La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas              

Camilo Andrés Prieto Ospina    

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia Año 2012

La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.        

Camilo Andrés Prieto Ospina         Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de: Magister en enseñanza de las ciencias exactas y naturales

      Directora Profesora, Clara Helena Sánchez B. Departamento de Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia Facultad, Ciencias Bogotá, Colombia Año 2012

A mi padre: Por su generoso corazón que procuró con solidaridad el éxito de mis proyectos, por su paciente compañía, por la admiración, cariño y gratitud que siempre le he tenido.

Agradecimientos Agradezco emotivamente a todo el cuerpo administrativo, directivo y docente de la Universidad Nacional de Colombia que con su labor diaria abren las puertas del progreso al país. La gran calidad humana de la profesora Clara Helena Sánchez directora de este trabajo, motivó la excelencia, el compromiso y la dedicación para lograr un buen resultado.

       

Resumen y Abstract

I 

 

Resumen El siguiente trabajo hace una propuesta didáctica para que un estudiante de grado sexto comprenda el sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas. Para esto el trabajo hace un recorrido por el contexto histórico y disciplinar de los números naturales; la idea es que el estudiante comprenda el funcionamiento del sistema de numeración decimal comparándolo con otros sistemas y operando en otros sistemas de numeración como el egipcio, el babilónico, el romano, el maya y el indoarábigo en distintas bases. La propuesta didáctica viene complementada con un cd de juegos interactivos creados en los programas CLIC 3.0 y Neobook para motivar y fortalecer el aprendizaje de los niños. Palabras clave: 1) Número,

2) Sistema de numeración,

3) Número Natural,

4) Sistema decimal 5) Operaciones matemáticas.

Abstract This abstract describes a didactic proposal to a student from sixth grade understands the decimal system and its proper uses in arithmetic operations. So this paper has been done a journey through the historical context and natural numbers disciplines, the main idea is students understand the numerical decimal system functions and comparing it with other ones, as: Egyptian, Babylonian, Roman, Mayan and Hindu-Arabic in different bases. The didactic approach is complemented by an interactive CD games created in the programs ” CLIC 3.0 and NeoBook” to engage and strength the children's learning process.

Keywords: 1) Number 5) Math Operations.

2) Numeration System 3) Natural Number 4) Decimal System

Contenido

 

 

Contenido Pág. Resumen…………………………………………………………………………………………IX I II Lista de figuras…………………………………………………………………………………...II  Introducción………………………………………………………………………………………  1 2 1.  Planteamiento del problema didáctico ………………………………………………...2  2.  Contexto historico .......................................................................................................33  2.1  Primeras evidencias ............................................................................................33 2.2  Historia de la base 10 ..........................................................................................77  2.3  Los egipcios ..................................................................................................... 88 11 2.4 Sistemas de Numeración posicionales..............................................................11 2.5 Los Babilónicos……………………………………………………………………. 12 14 2.6 Sistema maya…………………………………………………………………..…. 14 2.7 Sistema Romano………………………………………………………………..… 15 17 2.8 Sistema Indo-arábigo…………………………………………………………..… .17 19 2.9 Sobre el cero…………………………………………………………………….. ..19 20 3.  Contexto disciplinar .......................................................................... ………………..20 3.1

3.2 3.3 3.4

20 Números naturales………………………………………………………………...20 22 3.1.1 El conjunto de los números naturales como sistema axiomático…..22 27 3.1.2 Construcción del conjunto N: sistema conjuntista…………………....27 29 3.1.3 Sistemas de numeración…………………………………….……….….29 31 Conceptos Básicos……………………………………………………………......31 33 Fundamentación de sistemas de numeración…………………………………33 34 Resumen del contexto disciplinario………………………………………….…..34

36 4.  Contexto Didáctico…………………………………………………………………….….36 36 4.1 Reflexiones sobre algunos aspectos didácticos……..……………………...…36 36 4.1.1 La importancia del juego en la didáctica………………………………....36 39 4.1.2 Unidad didáctica……..…………………………………………………...…39 40 4.1.2.1 Descripción de la unidad didáctica…………………….……….40 40 4.1.3 Objetivos didácticos……………………..…………………………………40 41 4.2 Secuencias de las actividades a seguir en clase……………………..……….41 42 4.2.1 Recomendaciones generales para el maestro………………………....42 43 4.2.2 Recomendaciones generales para el estudiante…………..…………..43 43 4.3 Sesiones de clase…………………………….………………………………….43 43 4.3.1 1 Sesión (Historia del uno)……………………………….……………43 44 4.3.2 2 Sesión (Numeración egipcia)……………………….………………44

Contenido

 

  52 4.3.3 3 Sesión (Numeración babilónica)……………………………….…..52 60 4.3.4 4 Sesión (Juegos interactivos)………………………………….…….60 4.3.5 5 Sesión (Numeración romana)…………………………………… 6161 65 4.3.6 6 Sesión (Numeración maya)………………………………………...65 4.3.7 7 Sesión (Sistema decimal)…………………………………………..7575 78 4.3.8 8 Sesión (Maratón de ejercicios)……………………………………...78 4.3.9 9 Sesión (A jugar)………………………………..………………… …7878 4.3.10 10 Sesión (Evaluación)…………………………..……………………7878 80 4.4 Recursos para el contexto didáctico…………………………………………..80 81 5.  Conclusiones .............................................................................................................. 81  82 Bibliografía ......................................................................................................................... 82 

         

Lista de Figuras

II 

 

Lista de figuras Pág. Figura 2-1:  Figura 2-2: Figura 2-3: Figura 2-4: Figura 2.5: Figura 2-6: Figura 2-7: Figura 2-8: Figura 2-9: Figura 2-10: Figura 2-11: Figura 2-12: Figura 2-13: Figura 3-1: Figura 4-1: Figura 4-2: Figura 4-3: Figura 4-4: Figura 4-5: Figura 4-6: Figura 4-7: Figura 4-8: Figura 4-9: Figura 4-10 Figura 4-11 Figura 4-12 Figura 4-13 Figura 4-14 Figura 4-15 Figura 4-16 Figura 4-17

Huesos utilizados para contar ……………………………………………..…4 4 Fichas utilizadas por los sumerios para contar…………………………......5 5 Operación sumeria…….…………………………………………………….....5 5 Resta sumeria………………………………………………………………......5 5 Numeración egipcia…………………………………………………………….8 8 Ejemplo 1 de número egipcio………………………………………………..10 10 Ejemplo 2 de número egipcio……………………………………………......1010 Numeración Babilónica………………………………………………… ….12 12 Numeración Maya…...………………………………………………………..14 14 Numeración Romana………………………...…………………………….....1717 Teoría 1 del origen de la forma de los números indo-arábigos…….........1717 Teoría 2 del origen de la forma de los números indo-arábigos……...…..17 17 Teoría 3 del origen de la forma de los números indo-arábigos……….....18 18 Ejemplo para los niños de cardinalidad…………………………………... .28 28 Página principal de los juegos interactivos...……………..……………...…4343 Ubicación de Egipto en África…………………………………………...…...4444 Egipto……………………………………………………………………….......4444 Números en egipcio………………………………………………………...…4646 Cuenta egipcia 1……………………………………………………………….4646 Cuenta egipcia 2……………………………………………………………….4747 Cuenta egipcia 3……………………………………………………………….4747 Multiplicación egipcia 1…………………………………………………….…4949 Multiplicación egipcia 2…………………………………………………….…5050 Multiplicación egipcia 3…………………………………………………….…5050 Mapa de Babilonia………………………………………………………….….5252 Número babilónicos…………………………………………………………....5353 Numeración babilónica…………………………………………………....…..5454 Antiguo imperio romano………………………………………………….…...6161 Suma con números romanos…………………………………………….…..6464 Mapa de asentamiento Maya………………………………………...……....6565 Numeración Maya………………………………………………………….…..6868

1 

Introducción En 1990 en Latinoamérica y el Caribe más de cuarenta millones de personas eran pobres1. Según la OCDE2 por medio de las pruebas PISA3 esta pobreza se debe a que los individuos no adquieren destrezas o habilidades que les permitan asumir un rol dentro de la sociedad ni que les proporcione bienestar personal, social y económico. Se observó también que la escuela es responsable en este problema por no definir hasta 1990 temáticas disciplinares que realmente sirvieran en el futuro social de los individuos al terminar su bachillerato. Por esta razón, en las instituciones educativas de los países adscritos a la OCDE entre ellos Colombia, se introduce el concepto de competencia, que es el producto de un estudio minucioso acerca de la pertinencia de los temas a tratar en las distintas áreas del conocimiento, en particular las matemáticas. También se estudia la utilidad aplicativa después del bachillerato de cada uno de estos temas, se listan y se sugieren a las instituciones. En matemáticas cada competencia se enmarca dentro de un tipo distinto de pensamiento que según la psicología se da en los individuos. Uno de los pensamientos es el “pensamiento numérico” debidamente justificado en el libro. Ahora bien, según los estándares básicos de competencias en matemáticas, el pensamiento numérico se refiere a “la comprensión del número, al sentido y uso que se le asigna; a las relaciones y operaciones que se pueden efectuar con ellos en diferentes sistemas numéricos”; por tal razón es de absoluta pertinencia fijar como objetivo la comprensión del sistema decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas, tema central de este trabajo.

