ESTADlSTICA ESPAÑOLA Vol. 30, Núm. 1 1 9, 1989, págs. 407 a 434

La función generadora de índices de precios (FGIP) : Concepto y Propiedades por

ENRIQUE OLIVER PEREZ-SANTA CRUZ Profesor Titular de Universidad (Teoría Económica) Facultad C. C. Económicas y Empresariales. Universidad de Zaragoza

RESUMEN En este artículo se define una función generadora de índices de precios (abreviadamente FG I P) que por satisfacer los axiomas de un índice de precios se constituye en un índice de precios de carácter general, del que resultan, como valores particulares, los índices de precios más importantes (Laspeyres, Paasche, Marshall-Edgeworth, ideal de Fisher) así como el índice "verdadero" del coste de la vida (índice de Kon^s). Además de generar estos índices, la FG I P posee ia importante propiedad de implicar el "teorema del número índice", así como los límites observables del índice de Kon^is Palabras clave.^ Generalización índices precios - teoría consumidor.

Clasíficación A MS: 6 2 P 2 0, 6 2 PXX. 0.

INTRODUCCION

En el presente artículo se pretende conseguir un tratarniento intec^rador de los principales índices de precios, y del coste de la vida, empleados en la parte de la Teoría Económica conocida bajo la denominación de teoria del consumidor (o teoría de la demanda). En nuestro enfoque, los índices de precios de Laspeyres, Paasche, Edgeworth, ideal de Fisher, y el índice

i til ^()I^il^ 1 t^f'^tic)1 1

verdadero" del coste de la vida, son elementos de una familia de índices, que par caracter^zar o generar a aquellos la denominaremos FUNCiON GENERADORA DE INDICES DE PRECIOS (abreviadamente FGIP) (1). Si bien ta FG I P se formula en el campo de los índices funcionales, haciendo abstracción de las relaciones entre precios y cantidades, en su aspecto formal podemos situar a la FG I P en el árnbito de los índices estadísticos. De este modo se demuestra que las expresiones, resultantes de someter a la FG I P a las condiciones en que se formulan las definiciones y axiomas adoptados por Eichhorn, constituyen índices estadísticos. Volviendo al campo dé los índices funcionales, se demuestra que la FG I P también se particulariza en el "'verdadero" índice dei coste de la vida. Para demostrar que el índice de Koni;s también es generado por la FG I P, empleamos dos métodos: el convencional de la teoría de la utilidad ordinal y el de la preferencia revelada en su versión fiexibfe de J. R. Hicks. Utilízando ambos métodos por separado, se logra la determinación de Ios valores de los parámetros, de los que depende la FG I P, para los que esta se particulariza en el índice de Kon^s. Con ello queda demostrado que ei índice de Koniis es un valor particular (inobservable) de la FGIP. Una vez obtenido el resultado anterior, es inmediato el establecimiento de los límites del índice "verdadero" del coste de la vida que, por el primer método (la teoría de la utilidad ordinal) se expresará mediante desigua{dades estríctas, mientras que por el segundo método (la teoría de la preferencia revelada) vendrá dado en términos de desigualdades débiles, al alcanzarse una expresión más general que la obtenida con el primer método. En cualquiera de {os dos casos está implicado el teorema del número índice. Por último, el desarrollo teórico precedente se completa con la ilustración de la forma de la superficie con que se representa la FG I P. Definido el dominio de la FGIP mediante un recinto cuya frontera son los lados de un cuadrado, es curioso observar que los índices de precios de Laspeyres, Paasche, e ideal de Fisher son los valores que toma la FG I P en los puntos extremos del recinto, mientras que el índice de Marshall-Edgeworth es el valor que toma la FG 1 P en la intersección de las diagonales del cuadrado. De otra suerte, los valores de !os parámetros, para los que fa FG I P se particulariza en el índice de KOIVUS, se encuentran en la diagonal que conecta el extremo inferior izquierdo con el superior derecho. En definitiva que la forma de la superficie con que se representa la FG { P i{ustra tanto ef tearema del número índice como los límites de los índices funcionales.

L;^ t^^l'^v(^I(>^i t,E-tiEIZ^ACX^R:^ T)E: I^C^)I(^E^^S [)F^ NFtf.( IC)S IfC,1F^' ^

1.

