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LA INTEGRAL DEFINIDA 001. Calcula la integral de f(x) = 2x3 – 3x2 – 2 , en el intervalo [1, 2] 2 002. Calcula ∫ (2x2 + 3x) dx 0

LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS 01 ACTIVIDAD PROPUESTA

Calcula el área limitada por la función y = 2x2 + 4, el eje OX, en el intervalo [0, 3]. 02 ACTIVIDAD PROPUESTA

Calcula el área limitada por la función y = x2 – 9 y el eje OX. 03 ACTIVIDAD PROPUESTA

Calcular el área encerrada por la función y = x2 – 1 , la recta x = – 3, la recta x = 3 y el eje OX. 04 ACTIVIDAD PROPUESTA

Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 4 – x2, y la recta y = x + 2 05 ACTIVIDAD PROPUESTA

Calcula el área del recinto limitada por las siguientes parábolas: y = 4 – x2

e

y = x2 – 1.

06 ACTIVIDAD PROPUESTA

Dibuja el recinto limitado, por arriba, por la recta y = 3x + 2, por debajo y = – 4x + 16 y por las rectas x = 2 y x = 4. Calcula mediante técnicas de integración el área de dicho recinto. 07 ACTIVIDAD PROPUESTA

Dada la función:  0  2 3x − x f(x) =   x−3  0

si x6

si

Hallar el área limitada por la función f(x), el eje OX, en el intervalo [– 1, 5] 08 ACTIVIDAD PROPUESTA

Dada la función: 1 − x si x < 0 f(x) =  2 si x ≥ 0  x (a) Representa gráficamente la función. (b) Halla el valor de la siguiente integral definida

∫

3 f(x) dx −1

(c) Calcula el área encerrada por f(x) y el eje OX, en el intervalo [– 1,

3 ].

09 ACTIVIDAD PROPUESTA

Un agricultor tiene una parcela de terreno, uno de cuyos límites es la curva f(x) dada por:  1/ 3 si x ≤ 20 (0.9 x + 27 )  f(x) =   1.44 x + 78 si x > 20  30  Otro límite está situado sobre el eje de abscisas a partir del punto de corte de f(x) y tiene una longitud de 80 m. en sentido positivo. El tercer límite de la parcela está sobre la recta que une los puntos (50, 0) y (50, 5). (a) Representa gráficamente la parcela.  Abel Martín

1

Integrales indefinidas. Aplicaciones.

(b) Si se divide el terreno en dos partes trazando la perpendicular al eje de abscisas en el punto (20, 0), para dedicar la más grande a cultivar cereales y la otra patatas, halla por medio del cálculo integral la superficie que dedica a cada cultivo. (c) Enuncia la regla de Barrow. 10 – PAU – Universidad de Oviedo – Propuesta de examen 1994

Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b]. (a) Explicar la relación que debe guardar otra función ϕ(x) con f(x) para que se verifique la siguiente igualdad: b ∫ f (x) d x = ϕ(b) – ϕ(a) a (b) Aplicar el resultado anterior para calcular la integral de la función f(x) = 2x2 + 4 en el intervalo [0, 3]. 11 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1994

Sea f(x) una función continua en cierto intervalo [a, b]. (a) Explica el enunciado de la regla de Barrow y su aplicación. (b) Sea f (x) = 3x2 – 6x, justificar cuál de las siguientes funciones: U (x) = 3 x3 +3 x2 ; V (x) = x3 – 3 x2 es primitiva de la anterior. 4 (c) Calcular ∫ (3 x2 – 6 x) dx 0 (d*) Calcula el área encerrada por la función y = 3x2 – 6x, el eje OX, en el intervalo [0, 4]. 12 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1995

(a)Enunciar la regla de Barrow y comentar su aplicación. (b) Sea F(x) = x4 + ax3 + bx; calcular a y b sabiendo que: (b1) el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de F(x). (b2) F(x) es función primitiva de cierta función f(x) cuya integral en el intervalo [1, 2] es igual a 10. 13 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1995