                                                             1

 Por pobre se  entiende  la persona que sobrevive con menos de un dólar diario.   Organización para la Cooperación del Desarrollo Económico.  3  Programa para la evaluación internacional de estudiantes.  2

2 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas  

1. Planteamiento del problema didáctico En mi experiencia, al trabajar sistemas de numeración con niñas de sexto grado, he notado las siguientes dificultades: 1. No comprenden el funcionamiento del sistema de numeración que usan para hacer operaciones. 2. No pueden hacer la conversión de un sistema de representación a otro. 3. Mecanizan algoritmos para operar números naturales sin comprender su real funcionamiento. 4. Priorizan los algoritmos y no el razonamiento lógico. 5. Incurren constantemente en errores de cálculo aritmético. 6. Tienen serias dificultades a la hora de aprender otros temas de la aritmética, como la potenciación, la radicación, la descomposición factorial de un número, el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor entre dos o más números naturales. Por lo anterior este trabajo tiene el propósito de sugerir algunas acciones encaminadas a facilitar la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en el manejo de las operaciones aritméticas con los números naturales; para ello usted encontrará lo siguiente: 1. Un recorrido histórico en cuanto a los orígenes de los sistemas de numeración más conocidos como el maya, el egipcio, el babilónico, el romano y en especial el sistema decimal. 2. Una retroalimentación específica de temas involucrados como el teorema fundamental de la numeración, y el funcionamiento de los sistemas de numeración egipcio, maya, babilónico, romano y decimal. Las operaciones aritméticas vistas desde la teoría de números. 3. Estrategias didácticas para atacar los problemas mencionados, como la comparación de los sistemas maya y babilónico con el decimal para hallar similitudes, diferencias y bondades de este ultimo al resolver operaciones. 4. Una presentación del programa Clic 3.0 como herramienta didáctica y tecnológica pertinente en los procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas. 5. El diseño de algunas actividades en el programa Clic 3.0, para introducir el juego como dispositivo didáctico en el aprendizaje de los sistemas de numeración y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.

3  Contexto histórico  

2. Contexto histórico Las dificultades que nuestros antecesores tuvieron para evolucionar en los conceptos de número y sistema de numeración, pueden ser similares a las dificultades que presentan nuestros estudiantes en el aula. También los recursos utilizados en la antigüedad para resolver tales problemas pueden ser efectivos para el aprendizaje de esos temas. La historia de las matemáticas es una fuente de motivación, orientación, inspiración y autoformación del profesor en matemáticas4. En la mayoría de los casos, para el estudiante no es interesante estudiar matemáticas pues no encuentra en la cátedra del profesor objetos de interés y motivación; no ve una necesidad como tal para aprender matemáticas y los algoritmos sobre el papel se le vuelven aburridores y aislados del mundo real. La historia de las matemáticas muestra paisajes interesantes en donde se describen personajes y lugares reales relacionados con todo el contexto de las matemáticas. Por ejemplo, en la historia podemos ver por qué era apasionante resolver problemas geométricos, qué problemas se solucionaron con la ayuda de las matemáticas, qué obras geniales se deben a las matemáticas, qué ocurría alrededor de la vida de los distintos genios matemáticos, qué obstáculos tuvieron y cómo los solucionaron, qué fue realmente un aporte significativo en una época puntual. De esta manera la historia de las matemáticas puede traer la esencia del encanto para estudiarla, la historia de las matemáticas puede ser la inspiración de los docentes más activos y creativos. Es bastante interesante pensar cómo fue concebida la idea de número y aún más la idea de sistema de numeración. A continuación haré un breve recorrido histórico que ilustre lo que sucedió con los orígenes del número y de algunos sistemas de numeración. Me basaré esencialmente en el libro de Georges Ifrah “La historia universal de las cifras”5 del cual he tomado lo que considero relevante para este trabajo.

2.1 Primeras evidencias Hubo un tiempo en que los hombres no sabían contar. Posiblemente solo tenían una idea intuitiva de cómo numerar varias unidades de distintos objetos. Muy probablemente nuestros ancestros eran incapaces de concebir los números de forma abstracta; podemos pensar que un niño de 3 a 4 años tenga las mismas dificultades. No existe una fecha exacta sobre la implementación por parte del hombre del número como recurso de medida o de cantidad. Se cree que el uso del número se debió iniciar con la necesidad de contar montones de objetos haciendo marcas en huesos o en                                                              4

 Revista SUMA. 2004. Número 45, páginas 17 a 28.    IFRAH, Georges . Historia Universal de las Cifras.  3ª ed. Madrid. Espasa Calpe. 1998.  

5

4 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   piedras. Así lo constatan unos huesos de Babuino6 encontrados por Jean Braicourt, según Wikipedia, en el lago Eduardo localizado entre Uganda y la República Democrática del Congo. Este hueso tiene una edad de 35.000 años y se encuentra guardado en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales de donde se tomó la siguiente foto7: Figura 2-1: Huesos utilizados para contar.

En la Figura 2-1 se ven marcas en ambos huesos. Por el lado que se les mire vemos 60 marcas y se supone que el hombre pudo haber hecho esto con el objetivo de llevar cuentas de algo. Existen distintas versiones acerca del origen del hueso. Carl Boyer8 dice que el hueso fue encontrado en Checoslovaquia, Richard Mankiewicz9 dice que el hueso fue encontrado en Swazilandia; para mi la versión de más peso, es la dada por Wikipedia ya que se soporta con evidencias fotográficas tomadas a los huesos que reposan en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales. De marcas a símbolos de numeración se pasa cuando se empiezan a establecer las primeras sociedades complejas que crearon la necesidad de llevar registros contables de sus propiedades, como terrenos, alimentos, personas, etc. Estos hallazgos datan del año 8000 antes de Cristo en Mesopotamia que también implementó estos símbolos en agrimensura y astronomía.

                                                             6

 Es el nombre común dado a dos especies distintas de primates del género Theropithecus, ya extintas, que  durante el Plioceno y comienzos del Pleistoceno alcanzaron gran tamaño. Estaban estrechamente  emparentadas con el gelada (Theropithecus gelada) del que se diferenciaban fundamentalmente en el  tamaño del cuerpo y lo pronunciado de los colmillos. El gelada, la especie más pequeña conocida del género  Theropithecus, todavía persiste en las montañas de Etiopía y Eritrea.  7  Fotos sacadas de Wikipedia.  8  BOYER Carl. Historia de la matemática. 1° ed. COIMOFF. 1984. Página 22  9  MANKIEWICZ Ricard, Historia de las matemáticas, 2 ed, 2004, Ediciones Paidos Ibérica. Madrid España.  Página 10. 

5  Contexto histórico   En el 4000 antes de Cristo se instaló en Mesopotamia un grupo de personas que hoy conocemos como los sumerios, ellos dejaron de asignar una raya a la unidad para representarla como una ficha movible de forma más o menos cónica10. Figura 2-2: Fichas utilizadas por los sumerios para contar.

Sin saberlo los sumerios en su paso de raya a ficha habían iniciado la aritmética, pues la movilidad la inclusión y la eliminación de fichas dieron al hombre las primeras ideas acerca de adicionar y sustraer cantidades por medio de una herramienta. Un logro realmente significativo. Por ejemplo: Si se tenían cinco gallinas se representaban con las siguientes fichas: Figura 2-3: Operación sumeria.

Si intercambiaban dos gallinas por piedra, eliminaban dos fichas y quedaban tres fichas que significaba que quedaban tres gallinas de cinco originales. Figura 2-4: Resta sumeria.

                                                             10

 Video “La historia del uno parte 1” (se recomienda ver)  dirección electrónica:   http://www.youtube.com/watch?v=twJpGlkNT70 

6 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   Los sumerios también descubrieron que la idea de implementar símbolos permitía representar no solo unidades sino multiplicidad de ellas. El trabajar con fichas movibles permitió a los sumerios hacer las operaciones aritméticas de adición, sustracción y división11, idea que en la actualidad se puede usar para enseñar a los niños operaciones aritméticas elementales utilizando fichas. Pero con las fichas no se podían etiquetar productos ni dejar registro de cuentas. Por tal razón nace la escritura cuneiforme. Además como en Mesopotamia, la piedra era escasa, la madera, el cuero y el pergamino eran de difícil conservación; los pueblos de la región aprovechaban la arcilla, la única materia prima a su alcance y que les permitió expresar el pensamiento humano o transcribir el lenguaje articulado. Para dejar las marcas sobre la arcilla se ayudaban con puntillas que al presionarlas sobre la arcilla dejaban grabados círculos o puntos. Con el tiempo las puntillas fueron sustituidas por varillitas de hueso o marfil a las que se les llamó cálamos, que dejaban pequeños segmentos de recta con lo cual generaban toda su escritura12. También se sabe que cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base del sistema. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca. Cuando se alcanza un número determinado, se crea un nuevo símbolo que se le asigna a un grupo más grande de unidades, y así sucesivamente. Podemos tener reglas en donde los cuatro primeros números, por ejemplo, son representados por una simple repetición del símbolo asignado al número uno, tantas veces como sea preciso o por el alineamiento, yuxtaposición, o superposición de guijarros, dedos, muescas, trazos o círculos que simbolizan la unidad y así sucesivamente. Podemos también definir una regla en donde los mismos números son representados por palabras, objetos, gestos o signos, cada uno de ellos distinto de los demás. Partiendo de una u otra regla fundamental, desde entonces el hombre pudo aprender a contar conjuntos cada vez más extensos. Pero en ambos casos tropezó pronto con grandes dificultades. Para representar números cada vez mas grandes no se podía, evidentemente, tener una cantidad indefinida de guijarros, palillos, muescas o nudos de cuerda; tampoco el número de dedos de la mano                                                              11