LA FUNCION GENERADORA DE INDICES DE PREC^OS (FGIPj

Supongamos una situación inicial, o de referencia, definida por el triple ordenado S° =(p°, y°, q°), en donde p° es el vector de precios iniciales, y° la renta monetaria percibida por el consumidor en la situación inicial, q° el complejo adaptado en el sentido de Roy (1 941 ), es decir, la combinación de cantidades de bienes elegida por el su jeto para los anteriores datos de precios y renta nominal. Consideremos una situación de camparación S' p= (p', y' P q' P), en donde, para un nuevo sistema de precios (p' ), la renta monetaria (y"^ es tal que el complejo adaptado (q' ^ es el punto del hiperplano (2) y° = p°q por el que pasa la curva en el espacio especificada mediante { q ^ U,/p; _ U2/p2 =...= U„/pñ }, en donde U,, i= 1, ... n, denotan las derivadas parciales de la función de utilidad ordinal U= U(q), cuya existencia resulta de la axiomática del consumidor. Para el caso de dos bienes, la representación del punto q' P viene dada en la figura 1. Nótese que el superíndice " 1" va seguido del superíndice "'P" para expresar que, en el tránsito de q° a q' P permanece constante la renta real-Paasche (o renta nominal deflactada mediante el índice de precios de Paasche de la situación de comparación respecto a la de referencia), según se ilustra, para el caso de dos bienes, en el gráfico que sigue

(Figura 1 )

.^io

^^r.^^^sric^^^ EsW^tior..^

Una vez fijados los puntos q° y q'P definimos las combinaciones lineales convexas qz=(1-a) q°+aq^P

,

,q^ - (1 _^) qo + ^q^P ,

pa ra 0 < a< 1

(1.1)

para0^ (2.2)

significado que la función N(p ^ qz,q^f) es estrictamer^te creciente. Nótese que la desigualdad p>^ debe entenderse en el sentido p, >p,, ..., pn >p,,, siendo p^ p. (iii) La función N(p ^ qx,q^j) satisface el axioma de homogeneidad lineal del nivel de precios, es decir N (^^p ^ qx,q^j} _

(^ p) q x•(^. p) q^^ _

^^ Pqx ' Pq^3 =^. N(P ^ qx-q^); para ^, E R+

( 2.3 }

de donde, si todos los precios absoiutos varían en la misma proporción, el nivel de precios N también varía en dicha proporción. 2.2 Segunda proposición. La FG I P satisface la definicián A de un índice de precios, formulada por Eichhorn en los siguientes términos: "Un índice de precios es una función l tP en el texto original), l:R++ > R,^ ,(p°,p) > l(p°,p), dada por l(p°,p) _ N(p1 / N(p°), en donde N es el nivel de precios ^L en el texto original), p° es el vector de precios del periodo base (o vector de precios de referencia) y p el vector de precios de comparación ". De acuerdo con la definicicán A anterior, la FGIP, dada por la expresión ^/[ (p' qz) / ( po qX) ] • [ ( p' qif) / (p° qif) ], puede interpretarse como una función I:R++ > R,^ tal que, para cualquier ( p°,p' ) E R++ , se tenga una imagen I(p°,p' ^ qx,qjf) E R.^.} igual al cociente de los nivPles de precios de comparación y de referencia, es decir p^ qz

p^ q^s _

i(p°,p' ^ qx,q^`) _ P° qz

Po q^j

.^ p^ qx . p^ q^1 _ _ ti Po qz ' Po q^f

N(p^ I qx^q^t)

(2.4) N (p° ^ qx,q^^)

