LA ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA Mariela Orozco Hormaza 1 INTRODUCCION Como en cualquier operación aritmética, en la multiplicación se distingue la operación directa, la multiplicación propiamente dicha y su inversa, la división. Desde la perspectiva matemática, la multiplicación corresponde a una operación de la forma a×b = c, que cumple con ciertas propiedades. La división constituye la operación inversa y se puede representar formalmente como c÷b= a, o c÷a= b, operación que igualmente cumple con ciertas propiedades. Sin embargo, repetidamente hemos señalado que el enfoque general de este texto, no es de tipo matemático exclusivamente y que nos ubicamos en la perspectiva de la educación matemática. Entonces, en el análisis de estas operaciones es necesario considerar diferentes aspectos: el carácter de los términos, según se trabaje una u otra operación, los procedimientos que la escuela adopta para enseñarlas y los tipos de problemas que exigen de la aplicación de estas operaciones para resolverlos. Desde esta perspectiva, el estudio de la estructura multiplicativa se ha aborda desde al menos cuatro puntos de vista diferenciados, a saber: - como operación mental - como tabla de multiplicar - desde la perspectiva de los algoritmos - desde el enfoque de resolución de problemas. Reconociendo que matemáticamente se trata de una sola operación - que posee una directa y una inversa - como veremos en esta síntesis, esta diferenciación es necesaria porque, desde la perspectiva del niño, la construcción de la multiplicación como una operación mental es condición indispensable para el aprendizaje de las tablas de multiplicar; además, el dominio del algoritmo, supera el manejo de las tablas y la solución de diferentes tipos de problemas genera demandas en los alumnos a las que no siempre pueden responder cuando saben las tablas de multiplicar y manejan el algoritmo. La escuela dedica varios años de la primaria al aprendizaje de las tablas de multiplicar y de los algoritmos, convirtiendo estos dos contenidos en uno de los principales objetivos de la enseñanza en la primaria. Sin embargo, es un hecho que al finalizar la primaria, muchos alumnos no utilizan la multiplicación y emplean la suma reiterada para resolver problemas de tipo multiplicativo. Propongo que la ausencia de la operación multiplicativa en los procedimientos que los estudiantes utilizan para resolver problemas, es uno de los grandes causantes del fracaso de la primaria.2

1 Con la colaboración de Luis Fernando Clavijo 2 Como ya lo señale, el otro causante del fracaso de los estudiantes con la matemática de primaria, es el manejo errado del sistema de notación en base diez. Como ilustraré en este capítulo, en el algoritmo de la multiplicación estas dificultades acumuladas se juntan, creando grandes confusiones, difíciles de superar.

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La multiplicación como operación mental Como ya lo señalé, para resolver problemas que exigen la multiplicación, los alumnos generalmente utilizan procedimientos aditivos (Fischbein y otros, 1985). Por esto varios autores hemos estudiado, la transformación de los procedimientos aditivos a procedimientos multiplicativos. En un estudio reciente, Orozco (1996) describe los cambios que se operan en la mente del niño al dejar de utilizar procedimientos aditivos para multiplicar. Matemáticamente, las operaciones aditivas y multiplicativas son diferentes y esta diferenciación debe conservarse en la educación matemática. Por supuesto que en el origen de la operación multiplicativa está la operación aditiva, sin embargo, es necesario que los alumnos superen los procedimientos aditivos y aprendan a multiplicar. Resnick (1986) señala que la multiplicación no se presenta espontáneamente en los niños; ninguno de los autores que describe los procedimientos de “niños de la calle” para resolver problemas multiplicativos, ha encontrado que los niños los resuelven utilizando procedimientos multiplicativos. En la escuela estas operaciones han llegado a confundirse y muchos maestros no se dan cuenta que sus alumnos solamente utilizan la suma reiterada para resolver problemas que exigen multiplicar. Como la suma reiterada es la manera más natural que los niños tienen para resolver estos problemas, entonces, en muchos libros de texto se presenta como el camino a seguir para llegar a la multiplicación. Esto no es errado, sin embargo, muchos niños no superan este procedimiento, que resulta más espontaneo y natural y simplemente, no aprenden a multiplicar. Por supuesto, este déficit tiene efectos muy difíciles de superar en la construcción de la división, en el manejo de las medidas de superficie y volumen y en la construcción de los racionales. Para analizar la diferencia entre los procedimientos multiplicativos y los aditivos partamos de un problema multiplicativo muy sencillo: 1 caramelo vale 3 pesos. 4 caramelos ¿cuánto valen? y analicemos los diferentes tipos de procedimientos aditivos que los niños pueden utilizar para resolverlo correctamente. Niños de preescolar y primero, acostumbrados a utilizar procedimientos propios para resolver problemas de la vida cotidiana pueden resolver este problema enumerando y a veces completando3, repitiendo sucesivamente palabras número correspondientes al valor numérico del precio tantas veces como caramelos tengan que comprar. El siguiente esquema, me permite describir la manera como supongo, los alumnos pueden obtener el resultado correcto cuando utilizan un procedimiento de enumeración para resolver problemas multiplicativos. Enumeración verbal 1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9 10, 11, 12 Conteo interno 1 2 3 4 Cota Figura 1. Esquema descriptivo del procedimiento de enumeración

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A medida que el niño enuncia repetidamente palabras número que corresponden con un patrón numérico “3”, el precio de los caramelos, que en adelante llamo variable 1; simultáneamente, 3 El niño completa, si enumera a partir de la palabra número correspondiente al valor numérico del sumando (3) y continua enumerando hasta el final. Por ejemplo, dice: 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12. Fuson, 1983, hace una descripción y un análisis muy completo del procedimiento de completar.

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tiene que contar las veces que enumera. Denomino contador al registro que hace de las veces que enumera. Utiliza el contador interno, que en este caso corresponde con el número de caramelos, que pone en funcionamiento para marcar las veces que repite el valor numérico de la variable 1. Ahora bien, el niño puede enumerar repetidamente el patrón “3” hasta 2, 3, 4, 5, 6 ...n veces. Sin embargo, si el procedimiento es correcto, tiene que tener presente, de alguna manera, el valor numérico correspondiente a la variable 2, que le anuncia que completó las veces que debe repetir la enumeración. Denomino cota o límite al valor numérico de la variable 2 que cumple esta función. Resulta muy significativo que el niño pueda coordinar la implementación de un patrón de dedos para “tres” con expresiones que no corresponden con tal número (por ejemplo, 5, 6, 7). Esto demuestra que el “tres” remite a un patrón de dedos cuyos elementos pueden coordinarse con tres palabras número cualesquiera. (Steffe, 1991; Fuson, 1982) Desde la perspectiva de la unidad que maneja, cuando enumera, el niño maneja los dos valores numéricos de las variables como elementos unitarios y no como valores numéricos. Para resolver este tipo de problemas multiplicativos usando la suma, los niños utilizan modalidades diferenciadas de la llamada adición repetida (Fischbein y otros, 1985). En términos generales la suma abreviada consiste en sumar repetidamente el mismo número, tantas veces como elementos unitarios tenga el valor numérico correspondiente a la variable 2. Anghileri (1989) señala que sumar aditivamente el mismo número es un procedimiento más complejo que sumar dos números independientes. Para esta autora, el niño debe mantener un contador interno y reconocer cada subtotal4. El siguiente esquema permite describir la manera como supongo el niño procede cuando suma: Suma verbal 3 y 3, 6; 6 y 3, 9; 9 y 3, 12 Conteo interno 1 2 3 4 Cota Figura 4. Esquema descriptivo del procedimiento de suma

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Para sumar, resolviendo problemas de tipo multiplicativo, el niño debe sumar reiteradamente el mismo número y obtener un conjunto sucesivo de resultados parciales. El número que suma y los resultados parciales que sucesivamente obtiene configuran los sumandos. Igualmente, debe registrar las veces que suma, o sea, que debe manejar el contador interno, que le permite reconocer cuantas veces ha sumado y la cota o límite correspondiente a la variable 2, le indica el límite de las veces que reitera la suma. Más adelante, cuando analizo los problemas multiplicativos desde la perspectiva de la cantidad (Vergnaud, 1983) explicaré que el sumando pertenece al espacio de medida del precio. Desde la perspectiva del número, se trata del mismo número que el niño debe sumar varias veces y manejarlo como un cardinal.