 IFRAH, op. cit.  Página 89, 301 a 303,  página 3 primera referencia completa.   Video “La historia del uno ” dirección electrónica:  http://www.youtube.com/watch?v=twJpGlkNT70 

12

7  Contexto histórico   ni partes del cuerpo eran extensibles a voluntad. No se podía repetir una misma palabra de modo ilimitado, ni crear hasta el infinito nuevos nombres de números o símbolos originales. En adelante, el ser humano debía enfrentarse a la pregunta: ¿cómo designar números grandes con el mínimo posible de símbolos? El haber encontrado una solución a ese delicado problema llevó unos cuantos siglos. La solución fue privilegiar un grupo particular (como la decena, la docena, la veintena o la sesentena, por ejemplo) y organizar la serie regular de números según una clasificación jerarquizada fundada sobre esa base. Dicho de otra manera, se convino una “escala” a partir de la cual es posible repartir los números y los diversos símbolos según grados sucesivos a los que se pueden dar los nombres respectivos de : unidades de primer orden, unidades de segundo orden, unidades de tercer orden, etc. De esa manera se llegó a una simbolización estructurada de los números, lo que permitía evitar esfuerzos considerables de memoria o de representación. Es lo que llamaremos el principio de la base. Su descubrimiento marcó el nacimiento de los sistemas de numeración, sistemas cuya “base” no es otra que el número de unidades que es necesario agrupar dentro de un orden dado para formar una unidad del orden inmediatamente superior.

2.2 Historia de las base 10 ¿De dónde procede el sistema decimal? Algunos autores, para quienes la década habría constituido “un modelo para todo”, intentaron dar respuesta a esta pregunta acudiendo a la interpretación de la iglesia católica. Por ejemplo Nicomáco de Gerasa13 en un tiempo en que cierta filosofía mística, atribuía a los números carácter sagrado, por no decir divino, introduce la siguiente plegaria pitagórica, dirigida a “los dioses números”, “El 10 es la madre de todo, el primero nacido el que nunca se desvía y el que posee la clave de todas las cosas”. La siguiente cita es evidentemente reveladora: “El Dios creador, ordenando con arte, se sirvió de la Década como canon para el todo… y así es como las cosas del cielo y de la tierra tienen entre sus conjuntos y sus partes relaciones de concordancia basadas en la década y ordenadas según ella… pues ella sirvió de medida para el todo… El número 10 es, en efecto, el mas perfecto de todos. De acuerdo con esa idea se establecieron las divisiones y las formas de las extremidades, de nuestras manos y pies… y es justo título y conforme a la naturaleza divina que si premeditación alguna coincidimos con los hombres de todo el mundo para contar según ese numero perfecto….”14 Si tenemos en cuenta la gran influencia de la iglesia católica en las costumbres y creencias de la gente de occidente podríamos decir que la concepción de base diez se debe a mitos religiosos. Sin embargo, otros autores piensan que la base diez se da                                                              13

 Nicómaco de Gerasa (también Nicomachus, c. 100 d.C., Gerasa, actualmente Jerash, en Jordania), fue un  filósofo y matemático neopitagórico. Autor de la obra de gran influencia Arithmetike eisagoge (Introducción  a la aritmética), un tratado en donde aborda la teoría de números. El tratado se constituyó en manual de  base de las escuelas platónicas, traducido en varias ocasiones, fue considerado una autoridad durante diez  siglos.  14  IFRAH, op. cit.  Página 182. 

8 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   naturalmente porque la herramienta primaria del hombre para contar son los dedos de la mano. Georges Ifrah, afirma que en ciertas regiones de África occidental los pastores mantenían una costumbre muy práctica para contar un rebaño. Hacían desfilar los animales uno tras otro. Al paso del primero enhebraban una concha en una correa blanca, otra por el segundo, y así sucesivamente. Al paso del décimo animal deshacían el collar y enhebraban una concha en una correa azul, asociada a las decenas. Luego volvían a enhebrar en la correa blanca hasta que pasaban al vigésimo animal, y entonces enhebraban una segunda concha en la correa azul. Cuando esta a su vez contenía diez conchas, al haber contado cien animales, se deshacía la correa de las decenas y enhebraban una concha en una correa roja, reservada para las centenas. Y así continuaban hasta acabar la cuenta de los animales. Al enumerar doscientos cincuenta y ocho animales, por ejemplo, se tenían ocho conchas enhebradas en la correa blanca, cinco en la azul, y dos en la roja. La idea fundamental de ese procedimiento reside en el predominio del agrupamiento por decenas (paquetes de diez), centenas (paquetes de diez decenas), millares, etc. En esa técnica concreta, cada concha de la correa azul vale por diez, mientras que una concha de la correa roja indicaba un agrupamiento de cien unidades. Tenemos ahí un ejemplo de numeración decimal concreto. Naturalmente, en lugar de usar conchas y correas, ese principio podría ser aplicado tanto a palabras como a signos gráficos: obtendríamos entonces numeraciones orales o escritas de base diez y según Ifrah, fueron los egipcios quienes adoptaron el primer sistema de numeración base 10, como veremos a continuación. 15

2.3 Los egipcios La notación numérica de los egipcios no fue más que una manera de introducir por escrito el resultado de un método concreto de contar, que ellos emplearon en épocas arcaicas; un método que consistía en representar un número dado por el alineamiento o acumulación de tantos objetos-patrones como hiciese falta (guijarros, conchas, bolillas, bastoncillos, discos, argollas, etc), asociados cada uno de ellos a un orden de unidad de un sistema de numeración. En el siguiente cuadro encontrará esa simbología, su traducción al español y al sistema decimal. Figura 2-5: Numeración egipcia.

                                                             15

 IFRAH, op. cit.  Página 89. 

9  Contexto histórico   Los signos de la numeración escrita apenas permitían imaginar los objetos concretos que les habían precedido en el arte del cálculo figurado de las épocas anteriores a la invención de la escritura. ¿Por qué los números 1.000 y 100.000, por ejemplo, fueron representados respectivamente, por una flor de loto y un renacuajo? ¿Habrían contado en su época por medio de flores de loto y ranas? Parece poco real. ¿Por qué razón la espiral y el dedo humano fueron elegidos para representar la centena y la decena de mil? ¿Y por qué al hombre arrodillado levantando los brazos hacia el cielo le fue atribuido el valor de un millón? Son algunas de las muchas preguntas acerca de las cuales la egiptología no se ha pronunciado todavía. Según Ifrah el origen gráfico de las cifras egipcias ha sido bastante más complejo que el de las cifras sumerias o de los elamitas vecinos de los sumerios (hoy sudoeste de Irán). Los inventores de esta numeración habrían recurrido, sin duda a varios principios a la vez. A este respecto las siguientes hipótesis pueden ser plausibles, aunque no se disponga de una prueba formal alguna sobre el tema. El origen de la cifra 1 podría haber sido “natural”. En efecto la barra vertical es el símbolo gráfico más elemental que el ser humano puede imaginar para la presentación de la unidad. Los hombres prehistóricos la utilizaban desde más de 30.000 años sobre sus huesos tallados como vimos y se sabe que una multitud de pueblos le atribuyeron ese valor. Para el símbolo de la decena la hipótesis que se maneja es que corresponde al dibujo de un cordón que habría servido para reunir 10 de los bastoncillos que representaban la unidad; el dibujo para el diez egipcio era una especie de “U” invertida así:

Para los símbolos de 100 y 1000 (la espiral y la flor de loto sus inventores debieron recurrir a “préstamos fonéticos”.

) se puede pensar que

En efecto, es posible suponer que el origen de las palabras egipcias para decir “espiral” y “flor de loto” correspondían respectivamente a los mismos sonidos que “cien” y “mil”. Y queriendo representar gráficamente estos números, se habría adoptado la imagen de la espiral y la flor de loto por sus sonidos respectivos, independientemente de su sentido visual directo.