LA FUNC'I{)N (;f:NER.^[X)RA UE-. Iti[)IC ES DF PRECIOS IF(;IF 1

^^S

en donde el símbola I(p°,p' ^ qz,q^f) denota el índice de precios de la situación de comparación respecto de la situación de referencia, cuando se toman como dadas las combinaciones de cantidades de los bienes considerados. De ahí que, en el marco de la definición A de Eichhorn, nuestros vectores qz y q^ no figuren como argumentos en la función con que se expresa el índice de precios. Por dicho motivo, en lugar de eliminar qx y q^f de tal función, hemos situado los argumentos (p°,p') a la izquierda de la línea vertical, mientras que los vectores de cantidades los hemos colocado a la derecha de la línea, con el objeto de advertir, no solamente de la constancia de sus componentes, sino de su no pertenencia a los argumentos de la función con que se define el índice de precios en cuestión. Teniendo en cuenta la definición A de índice de precios y los das axiamas que, por definición, satisface el nivel de precios en el sentido de Eichhorn (nota 4), se demuestran las cuatro propiedades siguientes: 2.2.a Propiedad de monotonía del índice de precios, en virtud de la cual la función I(p°,p' ^ qz,q^`) es estríctamente creciente respecto a los precios de comparación y estríctamente decreciente respecto de los precios de referencia. En efecto, por el axioma de monotonía del nive! de precios, ^ N(p ^ q z,q^f )> N(í3 ^ q z,q^f ) cuando p> p.^ Consecuentemente, para p> p^^

se tiene N(p' ^qz,q^s)

N( p' ^ q x' q^j )

^( p ° , P ' ^ q x , q j^} N(P° ^ qx.q^`)

^

N(P° ^ qz.q^f )

_ I( o~^ z s _ p,p ^ q,q ^ )

(2.5) mientras que, para p° > p°, resulta

I (p° , p' ^ qx , q^f} -

N (p' I qx'q^f ) x^r ) N(po ^ q,q

`^

N (p' ^ q^'q^^)__._ _ _ ^( ^o ^ X ^ ^ ^ p, p ^ q, q^) z ) ^ o ^ q,q N(p

(2.6) Por tanto, la FG I P satisface la propiedad de monotonía del índice de precios correspondiente a la definición A de Eichhorn. Esta proposición resulta facilmente de la expresión p^ qx poqz

p^ q^t poq^^

> <

p'qz po q z

p^q^f po q/f

Po = po para p' > _ P' Y para P° > P° Y P' = p'

por lo que la FG I P verifica el cumplimiento de (2.5) y(2.6)

(2.7)

^:sr^^r^is^^r^c^.^ E^^^^F^.^^;c^l_-^

^lf^

2.2.b Propiedad de homogeneidad lineal del índice de precios. Se establece que, si se multiplican todos los precios de comparación por i^^ (siendo ^^ R,^), entonces, el valor del índice queda rnultiplicado por ^+^. En efecto, apiicando el axiama de homogeneidad lineat del nivel de precios, se tiene _ o I 1 p^. P^ q-q I z^^ 1 -

N(^ p' ^ Q^^ q^f } N(p° ( qz,q^^l

^t N( p' ^ q x, q^'} _

^. I(p', P° ^ q^, q^}

N (p° ( qz,qu}

(2.8} en virtud de la cual la FG I P satisface la propiedad de homogenéidad lineal del í ndice de precios correspondiente a la definición A de Eichhorn. Esta proposición puede verificarse, facilmente, teniendo en cuenta que (^, p^^qX (^, p^}qi^ po q^^

p° q ^s

r.

p^ qz

p^ q/(q°,p°, q^, p^

si p > p`

/(p°, p°, q, p^ p°

2.4.b Axioma de homogeneídad /ínea! /(q°,p°,q, ^.pi = ^^l(q°,p°,q, p1

2.4.c Axioma de ídentidad /rq°,p°, q, p°i = 1

2.4.d Axioma de dimensíona/idad /(q°,,^^p°,q, i^^p) _ /(q°,p°,q, p)

2.4.e Axioma de conmensu^abilidad" De acuerdo con este último axioma, se establece que un cambio en las unidades físicas, en que se miden cada uno de los bienes, no altera el valor de la función I. En efecto, teniendo en cuenta que hay que redefinir los precios absolutos, al objeto de que representen el núrnero de unidades monetarias que se entregan por cada una de ias nuevas unidades de los bienes, se tiene:

f:^TAf)I^TI( A f:SP,AÑOI.A

I (q°, /1.,,..., q^ /^.n;,^^, p°, ,...,^.,,p^; q,/^t,,...,q„ _ ! (q°,p°,q,p) , para ^.,,...,^.,, E R,^

^^^

, p , , . . ., ^.,, p„ ) _

(2.1 1)