(a) Explica el concepto de función primitiva. (b) Sea f(x) = e2x – 2x2 + 8, justifica si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g(x) = e2x – 4x + 8 h(x) = 2·e2x – 4x (c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular:

∫ 10 (2e2x – 4x) dx

(d) Calcula el área encerrada por la función y = 2·e2x – 4x, el eje OX, en el intervalo [0, 1]. 14 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1996

Dada la función f(x) = (x + 1) (3x – 2): (a) Calcula una primitiva de f(x). (b) Justifica que la función F(x) = x3 + 2x2 + 2 no es primitiva de f(x). (c) Enuncia la regla de Barrow y calcula ∫10 (x + 1) (3x – 2) dx (d) Calcula el área encerrada por la función (x + 1) (3x – 2), el eje OX, en el intervalo [0, 1] 15 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1996

(a) Explicar el concepto de función primitiva. (b) Dada la función F(x) = ax3 + bx2 – 2x, determinar los valores de a y b para que se verifique que F(x) es primitiva de una función f(x) con las siguientes características: (b1) f(x) pasa por el punto (1, 9) (b2) El área entre la curva f(x) y el eje de abscisas en el intervalo [0, 1] vale 1. 16 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1997

(a) Enunciar la regla de Barrow. (b) Dada la función f (x) = ax3 + bx + c; calcular los valores de a, b y c sabiendo que: 2

Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

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(i) F(x) = x4 – 2 x2 + cx es una primitiva de f (x); (ii) la integral de f (x) en el intervalo [0, 1] es igual a 1. 17 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1997

Dada la función f(x) = x3 +

2

: x2 (a) Calcula una primitiva de f(x). (b) Enuncia la regla de Barrow y aplicarla para obtener la integral de f(x) en el intervalo [1, 2]. (c) Calcula el área encerrada por la función y = x3 + 2/x2, el eje OX, en el intervalo [1, 2]. 18 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1998

Dada la función f (x) = x +

a

, donde “a” es una constante, x3 (a) Encontrar una primitiva de f. (b) Si F es una primitiva de f, ¿puede serlo también G(x) = F(x) + 2x? (c) Encontrar “a” sabiendo que ∫ f(x) dx = 1.5 2

1

19 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1998

Dada la función f(x) = 4e4x + a, donde a es una constante, (a) Justificar si las siguientes funciones son o no primitivas de f: F1(x) = 4e4x + ax F2(x) = e4x + ax (b) Encontrar "a" sabiendo que ∫ f (x) dx = e4 1

0

20 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1999

Dada la función f(x) = a ex/3 +

1 x2

, (x ≠ 0), donde "a" es una constante,

(a) Encontrar ∫ 12 f(x) dx en función de a. (b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula “a” si F(1) = 0 y F(2) = 1/2 21 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1999

Dada la función f(x) = x · ex/2 (a) Calcular una primitiva de f. (b) Calcular ∫ 20 f(x) dx (c) Si F y G son 2 primitivas de f, y H = F – G, ¿es posible que la derivada de H sea la función x2? 22 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2000

LOGSE

Enuncie la Regla de Barrow y aplíquela a la función f(x) = ex (x + 1) en el intervalo [0, 1]. 23 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2000 – LOGSE

Determine la función primitiva y el área bajo la curva, en el intervalo [1, e], de la función f(x) = Ln (x). 24 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2000 – SELECTIVIDAD

Dada la función f(x) = a ⋅ x ⋅ e

x2

+ b , donde a y b son constantes, 5 1 (a) Encuentra a y b sabiendo que la derivada de f en el 1 vale e 3 , y que además: 3 3

∫

1 0

f(x) dx =

3 1/3 (e – 1) 2

(b) Encuentra, si existen, 2 primitivas de f tales que su diferencia valga 7.  Abel Martín

3

Integrales indefinidas. Aplicaciones. 25 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2001 – LOGSE

Sea f(x) = x2 + bx donde "b" es una constante. (a) Encuentra "b" sabiendo que hay una primitiva F de f con F(0) = 2 y F(3) = 20. Encuentra también la expresión de F. (b) Dibuja la curva f(x) cuando b = – 1 y halla el área delimitada por dicha curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 0 y x = 2. 26 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2001

