LA TRANSFORMADA DE FOURIER

1.

El desarrollo de una funci´ on en serie de funciones ortonormales

Definici´ on: Dos funciones f y g se dicen ortogonales con respecto a la funci´on peso r en el intervalo a ≤ x ≤ b si, y s´olo si,

Z b a

f (x).g(x).r(x)dx = 0

Ejemplo: f (x) = sen x, g(x) = sen(2x), r(x) ≡ 1, [a, b] = [0, π] Definici´ on: Sea {φn }n∈N una colecci´on infinita de funciones definidas en el intervalo a ≤ x ≤ b. La colecci´on {φ}n∈N es ortogonal respecto de la funci´on peso r en a ≤ x ≤ b, si Z b a

φn (x)φm (x)r(x)dx = 0

Ejemplo:{sen(nx)}n=1,2,3,... , 0 ≤ x ≤ π, r(x) ≡ 1. (m 6= n);

Z π

sen(nx) sen(mx) dx = −

0

½

1 2

Z π 0

(m 6= n)

{cos[(m + n)x] − cos[(n − m)x]} dx = ¾

π 1 1 1 sen[(m + n)x] − sen[(n − m)x] = 0 2 m+n n−m 0 Definici´ on: Una funci´on f se dice normalizada respecto de la funci´on peso r(x) en el intervalo

−

a ≤ x ≤ b si, y s´olo si r

Ejemplo: f (x) =

Z b a

2 sen x, r(x) ≡ 1, 0 ≤ x ≤ π. π

Z π Ãr !2 2 0

[f (x)]2 r(x)dx = 1

π

2 sen (x) dx = π 2

Z π 1 − cos(2x) 0

2

2 dx = π

½

¾π

1 1 x − sen(2x) 2 4

=1 0

Definici´ on: Sea {φn }n∈N un conjunto infinito de funciones definidas en el intervalo a ≤ x ≤ b. El conjunto {φn } se llama sistema ortonormal respecto de la funci´on peso r(x) en a ≤ x ≤ b, si es un sistema ortogonal y cada funci´on est´a normalizada respecto de r(x) en a ≤ x ≤ b, es decir, Z b a

r

Ejemplo: {φn (x)} = {

(

φm (x)φn (x)r(x)dx =

0 1

m 6= n m=n

2 sen(nx)}, (n = 1, 2, 3, ....), 0 ≤ x ≤ π, r(x) ≡ 1. π 1

El problema del desarrollo Sea {φn } un sistema ortonormal respecto a una funci´on peso r(x) en un intervalo a ≤ x ≤ b y sea f (x) una funci´on arbitraria. Consideremos el problem de desarrollar f (x) en serie infinita de las funciones ortonormales φ1 , φ2 , φ3 , .... Supongamos que tal desarrollo existe, f (x) =

∞ X

cn φn (x)

(i)

n=1

para cada x del intervalo a ≤ x ≤ b. La cuesti´on es c´omo determinar los coeficientes cn (n = 1, 2, 3, ...). Procedamos a nivel formal dejando de lado, por el momento, la cuesti´on de la convergencia. Multipliquemos la igualdad (i) por φk (x)r(x) f (x)φk (x)r(x) =

∞ X

cn φn (x)φk (x)r(x)

n=1

integremos entre a y b Z b a

f (x)φk (x)r(x)dx = Z b a

Z b X ∞

[

a

cn φn (x)φk (x)r(x)]dx =

n=1

a

Z b a

φn (x)φk (x)r(x)dx = Z b a

∞ X

cn

(

se obtiene que

Luego si

∞ X n=1

Z b

[

n=1

f (x)φk (x)r(x)dx =

y como

∞ Z b X a

cn φn (x)φk (x)r(x)dx]

φn (x)φk (x)r(x)dx 0 1

n 6= k n=k

f (x)φk (x)r(x)dx = ck

cn φn (x) converge uniformemente a f (x) en a ≤ x ≤ b, podemos garantizar que los

n=1

coeficientes del desarrollo vienen dados por cn = En general para que

∞ X

Z b a

f (x)φn (x)r(x)dx

(n = 1, 2, 3, ...)

cn φn (x) converja uniformemente a f (x) hay que imponer condiciones

n=1

restrictivas sobre f (x) y la familia de funciones {φn (x)}.