La FG I P satisface los axiomas ( 2.4.a) a(2.4.d), por razones formalmente análogas a las expuestas para verificar el cumplimiento, por la mencionada función generadora, de las propiedades ( 2.2.a) a (2.2.d). La FG i P también satisface e! axioma ( 2.4.e). Para verificar esta afirmación, hay que recordar que tanto a como ^3 representan superíndices ly no potencias) que son independientes de las unidades en que se exprese cada uno de los bienes. Por ejemplo, la componente i-ésima del vector q^ es (1-a) q,°+ aq^ con las unidades físicas iniciales, pero si estas unidades se incrementan al doble, entonces, dicha cornponente pasa a ser 11 -^1 {q°/2 ^ + a{ q,'p/2 )_{q^/2 ). Por otra parte. también seré doble el precio de la nueva unidad física del bien Q;. Por tanto

P' q^ po q^

De las consideraciones anteriores se sigue que la FG I P satisface ef conjunto de los cinco axiomas independientes (5), bajo el que se establece la definición C de índice de precios. Por último, consideremos el conjunto de los tests de Fisher que Ragnar Frisch (1936, p.5) considera como más importantes: F.1, identidad {ló! 1); F.2, reversibi^idad (ló I,°= 1); F.3, circularidad (ló I; = ló ); F.4, comensurabilidad (el índice no se altera al cambiar la unidad de medida de los bienes); F.S, determinabilidad {si algún precio, o cantidad, se anula, entonces, el índice de precias na ha de hacsrse nulo, ni infinito, ni indeterminado); F.6, proporcionalidad (6) (si los precios de la situación de comparación son proporcionales a los de la situación de referencia, entonces, el índice coincide con el factor de proporcionalidad). Es sabida que no existe ningún índice de precios que satisfaga todos los tests anteriares (F.1 a F.6) {7). Por ello,

LA f^^l'^('I(7^J (^E:^iERAC)ORA DE ItiC^I(^ES [)E PKF^^a"IOS IF^^(;II'I

41 y

el mencionado sistema de tests de Fisher no es satisfecho íntegramente por ninguno de los índices de precios generados por la FG ! P, es decir, por ninguno de los índices de precios que resulta de dar valores particulares a los parámetros a y^3 de la función ló (a,^3).

3.

FGIP E INDICE DE KQNl1S

Consideremos el índice de Kon^s (1924), Ilamado por este índice "verdadero" del coste de la vida. Escribamos Kó (UR) = K(p°, p', UR) para denotar el índice de Kon^s de una situación de precios de comparación (p' 1 respecta de una situación de precios de referencia (p°), bajo la claúsula de constancia de la satisfacción en el nivel prefijado (UR) para la situación de referencia. Por definición, Kó 1UR) es la razón de los mínimos gastos necesarios para alcanzar la misma hipersuperficie de indiferencia (8), UR=U (q), en las situaciones de precios p' y p°. En símbolos:

Kó (UR) _ K(po^p^^UR

G (p', UR) G (p°, UR)

(3.1)

en donde G=G (p, U) es la función de gasto empleada en la teoría de la dualidad. En adelante, supondremos que UR^ U°^ U(q°) EI problema, que nos ocupará en este apartado, consistirá en determinar, si existen los valores a=a* y^3=.^3* para los que la función generadora de índices de precios, l ó(a,^3), se particulariza en el índice "verdadero" de! coste de la vida (o índice de Kon^s). Para abordar esta cuestión seguirernos dos caminos. Para recorrer el prirnero ernplearemos la axiomática convencional de la teoría de la conducta del consumidor, tal como la establece Wold (9) (1953). Para el segundo, seguiremos la axiomática de la teoría de la preferencia revelada en el sentido flexible o débil de Hicks (10) (1956).

3.1 Determinación de los valores de los parámetros para los que, bajo la axiomática convencional del consumidor, la FGIP se particulariza en el índice de Konus La obtención de los valores a=a* y/3=^3*, para los que se verifica algunos de los cuales ló (a*,^3* )= Kó , requiere recorrer una serie de pasos se ilustran en la figura siguiente

^^^)

F ti1 ^t^l^^T i( .1 F.SP•^titll..•^

(Figura 3)

-que nos aproxirnarán al resu{tado que resuelve el problema planteado en el párrafo anterior

l_A F'['ti('IOti (iF:NF:R^IDOR.^ DE-. ItiDI('f_.S DF PRE(^IOS It GIf'^

^i 2 I

a} Se Ileva a cabo la determinación del vect©r q° que resuelve el problema Max. U=U (q) sujeto a y°=p°q, en donde y° es la renta monetaria de la situación de referencia o inicial.