4 El esquema que propongo para describir los procesos del niño, es una versión revisada del esquema que Anghileri propone para describir la manera como los niños suman.

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El valor numérico correspondiente a la variable 2, pone límite 5 o acota las veces que el niño reitera la suma. Desde la perspectiva de la cantidad, este valor numérico pertenece al otro espacio de medida, el de los caramelos. Desde la perspectiva del número, se trata de un número de diferente orden que define “el número de veces” que la variable 1 se suma reiteradamente. Desde este punto de vista, cuando un niño usa un procedimiento aditivo para resolver problemas multiplicativos, el siguiente proceso describe lo que hace: • • •

reiteradamente suma el valor numérico correspondiente a la variable 1 del problema, en este caso, el precio usa un contador interno que hace seguimiento de las veces que suma usa el valor numérico correspondiente a la variable 2 como límite de las veces que reitera.

Desde la perspectiva de la matemática, el niño multiplica si compone dos números cualquiera en un tercero que es su producto. Dado el carácter diferenciado de las variables que intervienen en la multiplicación se la tipifica como operación binaria. Sus términos se denominan factores. En términos generales, se dice que el niño multiplica si maneja simultánea y multiplicativamente dos valores numéricos de diferente tipo. Multiplicativamente quiere decir que maneja uno de los dos términos como operador. Expresiones como “4 veces 3” y “3 por 4” permiten a un/una maestro/a inferir la utilización de procedimientos multiplicativos y dan cuenta del manejo simultáneo de los dos valores numéricos. El valor numérico correspondiente a la variable 1 es el multiplicando y el correspondiente a la variable 2, el multiplicador u operador. Desde la perspectiva de la cantidad, al multiplicar, el niño maneja dos valores numéricos pertenecientes a dos espacios de medida diferenciados. Desde la perspectiva del número, maneja los dos términos como valores numéricos o cardinales. Al establecer diferencias entre los procedimientos aditivos y las multiplicativos, que permiten a los niños resolver correctamente los problemas multiplicativos es necesario describir los cambios que se operan cuando el niño pasa de los unos a los otros. Desde la perspectiva de este análisis, el papel que los dos valores numéricos desempeñan en los procedimientos multiplicativos es completamente diferente al que desempeñan en los aditivos. En los multiplicativos, el valor numérico que corresponde a la variable 1, es el multiplicando y en las aditivas corresponde con el sumando; en los aditivos el valor numérico correspondiente a la variable 2, desempeña el papel de limite o cota a las veces que el sumando se repite, en cambio en los multiplicativos, corresponde al multiplicador. En el paso de los procedimientos aditivos a los multiplicativos, el valor que en los procedimientos aditivos funciona como límite, en los multiplicativos se transforma en operador y la reiteración en multiplicación. El carácter de los valores numéricos igualmente cambia. Cuando enumera, el niño trabaja el valor numérico correspondiente a la variable 1 como elementos unitarios, o sea, trabaja con ellos de uno en uno; cuando multiplica o suma, trabaja con una unidad compuesta, o sea, con el número como cardinal. Al enumerar y sumar, el niño trabaja el valor numérico correspondiente a la variable 2 como elementos unitarios, de uno en uno; al multiplicar como cardinal, de un orden más 5 La palabra límite se usa en su acepción común: y por supuesto no se utiliza con su significado matemático.

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abstracto que el anterior, porque se refiere a las veces que el cardinal correspondiente a la primera variable se repite, por esto se lo denomina operador o factor. Como ya lo señalé, desde la perspectiva del carácter de las operaciones igualmente se presentan transformaciones. La suma o la enumeración son operaciones sucesivas y recurrentes, en tanto que la operación multiplicativa es simultánea; desde el punto de vista cognitivo, esta simultaneidad es básica para aumentar la habilidad matemática de los niños. Desde la perspectiva de la transformación de la operación aditiva en multiplicativa, propongo que para manejar simultáneamente los dos términos y manejar el segundo como operador o multiplicador, o sea, para multiplicar, el niño debe ser capa de: registrar las veces que suma, reconocer la reiteración del sumando y expresar el valor numérico que da cuenta de las veces que lo reitera. Esta transformación del valor numérico correspondiente a la variable 2, conjuntamente con la transformación de la reiteración, permiten la manifestación de soluciones multiplicativas. Como veremos más adelante, estos requerimientos se tendrán en cuenta al analizar las estrategias que los/las maestros/as pueden utilizar para enseñar a multiplicar. La operación inversa: la división Desde la perspectiva de la matematica, la división es la operación inversa a la multiplicación. En la división un factor es el dividendo o valor a partir o repartir el otro factor, el divisor designa el numero de partes resultante de la partición o repartición. Desde la perspectiva de la educación matemática, Vergnaund señala que “la operación de división es una operación compleja.” Algunas razones son de orden conceptual y otras, están relacionadas con la complejidad de las reglas operatorias implicadas en ella. Desde el punto de vista conceptual “la operación de división no siempre es exacta y el cociente no es solo el resultado de la aplicación del operador al operador. El verdadero resultado es la pareja (cociente, residuo) donde el residuo puede ser nulo. De lo cual se sigue que la división como regla operatoria no es exactamente la inversa de la multiplicación, salvo si se incluyen relaciones complejas, que en cualquier caso, rebasan la capacidad de los niños. Mientras que en el plano de los números y de los operadores numéricos las transformaciones ×n y ÷n son inversas una de otra, la operación de división entre n no es la inversa de la multiplicación por n.” (Vergnaud, 1991, p.157) Desde la perspectiva de la matemática de la cantidad, cuando se trabaja con objetos concretos una estrategia que resulta muy conveniente con los niños cuando se inicia el aprendizaje de esta operación - la división exige repartir o partir cantidades discretas y continuas en partes iguales. En la operación se diferencian dos términos, el dividendo, la cantidad a repartir y el divisor, el número de partes en que se reparte o parte la cantidad. Desde esta perspectiva, la ejecución de la división llevar a dos modalidades de resultados o soluciones: obtener el número de partes en las que se divide la cantidad inicial, en este caso se presentan los elementos y se pregunta por el número de grupos iguales que se forman y obtener el número de elementos que configuran cada grupo que se forman, en este caso se presenta el número de grupos y se pregunta por el número de elementos en cada grupo. Los maestros utilizan diferentes estrategias para modelizar la operación de división. A continuación presentamos algunos ejemplos: Derechos reservados de Autor ® Mariela Orozco Universidad del Valle