( x +1)

Dada la función f(x) = (x + a) e 2 (a) Encuentra una primitiva de f (b) Calcula “a” sabiendo que ∫

2 −2

, donde “a” es una constante,

f (x) dx = 8. Justificar que, para ese valor de "a",

2x e

( x2 +1)

no es primitiva de f. 27 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2002

Dada la función f(x) = 3ax2 +

2a

+ 5 (x > 0), donde "a" es una constante, x3 (a) Encuentra el valor de "a" sabiendo que cierta función F es una primitiva de f y verifica que F (1) = 6 y F(2) = 42. (b) Dibuja la función f(x) para el valor de "a" obtenido en el apartado anterior y encuentra también en ese caso el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2. 28 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2002 2

Dada la función f(x) = x3 – 27 + a x e x , donde "a" es una constante, (a) Encuentra una primitiva de f. (b) Si a = 0, dibuja la función f para x ≥ 0 y encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4. 29 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2003

a

(x ≠ 0), donde a es una constante, encuentra una x2 primitiva de f. Posteriormente, encuentra a para que si f ' es la derivada de f, entonces f ' (1) = – 2. (b) Dibuja la función f(x) = 25 – x2 , y h alla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 6. (a) Dada la función f(x) = 25 – x2 +

30 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2003

(a) Encuentra la primitiva de la función f(x) = x − (b) Dibuja la función f(x) = x −

27 x2

+

x ( +1) e 2

(x > 0) que en el 2 valga 15.5.

27 ( x > 0) y encuentra el área limitada por la curva y el eje X x2

entre x = 1 y x = 5. 31 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2004

(a) Encuentra la primitiva de la función f(x) = 27 – x3 + 3e2x–1 que en el 1 valga 26.75. (b) Dibuja la función f(x) = 27 – x3 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = – 3 y x = 5.

4

Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

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32 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2004

(a) Dada la función f(x) =

a + 3x2 – x3, encuentra a para que si f ' es la derivada de f, x

entonces f ' (– 1) = – 10. (b) Dibuja la función f(x) = 3x2 – x3 . Encuentra el área limitada por la curva y el eje X, entre x = – 1 y x = 2. 33 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2005

Dada la función f(x) = x +

4

(x > 0) x2 (a) Encuentra la primitiva de f que en el 2 valga 5. (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 4. 34 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2005

(a) Encuentra f ' (2) donde f ' es la derivada de la función f dada por 4 f(x) = 2 + 8x – x2 – 12 (x ≠ 0). x 2 (b) Dibuja la función f(x) = 8x – x – 12 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = – 1 y x = 2. 35 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2006

Si f ' es la derivada de la función dada por f(x) = x2 +

1 x2

– 53x + 150 (x ≠ 0),

(a) calcula f ' (– 0.5). (b) Dibuja la función f(x) = x2 – 53x + 150 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4 . 36 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2006

Dada la función f(x) = x3 – 81x2 , (a) Si f ' representa la derivada de f, encontrar una primitiva F de f verificando que F(4) = f ' (54). (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = – 4 y x = 4. 37 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2007

(a) Encuentra f ' (– 2) donde f ' es la derivada de la función f dada por f(x) = 4x – x2 +

2 x3

(x ≠ 0). (b) Dibuja la función f(x) = 4x – x2 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 5. (c)* Dada la función f(x) = x4 – 3x2. Estudia la monotonía y haz un esbozo de la función. 38 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2007

Sea la función f(x) = – x2 + 7x – 12. Si f ′ representa su derivada, (a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(6) = f ′ (6) (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 4.5 39 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2008

(a) Si f ′ es la derivada de la función dada por f(x) = 2x3 – 6x2 +

 Abel Martín

3 (x ≠ 0), calcula f ′ (– 2). x4

5

Integrales indefinidas. Aplicaciones.

