rn , es un vector unitario para la norma eucl´ıdea kuk2 = 1. Para ello consideramos el hiperplano H = {x ∈ Rn : h x | u i = 0} con la orientaci´on inducida por el vector normal u, es decir, la orientaci´on definida por una base (u1 , u2 , · · · un−1 ) de H tal que (u1 , u2 , · · · un−1 , u) es una base positiva para la orientaci´on can´onica de Rn . 483

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Restringiendo la forma multilineal ξ1 (u) a vectores de H obtenemos que si (x1 , x2 , · · · xn−1 ) ∈ H n−1 , son linealmente independientes entonces ξ1 (u)(x1 , x2 , · · · xn−1 ) = ±cn (P (x1 , x2 , · · · xn−1 , u)) = ±cH (P (x1 , x2 , · · · xn−1 )) con signo + (resp. −) cuando (x1 , x2 , · · · xn−1 ) es una base positiva (resp. negativa) para la orientaci´on considerada en H. Es decir, ξ1 (u) restringida al hiperplano H ortogonal a u, orientado mediante el vector normal u, act´ ua sobre los vectores n−1 (x1 , x2 , · · · xn−1 ) ∈ H proporcionando el volumen (n − 1)-dimensional, con signo, del paralelep´ıpedo generado por ellos. En general, cuando los vectores (x1 , x2 , · · · xn−1 ) no est´an en el hiperplano ortogonal a u, si son linealmente independientes, estar´an contenidos en un hiperplano F = {x ∈ Rn : h x | n i = 0}, donde n es un vector unitario elegido con la condici´on de que h n | ui = cos θ > 0. Entonces el vector y = u − h u |n in es ortogonal a n y por lo tanto ξ1 (u)(x1 , x2 , · · · xn−1 ) = Λ(x1 , x2 , · · · xn−1 , u) = Λ(x1 , x2 , · · · xn−1 , n) cos θ luego ξ1 (u)(x1 , x2 , · · · xn−1 ) es el volumen del paralelep´ıpedo que se obtiene al proyectar P (x1, x2 , · · · xn−1 ) sobre H, con signo +1, (resp. −1) si (x1 , x2 , · · · xn−1 , n) es una base positiva (resp. negativa) para la orientaci´on can´onica de Rn . Cuando u no es unitario, la interpretaci´on es an´aloga, s´olo que ahora los vol´ umenes considerados aparecen multiplicados por kuk2 ya que para v = u/ kuk2 se cumple Λ(x1 , x2 , · · · xn−1 , u) = kuk2 Λ(x1 , x2 , · · · xn−1 , v).

K.3.

Formas diferenciales

La teor´ıa de las formas diferenciables permite dar un tratamiento unificado a diversos resultados del An´alisis Vectorial. Las formas diferenciales, que tienen un comportamiento c´omodo y flexible frente a los cambios de variable, son objetos matem´aticos para los que de forma natural y mec´anica se puede definir la integral respecto a una parametrizaci´on, independientemente del sistema de coordenadas curvil´ıneas empleado (siempre que se conserven la orientaci´on). La teor´ıa de las formas diferenciales, adem´as de establecer los fundamentos rigurosos de cierto tipo de c´alculos formales que intervienen en los problemas de cambio de variable clarifica y proporciona un tratamiento unificado de los teoremas cl´asicos del An´alisis Vectorial. Por una parte, diversas nociones de origen f´ısico, como el trabajo de un campo de fuerzas, el flujo de un campo de vectores a trav´es de una superficie, son casos particulares de la noci´on de integral de una forma diferencial respecto a una aplicaci´on. Por otra parte, los operadores diferenciales cl´asicos como el rotacional, la divergencia y el gradiente son casos particulares de la noci´on de diferencial exterior, un concepto que se puede definir de modo intr´ınseco (con independencia del sistema de coordenadas curvil´ıneas utilizado) usando las identificaciones can´onicas entre campos de vectores y formas diferenciales. Un primer resultado que justifica la noci´on de diferencial exterior es el cl´asico Lema de Poincar´e, que se particulariza 484

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en diversos resultados b´asicos del An´alisis Vectorial, como el que establece las condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente. Por u ´ ltimo, podemos anunciar que las formas diferenciales son la herramienta id´onea para desarrollar el c´alculo integral sobre dominios curvos (subvariedades de Rn ) y especialmente para establecer la versi´on general del teorema de Stokes donde interviene de manera decisiva la noci´on de diferencial exterior. Esta versi´on general del teorema de Stokes incluye como casos particulares distintos resultados centrales del An´alisis Vectorial cl´asico como los teoremas de Green, Stokes, Gauss etc. En este cap´ıtulo seguimos denotando por E un espacio eucl´ıdeo n-dimensional en el que se ha fijado una base ordenada β = {e1 , e2 , · · · en }. Su base dual en E ∗ la denotaremos con la notaci´on {dx1 , dx2 , · · · dxn } habitual en el c´alculo diferencial. La utilidad de esta notaci´on se pondr´a de manifiesto m´as adelante al estudiar los problemas de cambio de variable. Suponemos al lector familiarizado con la teor´ıa de las formas multilineales alternadas que se expone en el ap´endice K.2, donde se introducen las notaciones y los resultados b´asicos requeridos para este cap´ıtulo. As´ı, denotaremos por Γk (E) el espacio vectorial formado por las aplicaciones multilineales alternadas T : E k → R. En particular Γ1 (E) = E ∗ es el espacio dual, y por convenio Γ0 (E) = R. Una base de Γk (E) asociada a la base β = {e1 , e2 , · · · en } de E. es {dxJ : J ∈ Jk }, donde Jk la familia formada con las sucesiones finitas crecientes de k n´ umeros naturales {j1 < j2 < · · · < jk }, con 1 ≤ j1 < jk ≤ n y dxJ es una abreviatura del producto exterior dxj1 ∧ dxj2 · · · ∧ dxjk . Si (x1 , x2 , · · · xk ) ∈ E k y consideramos la matriz A = (aij )1≤i≤k,1≤j≤n formada con las Pncoordenadas de los vectores xi respecto a la base {e1 , e2 , · · · en }, es decir, xi = j=1 aij ej , entonces dxJ (x1 , x2 , · · · xk ) =

X

ε(σ)a1jσ(1) a2jσ(2) · · · akjσ(k)

σ∈Gk

es el determinante de la matriz obtenida extrayendo de A las k columnas indicadas por los sub´ındices j1 < j2 < · · · < jk , Definici´ on K.12 Una forma diferencial de grado k, 1 ≤ k ≤ n, (brevemente, k-forma diferencial) en un abierto Ω ⊂ E es un campo de formas multilineales alternadas de grado k definido en Ω, es decir, es una aplicaci´ on ω : Ω → Γk (E). Una forma de grado 0 es una funci´on f : Ω → R, y una forma de grado 1 es un campo de formas lineales ω : Ω → E ∗ . Toda forma de grado k se puede escribir, respecto a la base {dxJ : J ∈ Jk } de Γk (E) en la forma can´onica X ω(x) = ωj1