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Utilizan la recta numérica como soporte gráfico. La división resulta de contar intervalos de longitud de n unidades hacia atrás a partir del dividendo (p. e. 30), y encontrar el número de intervalos que indique el divisor, el número de intervalos obtenidos es el cociente. Suponiendo que el valor del intervalo, o sea, el divisor es 5, el cociente es 6. Otra manera muy usual para introducir la división es repartir colecciones o números en partes iguales. Como ya señalamos se pueden presentar dos tipos diferenciados de división; utilizamos un ejemplo para ilustralos. Ejemplo 1. Tengo una bolsa con 20 dulces, para repartir entre 5 niños, cuántos dulces le tocan a cada niño?. En este primer caso, llamado de partición, el dividendo corresponde con el número de dulces a repartir, el divisor, con el numero de niños y el cociente, con los dulces o la parte que corresponde a cada niño. Ejemplo 2. Tengo una bolsa de 20 dulces, reparto de 5 dulces a cada niño, para cuántos niños alcanza? En este caso, el enunciado fija el número de elementos a repartir o divisor y el cociente, el número de partes que se obtienen. Otra manera de enseñar la división es utilizando el cociente aparece como operador o función; cada operación se considera como una maquina – operador que transforma los números. En casos simples, la operación de división resulta fácil de solucionar y de ejemplificar, la dificultad aparece con la mecanización de su algoritmo y su presentación escrita. En el plano del algoritmo, “la división es la más compleja de las cuatro operaciones, porque para su solución implica restar, multiplicar y búsqueda de las cifras del cociente”(Ibid , pagina 155 – 156) Algunos maestros trabajan la escritura del algoritmo de la división, como restas sucesivas empezando por dividir los valores mas altos y así sucesivamente hasta llegar al dígito con menor valor en el dividendo. Otros maestros enseñan a descomponer el dividendo y el divisor para hallar la relación entre los valores reales del dividendo y no trabajan con los dígitos del dividendo como regularmente se enseña.6 La multiplicación en el contexto de las tablas de multiplicar Para trabajar la operación multiplicativa, la escuela se centra en la enseñanza de las tablas y en el manejo de los algoritmos, convirtiendo la memorización de las multiplicaciones básicas (o tablas de multiplicar) en uno de los objetivos centrales a la enseñanza de la matemática en primaria. Su importancia radica en que el conocimiento matemático posterior se basa en este aprendizaje y el algoritmo de la multiplicación requiere de estas combinaciones. Para muchos autores, es esencial que los alumnos memoricen las tablas de multiplicar porque ahorran una excesiva carga de memoria cuando resultan problemas engorrosos para el calculo. La enseñanza de las tablas regularmente se presenta bajo tres versiones: 1. Las multiplicaciones básicas se repiten a diario, en voz alta o como práctica personal de cada alumno, empezando por la de menor valor, o sea, por la llamada tabla del dos y continuando progresiva y secuencialmente hasta la del nueve y en algunos casos, hasta la del doce. 6 En el Programa no se trabajó la división, por eso no incluimos los ejemplos. Derechos reservados de Autor ® Mariela Orozco Universidad del Valle

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2. Una segunda versión, destaca las reglas de formación de las tablas y demuestra que los resultados sucesivos se obtienen a través de sumas reiteradas de dos en dos, tres en tres, etc. A diferencia de la primera, esta procedimiento utiliza la operación aditiva para obtener el resultado, pero tiene el inconveniente de conceptualizar la multiplicación como una suma reiterada. 3. La tercera versión aborda las tablas como una construcción de los alumnos debido al uso de procedimientos informales como la propiedad conmutativa, la multiplicación por 10, el cálculo del doble, el cálculo de la mitad, la descomposición de los factores y la composición de los resultados obtenidos al multiplicar. Sin embargo, es necesario anotar que estos procedimientos son óptimos cuando los alumnos han superado la suma reiterada y resuelven problemas y multiplicaciones, utilizando procedimientos multiplicativos., por lo menos con los cinco primero números naturales. Cuando los alumnos ya manejan la multiplicación, utilizan de manera casi natural propiedades de la operación como la distributiva y la asociativa. Por ejemplos, para multiplicar 3×7, pueden seguir el siguiente procedimiento: 3×4, 12; 3×3, 9, 12+9=21. Si uno analiza este procedimiento, se da cuenta que el alumno ha utilizado la propiedad distributiva de la multiplicación. 7 Adoptamos esta tercera posición que plantea las tablas como resultado de un proceso de construcción y planteamos la necesidad de diferenciar la construcción de la operación multiplicativa del aprendizaje de memoria de las tablas de multiplicar. La operación multiplicativa se construye progresivamente y el aprendizaje de la tabla ayuda en esta construcción, pero no puede reemplazarla. Por esto proponemos que los profesores apoyen a los alumnos en el proceso de construcción de la operación multiplicativa.8 Cuando los alumnos suman o enumeran reiteradamente para resolver una multiplicación o un problema multiplicativo, no utilizan la operación multiplicativa (creemos haber explicado previamente las diferencias entre una y otra operación). La suma o enumeración reiterada constituyen pasos en el proceso de construcción, que el alumno debe superar para llegar a la multiplicación propiamente dicha. Cuando los alumnos abandonan las sumas y las enumeraciones reiteradas, porque han construido la operación multiplicativa, las tablas de multiplicar resultan indispensables. En ese momento, las tablas se pueden entender como recuperación de la memoria del producto o resultado de multiplicar dos factores. El algoritmo de la multiplicación En educación matemática la enseñanza de los algoritmos se entiende como la formación en aritmética que los alumnos requieren; algunos autores los analizan como un buen ejemplo de conocimiento procedimental. En la enseñanza de los algoritmos se pueden delimitar tres enfoques: el tradicional, el conjuntista y el actual, que integra los anteriores. 7 Es una lástima que los profesores no utilicen la reflexión sobre este tipo de procedimientos espontáneos para que los alumnos entiendan las propiedades de las operaciones. Sin embargo, parece ser que a los alumnos les resulta más difícil entender que 3×4=4×3, o sea la propiedad conmutativa de la operación, que la distributiva. 8 En los ejemplos de actividades que presentamos al final de este capítulo, incluimos varias que le sirven al/ a la maestro/a para apoyar este proceso de construcción.

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El tradicional entiende la enseñanza de los algoritmos como la aplicación de las 4 operaciones básicas a partir del adiestramiento, la practica y la ejercitación de las mismas en la solución de multiplicaciones escritas. El enfoque conjuntista se inscribe en la matemática moderna y considera la enseñanza del algoritmo como resultado de una construcción lógica, esta concepción se deriva de la psicología piagetiana, basada en la noción de estructura y sus propiedades y la teoría de conjuntos. Actualmente se insiste en la conexión entre la teoría de conjuntos y la mecanización de las operaciones. Este enfoque igualmente pretende establecer una conexión entre la comprensión del algoritmo y su utilización como herramienta en la solución de problemas. En el trabajo de investigación que adelantamos (Betancourt y Mosquera, 1992, Orozco, 1989), hemos desarrollado un nuevo enfoque que puede guiar el trabajo del profesor en el aula. Entendemos el algoritmo, como el conjunto ordenado de pasos que se deben realizar para resolver las operaciones escritas. Estos pasos están regidos por la lógica del sistema notacional en base diez, que fundamenta la escritura de los numerales y en el caso de la multiplicación, por las tablas de multiplicar (en el de la suma, por las de la suma) y su propiedad distributiva. Por esto consideramos el manejo de los algoritmos por parte de los alumnos como producto de la comprensión que poseen sobre el sistema notacional en base diez y la utilización adecuada de las composiciones básicas de los nueve primeros números naturales, que pueden ser de tipo aditivo en el caso de las sumas y las restas y multiplicativo en el de las multiplicaciones y divisiones. Ya hemos dicho que la propiedad distributiva resulta natural a los alumnos, una vez poseen la operación. Este enfoque revela la doble naturaleza del algoritmo: es producto final de un proceso de construcción lógico y producto de un automatismo o rutina. El dominio de los algoritmos por parte de los alumnos es entonces producto de su comprensión de la lógica del sistema de notación en base 10, del dominio de las rutinas propias de las tablas de multiplicar y de la utilización de la propiedad distributiva de la operación. Examinemos el siguiente esquema que nos permite analizar el algoritmo de la multiplicación desde la perspectiva previamente expuesta. La descripción del algoritmo convencional de la multiplicación se puede utilizar como modelo de análisis de los errores que comenten los niños al manejarlo. An

En Cn

× Dn ... ...

