La circunferencia

1 LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de un punto de la circunferencia al centro se llama radio. ANGULO CENTRAL: Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. AOB es un ángulo central y se dice que intercepta el arco AB o que el arco subtiende al ángulo. AB se llama arco menor BCA se llama arco mayor.

Un ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende (en grados)

 

m  AOB   m AB

POSTULADO DE LA ADICION DE ARCOS.

     

m AC  m AB  m BC

TEOREMA Si dos ángulos centrales de la misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes entonces sus arcos interceptados son también son congruentes.

HIPOTESIS:

AOB  COD

   

TESIS: m AB  m CD

2. m(

  COD) = m  CD 

3. m(

AOB) = m(

1. m(

AOB) = m AB

   

4. m AB  m CD

COD)

1. Por ser un ángulo central 2. Por ser un ángulo central 3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3 Propiedad transitiva

La circunferencia

2

ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION: Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta que tiene sus extremos sobre la circunferencia. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia TEOREMA La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco interceptado CASO 1. Cuando uno de los lados es un diámetro. HIPOTESIS: ACB es un ángulo inscrito O centro de la circunferencia CB es un diámetro TESIS: m  ACB  

 

m AB 2

1. Se traza AO 2. OA  OC 3. m(  )  m(  ) 4. m( 5. m(

AOB) = m(arco AB) AOB) = m(  )  m(  )

6. m( AOB)  2m(  ) 7. m( AB)  2  m(  ) 

m( AB)  m(  ) 2

1. Construcción 2. Los radios de una circunferencia son congruentes 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes 4. Por ser AOB un ángulo central 5. Un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el. 6. Sustitución de 3 en 5. 7. Sustitución de 4 en 6 y algebra.

CASO 2: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior del ángulo. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O ACB es un ángulo inscrito. TESIS: m  ACB  

 

m AB 2

La circunferencia

3 1. Construcción 2. De 1, caso 1.

1. Se traza el diámetro CD 2. m( ACD) 

m( AD) 2

3. m( DCB) 

m( DB) 2

3. De 1, caso 1

4. m( ACD)  m( DCB)  5. m( ACB) 

4. Adición de 2 y 3

m( AD) m( DB)  2 2

5. De 4. Adición de ángulos y de arcos.

m( AB) 2

CASO 3: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O ACB es un ángulo inscrito. TESIS: m  ACB  

1. Se traza el diámetro CD 2. m  ACD   3. m  BCD   4. m(

6. m  ACB  

2

1. Construcción 2. De 1. Caso 1

 

m AD 2 m BD

 

3. De 1. Caso 1

2

ACB) = m(

5. m  ACB  

 

m AB

ACD) – m(

BCD)

   m  BD 

m AD 2 m AB

 

4. Resta de ángulos 5. Sustitución de 2 y 3 en 4.

2

6. De 5. Resta de arcos.

2 COROLARIO 1.

CD es un diámetro Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

La circunferencia

4

COROLARIO 2:

C D Los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes

COROLARIO 3: Rectas paralelas determinan arcos congruentes.

   

AD BC  m BA  m DC

TEOREMA: En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos congruentes. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia; CD  AB

   

TESIS: m CD  m AB

1. OA  OB  OC  OD

1. Son radios de la misma circunferencia

2. AB  CD 3.  AOB   COD 4. m ( AOB) = m ( COD)

2. De hipótesis

5. m ( AOB) = m (arco AB) y m ( COD) = m (arco CD) 6. m (arco AB) = m (arco CD)

3. De 1 y 2. L – L – L 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos congruentes 5. Son ángulos centrales 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva.

TEOREMA. RECIPROCO DEL ANTERIOR. En una circunferencia, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes. (Demostrarlo) TEOREMA Una recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia

AB es una cuerda CO  AB O–M–C

La circunferencia

5

1) AM  MB TESIS:

   

2)m AC  m CB

1. OA  OB 2.  AOB es isósceles

1. Son radios de la misma circunferencia

3. OM  AB

2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. De hipótesis

4. OM es altura sobre la base

4. De 3. Definición de altura.

5.

