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a primera reunión a la que asistí para integrarme como escritor a la publicación Ciencia Compartida aún la recuerdo bien.Sobre todo porque no sabía qué responder cuando me preguntaron sobre qué tema quería escribir, y también por la emoción que representa participar en una revista. Al término de la reunión me dispuse a regresar a mi hogar, así que ingresé a la estación Zócalo del metro. Llegandoa Taxqueña abordé el tren ligero y en una estación (no recuerdo cuál) se subieron dos mujeres,una de ellas era mayor de edad, la otrauna niña. Me faltaban un par de estaciones para llegar a mi destino cuando comenzó una plática entre ellas. La pequeña dijo: “no me gustan las matemáticas,odio al que las inventó”; ante esto, en mis labios se

dibujó una pequeña sonrisa, ya que en algún momento a mí tampoco me gustaban las matemáticas. Es cierto que existen cosas muy complicadas en esa disciplina, pero también hay cosas muy bellas.Esta es mi motivación para hablar sobre el número áureo.

¡Cuántos números! Muchas cosas de la vida diaria están relacionadas con números, por ejemplo, el dinero que tenemos, los años transcurridos, la distancia entre dos lugares, etcétera.Todo esto lo calcula el ser humano desde la antigüedad. Un conjunto utilizado para realizar estos conteos es el de los números naturales, cuya representación está dada por el símbolo . Para algunos matemáticos, en este conjunto está incluido el cero y para otros no; yo

Jarquín, A. (2012). φ (fi): un número de proporciones divinas [Versión electrónica], Ciencia Compartida, 3, 19-25. Recuperado el (día) de (mes) de (año), de (dirección electrónica).

considero a los naturales de la siguiente manera ={0,1,2,3,…}. La principal razón es que los mayas fueron la primera civilización en utilizar el cero (lo sé, suena muy patriota, pero estoy orgulloso de esa cultura). En un principio todo funcionó de maravilla con , es decir, esos números bastaban para desarrollar las operaciones matemáticas de aquel entonces. No obstante, al paso del tiempo se requirió resolver ecuaciones del tipo x+1=0; con base en lo que has visto en tus cursos de álgebra, podrás darte cuenta que esta ecuación tiene por solución x=-1. En cierta época histórica, esto era realmente una cosa impensable:¿cómo se podrían tener cantidad negativas, sobre todo considerando que los griegos establecían una relación sumamente estrecha entre los números y la geometría? En otras palabras, los segmentos de longitud negativa no tenían lugar en el pensamiento humano. Sin embargo, conforme la matemática se fue desarrollando, se dio paso a los números enteros, los cuales se representan por y consideran los siguientes números : ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. De manera semejante surgieron los números racionales, por ejemplo, para resolver la ecuación 2x=3, cuya solución es =2/3. La representación de estos números es y en forma general son de la forma p / ,p,q∈Z,q≠0. Por su parte, los números q irracionales son los que no tienen la forma de los racionales;los ejemplos más típicos

de estos números son (3.14159265…), 2 (1.41421356), (2.71828182…), etcétera y su representación como conjunto está dada porI.Si tomamos a todos los conjuntos de números que hemos mencionado hasta el momento y los ponemos juntos tenemos al conjunto delos números reales, cuya representación es ; finalmente, existen los imaginarios o complejos, que se representan por medio de .

Euclides, ese célebre griego El más grande compilador de las matemáticas en el mundo antiguo es, sin duda, Euclides. Su obra de mayor trascendencia es Los Elementos, que escribió en el año 300 a. C. Aunque este libro es en su mayoría de carácter geométrico, también encontramosdemostraciones que no utilizan la geometría como herramienta principal; el ejemplo más claro es la demostración de que hay una infinidad de números primos.

En Los Elementosse encuentran algunos enunciados relacionados con el tema de las proporciones, y la proposición 30 del libro VIplantea un problema que en términos modernos diría algo así: determinar dos segmentos de tamaño a y b (el segmento a debe ser mayor que el b) que cumplan que el cociente a/b sea exactamente igual al cociente a+b /a, es decir, que a/b=a+b/a; los números que cumplen esta condición dan lugar a lo que se conoce comoproporción divina o proporción áurea(véase Punto Extra 1). Para llegar a ese resultado, hagamos algunos cálculos sencillos. Supongamos que el segmento a(el más grande) mide una cantidad cualquiera, digamos x;también supongamos que el segmento b(el más pequeño) mide exactamente 1. Ahora bien, sabemos que se debe cumplir la siguiente igualdad: x=1+x 1 x