... E4 C4

... Bn D3 E3 C3

A2 ... D2 E2 C2

A1 B1 D1 E1 C1

A0 B0 D0 C0

“Esquemáticamente se representa la multiplicación de un número (multiplicando) de n dígitos (A0…A2 A1 A0) por un número (multiplicador) de n dígitos (Bn...B1 B0). Los productos parciales son números con n dígitos (Dn...D3 D2 D1 D0), primer producto parcial y (En...E4 E3 E2 E1), segundo producto parcial. El producto final es un número con n dígitos (C n...C4 C3 C2 C1). Cada literal representa un dígito del numeral y el subíndice indica el orden correspondiente de la unidad. En este esquema se utiliza:

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A, para el numeral que corresponde al multiplicando B, para el numeral que corresponde al multiplicador. D y E, para los numerales de los productos parciales C, para el producto final. Ejemplo: E3 es el dígito correspondiente a la unidad decimal de orden tres (unidad que vale 1000) en el segundo producto parcial. Para obtener el primer producto parcial (D3 D2 D1 D0) se multiplica el dígito del multiplicador de orden cero (B0) por los dígitos del multiplicando (A0 A1 A2...An) B0 x A0 = d1 D0 B0 x A1 = d2 d1 entonces d2 d1 + d1 = d2 D1 B0 x A2 = d3 d2 entonces d3 d2 + d2 = d2 D3⋅ Los literales en mayúscula representan los dígitos que se escriben en el resultado de la multiplicación de dígitos, los literales en minúscula representan los dígitos de las unidades decimales que se deben “llevar” para ser sumados a la siguiente multiplicación de dígitos. Para obtener el segundo resultado parcial (E4 E3 E2 E1) se multiplica el dígito correspondiente a las unidades de orden uno del multiplicador (B1) por los dígitos del multiplicando (A0 A1 A2…An) B1 x A0 = e2 E1 B1 x A1 = e3 e2 entonces e3 e2 + e2 = e3 E2 B1 x A2 = e4 e3 entonces e4 e3 + e3 = e4 E3 Para obtener el resultado final (C4 C3 C2 C1 C0) se suman los resultados parciales (D3 D2 D1 D0 y E4 E3 E2 E1) teniendo en cuenta el orden de las unidades decimales: D3 D2 D1 D0 + E4 E3 E2 E1 C4 C3 C2 C1 C0 E0 = C0 D1 + E1 = C2 C1 D2 + E1 + C2 = C3 C2 D3 + D3 + C3 = C4 C3 Resultado final = C n ... C4 C3 C2 C1 C0 Tanto los productos parciales como el final se deben escribir en un orden derecha – izquierda teniendo en cuenta el orden y el valor de las unidades decimales. Para un manejo comprensivo del algoritmo de la operación es necesario entender la lógica de dicho algoritmo, la cual esta directamente relacionada con la lógica del sistema de numeración en base diez. Se intentará explicar la lógica del algoritmo mediante un ejemplo concreto:

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Multiplicar 627 por 75 627 x75 3135 4389 + 47025 627: 6 x 102 + 2 x 101 + 7 x 100 75: 7 x 101 + 5 x 100 3135: 3 x 103 + 1 102 + 3 x 101 + 5 x 100 43890: 4 x 103 + 3 x 102 + 8 x 101 + 9 x 100 + 0 x 100 47025: 4 x 104 + 7 x 103 + 0 x 102 + 2 x 101 + 5 x 101 627 x 5 3135 6 x 102 + 2 x 101 + 7 x 100 x 5 30 x 100 + 10 x 10 + 35 627 x 70 43890 6 x 102 + 2 x 101 + 7 x 100 x 70 420 x 100 + 140 x 10 + 490 En la aplicación del algoritmo convencional, al multiplicar 627 por el 7 de setenta y cinco, se usa tácitamente que este siete representa siete unidades de orden 1, o sea, 7 por 10. Por esta razón el nueve de 4.389 aparece corrido un lugar a la izquierda en el segundo producto parcial (Ver la multiplicación desarrollada en la página anterior). Este nueve representa nueve unidades de orden 1 (9 x 10) y aparece al multiplicar siete (siete unidades de orden 1) por siete. El resultado es 49 unidades de orden uno, o sea, cuatro unidades de orden dos, es el cuatro que se debe “llevar” en la aplicación del algoritmo convencional.” El manejo de los algoritmos constituye un buen ejemplo de la discusión sobre la conexión entre conocimiento conceptual y procedimental. Autores como Hiebert y Lefevre (1986) definen el algoritmo como una serie de instrucciones ejecutadas en una secuencia lineal estructurada, es decir, que varios algoritmos forman parte de un algoritmo mayor y todos forman parte del conocimiento procedimental. El conocimiento conceptual permite establecer la relación entre conceptos a través de la inclusión o la analogía, mientras que el procedimental relaciona (linealmente) acciones sobre conceptos o Derechos reservados de Autor ® 10 Mariela Orozco Universidad del Valle

sobre los símbolos de los mismos. Entendido de esta manera, el algoritmo es considerado como un instrumento o herramienta para la resolución de problemas matemáticos, que reduce el esfuerzo mental y contribuye indirectamente al desarrollo conceptual por cuanto un algoritmo automatizado facilita la comprensión de conceptos más complejos. El conocimiento conceptual del algoritmo se enseña en la escuela mediante la aplicación de reglas para efectuar las 4 operaciones, que posibilitan el aprendizaje de las distintas posibilidades o técnicas de actuación, los pasos que hay que realizar y el orden de los mismos, sin embargo, el aprendizaje de tales reglas generalmente no permite explicar porque dichas operaciones se deben aplicar, este déficit generalmente se evidencia en la escuela secundaria. Con el aprendizaje conceptual de los algoritmos se pueden obtener ciertas ventajas: • Reconstruir un algoritmo y lograr un aprendizaje significativo del mismo permite después automatizar su uso. • Construir algoritmos “propios” favorece la comprensión de los pasos a seguir, su reconstrucción, antes que el apego a una formula final que en la mayoría de los casos resulta desfasada. • Si los algoritmos son comprendidos de manera conceptual, se los dota de un significado que permite un almacenamiento en la memoria a largo plazo; permite controlar la selección de pasos a realizar y la ejecución de los mismos, determinando si la respuesta encontrada tiene sentido y posibilita una mayor transferencia para su utilización. A continuación presento dos ejemplos9 que muestran la originalidad de los “algoritmos de los niños” cuando comprenden la lógica del sistema, manejan las tablas de multiplicar y aplican este conocimientos tanto a la solución de multiplicaciones como a la de divisiones. La maestra propone a Lilian un problema de tipo multiplicativo. Examinemos como lo resuelve: M10: Esta operación que significa? L11: Que se tienen 135 cajas y en cada caja hay 12 colores. Cuántos colores hay en total, o que hay 12 cajas y en cada caja 135 colores. L: 2 por 5 igual a 10, 10 de 1 y 2 por 3 es igual a 6 mas 1 igual a 7 de 10 y 2 por 1 igual a 2 de 100. INSERTAR PRIMERA PRODUCCION DE LILIAN M: De qué otra forma lo sabes resolver? L: 12 x 135 = (2 x 135) + (10 x 135) L: 135 = 5 + 30 + 100 = 5 de 1 + 3 de 10 + 1 de 100 L: también 135 por 12 es igual a 135 por 10 veces más dos veces, 2 veces 135 es igual a 270 y 10 por 135 es igual 1,350, entonces 12 por 135 es igual a 1.620.