OM es mediana

6. AM  MB 7. OM es bisectriz de AOB 8. m(

AOC) = m(

BOC)

  m  BOC   m  CB  10. m  AC   m  CB  m  AOC   m AC

5. De 4 y 2. En un triangulo isósceles la altura sobre la base es también mediana 6. De 5. Definición de mediana 7. De 4, 5, 2. En un triangulo isósceles la mediana sobre la base es bisectriz. 8. De 7. Definicion de bisectriz 9. Por ser ángulos centrales

9.

10. De 8 y 9. Propiedad transitiva.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, que no sea un diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O; AM  MB TESIS: OM  AB

COROLARIO: La mediatriz de una cuerda de una circunferencia, pasa por el centro de la circunferencia. Nota: Este corolario sirve para hallar el centro de una circunferencia cuyo dentro no conocemos. (Por ejemplo el de una mesa circular)

La circunferencia

6

TEOREMA En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro. HIPOTESIS: AB  DC; OF  DC; OE  AB TESIS: OE  OF

1. Se traza OE  AB y OF  DC 2. E y F son puntos medios

1. Construcción 2. De 1. Una recta que pasa por el centro y es  a una cuerda la biseca. 3. De hipótesis

3. AB  DC 4. EB  FC

4. De 2 y 3. Por ser mitades de segmentos congruentes. 5. Por ser radios de la misma circunferencia.

5. OC  OB 6. OFC  OEB

6. De 1, 4, 5. Por ser triángulos rectángulos con un cateto y la hipotenusa  s 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

7. OE  OF

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En una circunferencia, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes. DEFINICION: Una tangente a una circunferencia es una recta que “toca” a la circunferencia en un solo punto. TEOREMA Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia. HIPOTESIS: AB es tangente a la circunferencia de centro O, en el punto C. TESIS: OC  AB

La demostración se hace por reducción al absurdo. 1. Negación de la tesis 1. AB no es  a OC 2. Por O se traza una recta  a AB en el punto D 3. En AB existe un punto E tal que

CD  DE y se traza OE

2. Por un punto exterior de una recta se puede trazar una  a dicha recta. 3. Construcción

La circunferencia

7

4.  COE es isósceles

4. De 2 y 3. OD es mediana y altura 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.

5. OC  OE 6. OE es radio y E pertenece a la circunferencia 7. La intersección de la circunferencia con

6. De 5 y de hipótesis. Definición de circunferencia. 7. De hipótesis y de 6 y 3

AB es el punto C y la intersección de la circunferencia con AB también es el punto E. 8. AB corta a la circunferencia en dos puntos C y E

8. De 7

9. AB no es tangente

9. De 8. Definición de tangente

10. De hipótesis 10. AB es tangente 11. Contradicción 11. De 9 y 10. Luego como hay una contradicción, al suponer que el radio no era tangente, entonces

AB  OC COROLARIO 1 Si una recta es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia, entonces esa recta pasa por el centro de la circunferencia COROLARIO 2 Un radio es perpendicular a una tangente en su punto de tangencia. TEOREMA Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia, se determinan segmentos congruentes y también se forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto exterior y por el centro de la circunferencia. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia. PB y PA son tangentes TESIS: 1) PB  PA 2) BPO  APO 1. OB  PB y OA  PA 2. OA  OB 3. OP  OP 4.  PBO   PAO 5. PB  PA 6.

BPO  APO

1. De hipótesis. Los radios son s a las tangentes en su punto de tangencia. 2. Por ser radios de la misma circunferencia 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2, 3. Cateto – hipotenusa 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

La circunferencia

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TEOREMA Si dos circunferencias son secantes en los puntos A y B, la recta que pasa por sus centros es mediatriz del segmento AB HIPOTESIS: C y D son los centros. A y B son las intersecciones de las dos circunferencias. AByCD se cortan en E. TESIS: E es punto medio de AB y AB  CD

1. Se trazan los radios CA, CB, DA, DB 2. 3. 4. 5. 6.

CA  CB DA  DB AB  AB CAD  CBD ACE  BCE

7. CE es bisectriz de ACB 8. ACB es isósceles 9. CE es altura y mediana

10. E es punto medio de AB y AB  CD

1. Construcción auxiliar 2. Por se radios de la misma circunferencia 3. Por se radios de la misma circunferencia 4. Propiedad reflexiva 5. De 2, 3, 4. L – L – L 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. De 6. Definición de bisectriz 8. De 2. Definición de triangulo isósceles, 9. De 7 y 8. En un triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura y mediana. 10. De 9. Definición de mediana y de altura.