(b) Dibuja la función f(x) = = 2x3 – 6x2 . Obtén el área que limitan la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4. 40 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2008

Sea la función f(x) = 3x2 – 6x. Si f ’ representa su derivada, (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = f ’(3) (b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3. 41 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2009

a + x2 (x > 0), donde a es una constante, 2 x (a) Si se supiera que f ’ (2) = 1, donde f ’ es la derivada de f, ¿cuánto valdría “a”? (b) Dibuja la función f si a = 16 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 3.

Dada la función f(x) =

42 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2009

Dada la función f(x) = 5 +

1 x2

(x > 0). Si f ’ representa su derivada,

(a) Calcula f ’(2) (b) Dibuja la función f . Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2. 43 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2010

Dada la función f(x) = x2 – 4x. (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 0. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 7. 44.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – Junio 2010

Dada la función f(x) = x2 – 1 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 10. (b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2. 45.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – septiembre 2010

Dada la función f(x) = x2 + 1. (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 10. (b) Representa gráficamente la función f(x) y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 6. 46.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – septiembre 2010

Dada la función f(x) = 2x – x2 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 100. (b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3. 3 (c*) Calcula ∫ 1 (2x – x 2 ) dx 47.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – junio 2011

Dada la función f(x) = 3x2 – 6x + 10 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 10. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 3.

6

Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

www.aulamatematica.com 48.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – junio 2011

Dada la función f(x) = x2 – 6x + 8 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 10. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 5. 49.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – septiembre 2011

Dada la función f(x) = x2 – 2x (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(6) = 40. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 4. 50.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – septiembre 2011

1 x2 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 3. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2.

Dada la función f(x) = 1 –

51.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN

Dada la función f(x) =

x2 − 2

x2 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 4 (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 5. 52.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN

Dada la función f(x) =

x2 + 3

x2 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 4 (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 5. 53.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN

Dada la función f(x) = x3 + 3x2 – 4x– 12 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1 (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 3. 54.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN

Dada la función f(x) = x3 + x2 – 18x – 1 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 5 (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2. 55.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN

Dada la función f(x) = – 2x3 + 4x2 + 10x – 12 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 5 (b) Representa gráficamente la función f (c) Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2. 56.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2012

Dada la función f(x) = x3 – 12x.  Abel Martín

7

Integrales indefinidas. Aplicaciones.

(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = – 2 y x = 2. 2 (c*) Calcula ∫ − 2 (x3 – 12x) dx 57.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – Junio 2012

Dada la función f(x) = 5x – x2 – 4 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 2. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 6. 58.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – julio 2012

Dada la función f(x) = 3 – x, se pide: (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(0) = 2. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva f y el eje X entre x = 0 y x = 2. 59.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – julio 2012

Dada la función f(x) = 4 – x2 , se pide: (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 5. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3. 60 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – junio 2013

Dada la función f(x) = 4x – 2x2 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(6) = 0. (b) Dibuja la gráfica de la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 4. 61.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – OPCIÓN A – JUNIO 2013

Dada la función f(x) = ex/3 , se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) = 4. (b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 1. 62.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – OPCIÓN A – JULIO 2013

Dada la función f(x) = 8x – 2x3, se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(2) = 9. (b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3. 63.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase GENERAL – OPCIÓN B – JULIO 2013

Dada la función f(x) = 2/x , se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) = 2. (b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = e y x = e2. 64.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN

Dada la función f(x) = -3/x , se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) = 2. 8

Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

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(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = e y x = 4 65 PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN

Dada la función f(x) = ex/2 , se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) = 4. (b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 1. 066 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2014

Dada la función f(x) =

9 − 1 se pide (2 + x)2

(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 1 (b) Dibuja la gráfica de la función f en el intervalo [– 1, ∞) y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2. 067.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – Opción A – junio 2014

Dada la función f(x) =

−1 x −1

, se pide:

(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(5) = 1. (b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 5. 068 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – julio 2014

Dada la función f(x) = 2x + a·x3 se pide (a) Encuentra el valor de a que verifica que F(1) = 4 y F(2) = 22, donde F denota una primitiva de f (b) Suponiendo que a = 4, representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = – 1 y x = 1. 069 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – julio 2014

Dada la función f(x) = (x – 1)2 (2x – 5) se pide (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1 (b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2.

 Abel Martín

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