bj La determinación del vector q'P (el prirner superíndice se refiere al sistema de precios, el segundo a una posición particular dentro de la correspondiente trayectoria de expansión) se efectúa del modo que sigue: Considerando un cambio del sistema de precios de p° a p', la intersección, de la curva de Engel en e1 espacio de bienes (U,/p; =...=U„/p^ ), con ei hiperplano de balance de la situación de referencia, y°=p°q, constituye el vector q'P cuya determinación buscamos. Por tanto, teniendo en cuenta que y° _ p°q° junto con y'P= p' q'P se sigue q'P ^ ^ q^ P°q°=P°q ^ n{ q ^ P' q'P=P' q}

(3.2)

c} La determinación del segmento [qo,q ^P^ ^ ^ q I poqo_poq }, cuyos puntos representan los diversos vectores en que pueden particularizarse las combinaciones lineales convexas definidas en (1.1) y(1.2}. d^ La determinación del vector q'K que, para el nuevo sistema de precios p', minimiza el gasto ( o coste) de alcanzar el mismo nivel de satisfacción U(q°) de la situación de referencia. En otros términos, q'K es el vector que resuelve el problema de min G=p'q sujeto a U(q°)=U(q), por lo que U ( q'K)=U (q°}

e) Llamemos qz* al punto que resulta de la intersección del segmento I qo,q^P ^ C^ q ^ poqo_ poq } con la recta ( fig. 3) que, a su vez, viene dada por la intersección de los planos poqo=poq y p^q^K_p^q. Por pertenecer qa^ al segmento ^ qo,q'P ^ puede representarse mediante la combinación lineal convexa q^* _(1 - a* ) q°+ a* q' P,

O< a< 1

13.3i

Por otra parte, por pertenecer qz* a la recta, que resulta de la intersección de poqo= poq y p^q^K= p^q, satisface a la segunda de estas, es decir p'q'K=p' [ (^ -a*) q ° + a* q'P ] _ p'q°+a* j p^q^P_p^q°)

(3.4}

de donde p^qo _ p^q^K

a* _ p^qo _ p^q 1P

(3.5)

E.ST•^^I^T I(^A E:SE'Ati()E.A

que es el valor ,z=a• buscado. Este valor ( representable por un punto del eje Oa, de la fig. 2) se designará con ^3* cuando se represente en el eje 0^3, es decir a* = j3*. f) Si a=a*=^3*=^3, entonces, ló (a*,^*) _ ló la',a*)=Kó ( U°). En efecto: para a=^3=a*, la expresión ( 1.7 ) de la FG i P se convierte en p,q^.

i ^ (a* 0

poq ^.

P' [(1- a* ) q° + a* q'P ] P° [( ^- a* ^ q °+ a* q' P] p^qo _ a* ( p^qo _ p^q^P) poqo _ a* (poqo _ poq^P)

(3.s)

Teniendo en cuenta que q'P ^{ q ^ p°q°=p°q }, es decir p°q'P=poqo, y sustituyendo en (3.6) ia expresión que resulta de despejar la diferencia p'q°-p'q'P en (3.5), se tiene p^q^K

I ^( a* , a* 1-- ^ P"q"

yrK

Y°

^[ P',^(q°1 ]

^ = K(p°,p',U°)=Kó (U°)

(3.7)

G [ P°- U (q°) ^

en donde p'q'K es el menor gasto con que, a los nuevos precios p', puede alcanzarse el nivel U(q°) inicial, dado que U(q°)=U (q'k) es la condición impuesta de constancia del nivel de vida; mientras que y'K e y° son los niveles de renta que, a precios p' y p°, se gastarían íntegramente de modo óptimo en q'K y q°, respectivamente. Nótese que (3.7) expresa, tautológicamente, que la FG I P"genera" el índice de Kon^s a partir de un valor (a*) obtenido suponiendo conocida la estructura de gastos (p' q'K) de la situación de Kan^s, que desde el punto de vista práctico es inobservable.