DEFINICION: Una secante a una circunferencia es una recta que la corta en dos puntos. ANGULO SEMIINSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia

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TEOREMA La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida de su arco interceptado. HIPOTESIS: BTD es un ángulo semiinscrito AB es una tangente a la circunferencia en T TD es una cuerda TESIS: m  BTD  

2. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas 3. Por ser un ángulo inscrito

m  arcoCT  2

4. arco CT = arco TD 5. m  BTD  

2

1. Construcción

1. Se traza DC AB 2. CDT  BTD 3. m  CDT  

 

m DT

4. De 1. Por estar entre paralelas. 5. De 2, 3, 4. Sustitución

m  arcoDT  2

ANGULO INTERIOR EN UNA CIRCUNFERENCIA Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia. TEOREMA La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que son interceptados por las cuerdas que forman el ángulo.

HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas  es un ángulo interior TESIS: m     1. m (

2. m 

) = m (



) + m (

m  arcoAC  2

)

   

m AC  m BD 2

1.  es un ángulo exterior en  AED 2.  es un ángulo inscrito

La circunferencia

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m  arcoBD  2 m(arcoAC ) m(arcoBD) m(arcoAC )  m(arcoBD) 4. m(  )    2 2 2 3. m 



3.  es un ángulo inscrito 4. Sustitución de 2 y 3 en 1.

ANGULO EXTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella, el ángulo formado se llama ángulo exterior. TEOREMA La medida de un ángulo exterior de una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que intercepta. HIPOTESIS: P es un punto exterior a la circunferencia.  es un ángulo exterior. TESIS: m(  ) 

1. Se traza AD 2. m ( ) = m (

5. m (

) + m(

6.

)

2. Por ser  un ángulo exterior en  ADP 3. Por ser  un ángulo inscrito en la circunferencia

) 

) - m (

2

1. Construcción

m(arcoAC ) 2 m(arcoDB) 4. m(  )  2 3. m(

   

m AC  m DB

) = m (

4. Por ser  un ángulo inscrito en la circunferencia )

m(arcoAC ) m(arcoDB)   m( ) 2 2

5. De 1. Transposición de términos 6. Sustitución de 3 y 4 en 5.

COROLARIO 1. La medida del ángulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

m(  ) 

m(CA)  m( AD) 2

La circunferencia

11

COROLARIO 2. La medida del ángulo formado por dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

m( P) 

m( ACB)  m( BA) 2

EJERCICIOS 1) HIPOTESIS: ACE es una semicircunferencia de centro O

OD biseca a EC ; OB biseca a CA O – F – D; O – H – B TESIS:

1)OD  OB 2)OHCF es un rectangulo.

1. m(

C) = 90º

2. OF  EC  OF  FC  m  CFO   90

3. CH

FO

4. OH  AC 5. FC  AC 6. OH

FC

7. OHCF es un paralelogramo 8. m(

C) = m (

FOB) = 90º

9. OD  OB 10. m (

CHO) = m (

CFO) = 90º

11. OHCF es un rectángulo.

1. De hipótesis, por estar inscrito en una semicircunferencia 2. De hipótesis. Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, es perpendicular a ella. 3. De 1 y 2. Por formar ángulos consecutivos suplementarios 4. De hipótesis. La misma razón 2 5. De 1 Definición de rectas perpendiculares 6. De4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta. 7. De 3 y 6. Por tener los lados opuestos paralelos. 8. De 1 y 7. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes 9. De 8. Definición de perpendicularidad. 10. De 7. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes 11. De 7,1, 2, 8, 10. Definición de rectángulo.

