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La Curva de Lorenz y el Índice de Gini La Curva de Lorenz Un análisis de la distribución de recursos por quintil (el concepto de quintil se discute brevemente en las últimas dos lecciones del Módulo 6) se utiliza para analizar la equidad distributiva de los recursos en una población. Dicho análisis se puede representar en forma gráfica mediante lo que se conoce como una “curva de Lorenz”. Una curva de Lorenz es un instrumento muy útil para analizar los efectos sobre la equidad de distintas políticas de educación. Examinemos un ejemplo de una Curva de Lorenz con más detalle y veamos cómo podría servirnos. El Cuadro 13 (un subconjunto del Cuadro 6) representa el gasto público en educación primaria y secundaria en Ecuador por quintil de ingreso. Cuadro 13. Distribución de frecuencias relativa del gasto público en educación primaria en Ecuador (por quintil de ingreso, 1998).

Educación primaria Educación superior

Q1 31,4 1,9

Q2 25,3 7,5

Q3 20,5 14,9

Q4 16,2 33,3

Q5 6,5 42,4

Nacional 100 100

Fuente: ENV del Banco Mundial, 1998 En esta página presentamos dos ejemplos ilustrativos del uso de las curvas de Lorenz. La Figura 20 muestra dos curvas de Lorenz que representan los datos del Cuadro 13. Observe que la curva para educación primaria está sobre la línea negra que corta la figura en forma diagonal, mientras que la curva correspondiente a educación superior está por debajo de la misma diagonal. Asegúrese de comprender la Figura 20.

En la Figura 21, los puntos A, B, C, D y E representan el porcentaje acumulado del gasto público que percibió cada quintil sucesivo de ingreso de la población. El eje X (eje horizontal) representa el porcentaje de la población total ordenado por ingreso. El eje Y (eje vertical) representa el porcentaje del gasto público total. Así, el punto A representa el porcentaje del gasto público en educación superior que percibieron los estudiantes pertenecientes al 20% más pobre de la población (es decir, Q1), mientras que el punto C representa el porcentaje del gasto público percibido por el 60% más pobre de la población (es decir, Q1 + Q2 + Q3). El punto E nos que la totalidad del gasto público (100%) es recibido por la totalidad de la población (100%). ________________________________________________________________________________ “Pensar y actuar nos permite objetivos alcanzar” MOC

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Nótese que los puntos A, B, C y D están bajo la “diagonal de igualdad”. Recuerde que cualquier punto en la diagonal de igualdad, como los puntos E y F de la Figura 21, indica que el porcentaje de los recursos gastados (sobre el total de recursos disponibles) es igual al porcentaje de la población total en que se emplearon esos recursos. Por ejemplo, el punto F nos indicaría que el 60% del gasto público en educación es percibido por el 60% de la población. ¿Qué significa que los puntos A, B, C y D estén por debajo de la diagonal? Significa simplemente que la distribución del ingreso no es perfectamente igualitaria, es decir, los quintiles de ingreso más bajo perciben una cantidad de recursos per capita menores que los que perciben los quintiles más ricos. Por ejemplo, el punto C (Figura 21) indica que el 60% de la población (Q1+Q2+Q3) recibe sólo un 24,3% del gasto público en educación superior (la cifra proviene del Cuadro 13). Un punto ubicado por encima de la diagonal de igualdad representa una situación en la cual el porcentaje de los recursos empleados es mayor que el porcentaje de la población en el cual se emplea. En una Curva de Lorenz, en que la población está ordenada de más pobre a más rica, esto supone un gasto progresivo de los recursos es decir, los quintiles más pobres perciben una cantidad de recursos per capita mayores que la percibida por los quintiles más ricos. Por ejemplo, el punto G representa el porcentaje del gasto público total en educación primaria que el Gobierno de Ecuador dedica al 60% más pobre de la población , esto es, Q1+ Q2 + Q3; el porcentaje es un 77,2% (vea el Cuadro 13). El hecho de que el punto esté sobre la línea sólo indica que el porcentaje del gasto es mayor que el porcentaje de la población en el cual se gasta.