9 Los ejemplos fueron suministrados por Luz Amparo Sepúlveda, quien lleva muchos años trabajando para que los niños aprendan una matemática con significado. 10 M: maestra. 11 L: Lilian

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INSERTAR SEGUNDA PRODUCCION DE LILIAN Examinemos como resuelve Carlos, un alumno de 3° de primaria la siguiente división: 3.591: 3, utilizando su comprensión del sistema y del algoritmo de la división. C: Separo 3 de mil de 3.591, o sea, que descompongo el número que me dieron para ser dividido. Busco un número que multiplicando por 3 es igual a 3. Tres veces una de mil igual a 3 de mil. (Escribe 1 en el cociente. Coloca el punto del 1.000 y con rayitas marca los espacios para los de 100, de los de 10 y los de 1. Escribe 0 debajo del 3 de 3.591) C: Bajo el 5 porque ya acabe con los de 1.000, ahora sigo con los de 100. ¿Qué número multiplicado por 3 da igual o cerca de 5? 1, 1 por 3 igual 3, 3 veces 1 de 100 igual a 3 de 100, no acabe con los de 100, me quedan 2, pero sigo con los de 10, convierto los de 100 en de 10. Bajo el 9 al lado del 2, 9 de 10 mas 2 de 100, es igual a 29 de 10, entonces 3 veces 9 de 10 igual a 27 de 10, me quedan 2 de 10, que es igual a 20 de 1 y 20 de 1 mas 1 de 1 es igual a 21, entonces 3 por 7 es igual a 21, 3 veces 7 de 1 igual a 21 de 1 y no me quedan de 1 INSERTAR PRODUCCION DE CARLOS Resolución de problemas Para estudiar los diferentes tipos de problemas que se pueden resolver utilizando la multiplicación y la división, autores como Vergnaud (1983) y Behr y otros (1994) proponen el estudio de la estructura multiplicativa y en ella ubican problemas diferenciados en función de las exigencias que su solución plantea a cualquiera que los resuelva correctamente. Para trabajar la multiplicación desde el contexto de la resolución de problemas, se opta por la conceptualización propuesta por Vergnaud (1983, 1991), autor que ubica los problemas multiplicativos en el campo conceptual de la estructura multiplicativa. 12 Vergnaud ha abordado las relaciones y operaciones y otros conceptos, creando la noción de campo conceptual: “un conjunto de problemas y situaciones para cuyo tratamiento resulta necesario utilizar conceptos procedimientos y representaciones de diferente tipo estrechamente interconectados.” (Vergnaud, 1983, p. 127) Tradicionalmente la operación multiplicativa se ha presentado como una relación ternaria a x b = c. Para Vergnaud se trata de una relación cuaternaria entre 4 cantidades y dos tipos de medidas. Dos cantidades corresponden a medidas de un cierto tipo (por ejemplo, número de objetos) y las otras dos, son medidas de otro tipo (por ejemplo, su precio) Este análisis genera el siguiente tipo de esquema que ejemplifica los espacios de medida que se establecen y las relaciones entre las cantidades: M1 M2 A B C D 12 Aquí solamente presentamos un breve resumen de las tesis de este autor. Para un estudio más completo de las mismas, revisar los textos que se mencionan en la bibliografía.

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En la resolución de problemas multiplicativos se pueden distinguir dos grandes categorías de relaciones multiplicativas, que para su solución exigen las operaciones de multiplicación y de división. Isomorfismo de medidas El primer tipo corresponde con el “isomorfismo de medidas” (Vergnaud, 1983, p. 129), una estructura que consiste en una proporción múltiple entre los espacios de medida M1 y M2. En ella se identifican 4 subclases de problemas: de multiplicación, dos tipos de división y la regla de tres. A continuación doy ejemplos correspondientes a estos tipos de problemas. Ejemplo 1: problemas de multiplicación Lucia compra 3 paquetes de galletas y cada paquete cuesta $150 ¿Cuánto debe pagar por los 3 paquetes? Paquetes de galletas Pesos 1 150 3 X Este y los siguientes problemas se pueden representar con un esquema análogo, que se ponen en relación las cuatro cantidades y la x designa la cantidad que se busca. Desde la perspectiva de los espacios de medida, en este tipo de problema se distingue el espacio M1 ”paquetes de galletas” del espacio M2 del “precio”. M1 M2 1 150 2 X Entre los valores numéricos en los dos espacios se pueden establecer dos tipos de relaciones: una relación funcional entre el numero de paquetes y su precio y una relación escalar en el espacio de medida de los paquetes de galletas. Cada relación esta marcada por un operador diferenciado: el operador funcional “x150” y el escalar “x3” M1 M2 */150 1 150 */3 3 x Los alumnos pueden resolver el ejemplo 1 correspondiente a los problemas de multiplicación propiamente dicha, utilizando sumas reiteradas, como las previamente descritas, o el algoritmo de la multiplicación para multiplicar utiliza el operador escalar, “x3” que relaciona los dos términos en el mismo espacio .de medida, en este caso, “paquetes de galletas” Ejemplo 2: problemas de división - partición

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Para Vergnaud en la multiplicación surgen dos tipos de problemas de división. El primer caso se define cuando la incógnita corresponde al multiplicando y obedecen al siguiente esquema: ? x multiplicador = resultado, como en el ejemplo que a continuación presento: Lucia compra 3 paquetes de galletas y le cobran 450 pesos. Cuánto vale cada paquete? M1 M2 1 x 3 450 Estos problemas se denominan de división - partición. La incógnita es igual al valor correspondiente a cada una de las partes en el espacio de medida M2. En estos problemas el alumno debe partir un valor total en un número dado de partes iguales y encontrar el valor correspondiente a cada parte. Ejemplo 3: división - agrupamiento En el segundo caso, la incógnita corresponde al multiplicador y obedecen al siguiente esquema: multiplicando x ? = resultado. Examinemos el siguiente ejemplo: Lucia ha comprado varios paquetes de galletas. Si cada paquete cuesta 150 pesos y le han cobrado 450 pesos. Cuántos paquetes compró? M1 M2 1 150 X 450 Estos problemas se denominan de agrupamiento. La incógnita corresponde al numero de partes que se forman en el espacio de medida M1. En este tipo de problemas se conoce el valor de cada parte y debe encontrar el numero de partes resultantes. La resolución de los problemas de los ejemplos 2 y 3 requiere de la división, pero deben utilizar cálculos relacionales diferenciados. En el ejemplo 2 hay que buscar el valor unitario o valor de una unidad conociendo el vínculo de correspondencia entre dos magnitudes de naturaleza diferente: los paquetes de galletas y su precio. Este problema se resuelve utilizando, en el espacio de medida del precio, el operador escalar “÷3” (el inverso del operador escalar “×3”), que relaciona los dos valores numéricos, en el espacio de medida de los paquetes. En el ejemplo 3, el valor unitario esta dado y es necesario buscar el numero de unidades compuestas (paquetes de galletas) en el espacio de medida M1. que corresponden con el dinero disponible, en el espacio de medida M2. La operación que permite resolver este tipo de problemas es la función inversa “÷150” de la función directa “x150”, que relaciona una bolsa con su precio, es decir, la unidad con el valor unitario; estos operadores representan funciones y expresan el paso de una categoría de medidas a otra. Ejemplo 4 Derechos reservados de Autor ® 14 Mariela Orozco Universidad del Valle