La circunferencia

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2) HIPOTESIS: O1 y O2 son los centros de las circunferencias. RT y QS son tangentes comunes y se cortan en P. O1 – P – O2 TESIS: 1. O1Q  QS ; O2 S  QS 2. O1Q O2 S 3. QO1O2 = O1O2S

1) QO1O2 

O1O2S

2)RT  QS

1. Los radios son perpendiculares a las tangentes en su punto de tangencia 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas. 4. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes. 5. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes. 6. Adicion de 4 y 5 7. De 6. Adición de segmentos

4. PQ  PR 5. PS  PT 6. PQ+PS = PR+PT 7. QS = RT 3)

HIPOTESIS: O es el centro AD es un diámetro AB OC TESIS: OC biseca al arco DB

1.





m(arcoDB) 2

2. m(

) 

3. m (

) = m (arco DC)

4. m(arcoDC ) 

m(arcoDB) 2

1. De hipótesis, por ser correspondientes entre paralelas. 2. Por ser  un ángulo inscrito 3. Por ser  un ángulo central 4. De 1, 2, 3. Propiedad transitiva.

La circunferencia

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4) DATOS: PQ y RC son tangentes a la circunferencia. m  P   60º; m  PRC   50º HALLAR: 1) medida del arco QAR = x 2) medida del arco QE = y

x y  60º  x  y  120º (1) 2 m  arcoRE  m  CRE    50º  m(arcoRE )  100º  x  y  100º  360º  x  y  260º (2) 2 Resolviendo (1) y (2) se obtiene que x  190º; y  70º m( P) 

5) Dos circunferencias son tangentes en A. Se trazan dos secantes BC y B ' C ' que pasan por A. Demostrar que BB ' CC '

1. Se traza por A la tangente común a las dos circunferencias 2. m ( ) = m ( ) 3. m  4.



m  arcoBA m  arcoAC  ; m    2 2

m(arcoBA) m(arcoAC )  2 2

m  arcoBA 2 m  arcoAC  C´  2

1. Construcción 2. Por ser opuestos por el vértice 3. Por ser ángulos semiinscritos 4. Sustitución de 3 en 2.

5. m  B´ 

5. Por ser un ángulo inscrito

6. m 

6. Por ser un ángulo inscrito

7. m(

B’) = m(

8. BB´ CC´

C’)

7. Sustitución de 5 y 6 en 4. 8. De 7. Por formar ángulos alternos internos congruentes.

La circunferencia

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EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA 1. DATOS: m (arco BC) = 70º; AC es un diámetro, O es el centro de la circunferencia. HALLAR: m ( AOB) 2. DATOS: m ( OAB) = 36º. O es el centro de la circunferencia. HALLAR: m (arco AB) 3. DATOS: m( OAB) = 30º; AC es diámetro HALLAR: m (arco BC) 4. DATOS: m(arco AB) = 70º; AC es un diámetro HALLAR m (OBC) 5. DATOS: m( AOB) = 60º; AC es un diámetro HALLAR: m ( ABC) y m (arco BC) 6. DATOS: m(arco AD) = 140º; BD y AC son diámetros HALLAR: m ( OBC)

7. DATOS: m( A) = 68º HALLAR: m( C) 8. DATOS: m( SOR) = 80° HALLAR: m ( T) 9. DATOS: Las cuerdas AB y CD se cortan en E. m (arco AC) = 40º y m (arco BD) = 70º. O es el centro HALLAR: m ( AEC)

La circunferencia

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10. DATOS: La recta AB es perpendicular al diámetro TD. TC es una cuerda; m (arco TC) = 100º. La recta AB es tangente a la circunferencia en T. HALLAR: m ( BTC)

11. Hallar la medida en grados del arco BD. 12. Hallar la medida en grados del ángulo  13. Hallar la medida del ángulo ATC. La recta AB es una tangente en T 14. Hallar la medida del ángulo APC, si el arco BD mide 40º 15. Hallar la medida en grados del arco RAQ, si m  arcoTS   30; m  P   35 16. O es el centro de la circunferencia. La recta CF es tangente en B. Hallar la medida del ángulo EDB y del ángulo formado por la cuerda DB y la tangente. 17. O es el centro de la circunferencia. PT es tangente en T. Hallar la medida del ángulo TPA y del ángulo TBC y m  arcoAB  ,si el arco TA mide 125º 18. PT y PC son tangentes. Hallar la medida del ángulo TPC, si el ángulo TBC mide 65º.