10 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   Casos semejantes se han producido en muchos otros pueblos. En la antigua escritura china, por ejemplo, el número 1000 tenía la misma representación gráfica que el nombre, y sus nombres respectivos probablemente tuvieron la misma representación que en la época arcaica. Por su parte, el jeroglífico de la decena de mil (que representa justamente un dedo elevado y un poco inclinado ) podría haber constituido una sobrevivencia de la cuenta manual que los egipcios emplearon, probablemente, permitía contar hasta 9.999 gracias a diversas posiciones de los dedos. El símbolo para 100.000 ( ) podría tener su origen en algo puramente simbólico: el “croar” de los renacuajos en el Nilo y la gran fecundidad primaveral de estos batracios. En cuanto al jeroglífico de 1’000.000 ( ) podría haber tenido un origen de carácter psicológico. Los primeros egiptólogos que descifraron este ideograma creyeron, en un principio, que se trataba de un hombre intimidado por la importancia considerable del número que estaba obligado a expresar. En realidad este jeroglífico (que no solamente designaba el valor del millón, sino que poseía todo, a los ojos de lo egipcios un genio que sostenía la bóveda celeste. En el origen de esta imagen-signo hubo probablemente un hombre ( quizá un sacerdote o un astrónomo) contemplando las estrellas del firmamento y tomando entonces conciencia de su multitud (Véase la figura 5). La idea de que fuera un sistema aditivo, es decir que para expresar un número “grande” se debiera recurrir a la adición de sus cifras es heredada de antiguas culturas como lo muestran evidencias en barro, piedra y madera encontradas en Karnak16. Así los 47.209 enemigos aniquilados por el faraón Hasehem en el 2800 A.C. se expresan con 9 trazos verticales, seguidos de dos espirales (200), un ramillete de 7 flores de loto (7000) y luego 4 dedos levantados (40.000), como se ilustra enseguida. Figura 2-6: Ejemplo 1 de número egipcio.

Con esta forma aditiva de asignar símbolos a cantidades, la posición de los símbolos no tenía ninguna repercusión en la cantidad y aunque usualmente se representaban con cierto orden la representación que se presenta en la Figura 2-6 es equivalente a la de la Figura 2-7. Figura 2-7: Ejemplo 2 de número egipcio.

                                                             16

 Karnak (al‐Karnak,‫كنركلا‬, "ciudad fortificada", llamada en el Antiguo Egipto, "el lugar más venerado") es  una pequeña población de Egipto, situada en la ribera oriental del río Nilo, junto a Luxor. Era la zona de la  antigua Tebas que albergaba el complejo religioso más importante del Antiguo Egipto 

11 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   La forma jeroglífica de representación de cantidades de los egipcios era obsoleta a la hora de escribir números como 9’999.999 pues implicaba escribir cada símbolo nueve veces lo que en términos prácticos resultaba bastante laborioso. Para hacer operaciones aritméticas, el sistema no era versátil, sin embargo los diseños arquitectónicos demandaban ingeniería sofisticada que debió apelar a las matemáticas para tener éxito; así lo demuestran las pirámides que construyeron. No es recomendable enseñar operaciones aritméticas a los estudiantes con este sistema pues aunque los cálculos no son complicados, resulta laboriosa su escritura, y el estudiante puede perder la noción de sistema posicional.

2.4 Sistemas de numeración posicionales. Mucho más efectivos que los sistemas aditivos son los posicionales. En ellos la posición de una cifra indica el grupo de unidades que representa según la base escogida. Sólo tres culturas además de la hindú lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho de que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los hindúes antes del siglo VII los que idearon el sistema decimal tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos al sistema decimal cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran serios indicios de una procedencia cien por ciento india. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellos, aunque tardaron siglos en ser usados y aceptados. Se produjo en Europa una gran resistencia por el solo hecho de ser nuevo y ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar. A continuación se muestran con mayor detalle algunos de los sistemas de numeración mencionados.

12 Contexto histórico  

2.5 Los babilonios17 Muy superior a todas las notaciones numéricas usadas en el mundo antiguo, el sistema abstracto de los expertos mesopotámicos forjado a partir de la antigua numeración sexagesimal sumeria es bastante parecido a nuestro sistema de numeración actual, del que difiere por la naturaleza de su base y el modo de formación de sus cifras. Según Ifrah, desde los descubrimientos de Hincks18 en 1854, muchos otros documentos de carácter científico, fueron encontrados en diversas regiones de Mesopotamia. Su desciframiento e interpretación se deben mucho a las contribuciones de F. ThureauDangin y O. Neugebauer en 1960 aproximadamente. La existencia de esta numeración está atestiguada por múltiples tablillas matemáticas provenientes de Susa (en Elam), que se remontan a finales de la I dinastía babilónica, y ha sido confirmada por el descubrimiento reciente de tablillas matemáticas en Mari. Por su contenido matemático y en particular, por la notación numérica empleada, las tablillas babilónicas constituyen la confirmación de un desarrollo matemático muy elevado, y nos proporcionan un testimonio de la influencia babilónica más allá de las fronteras. Se dice que es el primer sistema de numeración posicional en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de la base como de su posición en el número que se quiere representar. Esto es un avance muy importante, porque, antes de este sistema la gente estaba obligada a utilizar símbolos únicos para representar cada potencia de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), como mostramos en el sistema egipcio llegando a ser los cálculos más básicos poco manejables. Un número grande en el sistema babilónico de base sesenta se puede escribir de forma rápida y su extensión sobre tablillas o papel es mínima. Además, la base 60 es divisible por dos, tres, cuatro, cinco, seis, diez, quince, veinte, y treinta. Solamente dos símbolos eran usados en una variedad de combinaciones para denotar los primeros 59 números; la cuña ( ) y el clavo ( ) como se observa en la Figura 2-8. Figura 2-8: Numeración babilónica.

                                                            

17

 IFRAH, op. cit. Página 204   Edward Hincks (19 de agosto de 1792 ‐ 3 de diciembre de 1866) fue un asiriólogo Irlandés y uno de los  descifradores de la escritura cuneiforme mesopotámica.  18

13  Contexto histórico   Un número mayor de 59 como 142 por ejemplo, se representaba así:

Nótese que en el número

existe un espacio entre

Señala que el número consta de dos cifras:

y

. Esto

que es la cifra de las unidades y

que corresponde a las unidades de segundo orden. El sistema de numeración babilónico es por lo tanto un sistema mixto aditivo-posicional: aditivo hasta 59 y posicional desde 60. Como no existía un símbolo específico para el cero, los egipcios dejaban un espacio que causaba confusión cuando representaba alguna cifra. Por ejemplo en el número unidades de segundo orden.

se supone que cero representa las

Un estudiante puede pasar desapercibido este hecho y más si el cero representa las cifras de las unidades de primer orden (unidades); por eso propongo la estrategia de ubicar los números en rectángulos en donde cada cifra ocupe un lugar separado por barras, para que se aprecie mejor la representación. Así pues a

lo podemos distribuir así:

De tal manera que el estudiante comprenda claramente la ubicación de las cifras del número.

14 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   De esta manera podemos escribir cualquier número babilónico sin ambigüedades. Por ejemplo el mismo número 60, en donde cero representa la cifra de las unidades de primer orden, quedaría representado así:

Lo que facilitará además realizar las operaciones más claramente.

2.6 Sistema maya Según Ifrah, los mayas, antigua civilización de la zona de América Central19 usaban un sistema de numeración vigesimal, esto es de base 20. Los mayas preclásicos20 y sus predecesores olmecas definieron el concepto del cero o “nada” sobre el año 36 A.C, lo que constituye el primer hecho documentado del cero como hoy lo conocemos. La escritura maya, era una combinación de símbolos fonéticos e ideogramas. Su decifrado fue un complicado proceso, ya que los sacerdotes españoles ordenaron la quema de todos los libros mayas tras la conquista. Los números mayas fueron usados esencialmente para medir el tiempo y hacer calendarios. Por ese motivo el sistema tiene relación con los días, meses y años. No es muy aconsejable para hacer operaciones aritméticas. La numeración maya posee solo tres símbolos para representar los números 0, 1 y 5 como podemos ver en el la Figura 2-9 en la cual se encuentran los números del 0 al 29. Figura 2-9: Numeración Maya.

                                                             19

  La  civilización  maya  habitó  una  vasta  región  denominada  Mesoamérica,  en  el  territorio  de  América  Central,  en  los  territorios  actuales  de  Guatemala,  Belice,  Honduras  ,  El  Salvador  y  en  el  territorio  hoy  comprendido por cinco estados del sureste de México que son, Campeche, Chiapas, Quintana Roo, Tabasco  y Yucatán, con una historia de aproximadamente 3.000 años  20  La historia de la cultura  maya se divide en tres periodos: pre‐clásico, clásico y post‐clásico. Ver la página:  http://thematrix.sureste.com/cityview/merida1/merida2000/periodos.htm 

15 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas  

2.7 Sistema Romano21 El sistema de numeración utilizado por los romanos era mucho más simple que los anteriores y se basaba en el valor absoluto y posición relativa de siete símbolos representados por letras del alfabeto, con los que se podía representar unas cantidades elevadas con un número reducido de ellos. Estos símbolos eran: I, V, X, L, C, D y M, donde I representaba 1 unidad, V 5 unidades, X diez unidades, L 50 unidades, C 100 unidades, D 500 unidades y M 1000 unidades. Con estos símbolos se obtenían todos los demás números. Es importante decir que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil. Por ejemplo 5.000 se escribe . Las reglas del sistema son las siguientes 1. Los símbolos se colocan de tal forma que el de menor valor vaya delante del valor mayor. Por ejemplo 2151 se escribe MMCLI

y

1809 se escribe MDCCCIX.

2. Cuando a la derecha de una cifra se escribe otra igual o menor, el valor resultante es la suma de los dos valores de las cifras. En el siguiente cuadro damos varios ejemplos:

Por otro lado, la cifra I colocada a la izquierda de V o X, les resta una unidad. La cifra X colocada a la izquierda de la L o la C, les resta diez unidades. La C colocada a la izquierda de la D o la M, les resta cien unidades.