Lucia necesita comprar 12 paquetes de galletas. 3 paquetes le cuestan $450 Cuanto debe pagar por 12 paquetes? Paquetes de galletas Pesos 3 X4 12

x150 ÷150

450 ÷4 X

Ejemplo 5: problemas de regla de tres La distancia entre Pereira y Barranquilla es de 963 kilómetros. Si un auto gasta 3 litros de gasolina en 60 kilómetros. Cuántos litros consumirá para ir de una ciudad de otra? Kilómetros Litros 60 3 960 X Los ejemplos 4 y 5 se diferencian de los anteriores porque ninguna de las cantidades corresponde con el valor de la unidad y por esto exigen el manejo de la regla de tres es necesario encontrarlo. Esta clase de problemas presentan dificultades diferenciadas, según la relación entre los términos sea exacta o inexacta13. Para resolver este tipo de problemas muy pocos alumnos utilizan la regla de tres y frecuentemente utilizan uno u otro operador dependiendo de su facilidad. Por ejemplo, en el problema 4, es bastante probable que la mayoría de los alumnos utilicen el escalar “x4” en el espacio de medida M1 de los “paquetes de galletas” y lo apliquen al precio. Muy pocos alumnos obtienen el operador funcional “x150” y lo aplican al numero de paquetes de galletas. Sin embargo, la forma algorítmica de la regla de tres resulta indispensable cuando las relaciones entre los términos no son exactas. El resultado de muchos de estos problemas, puede ser un numero racional. Producto de medida La segunda categoría de problemas, corresponde con los de producto de medida. Esta estructura consiste en la composición de dos espacios de medida M1 y M2 en un tercer M3. En este tipo de problemas se manejan tres variables y la selección y expresión de unidades no obedece a las mismas reglas. Las unidades de productos se expresan como productos de unidades elementales: una pareja, centímetros cuadrados, etc. Esta forma de relación consiste en una relación ternaria entre 3 cantidades de las cuales, una es el producto de las otras dos. La manera de representar esta relación es el plano cartesiano de conjuntos, el cual explica la estructura de los productos de medida. Esta relación multiplicativa permite distinguir dos clases de problemas: 13 En este capítulo solamente trabajamos relaciones exactas entre números naturales, cuyo resultado sean números naturales.

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• •

Multiplicación: Encontrar la medida producto, cuando se conocen las medidas elementales. División: Encontrar una de las medidas elementales cuando se conoce la otra medida y la medida producto.

Ejemplo 6 3 muchachos y 4 muchachas asisten a un baile. Cada muchacho quiere bailar con cada muchacha y cada muchacha con cada muchacho. Cuántas parejas posibles se forman si todos los muchachos bailan con todas las muchachas?14 En el primer ejemplo, se tienen dos conjuntos: H = [a, b, c] que corresponde al grupo de los muchachos y M = [d, e, f, g] al de las muchachas. El conjunto C de las parejas posibles es el producto cartesiano del conjunto de los muchachos por el conjunto de las muchachas. C=GxF Como lo muestra el siguiente plano cartesiano: M f G h a (a,f) (a,g) (a,h) H b (a,f) (b,g) (b,h) C (c,f) (c,g) (c,h)

i (a,i) (b,i) (c,i)

Una pareja consiste en la asociación de un elemento del primer conjunto con un elemento del segundo. El número de parejas es igual al producto del número de muchachos por número de muchachas. X parejas = 3 muchachos x 4 muchachas En los números En las dimensiones x=3x4 Parejas = muchachos x muchachas15 En el siguiente ejemplo se ilustra una forma de división propia de esta forma de relación multiplicativa, que no se puede confundir con las divisiones que se derivan de los problemas propios del isomorfismo de medidas. Un vendedor quiere poner a disposición de los clientes 15 variedades de helados cubiertos de vainilla. Dispone de tres clases de vainilla. ¿Cuántas variedades de helados puede tener?

14 Es necesario proponer a los alumnos esta aclaración porque su experiencia en los bailes, en los cuales, cada muchacho baila con una o dos niñas, les impide entender la complejidad del problema que exige manejar todas las parejas posibles. 15 En la sección “Cómo enseñar a resolver problemas relativos al campo conceptual de la multiplicación”, de este mismo capítulo, se dan ejemplos de la forma como se puede ayudar a los alumnos a resolver este tipo de problemas.

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Para encontrar el número de variedades disponibles, hay que dividir el número de “variedades de helados cubierto con vainilla” (15) por el número correspondiente a las clases de vainilla disponibles (3). El/la maestro/a reconoce los diferentes tipos de problemas y sus estructuras con el propósito de entender las dificultades que los alumnos presentan al resolverlos y ayudarles a encontrar el procedimiento que conduce a su resolución. De ninguna manera el/la maestro/atrabaja la estructura de los problemas con los alumnos. Cómo enseñar a multiplicar y a dividir Para empezar a multiplicar, el maestro trabaja situaciones sencillas y propias de la vida cotidiana de los alumnos. En el aula, existen ciertos elementos que aprovecha para introducir la multiplicación. Por ejemplo: • Los ojos y las manos de los niños • Las patas de las mesas y los asientos. • Los grupos de niños en una mesa. • Las cajas de colores. El maestro los utiliza creando actividades que permitan a los alumnos construir y entender la operación, trabajando con ellos conteos de 2 en 2, 4 en 4, 5 en 5, etc., y el papel diferenciado del multiplicando y del multiplicador, a partir de procedimientos manipulativos. El maestro trabaja con el grupo, formulándole estas preguntas. ¿Cuántas patas tiene tu mesa? ¿Cuántas mesas hay en esta fila? ¿Cuántas patas tendrán las mesas de esta fila? ¿Cuántas patas habrá, entre todas las mesas del salón? Cuando los alumnos utilizan el número de patas como el término que suman reiteradamente y lo hacen correctamente, inicialmente les pregunta: “¿Cuántas mesas contaste? ¿Cuántas mesas hay en la fila?” A los alumnos que puedan expresar el número de mesas les dice: 5 veces 4 patas es 20; posteriormente introduce el signo “x” que “reemplaza al número de veces que el 4 se repite”. En otras ocasiones el maestro les propone: ”Contemos de 4 en 4 para saber cuántas patas hay en total”. Cuando termina el conteo les pregunta ¿Cuántas veces contamos el 4?”. De esta manera puede proponer a los/las alumnos/as actividades que incluyan con otros contenidos que les resulten cotidianos. Por ejemplo, para realizar conteos de 2 en 2 utiliza los ojos, o las manos de los/las alumnos/as en cada mesa y después pregunta: ¿Cuántos/as alumnos/as he contado?. Para hacer conteos de 5 en 5 trabaja con los dedos de las manos. El maestro observa con especial interés los/las alumnos/as que tengan dificultades con este tipo de actividad. Especialmente a aquellos que tienen dificultades con los conteos. Con estos alumnos/as, vuelve a trabajar actividades de composición con números menores que 5. Por otra parte, resulta entendible que los/las alumnos/as tengan dificultades para establecer las veces que cuentan. Insistir con esta pregunta les permite trabajar ” las veces que se repite” y posteriormente relacionarlo con el operador y entender el papel del multiplicador en la operación. Derechos reservados de Autor ® 17 Mariela Orozco Universidad del Valle