3.2 Determinación, a partir de la FG I P, de los límites del índice de Koniis en el contexto de la axiomática convencionaf. Dado que q° soluciona el problema de max. U=U (q) sujeto a y°=p°q, siendo q'PE { q ^ y°=p°q }, la axiomática adoptada (Wold, 1953) garantiza que q° es un óptimo único, por lo que U(q°) > U(q'P). Teniendo en cuenta que la función de gasto es creciente (1 1) en U, y que e1 menor gasto de obtener (a precios p' ) el nivel de satisfacción U(q°) es el mismo que el menor gasto de alcanzar (a los precios mencionados) el nivel U(q'K), se tiene G [ p^, U ( q ^K) ] _ G [ p^, U (qo) ] > G [ p^, U (q ^P) ]

(3.8)

LA, Et'NC'IO^1 GENERADORA DE INDICES DE PRECIC)S (FC^IP1

^? ^

Por otra parte, dado que a precios p' y bajo la condición de constancia de la renta real aparente (12) de Slutsky (191 5), especificada mediante la claúsula p'q°=p'q'^, la combinación q'^ es la que resuelve ei problema de max. U=U (q) sujeta a p'q°=p'q, resulta U(q'^1 > U(q°), de donde

"

G [ P^, U (q ^^ ) ^ > G [ P', U iq°) ^

(3.9)

por lo que, de (3.8) y(3.9) se sigue G [ p^^U(q^c) ^ > G [ p^^U(q^K) ^ > G [ p^^U(q^P) ^

(3.1 fJ)

que podemos escribir en la forma

p^qo > p^q^K > p^q^P

(3.1 1 )

Consecuentemente, multiplicando por (-1) los tres miembros de la cadena de desigualdades anterior, sumando p'q° a cada uno de los miembros de la cadena resultante, y dividiendo por el tercer miembro cada uno de los tres miembros de la cadena que resulta de la segunda transformación, se obtiene 0 p'q'P-p'q° Por la segunda prueba de indiferencia el primer miembro dé esta desigualdad es no positivo. Por las conclusiones obtenidas en el punto 3.3.b, el segundo miembro de dicha desigualdad, también es no positivo. Consecuentemente, considerando que el segmento ^q°,q'P no es degenerado, se sigue que p'q'P-p'q° < O, de rnodo que multiplicando ambos miembros de la susodicha desigualdad por la cantidad negativa 1/( p' q'P-p' q°) resu Ita

0 < a* _

P' q' K- P' q°

<

1

(para p'q'p_p'q° < 0)

(3.18^

P' q' P- P' q° que para los valores a=^3=a* particulariza la FGIP en el índice "verdadero" del coste de la vida. La cadena de desigualdades O< a* < 1, obtenida en (3.18), proporciona los límites en que debe de estar comprendido el valor a*, que permite establecer el par ordenado (a*,^3*) ^( a*,a*) cuya imagen, según la FGIP, da lugar al índice de Koniis, es decir ló (a*,a*) = Kó . Por otra parte, las imágenes, según la FG I P, de los pares ordenados (a,^3)=(0,0) y (a,^i=(1,1 ), son los índices de precios de Laspeyres (Ló ) y de Paasche {Pó ), respectivamente. La desigualdad 0< a* ^ 1 se refiere a elementos del dominio de l ó(a,^l, pero no a sus imágenes. Para comparar estas, de (3.16) y(3.17), se obtiene P' q' ^ < P' q' x< P' q°

(3.19)

dividiendo por p°q'P el primer miernbro de la desigualdad de donde anterior y, habida cuenta que poq^P=poqo, dividiendo por p°q° el segundo y resulta tercer miembro

Pó p axioma de homogeneidad /ineal, en virtud del cual, si se multiplican por ^. todos y cada uno de los precios, entonces, el valor de L queda multiplicado ^., es deeir L(^.p1 = r.L(p) , (^. ^ lq^ ., ( 5) E I "'teorema (3. 71 " d e E i c h horn ( 1 9 7 8, p.10 ): "los axiomas de monotonía, homogeneidad lineal, identidad, y dimensionalidad son independientes en el sentido siguíente.^ una función l( P e n e I orig i n a I) puede satisfacer a tres de es tos axiomas sin satisfacer a/ restante". EI "teorema (3.18)" de Eichhorn ( 1 978, p.1 4) por el que se establece que "/os axiomas de monotonía, homogeneidad lineal, identidad, dimensionalidad, y comensura6ilidad, son independientes en el sentido del 'teorema (3.7)' ". (6^ EI test de proporcionalidad considera que si todos los precios del periodo de referencia se multiplican por ^_, 1^: E R.}.,_), entonces el valor del índice de precios es igual a^. En símbolos I(q°,p°,q,^.p°)-r., para ^. E R^, (véase Eichhorn, Op. Cit., p.14). EI test de proporcionalidad es consecuencia de los axiomas de homogeneidad lineal y de identidad. En efecto, por el primer axioma (( qo,po q^, )_^ I(qv^pa q,p) que, para p=p°, se convierte en I(q°,po,q, f p°)=^ I(qv,po,q,po), de donde, por el axioma de identidad, resulta igual a^. La FG I P satisface este test. La demostración es trivial.