La circunferencia

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19. En la semicircunferencia de centro O y diámetro AB , el radio OE es perpendicular a la cuerda AC . Si m( CAB)  20º Hallar m( ELC )

20. HIPOTESIS: AD es un diámetro

AD es bisectriz de

CAB.

TESIS: 1) arco AC = arco AB 2) AC  AB 21. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia

BD  OC; BE  OA; BD  BE TESIS: m (arco AB) =m (arco CB)

22. HIPOTESIS: CB  DE TESIS: CA  DA AYUDA: Trazar CD

La circunferencia

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23. Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles. 24. HIPÓTESIS: O es el centro de la circunferencia

AD es un diámetro OC AB TESIS: OC biseca al arco DB. 25. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia.

PM y PN son tangentes P–Q–N TESIS: 1)MQ  QN

2) PNQ  PMQ 3)OP  MN 26. Los lados de un cuadrilátero son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.

27.

HIPOTESIS: A y B son los centros de las circunferencias.

QS y RT son las tangentes comunes a las dos circunferencias TESIS: 1) QAB  ABS

2)RT  QS

La circunferencia

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28. Los lados de un triangulo rectángulo son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia. 29. Trazar una tangente a una circunferencia por un punto A dado sobre la circunferencia. 30. Consultar como se trazan, desde un punto P exterior a una circunferencia, dos tangentes a la circunferencia. (Construcción con regla y compás). 31. Dos circunferencias de centros O1 y O2 se cortan en A y B. Se trazan respectivamente las secantes MAN y PBQ. Demostrar que MP NQ . 32. Dos circunferencias congruentes de centros O1 y O2, se cortan pasando una por el centro de la otra y cortándose en M y N. Por M se traza la secante AMB, con A en la circunferencia de centro O1 y B en la circunferencia de centro O2. Demostrar que el triangulo NAB es equilátero. 33. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son congruentes y se cortan en M y N. Por M se traza una secante que corta a la circunferencia de centro O1en C y a la circunferencia de centro O2 en D. Demostrar que el triangulo NCD es isósceles.

34. Dos circunferencias O1 y O2 son tangentes exteriores en T y la recta m es la tangente común. Si desde un punto P cualquiera de m se trazan PA y PB tangentes a las dos circunferencias. Demostrar que PA  PB . 35. ABC es una recta secante a una circunferencia de centro O en B y C, y AED es otra secante a la circunferencia en D y E. Si BC  ED , entonces demostrar que AC  AD . 36. En una circunferencia de centro O se prolonga una cuerda AB una longitud BC igual al radio de la circunferencia, con A – B – C. Se traza el segmento CFOE que es un diámetro prolongado. Demostrar que m ( AOE) = 3m ( ACE) 37. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes exteriormente en B. Se traza una tangente exterior común MN y la tangente interior común a las dos circunferencias, esta tangentes se cortan en A. La cuerda BM corta a O1A en C y BN corta a O2A en D. MN a. Demostrar que AB  2 b. Demostrar que el NBM es recto. 38. Dos circunferencias de centros en O1 y O2 se cortan en los puntos A y B. Demostrar que O1O2  AB en su punto medio C.

La circunferencia

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39. En una circunferencia de centro O, un diámetro AB una cuerda AC, hacen un ángulo de 30º, se traza una tangente al punto a la circunferencia en C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el triangulo ACD es isósceles. 40. Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es un trapecio isósceles. 41. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC, tal que m ( BAC) = 20º. Se traza la tangente XY paralela a AC y tangente a la circunferencia en el punto D. Encontrar el valor de los ángulos ADX y BDY.(Recordar que rectas paralelas determinan arcos congruentes) 42. Dos circunferencias son tangentes en A. Se trazan las secantes BAC y B’AC’. Demostrar que BB ' CC ' . 43. Por el extremo A de un diámetro AB de una circunferencia, se traza una cuerda AC, y por B se traza una tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz de CAB que corta a BC en F y a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD  BE y FH  HD . 44. En una circunferencia de centro O se trazan dos cuerdas AB  AC; AB subtiende un arco de 120º. Desde el centro O se trazan ON  AB en N y OM  AC en M. 1) Encontrar m  BAC  2) Demostrar que AO es bisectriz del ángulo BAC 45. Dos circunferencias de centros E y Q son secantes y se cortan en A y B. Sus tangentes comunes, HK yTR se cortan en P. 1) Demostrar que HK  TR 2) Demostrar que HPT es isósceles. 46. Las cuerdas AB y CD son congruentes y se cortan en K. Demostrar:

1)CB AD 2) KA  KD 3) KB  KC

La circunferencia

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47. En el triángulo ABC, el ángulo A mide 60° y el radio de la circunferencia, en la cual está inscrito, mide 8 cm. Calcular la distancia del centro O de la circunferencia al lado BC.

48. HIPÓTESIS: C y B son puntos de tangencia TESIS: m( A)  m(arcoCDB)  180

49.

DATOS: O es el centro de la circunferencia m( A)  2m( B) m( AOB)  126 CALCULAR m( B)

PROPOSICIONES PARA RESPONDER VERDADERO O FALSO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Todos los ángulos centrales de la misma circunferencia son congruentes. ( ) El vértice de todo ángulo central esta sobre el centro. ( ) Toda circunferencia tiene exactamente dos semicircunferencias. ( ) Dos semicircunferencias de dos circunferencias distintas miden lo mismo en grados.( ) Un diámetro es una cuerda ( ) Algunos radios son cuerdas ( ) En una circunferencia, es posible que una cuerda sea congruente a un radio. ( ) Si un paralelogramo esta inscrito en una circunferencia, debe ser un rectángulo.( ) Si un ángulo inscrito y un ángulo central subtienden al mismo arco, la medida del ángulo inscrito es el doble de la medida del ángulo central. ( ) 10. Una línea recta puede cortar a una circunferencia en tres puntos. ( ) 11. Un rectángulo circunscrito a una circunferencia debe ser un cuadrado. ( )

La circunferencia

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12. El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en una circunferencia es igual en grados a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. ( ) 13. Un trapecio inscrito en una circunferencia debe ser isósceles. ( ) 14. Todos los puntos de un polígono inscrito están sobre la circunferencia. ( ) 15. Los ángulos inscritos en el mismo arco son suplementarios. ( ) 16. Un radio es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia. ( ) 17. El ángulo formado por una tangente y una cuerda es igual en grados a la mitad de la medida del arco interceptado. ( ) 18. La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda es perpendicular a la cuerda. ( ) 19. Si dos cuerdas congruentes se cortan, las medidas de los segmentos de una cuerda son respectivamente congruentes a las medidas de los segmentos de la otra. ( ) 20. El segmento de recta que une dos puntos sobre una circunferencia es una secante. ( ) 21. El ángulo inscrito en una semicircunferencia es agudo. ( ) 22. El ángulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una circunferencia tiene por medida la mitad de la suma de las medidas de los arcos interceptados. ( ) 23. Si dos cuerdas son perpendiculares a una tercera cuerda en sus extremos, son congruentes. ( ) 24. Un ángulo agudo inscrito en una circunferencia, intercepta un arco cuya medida es menor que 90º. ( ) 25. Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, una de las cuerdas es igual a la suma de los segmentos de la otra. ( ) 26. Si se trazan una tangente y una secante desde el mismo punto exterior a una circunferencia, la tangente es igual a la mitad de la diferencia de la secante y el segmento externo. ( ) 27. De dos cuerdas desiguales en una circunferencia, la cuerda mayor es la más alejada del centro. ( ) Algunos ejercicios tomados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling  Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise  Otros recopilados de internet Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

La circunferencia

22 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CIRCUNFERENCIA

31. m(arcoMAB ) 2 m(arcoMPB ) 2)  2 m(arcoMAB)  m(arcoMPB) 360 1)  m( 2)    180 2 2 m(arcoBQN ) m(arcoNAB ) 3)  ; m( 4)  2 2 m(arcoBQN )  m(arcoNAB ) 360 3)  m( 4)    180 2 2

m( 1)  m( m( m( m(

m( 3)  m( 2)  180 m( 1)   m( 2)  m( 3)   m( 4)   m( 3)  m( 2)   180  180  180 m( 1)  180  m( 4)  180  180  180  180  m( 1)  m( 4)  180