Otra actividad que resulta adecuada para empezar a multiplicar es “saltar lazo”. Un maestro divide el grupo de clase en pequeños grupos de 4 ó 5 (más adelante veremos que así introduce la división). Entonces, entrega a cada grupo una cuerda para saltar y les propone: “Cada uno va a saltar hasta que pierda. Cada uno contabilizará dos puntos por salto exitoso. Van a contar de 2 en 2. Al final, cada uno me debe decir, cuántos puntos obtuvo y cuántas veces saltó”. Cada grupo puede contabilizar puntos y realizar conteos según el rango que maneje: de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5. Inicialmente, los niños tienen mucha dificultad para establecer cuantas veces saltaron, sin embargo el maestro, trabaja la pregunta: “¿Cuántas veces has saltado? “ y progresivamente pueden lograrlo. Esta pregunta se puede volver una condición del juego. Por ejemplo: si al final no saben cuántas veces saltaron, entonces pierden puntos. Los/las niños/as pueden determinar cuántos puntos pierden. El maestro puede observar si los niños: • Cuentan correctamente • Pueden establecer el número de veces que saltan. • Pueden establecer su puntuación final. Cuando los niños establecen el número de veces que saltan, el/la maestro/a puede comenzar a utilizar expresiones multiplicativas como: “2 veces 2, ¿cuánto es?” y “3 veces 2, ¿cuánto es?”; y así sucesivamente. Otro tipo de actividades que resultan relativamente sencillas y fáciles para que el/la maestro/a trabaje con los niños el paso de la adición a la multiplicación están relacionadas con la construcción de unidades compuesta y el conteo de las mismas. Por ejemplo, una maestra entrega a los/las alumnos/as en cada mesa o grupo, suficiente material como botones, o tapas de gaseosa y bolsas o vasitos plásticos para que cada uno pueda armar paquetes con 2, 3, 4, ó 5 elementos en cada bolsa o recipiente. Cuando los/las alumnos/as han armado varios paquetes la maestra toma un grupo de recipientes y pregunta: “¿Cuántos botones (o tapas) hay en total, en estas bolsas ó vasos?” La maestra observa si los/las alumnos/as: • Establecen el número total de botones. • Cuentan el número de bolsas o vasos. • Cuentan de dos en dos, de tres en tres, etc.16 • Cuenta el número de bolsas, dicen el número de bolsas y dicen el número de botones. La maestra le puede preguntar: ¿Cuántos botones (o tapas) hay en cada bolsa ó vaso? ¿Cuánto es x veces 2? 16 Según el rango que el grupo de alumnos trabaje.

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Cuando los alumnos cuentan de dos en dos, entonces la maestra tapa las bolsas y les pregunta: “¿Y cuántas bolsas hay? ¿Cuánto es x veces dos? Así puede proceder hasta completar 10 bolsas hasta con cinco elementos en cada una. Para ayudar aún más a los/las alumnos/as a pensar simultáneamente en el número de botones ó tapas que empaca y en el número de bolsas o vasos que utiliza, el maestro mete las bolsas de un grupo de 4 ó 6 alumnos/as en una caja y a medida que las empacan les dice: “Cuando terminemos de meter las bolsas en la caja, ustedes me dicen cuántos botones tengo. La maestra mete 3 bolsas con 5 botones en cada una y los/las alumnos/as al final dicen: “15”; entonces ella adelanta el siguiente diálogo: “¿Y cómo hiciste para saber que eran 15?” Algunos dicen que contaron 5,10,11,12,13,14 y 15. Entonces la maestra les pregunta: ¿Y cuántas veces contaste el 5? A los alumnos que no saben les pide que cuenten las bolsas. Cuando lo han hecho les pregunta: ¿Y cuantos botones hay en cada bolsa? Cuando el/la alumno/a resuelve este interrogatorio ella insiste y pregunta: ¿Cuántas bolsas tengo? ¿Cuántos botones hay en total? ¿Cuántos botones en cada bolsa? ¿Cuánto es 3 veces 5? Si los alumnos no saben cuantos botones hay, la maestra trabaja con bolsas transparentes que permiten que el niño los cuente. Cada vez que el/la alumno/a termina de contar los botones en una bolsa, la maestra pregunta ¿Cuántos botones hay en esta bolsa? ¿Cuántos botones llevamos? ¿Cuántas bolsas has contado? No es necesario hacer con todos los alumnos/as la misma secuencia de preguntas. Los criterios que orientan a la maestra surgen de las producciones de los/las alumnos/as y de su conocimiento de la operación multiplicativa y a medida que avanzan, complejizan el tipo de problemas que les proponen. Para trabajar la conmutatividad de la multiplicación un maestro entrega hojas de papel cuadriculado a los/las alumnos/as que ya utilizan procedimientos multiplicativos, pues usan “las veces que se repite”, y les propone trabajar con tablas de doble entrada. Para esto, les presenta el esquema de la figura 1 y les pide recorrer con los dedos los cuadros de las filas y luego los de las columnas. Después, les pide que escojan entre los números que marcan filas ó columnas cual va a indicar las veces que un número cualquiera se repite. Un alumno escoge los numerales de la fila y el maestro ha dicho que debe marcar 2 veces 1, entonces el niño dibuja los dos cuadros de la fila. Cuando los termina, el maestroa le dice: “ahora, dibuja 1 vez 2”. Los resultados de los dibujos de los/las alumnos/as pueden verse en la figura 2. El maestro para ayudar al alumno/a a reflexionar sobre lo que ha hecho, le pregunta: ¿Cuántos cuadros pintaste cada vez? ¿Qué cambio notas en tu dibujo?

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Con los niños más avanzados, el maestro les propone examinar la tabla manejando el multiplicador en las columnas y señalar el cambio que obtienen. Igualmente, les pide que utilizando números representen lo que han hecho. Figura 1. X 1 1 2 3 4 5

2

3

4

5

X 1 1 2 3 4 5

2

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X 1 1 2 3 4 5

2

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5

Figura 2.

Cómo enseñar a resolver problemas relativos al campo conceptual de la multiplicación Simultáneamente con la enseñanza de la multiplicación, los/las maestros/as proponen a los alumnos problemas multiplicativos de diferentes tipos. Aquí damos algunos ejemplos. Para trabajar problemas del tipo producto cartesiano o producto de medida, se pueden utilizar contenidos muy variados.