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ES T A DIST 1CA ESRA ÑOL_A

(7^) 5eñala Eichhorn (Op. cit., p.14j, 'inientras los axiomas de monotonía, homogeneidad lineal, identidad, dimensivnalidad, y comensurabilidad, son independientes y consístentes en el sentido de que hay funciones l (P en el original) que satisfacen a todos el%s. Sin embargo, el famoso sistema de l. FISHER, por el que se establecen lvs tests con que se aprecia !a ca/idad de un posib/e índice de precios, es incansistente" Esta inconsistencia tiene lugar en virtud del "teorema (3.24/" enunciado por Eichhorn (Op. Cit. p. ^ 5), y demostrado por Eichhorn y Voeller (1976, secciones 3.2 a 3.5). Este teorema establece que "/os tests de comensurabilidad, proporciona/idad, circularidad, reversibi/idad y determinabi/idad, son inconsistentes en el sentido de que nv exíste una funcián /(P en el originaC) que satisfaga a todos e/%s. Además existen subconjuntos incansistentes de estos tests siendo los más peq ^uer3os e/ formada por /os tests (proporciona/idad, circularidad, y reversibilidad/, y e! constituido por los tests (corrensurabi/idad, pro/^orcionalidad, circu/aridad, y determinabilidad^" j8) En la versión al castellano del artículo de A. A, Koniis (1924, p.4$), se señala q u e 'á/ ca/cular e/ índíce ^ea/ de/ coste de !a vrda campa^ ^^mos e/ cos te mvnetario de dos combinaciones diferentes de bienes que únicamente están reiacionadas por el hecho de que, durante el consumv de estas dos cambinacianes, el estado general de /a ^atisfaccián de /as necesidades' (e/ nivel de vida) es e/ mismo" R especto de este texto de Kon^s, deben hacerse las siguientes consideraciones: 1) el término "real" debe entenderse en e1 sentido de "verdadero", por lo menos este es el sentido que se da en ta traducción al inglés (del origina! ruso) que para el profesor Henry Schultz hizo Jacques bronfenbrenner; 2) el estado general de 'satisfacción de las necesidades' lo refiere Kon^s a una familia media perteneciente a un estrato dado de la población (©p. cit., p,45), por ello no existe inconveniente en referir tal índice al caso del consumidor como unidad de decisión; 3) ei "coste monetario de una combinación de cantidades de bienes", a que se refiere el anterior texto de Kon^s, debe entenderse en e! sentido de menor coste con que --a unos precios dados puede alcanzarse dicho nivel de vida. Esta última consideración da pie a que, actualmente, se exprese el índice "verdadero" del coste de la vida como ef cociente entre 1a función de gast© (o de coste), definida para el sistema de precios y el nivel de satisfacción de la situación de comparación, y el valor de la función de gasto correspondiente al vector de precios y nivel de satisfacción de la situación de referencia, cuando ambos nive{es de satisfacción coinciden. (Véase A. G. Deaton y J. Muellbauer (1 983, p.1 ?0) ^9) En el sistema axiomático de Herman WoCd (1953, pp.82-3), se distingue entre axiomas de la conducta económica (constituidos por los axiomas de comparación, transitividad y elección) y los supuestos de regularidad --Ilamados así porque permiten aplicar los instrumentos, o herramientas usuales, de) análisis matemático-- constituidos por los supuestos de insaciabilidad, continuidad de las preferencias, y diferenciabilidad (suavidad). Los axiomas de comparación (que emplea la disyunción exclusiva), de transitividad, y los supuestos de insac^abilidad y de continuidad de las preferencias, garantizan la existencia de una función de valores reales Ilamada función de utilidad ordinaC, con la propiedad de ser continua (H. N. Weddepolh, 1970, pp.104-6). EI supuesto de diferenciabilidad garantiza que cualquier hipersuperficie de n dimensiones (siendo n la dimensión de1 espacio de bienes),