Por lo tanto PM QN por formar ángulos consecutivos interiores suplementarios 32. m(arcoMO2 N ) 2 m(arcoMO1 N ) m( B )  2 MO1  O1O2  MO2 m( A) 

MO1O2 es equilatero m( MO1O2 )  60 Luego se demuestra que ∆ NO1O2 es también equilátero. Entonces se tiene que m ( MO1N) = 120° y por lo tanto el arco MBN mide 240° y por consiguiente el arco MO1N mide 120° de donde m ( B) = 60°. De la misma manera se demuestra que m( A) = 60°

La circunferencia

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33. Demostrar primero que MO1NO2 es un paralelogramo. MO1 N  MO2 N por ser ángulos opuestos en un paralelogramo. m (arco MEN) = m (arco MFN) m(arcoMEN ) m( C )  2 m(arcoMFN ) m( D )  2 34.

PA  PT PT  PB PA  PB

37.

1. AM  AB 2.m( 1)  m( 2) 3. AB  AN 4.m( 3)  m( 4) 5.m( 1)  m( 2)  m( MAB)  180 6.m( 3)  m( 4)  m( NAB)  180 7.m( 1)  m( 2)  m( MAB)  m( 3)  m( 4)  m( NAB)  360 8.2m( 2)  2m( 4)  180  360 9.2  m( 2)  m( 4)   180 10.m( 2)  m( 4)  90 11. MBN es recto 12.AM  AN 13.BA es mediana sobre la hipotenusa 14.AB=

MN 2

La circunferencia

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38. O1 AO2  O1 BO2 ( L  L  L) AO2C  BO2C  AO2 B es isosceles O2C es bisectriz de AO2 B(demostrarlo)  O2C es altura  O2O1  AB C es punto medio de AB, ¿Porque?

39. OC  CD AO  OC  m( ACO)  30  m( ACD)  120  m( D)  30  ACD es isosceles

41.

ADB es recto m ( ADX) + m(

BDY) = 90°

XY AC  m(arcoAD)  m(arcoDC ) m(arcoCB)  40  m(arcoADC )  140  m(arcoAD)  m(arcoDC )  70 m(arcoAD)  35 2 m(arcoDB) 110 m( BDY )    55 2 2

m( ADX ) 

La circunferencia

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43. C es recto  ACF es rectángulo. El complemento de CFA es  DB  AB  ABD es rectangulo  el complemento de

D es



    CFA  D(por tener el mismo complemento) CFA  DFB  D  FBD es isosceles AHB es recto  BH es altura y mediana

 HIPÓTESIS: Las circunferencias son tangentes en F Desde E se trazan tangentes a las dos circunferencias C, D son puntos de tangencia A y B son los centros de la circunferencia C–E–D TESIS: Triángulo ABE es rectángulo en E

1. EA es bisectriz de CEF 2. EB es bisectriz de FED 3. CEA  AEF 4. DEB  BEF 5. m( CEF )  m( FED)  180 2m( AEF )  2m( BEF )  180 6.  m( AEF )  m( BEF )  90 7. AEB es recto 8. Triángulo ABE es rectángulo en E

1. De hipótesis, ¿Por qué? 2. De hipótesis, ¿Por qué? 3. De 1, ¿Por qué’ 4. De 2, ¿Por qué’ 5. De hipótesis, ¿Por qué? 6. De 5, 2 y 1 ¿Por qué? 7. De 6, ¿Por qué? 8. De 7, ¿Por qué?