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Medidas de forma: Grado de concentración

Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes características de la curva: a) Concentración: mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo largo de la muestra. b) Asimetría: mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la misma (centro de simetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares. c) Curtosis: mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra. a) Concentración

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Para medir el nivel de concentración de una distribución de frecuencia se pueden utilizar distintos indicadores, entre ellos el Índice de Gini. Este índice se calcula aplicando la siguiente fórmula: (pi - qi) IG =

---------------------------pi (i toma valores entre 1 y n-1)

En donde pi mide el porcentaje de individuos de la muestra que presentan un valor igual o inferior al de xi. n1 + n2 + n3 + ... + ni pi =

----------------------------

x 100

n Mientras que qi se calcula aplicando la siguiente fórmula: (X1*n1) + (X2*n2) + ... + (Xi*ni) qi = ----------------------------------------------

x 100

(X1*n1) + (X2*n2) + ... + (Xn*nn)

El Índice Gini (IG) puede tomar valores entre 0 y 1: IG = 0 : concentración mínima. La muestra está uniformemente repartida a lo largo de todo su rango. IG = 1 : concentración máxima. Un sólo valor de la muestra acumula el 100% de los resultados. Ejemplo: vamos a calcular el Índice Gini de una serie de datos con los sueldos de los empleados de una empresa (millones pesetas).

Sueldos

Empleados (Frecuencias absolutas)

Frecuencias relativas

(Millones)

Simple

Acumulada

Simple

Acumulada

x

x

x

x

x

3,5

10

10

25,0%

25,0%

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5

4,5

12

22

30,0%

55,0%

6,0

8

30

20,0%

75,0%

8,0

5

35

12,5%

87,5%

10,0

3

38

7,5%

95,0%

15,0

1

39

2,5%

97,5%

20,0

1

40

2,5%

100,0%

Calculamos los valores que necesitamos para aplicar la fórmula del Índice de Gini: Xi

ni

x

x

3,5

ni

pi

Xi * ni

x

x

x

10

10

25,0

4,5

12

22

6,0

8

8,0

qi

pi - qi

x

x

x

35,0

35,0

13,6

10,83

55,0

54,0

89,0

34,6

18,97

30

75,0

48,0

147,0

57,2

19,53

5

35

87,5

40,0

187,0

72,8

15,84

10,0

3

38

95,0

30,0

217,0

84,4

11,19

15,0

1

39

97,5

15,0

232,0

90,3

7,62

25,0

1

40

100,0

25,0

257,0

100,0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

(pi - qi) (entre 1 y 83,99 n-1 ) =

pi (entre 1 y n-1) = 435,0

Xi * ni

Por lo tanto: IG = 83,99 / 435,0 = 0,19 Un Índice Gini de 0,19 indica que la muestra está bastante uniformemente repartida, es decir, su nivel de concentración no es excesivamente alto. Ejemplo: Ahora vamos a analizar nuevamente la muestra anterior, pero considerando que hay más personal de la empresa que cobra el sueldo máximo, lo que conlleva mayor concentración de renta en unas pocas personas.

Sueldos

Empleados (Frecuencias absolutas)

Frecuencias relativas

(Millones)

Simple

Acumulada

Simple

Acumulada

x

x

x

x

x

3,5

10

10

25,0%

25,0%

4,5

10

20

25,0%

50,0%

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6

6,0

8

28

20,0%

70,0%

8,0

5

33

12,5%

82,5%

10,0

3

36

7,5%

90,0%

15,0

0

36

0,0%

90,0%

20,0

4

40

10,0%

100,0%

En este caso obtendríamos los siguientes datos: Xi

ni

x

x

3,5

ni

pi

Xi * ni

x

x

x

10

10

25,0

4,5

10

20

6,0

8

8,0

qi

pi - qi

x

x

x

35

35

11,7

13,26

50,0

45

80

26,8

23,15

28

70,0

48

128

43,0

27,05

5

33

82,5

40

168

56,4

26,12

10,0

3

36

90,0

30

198

66,4

23,56

15,0

0

36

90,0

0

198

66,4

23,56

25,0

4

40

100,0 100

298

100,0

0,00

x

x

x

x

x

x

x

x

pi (entre 1 y n-1) = 407,5 x

Xi * ni

(pi - qi) (entre 1 y 136,69 n-1 ) =

El Índice Gini sería: IG = 136,69 / 407,5 = 0,34 El Índice Gini se ha elevado considerablemente, reflejando concentración de rentas que hemos comentado.

la

mayor

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