LA Fl1NCION GENERADORA DE INDICES DE PRECIOS ( F'^;IP1

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obtenida a pariir de la anterior función de utilidad, es doblemente diferenciable. Adicionalmente se garantiza la convexidad de las preferencias mediante el supuesto de que la función de utilidad es estríctamente cuasicóncava, equivalente al axioma de convexidad estrícta de las preferencias tal como lo formula H. Varian (v.c. 1980, p.95), el cual constituye una generalización del principio Hicksiano del decrecimiento de la relación marginal de sustitución. (10) En la primera parte de su "Revisión de /a Teorra de /a demanda" 11956), J. R. Hicks considera que la ordenación rigurosa o fuerte no puede mantenerse salvo en el caso especial en que la cantidad de M(bien compuesto, constituido por el "dinero gastado en todos los demás bienes" distintos de Q^, que incluye el ahorro, y cuyo precio es igua I a la unidad, p,y-..1) y la cantidad q^ del bien Q,, varíen de forma discreta. En otros términos, que si se admite que M varía de modo contínuo y que el sujeto, para el mismo q^, prefiere tener més cantidad de M que menos, entonces hay que abandonar la ordenación rigurosa. AI adoptar Hicks la ordenación flexible, o débil, considera el caso de dos bienes (en el que deben de satisfacerse las condiciones de congruencia y de transitividad, la continuidad del bien (M) tomapara la do como base, y la insaciabilidad respecto de M, en el sentido de que el sujeto desee más cantidad de M que menos), y el caso de n misma cantidad q^ aparte de satisfacer los supuestos correspondientes al caso de dos bienes (que presenta la dificultad de que, conforme aumenta la lista de bienes q,,...,q^, bienes los argumentos para considerar un bien M(que varíe de forma cantinua y satisfaga la condición de no saturación) son cada vez menos significativos. Sin ernbargo, admite Hicks, aún en el caso extremo de que tenga lugar esta dificultad, la ordenación flexible o débil puede mantenerse siempre que se encuentre un bien real finamente divisible que actúe como el "bien base" M. (11) La funcián de gasto es: (1 ) contínua en U y p; (2), cóncava en p; (3), no decreciente en p y creciente en U; (4) homogénea de grado uno en p. Véase R. R. Russell y M. Wilkinson (1979, p.83, nota 5). En la nota, que acabamos de referenciar, hay una errata. Por ello, véase H. Varian (v.c. 1980, p.107), que completa la relación de propiedades de la función de gasto ^ 12) EI término renta real aparente asociado a Slutsky, si bien es empleado por autores como Friedman (1962), Ekelund, Furubotn y^ramm (1 972), etc., na aparece expiícita dicha denominación en el artículo de Slutsky. Sin embargo, sí aparece el término de "pérdida aparente" (p.39 de la v.c.), de modo que la renta real aparente puede interpretarse como la que, ante variaciones en los precios, resulta de efectúar acomodaciones hipotéticas en el ingreso manetario que compensan la pérdida aparente. Friedman (1954, p.263) expresa la renta real aparente deflactando el ingreso monetario, de la situación de comparación, mediante el índice de precios de Laspeyres, de dicha situación respecto a la de referencia. Se trata, si designamos a la renta real can la denominación del defiactor empleado, de la renta real-Laspeyres. (13 ) EI razona miento de H icks (1 9 56, v.c. de 19 58, p.13 3) es el sigu iente: "Consideremos el paso de una posición (q°), e%gida a preeios (p°), a una posición (q' ) e%gida a precios (p' ^, cuando e/ cambío en e/ ing^eso entre /as dos posíciones es ta/ que se mantiene /a indiferencia. Sabemos, por la teoría de la congruencia que si

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(p °q' 1 poqo , p 1 q 1 D ividiendo ambos miembros por p°qr , poqo, se tiene la desigualcTad (p^qo^poqo) ] (p'q'/p°q') en términos de índices de precios. Por el contrario, dividiendo pór {p°q° • p'q°}, resufta que el índice cuántico de Laspeyres tiende a ser mayor que el índice cuántico de Paasche.

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LA FUN('IC)^í C;ENE=:RAD