La circunferencia

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 El triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro D, se trazan los diámetros

AE, CG, BF . Demostrar que ABC  EFG

7. m(arcoAC )  m(arcoAF )  m(arcoFC)

1.Por ser ángulos opuestos por el vértice 2.De1, por ser arcos de ángulos centrales congruentes 3. Por ser ángulos opuestos por el vértice 4.De 3, por ser arcos de ángulos centrales congruentes 5. Por ser ángulos opuestos por el vértice 6. De 4, por tener ángulos centrales congruentes 7.Suma de arcos

8. m(arcoGE)  m(arcoGB)  m(arcoBE)

8.Suma de arcos

9. m(arcoGE)  m(arcoFC)  m(arcoAF )

9.Sustitucion de 6 y 4 en 8

1. 1 

2

2. m(arcoCE )  m(arcoAG) 3.

3 4

4. m(arcoFC )  m(arcoGB) 5.

5 6

6. m(arcoBE )  m(arcoAF )

10. m(arcoAC )  m(arcoGE ) 12. m(arcoCB)  m(arcoCE)  m(arcoBE)

10.c 11.De 10, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes 12.Suma de arcos

13. m(arcoFG)  m(arcoAF )  m(arcoAG)

13.Suma de arcos

11. AC  GE

14. m(arcoFG)  m(arcoBE)  m(arcoCE) 15. m(arcoCB)  m(arcoFG) 16. CB  FG

14.Sustitucion de 6 y 2 en 13 15.De 12 y 14, propiedad transitiva 16. De 15, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes

La circunferencia

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m(arcoAGB) m(arcoAG)  m(arcoGB)  2 2 m(arcoFCE ) m(arcoFC )  m(arcoCE ) 18. m( FGE )   2 2 m(arcoGB)  m(arcoAG) 19. m( FGE )  2 20. m( ACB)  m( FGE ) 17. m( ACB) 

21. ABC  EFG

17. Por ser un ángulo inscrito y suma de arcos 18. Por ser un ángulo inscrito y suma de arcos 19.Sustitucion de 4 y 2 en 18 20.De 17 y 19, propiedad transitiva 21.De 20, 16 y 11, por el criterio L – A - L

NOTA: este ejercicio también lo podemos resolver de la siguiente manera

1.Se trazan los segmentos

AG, GB, BE, EC, CF , FA 2.ABEF es un paralelogramo 3. AB  FE 4. ACEG es un paralelogramo 5. AC  EG 6. BCFG es un paralelogramo 7. BC  FG 8. ABC  EFG

1.Construccion auxiliar 2.De hipótesis, las diagonales AE y BF se bisecan 3.De 2, los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 4. De hipótesis, las diagonales AE y CG se bisecan 5. De 4, los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 6. De hipótesis, las diagonales CG y BF se bisecan 7. De 6, los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 8.De7, 5 y 3 por el criterio de congruencia L–L–L

La circunferencia

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 Se da la semicircunferencia de diámetro AB, la recta CE es tangente, CE  CD Hallar m( FEB)

Completamos la circunferencia por construcción auxiliar

m(arcoFAB) 2 m(arcoFA)  180 2. m( FEB)  2 1. m( FEB) 

3.El triángulo ECD es isósceles 4.

D 1

5. 6. 7.

2 1 D 2

m(arcoFA)  m(arcoEB) 2 m(arcoFE ) 8. m( 2)  2 m( D) 

1.Por ser un ángulo inscrito 2. De 1. Suma de arcos 3.De hipótesis, definición de triangulo isósceles 4.De 3, por los ángulos de la base de un triángulo isósceles 5. Por ser opuestos por el vértice 6. De 5 y 4, propiedad transitiva 7. Por ser un ángulo exterior de la circunferencia 8.De hipótesis, por ser un ángulo semiinscrito en la circunferencia

La circunferencia

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m(arcoFA)  m(arcoEB) m(arcoFE )  2 2 10. m(arcoFA)  m(arcoEB)  m(arcoFE) 11. m(arcoFA)  m(arcoFE)  m(arcoEB)

9. De 8, 7 y 6, propiedad transitiva

12.

12. Suma de arcos

9.

10. De 9, algebra 11. De 10, algebra

m(arcoFA)  m(arcoFE)  m(arcoEB)  180 13. Sustitución de 11 en 12 m(arcoFA)  m(arcoFA)  180

13.  2m(arcoFA)  180

 m(arcoFA)  90 90  180  135 14. m( FEB)  2

14. Sustitución de 13 en 2