                                                             21

 IFRAH, op. cit. Página 405. 

16  Contexto histórico   3. jUna cifra no se puede repetir más de tres veces seguidas.

4. Las cifras V, L y D no se pueden duplicar ya que la X, C y M representan sus valores duplicados. 5. Si entre dos cifras cualesquiera hay otra menor, esta restará su valor a la siguiente.

En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos con rapidez. Prácticamente todo el mundo occidental conoce los números romanos. Se enseñan en las escuelas, se pueden ver en créditos de muchas películas, marcan los siglos y se usan para distinguir reyes del mismo nombre, entre otras cosas. Según Ifrah las cifras romanas y etruscas son verdaderos fósiles prehistóricos. Derivaron directamente de la práctica de la muesca, aritmética primitiva, cuyo principio consistía en hacer pequeñas tallas sobre un fragmento de hueso o sobre un bastón de madera, que permite hacer una correspondencia biunívoca entre las cosas que hay que numerar y los trazos destinados a representarlas. La siguiente figura22 muestra la evolución de las muescas que derivaron en los números romanos que hoy conocemos.

                                                             22

Es una foto escaneada del libro de Ifrah pero arreglada en el programa Paint para su presentación y mejor  comprensión en este trabajo. 

17  Contexto histórico   Figura 2-10: Numeración romana.

2.8 Sistema Indo-arábigo 23 La civilización india es la cuna de la numeración moderna. Según una tradición popular que persiste en Egipto y norte de África, las cifras “árabes” fueron inventadas por un vidriero geómetra originario del Magreb, el cual imaginó que podría dar a cada una de las nueve cifras significativas, una forma evocativa en función del número de ángulos contenidos en el trazado de cada una de ellas. Un ángulo para el grafismo de la cifra 1; dos ángulos para el grafismo de la cifra 2, tres ángulos para 3 y así sucesivamente ver Figura 2-11 Figura 2-11: Teoría 1 del origen de la forma de los números indo-arábigos.

Esta teoría también la podemos encontrar en la obra de un autor francés de fines de siglo XIX llamado Pierre Louis Dumesnil24, quien considera como igualmente probable la hipótesis de la formación de estas figuras por encaje de trazos como se muestra en la Figura 2-12. Figura 2-12: Teoría del origen de la forma de los números indo-arábigos.

                                                             23

 IFRAH, op. cit. Página 550   Pierre Louis Dumesnil, fue un pintor francés (1698‐1781). Es especialmente recordado por su cuadro en el  que representa a Descartes y a la reina Cristina de Suecia. 

24

18 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   Ifra referencia varias hipótesis de distintos personajes para quienes el número de puntos habría servido inicialmente para realizar una representación ideográfica de las nueve unidades del primer orden decimal que habrían sido enlazadas para formar los nueve signos conocidos (Ver Figura 2-13). En 1760 Dumesnil retomó esta teoría, pero para apoyar la tesis del origen griego del sistema: al atribuir a los pitagóricos la invención de las cifras actuales. Adoptó como argumento que las representaciones geométricas de los números enteros por agrupaciones de puntos habían desempeñado un importante papel entre los miembros de la secta. Figura 2-13: Teoría 3 del origen de la forma de los números indo-arábigos.

Existen un sin número de hipótesis imaginarias acerca de quien, cómo y por qué se diseñó esta numeración, lo que hace que obtener información consistente y veraz se torne complicado. Sin embargo Ifrah propone que la invención de los números decimales es propiedad meramente india25 recopilando 21 testimonios europeos y 30 árabes que ratifican la propiedad intelectual de los indios del llamado sistema “indo-arábigo”. Concluyendo esta parte podemos decir que los hindúes hicieron grandes y valiosos aportes en matemáticas a la humanidad. Los sacerdotes hindúes inventaron los números decimales, llamados arábigos por ser los árabes quienes los divulgaron luego de invasiones que hicieron a España y otros países en el siglo VII. Los contactos comerciales entre la India y el imperio construido por los árabes favorecieron que éstos últimos adoptaran tanto el sistema de numeración hindú como sus signos numerales, contribuyendo luego decisivamente a difundirlos en Occidente. Los hindúes también inventaron el valor de la cifra cero (en el siglo IX el cero ya era de uso común en los textos hindúes), muchas nociones sobre decimales, el sistema de valorar un número según el lugar que ocupa en el conjunto de varias cifras y los fundamentos del álgebra y la trigonometría. El sistema de numeración se presta para hacer todo tipo de cálculos aritméticos gracias a las bondades que ofrece por ser posicional, de base 10 y contar con la simbología antes presentada. Como es el sistema más usado, muchos estudiosos han creado un sin número de algoritmos para hacer cálculos numéricos, es el que se ha globalizado y el que los estudiantes deben manejar a cabalidad. A nuestro país llegó este sistema numérico con el descubrimiento de América.

                                                             25

 IFRAH, op. cit. Página 817 

19  Contexto histórico  

2.9 Sobre el cero Hasta el año 1200 después de Cristo, se usó en Europa la numeración romana. Por esa época, un mercader de Pisa, Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, al volver de un largo viaje por África y Oriente Medio escribió un libro titulado Liber Absci26, donde exponía y proponía emplear el sistema de numeración utilizado por los árabes, que a su vez lo habían aprendido de los hindúes. Sus ventajas más importantes eran la utilización del cero y el sistema posicional de notación. La obra de Fibonacci tuvo que esperar a la invención de la imprenta para que llegara a ser conocida en toda Europa. Es interesante señalar que ya los mayas, en el siglo V, tenían la noción del cero, número que empleaban en su sistema de numeración vigesimal. El número cero es una de las grandes invenciones del genio humano, ya que facilita la ejecución de las operaciones aritméticas. La introducción del cero y el sistema decimal en Europa permitió el progresivo abandono de la numeración romana vigente hasta la Edad Media. Puede comprobarse la importancia de este sistema, si se hacen los cálculos corrientes utilizando los números romanos. Como hemos mostrado, a lo largo de la historia han existido numerosos sistemas de numeración. Cada cultura o civilización se ha servido de los sistemas que ha considerado más pertinentes. Para simplificar, dividiremos a todos los sistemas en dos tipos: 1. Sistemas no posicionales. En ellos se utilizan símbolos cuyo valor numérico es siempre el mismo independientemente de donde se sitúen. Es lo que ocurre por ejemplo con la numeración romana o con la numeración egipcia. 2. Sistemas posicionales. En ellos los símbolos numéricos cambian de valor en función de la posición que ocupen. Tienen una base, que es el número total de símbolos que utiliza el sistema. Es el caso de la numeración decimal de base 10. La historia ha demostrado que los sistemas posicionales son mucho mejores para los cálculos matemáticos por las siguientes razones: 1. Se puede representar cualquier cantidad por grande que sea. 2. Las operaciones matemáticas son más sencillas, pues sus cálculos se hacen versátiles y ligeros. Partiendo de la representación decimal de los números naturales, a continuación daremos una mirada al sistema algebraico que los conforma.                                                              26

 Es un libro histórico sobre aritmética escrito por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Su título  tiene dos traducciones comunes, El libro del ábaco o El libro del cálculo. En este trabajo, Fibonacci introduce  a Europa los números arábigos, un elemento mayor de nuestro sistema decimal, el cual había aprendido  cuando estudió con los árabes mientras vivía en el norte de África con su padre, Guglielmo Bonaccio, quien  quería que él se convirtiera en mercante. 

20  Contexto disciplinar  

3. Contexto disciplinar 3.1 Números naturales Las más antiguas nociones de número en la raza humana se remontan en el tiempo hasta perderse su rastro. Sin embargo, el desarrollo y aplicación del primitivo concepto es un proceso muy largo en el que se va avanzando de manera lenta e irregular. Parece ser que el elemento determinante en el paso de reconocer, de forma muy primitiva, este concepto es el descubrimiento de que algunos grupos de cosas pueden ponerse en correspondencia biunívoca. Una vez que la consciencia de número se extiende y se comprende de modo general en los seres humanos, se observa la necesidad de expresar dicho conocimiento a través de algún tipo de lenguaje simbólico. Como vimos en el contexto histórico, en un principio se usan los dedos de las manos: consecuencia de ello es la actual preponderancia del sistema decimal, que también fue dominante en muchos pueblos primitivos. Del mismo modo, en otros lugares y épocas aparecen sistemas de base 5 (los dedos de una sola mano) y sistemas de base 20 (los dedos de las manos y los pies conjuntamente). El siguiente paso es la utilización de montones de piedras u otros objetos para representar correspondencias con los elementos de otro conjunto. En una etapa posterior, estos montones se sustituyen por muescas en palos, trozos de maderas, huesos... hechos en la mayoría de las ocasiones con sílex27. Aunque no hay constancia de ello, los signos para representar números parecen ser anteriores a la aparición de la palabra escrita. No en vano, es más sencillo hacer muescas sobre una determinada superficie que establecer una frase para describir una cierta realidad concreta. En cuanto al concepto de número natural, es de suma importancia observar las dos caras que ofrece: una es el aspecto cardinal, y otra es el aspecto ordinal. Ambos son complementarios y mientras el primero se basa en el principio de emparejamiento, el segundo trae consigo el concepto de sucesión. El concepto de número se consolida y progresa con gran rapidez gracias a la facilidad para identificar estos dos aspectos. El número cardinal, es el que permitirá el cálculo aritmético, y el número ordinal ofrece la facilidad para disponer todo tipo de objetos en sucesión. El sistema numérico está basado en los dos principios que se deducen de ambas visiones del concepto de número: el de correspondencia y el de sucesión. En el conjunto de los números naturales, cualquier elemento se puede obtener añadiendo una unidad al elemento que le antecede. Este es el llamado principio de recurrencia, uno de los más importantes en este contexto.