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Uno de los más comunes son los productos de medida para encontrar áreas. Como ya se sabe, es más fácil para los alumnos/as trabajar con unidades no convencionales, entonces se les puede proponer problemas que las incluyan. El siguiente problema ejemplifica esta propuesta. Quieres poner baldosas nuevas a tu cuarto. A lo largo necesitas 8 baldosas, a lo ancho necesitas 5 baldosas. ¿Cuántas baldosas necesitas en total? Algunos alumnos/as resuelven este problema después de leerlo, sin necesidad de ayuda, otros, no lo entienden: entonces, resulta conveniente ayudarles con modelos de tipo figurativo, como las cuadrículas del cuaderno ó ladrillos de construcción de los que se consiguen en el comercio. Con los ladrillos la maestra construye el suelo y lo tapa con una cartulina, dejando visibles los ladrillos de los lados. Entonces pregunta: ¿Cuántos ladrillos hay en total?. Para resolver este problema los alumnos/as trabajan las veces que las columnas o filas se repiten. Si cuentan uno a uno los ladrillos, la maestra les pregunta por el número de ladrillos en cada columna o fila y las veces que la fila o la columna se repite. Cuando utiliza las cuadrículas del cuaderno la maestra trabaja con los/las alumnos/as las filas y las columnas. Entonces les propone colorear: 1 fila de 5 cuadros 2 filas de 5 cuadros etc. Entonces, les pregunta: ¿Cuántas filas has coloreado? ¿Cuántos cuadritos hay en cada fila? ¿Cuántos cuadritos hay en total? Después les pide que escriban lo que han hecho utilizando números. A los alumnos avanzados les pide que encuentren todas las maneras posibles de obtener 20 cuadritos, 30, 48 etc. De esta manera la maestra ayuda a los/las alumnos/as a construir procedimientos multiplicativos. Como la maestra reconoce que los/las alumnos/as tienen dificultades para trabajar los problemas de las parejas de baile y los conjuntos que se pueden formar con n número de pantalones y camisas utiliza algún tipo de material manipulable. Por esto para resolver el problema: 3 niños y 4 niñas asisten a una fiesta. Cada niño quiere bailar con todas las niñas y cada niña con todos los niños. ¿Cuántas parejas pueden formar?, la maestra les entrega tarjetas con los niños y las niñas a los/las alumnos/as para que ellos puedan experimentar con el número de parejas que se pueden formar y a los más avanzados les presenta una tabla de doble entrada con los niños y las niñas que asisten al baile. Inicialmente los/las alumnos/as dicen que se forman tres parejas y que sobra un niño; entonces la maestra les pide que trabajen con las tarjetas o sobre la mesa para comprobar si todos los niños han bailado con todas las niñas. Cuando entienden que se tienen que formar muchas parejas, entonces les señala que la multiplicación sirve para resolver este tipo de problemas. Derechos reservados de Autor ® 21 Mariela Orozco Universidad del Valle

De la misma manera se puede trabajar, si el chico dibuja las parejas de baile que se forman. Con este tipo de actividades la maestra observa si los alumnos/as: 1. leen y entienden el problema 2. trabajan con los datos del problema 3. utilizan estrategias personales para organizar la información 4. utilizan modelos concretos, grafías figurativas ó el algoritmo 5. reconocen las veces que el número o la colección se repite 6. no reconocen las veces que el número o la colección se repite 7. para obtener el resultado: • realizan conteos o enumeran • suman • multiplican • descomponen el multiplicando o el multiplicador y trabajan el producto de la descomposición. Las tareas de partir y repartir permiten introducir el tema de la división Cada vez que divide los/las alumnos del curso en pequeños grupos la maestra utiliza esta situación para trabajar la división. Para esto, les propone estrategias diferenciadas. Algunas veces les pide que se repartan de tal manera que haya un número de alumnos/as en cada grupo y pregunta por el número de grupos resultantes. Otras veces les pide que formen un número dado de grupos y les pregunta por el número de alumnos/as en cada grupo. Por supuesto esta última pregunta es más difícil. Para trabajar la división es importante que los/las alumnos/as relacionen estas reparticiones con la escritura de la operación. Para esto la maestra les pide que escriban lo que han hecho y que localicen en cada situación a cual de los dos términos de la división corresponden los alumnos/as y los grupos. Por ejemplo, si se divide el curso en 5 grupos el número total de alumnos/as corresponde con el dividendo, los grupos con el divisor y el resultado son los/las alumnos/as en cada grupo. En cambio si se divide el curso en grupos de 4 alumnos/as, el número total de alumnos/as corresponde con el dividendo, el número de alumnos/as en cada grupo es el divisor y el resultado son los números de grupos resultantes. La maestra propone a los/las alumnos/as muchas situaciones que les permitan repartir, partir, escribir lo que hacen y así entender la división. Por ejemplo, entrega a un grupo de alumnos/as en una mesa 20 fichas y les pide que las repartan entre ellos de tal manera que todos tengan lo mismo. Igualmente les pide que hagan grupos de 4 ó 5 fichas (por supuesto uno a la vez) y establezcan cuántos grupos se forman. Con los niños que presentan dificultades trabaja utilizando vasos plásticos o bolsas en las cuales se reparten las fichas. Otro tipo de actividad que la maestra utiliza, es repartir cierta cantidad de dinero en partes iguales entre los compañeros de la mesa. Para esto trabaja con monedas de 100 y pide a los alumnos componer una cantidad dada, por ejemplo 1000 pesos y luego repartirlo entre 4 y 5 personas, o Derechos reservados de Autor ® 22 Mariela Orozco Universidad del Valle

trabaja con un billete de 1000 pesos para repartirlos entre 2,3,4,5 alumnos exigiéndoles realizar cambios y encontrar residuos. Igualmente les pregunta por cuántas monedas de 10, cambian una moneda de 100. Por cuántas monedas de 100, de 200, cambian un billete de 1000. Así aumenta progresivamente el valor de los billetes hasta llegar a 10.000. Otra actividad está relacionada con el Juego de Dardos o de Bolos (construidos con botellas de plástico) o con cualquier otro juego con el que obtengan puntos. Después de jugar varias veces y obtener un número n de puntos, la maestra les pregunta: ¿Cuánto valía cada punto si tocaste el 3 y el puntaje que obtuviste fue 21?,ó ¿Cuánto valía el tiro si tumbaste 3 bolos y obtuviste 15 puntos?. Siempre que se realicen estas actividades la maestra les pide que escriban lo que hacen. Inicialmente muchos escriben multiplicaciones, por ejemplo, 5 x 4 = 20. Entonces la maestra trabaja con estos alumnos/as el algoritmo de la división llevándolos a reflexionar sobre la cantidad inicial de fichas y el resultado que han obtenido. Los/las alumnos/as deben entender que 20 no es el resultado sino la cantidad inicial y que el resultado de la división son 4 ó 5. Algunos alumnos asocian la división con las restas sucesivas (especialmente los que tienen dificultades con la multiplicación) y trabajan el resultado como el número de veces que restan el mismo número. Este procedimiento se puede utilizar después en el algoritmo de la división con varias cifras. Finalmente algunos suman el mismo número varias veces. La maestra trabaja con ellos para que, por lo menos, lo expresen multiplicativamente. Con este tipo de actividades la maestra observa si los alumnos/as: • Leen y escriben el problema • Trabajan los datos del problema • Utilizan estrategias personales para organizar la información • Utilizan: Modelos concretos, grafías figurativas y el algoritmo •

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Para repartir utilizan estrategias personales: Reparten uno a uno Reparten por aproximaciones sucesivas Anticipan el reparto Cuando dividen: Diferencian el dividendo, el divisor y el cociente En el cociente, diferencian el número de elementos resultantes en cada colección del número de colecciones resultantes. Diferencian el residuo Expresan como fracción las relaciones entre el dividendo y el divisor No expresan como fracción las relaciones entre el dividendo y e divisor Derechos reservados de Autor ® 23 Mariela Orozco Universidad del Valle

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Resuelven divisiones utilizando la: Adición repetida Sustracción repetida Multiplicación División Para trabajar el algoritmo de la división: Utilizan la divisibilidad de los números Utilizan adecuadamente las tablas de multiplicar Trabajan adecuadamente la posición de los términos del resultado Realizan las composiciones y descomposiciones que la operación requiere (divisiones llevando). Descomponen (resta) adecuadamente los términos del resultado Utilizan descomposiciones que facilitan el cálculo Utilizan procedimientos de cálculo mental

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