Y como cualquier número dividido entre 1 da el mismo número nos queda: x=1+x x

Un poco de álgebra elemental nos servirá para transformar la igualdad anterior de la siguiente forma: (x)(x)=1+x x2=1 Y finalmente llegamos a lo siguiente: x2-x-1= Ahora bien, la igualdad que acabamos de

obtener es un caso particular de lo que se conoce como ecuaciones de segundo grado. Desde la secundaria, nuestros maestros de matemáticas nos enseñaron que ese tipo de ecuaciones se resuelven utilizando algo que se llama fórmula general (en mis tiempos le decían “la chicharronera”, porque hasta el señor que vendía los chicharrones se la tenía que saber), la cual nos dice lo siguiente: x= -b±√b2-4ac 2a Al momento de hacer los cálculos, esta fórmula arroja dos resultados distintos; nosotros sólo vamos a considerar uno de ellos. Luego de hacer las cuentas (véase Punto Extra2) vemos que el resultado es x=1+ 5)=1.618033… 2

Pacioli: revelando la divinidad de φ

En matemáticas, se le llama razón al cociente entre dos cantidades; dicho de otra forma, si tenemos dos números a y b, con b distinto de cero, una razón entre ellos queda expresada por a/b. Por otro lado, llamamos proporción a la igualdad entre dos razones. Entonces, si tenemos cuatro números a, b, c y d, con b y d distintos de cero, una proporción entre ellos se cumple si a/b=c/d. Esta cantidad, que se denota con la letra griega φ (fi), pertenece al conjunto de los números irracionales y se le conoce como número áureo o número dorado.Con frecuencia también se le conoce como proporción áurea, pero en realidad esto es algo impreciso; en todo caso, el número φ -junto con el 1-forman una proporción áurea. Otro libro de gran importanciaen el tema de las proporciones es el Timeo, de Platón. En este libro, además, se realiza una discusión acerca del origen de la matemática como ciencia y se describen los cinco sólidos regulares, que posteriormente serian estudiados bajo la lupa de la proporción divina por Luca Pacioli.

Luca Paciolinació en 1445 en Borgo, San Sepolcro que a finales del siglo XV perteneció a la república de Florencia. Algunas de las obras de Pacioli son: De Divina Proportione, Suma de Arithmetica Geometria Proportioni et Proportionalita y De Viribusquantitatis. Es importante mencionar que sólo las dos primeras obras se imprimieron cuando Luca estaba con vida. En 1496 Pacioliva a Milán después de recibir una invitación de Ludovico Sforza para enseñar matemáticas. Ahí conoce a Leonardo Da Vinci, quien también se encuentra al servicio del duque. Pronto Leonardo y Luca entablan una gran amistad, y cuando Pacioli termina De Divina Proportione en 1498, Da Vinci la ilustra con sesenta dibujos de cuerpos regulares. En esa obra Luca afirma que nadie se había interesado tanto por las propiedades que posee la proporción mencionada en Los elementos de Euclides. También es Pacioli quien le asigna el nombre de “proporción divina”, esto gracias a una serie de comparaciones que hace con respecto a Dios, las cuales se enumeran a continuación: 1.- Es única, al igual que Dios. 2.-Así como existe Padre, hijo y espíritu santo, la proporción tiene una trinidad, pues siempre está entre tres términos. 3.-Dios no puede entenderse; la proporción divina siempre esta expresada mediante una cantidad irracional.

4.-Nunca cambia y está en todas partes, al igual que Dios. Se dice que Leonardo Da Vinci fue quien le otorgó el nombre de “sección aurea”, aunque también hay quien dice que la procedencia de este nombre es incierta y la sitúan en Alemania en la primera mitad del siglo XIX. A partir del capítulo siete de DeDivina Proportione,Luca menciona una serie de “efectos”, es decir, propiedades que tiene la proporción divina.El número de efectos estárelacionado-nuevamente- con la religión, ya que los doce apóstoles y Dios forman un grupo de trece entes, el mismo número de efectos que Pacioli enuncia, aunque hay que aclarar que éste dice que existen más efectos, pero por lo antes señalado sobre los apóstoles prefiere que la lista sea de trece.