                                                            

27

 El sílex (SiO2), también llamado pedernal del grupo de la sílice (como el cuarzo o la calcedonia) 

21 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas.   Para obtener una construcción formal del conjunto N de los números naturales, se puede recurrir a dos caminos diferentes, cada uno de ellos relacionado con el aspecto cardinal u ordinal de número. En un principio, el concepto de número natural se introduce de forma axiomática a través de Giussepe Peano en 1888. Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de clases, el número natural aparece como un concepto derivado; es por este camino por el que se internan otros matemáticos como Georg Cantor en 1860, Gottolb Frege en 1872 y más adelante en 1922 Bertrand Russell. Fue Frege quien nos legó la actual definición de número cardinal, apoyándose en la idea de correspondencia biunívoca; idea mejorada por Bertrand Russell: “un número es cualquier cosa que sea el número de una clase y, el número de una clase es la clase de todas las clases equivalentes con la clase dada”. La anterior definición tiene la apariencia de ser circular, pero en realidad no lo es. Definimos “El número de un determinada clase” sin usar la noción de número en general; podemos por lo tanto definir en términos de “el número de determinada clase sin cometer errores lógicos”28 La anterior definición que parece un trabalenguas con el tiempo se formaliza como veremos más adelante. No obstante, la teoría de conjuntos dio lugar a principios del siglo XX a una tremenda polémica, ya que en ella se descubrió la aparición de algunos conjuntos paradójicos. Esto condujo, entre otras discusiones, a cuestionar la existencia del conjunto de todos los conjuntos. Fue el matemático Giuseppe Peano en 1888 quien intentó desarrollar un lenguaje formalizado para fundamentar la aritmética. Sus axiomas han servido como base de numerosas construcciones en el campo del Álgebra y el Análisis. Fundamentó sus cinco postulados en tres conceptos: cero, número y la relación ser sucesor de. A pesar de estos esfuerzos, sería Hilbert (uno de los padres del formalismo en matemáticas) quien realmente acabará sistematizando el pensamiento axiomático, aunque Grassmann y Dedekind ya habían dado algunos pasos en esa misma dirección. Una vez realizada esta axiomatización, pareció haberse logrado una fundamentación definitiva. Sin embargo, en las tres primeras décadas del siglo XX se abrió una gran crisis de los fundamentos en el mundo matemático que afectó a éste en todos sus aspectos. Es aquí donde se sitúan las numerosas controversias y discusiones acerca del concepto de número.                                                              28

 BERTRAND RUSSELL. Introducción a la filosofía matemática. Ediciones Paidos Ibérica. Vol 32. Barcelona  España,  1988. Páginas  24 y 25. 

22 

 

Contexto disciplinar.   Ninguno de los dos procedimientos para fundamentar la aritmética se mostró como absolutamente satisfactorio y sin fisuras. El sistema axiomático parte del concepto ordinal para intentar desarrollar a continuación la teoría cardinal; de manera opuesta, el sistema conjuntista desarrolla la aritmética cardinal para introducir a continuación el número ordinal. En ambos casos, las justificaciones lógicas parecen en extremo complicadas y enrevesadas, demostrando teoremas que aparecen como evidentes a la intuición y otros no tan evidentes.

3.1.1 El conjunto de los números naturales como sistema axiomático A. Sistema axiomático de Peano29. Para definir el conjunto N de los números naturales se puede recurrir a la siguiente construcción; es un conjunto que verifica los axiomas que se enuncian a continuación: 1. 2. 3. 4. 5.

Cero es un número. El sucesor de un número es un número. Los números distintos tienen sucesores distintos. Cero no es sucesor de ningún número. Principio de inducción matemática.

Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias observaciones importantes: Observación 1: En su formulación original, Peano dio como primer número natural el 1 y no el 0 como aquí aparece. Observación 2: El primer axioma garantiza que el conjunto N no es vacío; al menos contiene al elemento cero. El segundo de los axiomas ofrece un procedimiento para la construcción del conjunto N, a través de la relación de sucesor de. Así el sucesor de 0 se puede denotar con cualquier símbolo, por ejemplo 0'. El tercer axioma garantiza que hay infinitos números naturales. Gracias al axioma cuarto podemos decir que en el conjunto de los números naturales (IN) hay un “primer” número y el principio de inducción matemática da las herramientas necesarias para demostrar propiedades de los números. El principio de inducción completa y sus consecuencias Para verificar que una propiedad P(n) es valida para todo número natural n se verificar dos cosas: 1) P(0) es verdadera 2) Si P(n) entonces P(n+1) es verdadera para cualquier n Є IN. Entonces p(n) es verdadera para todo n Є IN.                                                             

29

 Me he basado para esta sección en el libro: Teoría de números para principiantes. De JIMENEZ L.,  GORDILLO L. y RUBIANO G. (1999) Universidad Nacional de Colombia. Pagina 1. 

deben

23 

 

Contexto disciplinar.   Hay muchos matemáticos que consideran que el primer elemento del conjunto N es el 1, no el 0. En tal caso, el principio anterior puede enunciarse de forma análoga, es decir hay que cambiar P(0) con P(1) y verificar que se cumple. Una manera muy intuitiva para comprender lo que dice este principio es la analogía es decir hay que cambiar P(0) con P(1) y verificar que se cumple con infinitas fichas de dominó colocadas en fila una detrás de otra. Si tenemos la seguridad de que las fichas están colocadas de tal forma que al caer una cualquiera de ellas, entonces hace caer a la siguiente, y también nos aseguramos de que la primera ficha caiga, entonces concluimos que de manera irremisible todas las fichas colocadas en la fila caerán. Con el principio de inducción matemática podemos enunciar y demostrar algunos teoremas relevantes. A continuación enunciaremos y demostraremos algunos de ellos; pertinentes para el trabajo. Teorema 1: Todo elemento de N es distinto de su siguiente. Es decir, x ≠ x', para cualquier elemento x del conjunto N. Demostración: considerando el conjunto C = {x N/x ≠ x'}, el tercer axioma de Peano asegura que 0 pertenece a C; además, si y pertenece a C, entonces debe cumplir que y ≠ y'. Por el axioma 2 se tiene que y' ≠ (y')', por lo cual y' debe pertenecer al conjunto C. Por tanto, aplicando el principio de inducción, debe ser C = N. Así se construye a partir de 0 la sucesión de los números naturales. Teorema 2: Todo elemento del conjunto N, a excepción del 0, es el siguiente de algún número natural. Es decir, que dado cualquier número natural n ≠ 0, siempre existe otro número natural m tal que m' = n. Demostración: Sea C = {0} {x N-{0}/existe y Є IN y y' = x}. Por hipótesis 0 C; de igual modo, si k C entonces k' C. Por el axioma 2 de Peano concluimos que C = N, y por tanto se observa que dado un número natural cualquiera éste debe ser cero o debe ser el siguiente de otro. B. Operaciones básicas en el conjunto N: suma y producto de números naturales En el principio de inducción se van a apoyar las llamadas definiciones por recurrencia, que permiten definir las operaciones de suma y multiplicación entre los naturales y probar algunas de sus propiedades.

24 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   a) Suma de números naturales. A cada par de números naturales m y n se les asocia otro número natural, que llamaremos suma de m y n y que se denota por m + n, definido por recurrencia del siguiente modo: 

m + 0 = m.



Si m + n está definido, entonces m + n' = (m + n)'.

Esta afirmación formaliza una manera muy intuitiva de presentar la suma en términos muy elementales; consiste en sumar n veces 1 a un número fijo m. Esto es:

La anterior expresión representa una de las formas más elementales que utilizan los niños a la hora de sumar; ir añadiendo una unidad hasta lograr el resultado. Esta operación así definida posee ciertas propiedades que enunciaremos a continuación y que se demuestran, por lo general, con el principio de inducción matemática. Propiedad 1: La suma de números naturales está bien definida. Es decir, que dados dos números naturales m y n, entonces la suma m + n también pertenece al conjunto N. Por tanto, el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación suma. Además, dicha operación es única. Esto se conoce en la escuela como propiedad clausurativa. Propiedad 2: La suma de números naturales es una operación asociativa, es decir que para cualesquiera m, n y p números naturales se cumple que (m + n) + p = m + (n + p). Se desprende de estas dos primeras propiedades que (N,+) es un semigrupo aditivo. Propiedad 3: La suma de números naturales es una operación que posee elemento neutro. Esto es, existe un elemento de N (dicho elemento es el cero) que verifica que: m + 0 = 0 + m = m, para todo elemento m del conjunto N. Propiedad 4: La suma de números naturales es una operación conmutativa. Quiere esto decir, que dados dos números naturales m y n se verifica que m + n = n + m. Propiedad 5: A excepción del cero, ningún elemento del conjunto N tiene elemento opuesto. Es decir, si se tiene que m + n = 0, entonces deben ser m = n = 0. Propiedad 6: Simplificación o cancelación de elementos. Si se tiene m + n = p + n, entonces es m = p.

La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   

25

  b) Producto de números naturales Esta operación también se definirá a partir de una recurrencia, de la siguiente manera: dados dos números naturales m y n, asociado a ellos se encuentra otro número natural llamado producto de m y n denotado como m·n (aunque en general se suele escribir simplemente mn) definido como sigue:  

m · 0 = 0. Si m·n está definido, entonces m · n' = m · n + m.

Para un niño la expresión m · n corresponde a sumar m veces n:

Por ejemplo: 2·3 = 2·2' = 2·2 +2. Como 2·2 está definido como sumar dos veces dos entonces 2·2 +2 = 2+2+2 Del mismo modo que la suma, esta operación producto cumple una serie de propiedades que la hacen característica, y que son las siguientes: Propiedad 1: El producto de números naturales está bien definido. Es decir, que dados dos números naturales m y n, entonces el producto m · n también pertenece al conjunto de los números naturales. Por tanto, el conjunto N es cerrado con respecto a esta operación, que además es única. Propiedad 2: La operación producto es distributiva respecto de la operación suma. Esto se traduce en que dados m, n y p números naturales, entonces se cumple que: m· (n + p) = m· n + m· p

y también que

(m + n) · p = m· p + n· p.

Propiedad 3: El producto de números naturales posee la propiedad asociativa, lo cual significa que dados m, n y p números naturales, entonces se cumple que: (m· n)p = m(n· p). Propiedad 4: El producto de números naturales posee la propiedad conmutativa. Esto es, que dados dos números naturales m y n entonces se cumple que m· n = n· m. Propiedad 5: Existe un elemento del conjunto N (que es el elemento 1) que cumple que: m · 1 = 1 · m = m, cualquiera que sea el número natural m. Dicho elemento recibe el nombre de elemento neutro para el producto de números naturales. Propiedad 6: El conjunto N no tiene divisores de cero, es decir, si m· n = 0 entonces m = 0 o n = 0.

26  Contexto disciplinar   Propiedad 7: Simplificación o cancelación de elementos: si se tiene un número natural n ≠ 0 y se cumple que n· m = n· p, entonces es m = p. Nota: La mayoría de estas propiedades se demuestran con el principio de inducción matemática. D. Ordenación en el conjunto N a) Definición y propiedades Dados dos números naturales m y n, se dice que m es menor o igual que n (y se denota por m ≤ n) si existe un número natural p tal que m + p = n. También se puede decir en ese caso que n es mayor o igual que m, y se denota por n ≥ m. Hay que tener en cuenta que para un niño, un número n es menor que un número m si en su proceso de contar uno a uno, nombra primero a n que m. Por ejemplo para un niño 2 < 5 porque al contar de 1 a 5 se pasa primero por 2. Esta relación entre los elementos que conforman el conjunto de los números naturales cumple las siguientes propiedades: Propiedad 1: La relación tiene la propiedad reflexiva: todo elemento m del conjunto N cumple que m ≤ m. Propiedad 2: La relación verifica la propiedad antisimétrica. Es decir, dados dos números naturales m y n tales que m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n. Propiedad 3: La relación cumple la propiedad transitiva, o sea que dados tres números naturales m, n y p tales que m ≤ n y que n ≤ p, entonces m ≤ p. Propiedad 4: la relación posee la propiedad de conexión. Para cualesquiera dos elementos m y n del conjunto N, se cumple siempre que m ≤ n o que n ≤ m. Estas propiedades confieren a (N,≤) la calificación de conjunto totalmente ordenado, pues dos elementos cuales quiera siempre son comparables. b) Compatibilidad entre la relación de orden y las operaciones con números naturales La relación de orden anteriormente descrita da lugar a dos leyes con respecto a las operaciones suma y producto de números naturales, una para cada operación. Monotonía con respecto a la suma: dados tres números naturales m, n y p, y sólo si, m + p ≤ n + p.

m ≤ n si,

27        La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas    Consecuentemente, en una desigualdad se puede sumar miembro a miembro. Es decir, que si m ≤ n y también p ≤ q, entonces m + p ≤ n + q. Monotonía con respecto al producto: dados tres números naturales m, n y p, si m ≤ n entonces mp ≤ np. Si se tiene p ≠ 0, entonces también se va a cumplir la implicación recíproca. Teniendo en cuenta lo anterior se tiene la propiedad de la tricotomía que afirma: Dados dos números naturales m y n, se debe cumplir una, y sólo una, de las relaciones siguientes: m < n, m = n ó m > n.

3.1.2 Construcción del conjunto de los números naturales IN: En teoría de conjuntos. El conjunto N construido a través de la teoría de conjuntos tiene la ventaja de que su visión es más intuitiva que la que se obtiene de la construcción axiomática. Sin embargo, este nuevo camino presenta graves problemas como la noción de infinito y la aparición de los conjuntos paradójicos, por lo cual exige un tratamiento muy delicado y preciso. No en vano, la crisis de fundamentos de la teoría de conjuntos afectó profundamente a esta rama de las Matemáticas y para resolverlos se requirió una teoría axiomática formal de la teoría de conjuntos. Sin embargo se puede trabajar de manera intuitiva a nivel escolar. A. Cardinales y operaciones. a) Cardinal de un conjunto A través de la relación “ser equipotente” definida entre los conjuntos, se va a definir el nuevo concepto matemático de cardinal o número de elementos de un conjunto. Definición: Sean A, B conjuntos. Decimos que A es equipotente con B si y solo si existe una función f: A→B que es biyectiva. Así el cardinal de un conjunto A, que se denota como Card(A), será siempre el mismo que el de cualquier conjunto equipotente con él. Es decir, que Card(A) = Card(B) si y sólo si, A es equipotente a B. Con esta definición 0 = {x/x ~ ø}, 1= { x/x ~ {a}}, 2={ x/x ~ {a,b}},… y así sucesivamente. b) Operaciones con cardinales. Con los cardinales se pueden efectuar las diversas operaciones aritméticas.

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• Suma de cardinales: Sean a y b dos cardinales cualesquiera. Eso significa que a = Card (A) y b = Card(B) Siendo A y B dos conjuntos. Definimos a+b = Card (AUB) con la condición de que A y B sean disyuntos o sea A∩B = ø. De esta manera se tiene que Card (A) +Card(B) = Card (AUB) si A∩B = ø. La definición anterior no depende de las representaciones escogidas y es fácil demostrar a partir de las propiedades de las operaciones entre conjuntos que la suma de cardinales cumple con las propiedades conmutativa, asociativa y modulativa. Esto es: Para cualesquiera conjuntos A, B, C se tiene: a) Conmutativa: Card(A) + Card(B) = Card (B) + Card(A) pues A U B = B U A b) Asociativa: Card(A) + (Card (B) + Card(C)) = (Card (A) + Card(B)) + Card)C) pues A U ( B U C) = (A U B) U C. c) Modulativa: Card(A) + 0 = A Pues A U ø = A. La definición de suma refleja, el trabajo que a veces se hace con los niños pequeños con ejercicios como los siguientes. Figura 3-1: Ejemplo para los niños de cardinalidad: al efectuar la operación 4 + 3 ellos imaginan cosas como estas:

• Producto de cardinales: Si a = Card(A) y b = Card(B), se define el producto de cardinales como a · b = Card (A × B). Nuevamente, se prueba que la definición no depende de los representantes escogidos y que tiene las propiedades conmutativa, asociativa y elemento neutro (que en este caso será el cardinal 1, correspondiente a los conjuntos unitarios). Los niños asimilan la multiplicación tomando ejemplos de rectángulos que se pueden conformar con distintos objetos. Como se muestra en el siguiente ejemplo30 que ilustra cómo se obtiene el resultado de multiplicar 3 por 5.

                                                            

30

 Ejemplo tomado del texto Delta 6  para grado sexto de la Editorial Norma 

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La multiplicación (producto) se relaciona con la suma (adición) por medio de la propiedad distributiva. Card(A) = a, Card(B) = b y Card (C) = c, entonces se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c. c) Orden entre cardinales Dados dos cardinales a y b con a = Card(A) y b = Card(B), se dice que el cardinal a es menor o igual que el cardinal b (denotado como a ≤ b) si, y sólo si, existe una aplicación inyectiva de A en B; es decir, si el conjunto A es equipotente con una parte del conjunto B. Esta relación no depende de los representantes escogidos, y cumple las siguientes propiedades: 1. Cualquier cardinal a cumple que a ≤ a. 2. Dados dos cardinales a y b, si se cumple que a ≤ b y que b ≤ a, entonces a = b. Este es el llamado Teorema de Cantor-Bernstein. Con esta definición también es posible demostrar las propiedades de orden en el numeral anterior. Las definiciones anteriores nos permiten operar con conjuntos finitos como infinitos. En teoría de conjuntos un conjunto infinito se define como sigue: Un conjunto A es infinito si y solo si existe un subconjunto propio B de A tal que A es equipotente con B, y es finito en caso contrario. Dentro de esta teoría un número natural es el cardinal de un conjunto finito y en la teoría se puede probar que el conjunto de los números así definidos es isomorfo con el conjunto de los números naturales que se definió a través de los axiomas de Peano

3.1.3 Sistemas de numeración Como lo vimos en el contexto histórico, al parecer la primera civilización que utilizó un sistema de numeración propiamente dicho fue la egipcia. Hace más de 5.000 años, los egipcios utilizaban un sistema de numeración jeroglífico de base 10. Poco a poco fueron surgiendo símbolos para representar diferentes potencias de diez. Algo más adelante, hacia los siglos XIX-XVII a. C., en la civilización babilónica ya se dispone de un sistema de numeración plenamente desarrollado cuya base ya no es decimal, sino sexagesimal (base 60).