Efectos importantes El efecto con mayor belleza es,según Pacioli, el número nueve: “si en el circulo se forma el pentágono equilátero y en sus dos ángulos más próximos se trazan dos líneas rectas desde los extremos de sus lados, éstas, necesariamente, se dividirán entre sí según nuestra proporción…”.Este efecto es importante para la construcción del cuerpo llamado dodecaedro (un sólido regular de doce caras) y se ilustra con claridad en la figura 1. El undécimo efecto reza: “si se divide el lado de un hexágono equilátero según nuestra divina proporción, su parte mayor será

FIGURA 1: Si dividimos el número mayor entre el menor el resultado es igual a 1.6190476…Esta propiedad se cumple en cualquier pentágono… ¡sorprendente!

siempre, necesariamente el lado del decágono circunscrito por al mismo circulo que el hexágono”. El decimotercer efecto enseña a construir un triangulo según la proporción divina, el cual es ocupado para la creación del pentágono. A su vez, como ya se mencionó, el pentágono es fundamental para crear el dodecaedro. De esta manera, se debe considerar a Luca Pacioli el autor intelectual de la divina proporción y del descubrimiento de sus múltiples efectos, claro, sin restarles meritos a hombres como Euclides, quienes de cierta manera ya manejaban este número y, quizá, algunas de sus propiedades.

¡Qué bonitos conejos! En el año 1175 nació Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. Es considerado el más grande matemático de la edad media por haber introducido los números arábigos a la matemática de la época. Sus obras más destacadas son LiberAbaci, la práctica Geometriae y el LiberQuadratorum. En el LiberAbaci, escrito en 1202, Fibonacci plantea un problema sobre la reproducción de conejos. Se trata de calcular el número de conejos nacidos a partir de una pareja dada que cada mes produce una pareja nueva, y ésta, después de un mes, se reproduce, y así sucesivamente. Realizando los cálculos correspondientes se tiene una secuencia de números, a saber; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…, dicha sucesión es conocida hoy en día como sucesión de Fibonacci. Aparentemente la secuencia de Fibonacci y la proporción divina no tienennada que ver. Pero si tomas cualquier término de la serie y lo divides entre el término anterior verás que ¡el resultado se parece a φ, es decir, a 1.618033! Por ejemplo, si dividimos 34 entre 21 nos da 1.6190476, que se acerca mucho a φ.

Matemáticas, arte y arquitectura En párrafos anteriores ya se dijo que Da Vinci y Luca Pacioli fueron grandes amigos, e incluso que Leonardo ilustró la obra De Divina Proportione. Lo que no se ha mencionado es que, en la mayoría de las obras de Da Vinci, la divina proporción jugó un rol muy importante. Algunas pinturas sobresalientes con

Para utilizar la fórmula general para las ecuaciones de segundo grado, que como recordaremos es: x=-b±√b2-4ac 2a tenemos que identificar cuáles son los valores de a, b y c, los cuales dependen directamente de la ecuación con la que estemos trabajando. Para el caso que nos ocupa –el de la proporción áurea- cuya ecuación es x2-x-1=0, tenemos quea=1,b=-1 y c=-1 Sustituimos esos valores en la fórmula y nos queda lo siguiente: -(-1)±√(-1)2-4(1)(-1) x= 2(1) =1±√1+4 2 =1±√5

2

Como se puede ver, antes de la raíz cuadrada tenemos un signo “±”, lo cual quiere decir que tenemos que considerar los dos casos, es decir, hacer un cálculo con el signo “+” y otro cálculo con el signo “-“. Dado que estamos hablando de longitudes de segmentos, éstas solo pueden ser positivas, así que sólo consideramos el primer caso, lo que nos da como resultado el número áureo φ.

respecto a la proporción divina son el hombre de Vitrubio y la Mona Lisa. De hecho, el rostro de la Mona Lisa está enmarcado por un rectángulo áureo, el cual se construiremos más adelante. De igual forma, artistas como Miguel Ángel, Dalí y Rafael usaron la proporción áurea en sus obras. Con respecto a la arquitectura, encontramos que la proporción divina se hace presente en el Partenón, el templo de Ceres, la tumba rupestre de Mira, etcétera.

Cómo crear un rectángulo dorado… sin usar pintura Para finalizar este texto sobre el número áureoconstruiremos un rectángulo cuyos lados satisfacen la proporción divina.Para ello, primero dibujamos un cuadrado (A) y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Posteriormente unimos ese punto con uno de los vértices del lado opuesto (B) y – usando el compás- llevamos esa distancia al lado inicial (C); de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo (D).Así, si –por ejemplo- el lado del cuadrado es 2, entonces el lado mayor del rectángulo es 1+ 5 y la proporción entre sus lados es 1+ 5/2,es decir, la proporción divina. Espero que esta sencilla construcción nos haga coincidir en que el número dorado en realidad es divino, no por las comparaciones que realizo Pacioli con Dios, sino por la belleza que encierra matemáticamente. Ojalá que estas líneas les ayuden a mirar lo bonito de las matemáticas,para que no se queden sólo con las malas experiencias que han tenido con esta disciplina.