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El descubrimiento de miles de tablillas de escritura cuneiforme procedentes de dicha época (reinado de Hammurabi y su dinastía), con todo tipo de información, permite establecer estos conocimientos con toda fiabilidad. Para números menores o iguales a 59, los sistemas egipcio y babilónico son prácticamente análogos, pero de ahí en adelante las diferencias son muy grandes. Los babilonios inventaron un sistema de notación posicional (hace más de 4.000 años), que les permitía representar números usando tan sólo dos símbolos: uno para el 1 y otro para el 10. Su gran problema fue la falta de representación del cero en sentido posicional. En la Grecia más arcaica, la numeración se encontraba rodeada de un fuerte misticismo. Pitágoras y sus discípulos tenían en los números su forma de vida, rindiendo culto en torno a ellos y tomándolos como sagrados. Parece que en Grecia hubo dos sistemas de numeración: uno más primitivo, el sistema ático, que se cree procedente de la numeración jeroglífica egipcia; y otro posterior, el sistema jónico, que empezaba a desarrollar el principio posicional. Ambos sistemas se fundamentaban en una base decimal. Más adelante, los romanos utilizaron abreviaturas para expresar números. Son las famosas cifras romanas, que hacían extremadamente complicado el cálculo (por lo que se generalizó el uso del ábaco). Pese a su avanzado nivel técnico, los romanos conservaron un sistema de numeración sorprendentemente arcaico y muy poco operativo. En China, el sistema de numeración fue básicamente decimal y allí se introdujo el principio multiplicativo, que facilitaba enormemente la representación de números grandes. En esta región surgieron dos sistemas, uno basado en este principio multiplicativo y el otro en la notación posicional. En la historia de la numeración, uno de los pasos más decisivos fue la invención del cero. Al parecer, ésta se dio de forma independiente en Oriente y Occidente, aunque la paternidad del descubrimiento suele atribuirse a la civilización maya. Aunque los babilonios habían hecho avances en este aspecto, fueron los mayas los que dotaron de pleno sentido a este concepto matemático. En la India es donde realmente surgen los sistemas de numeración modernos. Fue aquí donde se aplicó la idea del valor posicional a un sistema de numeración decimal. Además, fueron los hindúes los que redujeron a nueve el número de cifras usadas para representar números (no tenían símbolo mjhhpara la posición vacía; es decir, en un principio no disponían del cero). Hacia los siglos VIII-IX de nuestra era, sin embargo, aparece el cero en la India (unos 200 años después que los otros nueve símbolos), al parecer proveniente de Grecia. Este descubrimiento fue aplicado correctamente aquí en sus dos vertientes: como noción de vacío, y como cantidad nula. Así pues, en la India hace unos 1.500 años se estableció la base de los sistemas de numeración modernos: base decimal, notación posicional y una cifra para cada uno de los diez numerales básicos. Luego el sistema que utilizamos actualmente no fue, como habitualmente se cree, de procedencia árabe. Al-Khwarizmi, un famosísimo matemático y astrónomo árabe, expuso en sus obras el sistema hindú de forma tan detallada y precisa que por error se creyó que había sido invención suya o herencia árabe. No obstante, se

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debe tener en cuenta que sí fueron los árabes los que adoptaron los principios de este sistema y lo transmitieron a lo largo y ancho de su imperio, especialmente a Europa. Este sistema, aun con todas sus evidentes ventajas, tardó varios siglos en implantarse definitivamente. Hasta el siglo XIII, en que las Cruzadas y las escuelas de traductores empezaron a propagar nuevas ideas, conceptos y concepciones en el mundo europeo, no se produjo un avance significativo en este aspecto. Gran parte del rechazo al nuevo sistema se debió a la fuerte implantación del ábaco como instrumento de cálculo, que impedía percatarse de las tremendas ventajas que emanaban de él. Cabe destacar entre los grandes defensores del nuevo sistema a Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci), que en su Libro del Ábaco (paradójico título, ya que en él critica el sistema tradicional) introduce los nuevos métodos algebraicos y la nueva notación indoarábiga. Durante varios siglos se desató una fuerte lucha entre los defensores del ábaco y los innovadores “algoristas”, que finalizó hacia el siglo XVI con la victoria de estos últimos, dada la evidente superioridad del nuevo método. Es en este momento cuando se consolida definitivamente nuestro actual sistema de numeración.

3.2 Conceptos básicos La serie de números naturales es infinita, y por tanto, no se puede utilizar un símbolo particular para cada uno. Debido a ello, es necesario desarrollar algún método para simbolizar cualquier número natural. Surge así la noción de sistema de numeración, definido como un conjunto de normas y convenios que son utilizados para representar a todos los números naturales mediante una adecuada combinación de un grupo reducido de signos. De este modo, en función del sistema de numeración que se considere, se obtendrá una distinta representación de un cierto número natural. Cada uno de los signos del sistema se llama cifra (a veces también dígito o guarismo). En esta sección sólo vamos a estudiar sistemas de numeración posicional basados en el principio del valor relativo (por ejemplo nuestro habitual sistema decimal). En un sistema de numeración lo primero que se establece es la base “b” que se va a utilizar; dicho sistema se valdrá de “b” cifras, que simbolizarán los números desde 0 hasta b – 1. A partir de b, aparecen las unidades de segundo orden (las decenas en el sistema decimal), constituidas por b unidades; las unidades de tercer orden están constituidas por b unidades de segundo orden... y así sucesivamente. Es decir, cada b unidades de un cierto orden constituyen una unidad del orden superior. El principio del valor relativo permitirá utilizar una cifra para expresar el número de unidades en cualquier orden, en función de su lugar al escribir el número. Así, cualquier número natural puede escribirse como una sucesión finita de estas cifra.

32  Contexto disciplinar   En particular, son muy conocidos y utilizados el sistema decimal (el más usual en nuestros tiempos, debido a sus ventajas en cuanto al cálculo algorítmico), el sistema sexagesimal (de origen mesopotámico, presente en la medida de los ángulos y del tiempo) y el sistema binario (de base 2, que permite a los ordenadores la codificación interna de la información).

3.3 Fundamentación de sistemas de numeración A. El Teorema Fundamental de la Numeración31. Sea “b” la base de un cierto sistema de numeración, siendo “b” un número natural distinto de 1; entonces, cualquier número natural n se escribe de manera única mediante la expresión: 0 donde los

1

2

3

son números naturales menores que b.

A esta expresión se la denomina expresión polinómica de n en base b. Es importante recalcar que esta expresión siempre existe y además es única. Como consecuencia de este teorema se obtiene el principio del valor relativo. Al ser todos los a(i) < b, cada uno de ellos se escribe con una sola cifra, y entonces se puede expresar el número natural n como n = a(k)a(k – 1)... a(2)a(1)a(0). Así pues, escribiendo sucesivamente y de modo ordenado las cifras de un número, el orden de las unidades que representa cada una está dado por el orden que ocupa en dicha escritura. Por ejemplo, en la expresión polinómica de n, la cifra a(i) representará las unidades de orden i + 1. B. Propiedades 1. Dada una base b y un número natural n escrito como a(k)a(k – 1)... a(1)a(0) en la base b, entonces el número nbj (producto de n por una potencia de b) se escribe añadiendo j ceros a la derecha de n. 2. Sea n un número natural y sea b otro número natural; si la escritura de n en la base b está formada por p cifras, entonces n está comprendido entre bp-1 y bp. La implicación recíproca también es cierta Vamos a demostrar esta propiedad; para ello hay que comprobar que se cumplen las dos implicaciones: n tiene p cifras en base b si y solo si bp-1≤ n < bp.

                                                             31

 GEISS CHRISTOF. Algebra Superior II. Algunas propiedades de los números naturales. Disponible en la  página electrónica: http://www.matem.unam.mx 

33 La comprensión del sistema de numeración decimal y su adecuado uso en las operaciones aritméticas   ═>) Si n tiene p cifras, entonces se escribirá como: a (p – 1)bp-1+ a(p – 2)bp-2+... + a(2)b2+ a(1)b + a(0) ≥ bp-1. Hay que probar que n < bp: como cada a(i) < b, entonces se tendrá que a(1)b + a(0) < a(1)b + b = (a(1) + 1)b ≤ b2, a(2)b2 + a(1)b + a(0) < a(2)b2+ b2 = (a(2) + 1)b2≤ b3, y así sucesivamente. De forma que al final obtenemos: n = a(p – 1)bp-1+ a(p – 2)bp-2+...+ a(2)b2+ a(1)b + a(0) < a(p – 1)bp-1+ bp-1= (a(p – 1) + 1)bp-1≤ bp