2.

Series trigonom´ etricas de Fourier

Definici´ on: Sea {φn (x)}n∈N un sistema ortonormal respecto de una funci´on peso r(x) en a ≤ x ≤ b. Sea f (x) una funci´on tal que para cada n = 1, 2, 3, ... el producto f (x)φn (x)r(x) sea integrable en 2

a ≤ x ≤ b. En estas condiciones la serie

∞ X

cn φn (x)

n=1

donde cn =

Z b a

f (x)φn (x)r(x)dx

(n = 1, 2, 3, ...)

se llama serie de Fourier de f (x) respecto del sistema {φn }; los coeficientes cn se denominan coeficientes de Fourier de f (x) respecto de {φn }. Escribiremos, entonces f (x) ∼

∞ X

cn φn (x),

a≤x≤b

n=1

Si consideramos el sistema de funciones {ψn } definido por ψ1 (x) = 1; ψ2n (x) = cos(

nπx nπx ); ψ2n+1 (x) = sen( ) (n = 1, 2, 3, ...) L L

para todo x del intervalo −L ≤ x ≤ L, (L > 0) Z L −L

cos(

Z L −L

Z L −L

nπx mπx )cos( )dx = 0 L L

sen(

cos(

(m, n = 0, 1, 2, ....; m 6= n)

nπx mπx )sen( )dx = 0 L L

nπx mπx )sen( )dx = 0 L L

(m, n = 1, 2, ....; m 6= n)

(m = 0, 1, 2, ....; n = 1, 2, 3....)

luego, {ψn (x)} es un sistema ortogonal respecto de la funci´on peso r(x) = 1 en −L ≤ x ≤ L. Adem´as Z L −L

Z L −L

Z L −L

(1)2 dx = 2L

cos2 (

nπx )dx = L L

(n = 1, 2, 3, ....)

sen2 (

nπx )dx = L L

(n = 1, 2, 3, ....)

por lo que podemos construir el sistema ortonormal {φn (x)} en el intervalo −L ≤ x ≤ L, dado por 1 1 1 nπx nπx ); φ2n+1 (x) = √ sen( ) (n = 1, 2, 3, ...) φ1 (x) = √ ; φ2n (x) = √ cos( L L 2L L L Si f (x) es una funci´on tal que el producto f (x)φn (x) es integrable, para cada φn (x), en el intervalo −L ≤ x ≤ L podemos escribir la serie de Fourier

∞ X

cn φn (x), siendo

n=1

c1 =

Z L −L

1 1 √ f (x)dx = √ 2L 2L 3

Z L −L

f (x)dx

c2n

Z L

1 nπx 1 f (x) √ cos( )dx = √ = L L L −L

c2n+1 =

Z L

Z L −L

f (x)cos(

Z L 1

1 nπx f (x) √ sen( )dx = √ L L L −L

−L

nπx )dx L

f (x)sen(

nπx )dx L

con lo que la serie quedar´ıa ∞ X

∞ X

1 cn φn (x) = c1 φ1 (x) + [c2n φ2n (x) + c2n+1 φ2n+1 (x)] = [ √ 2L n=1 n=1 +

∞ X

1 {[ √ L n=1

Z L −L

f (x)cos(

1 1 nπx nπx )dx][ √ cos( )] + [ √ L L L L

Z L −L

f (x)sen(

Z L

1 f (x)dx][ √ ]+ 2L −L

1 nπx nπx )dx][ √ sen( )]} L L L

y agrupando convenientemente podemos enunciar Definici´ on: Sea f (x) una funci´on definida en el intervalo −L ≤ x ≤ L y tal que las integrales Z L

nπx f (x)cos( )dx L −L

y

Z L −L

f (x)sen(

nπx )dx L

existen para cada n = 0, 1, 2, 3, .... Entonces la serie ∞ X 1 nπx nπx a0 + ) + bn sen( )] [an cos( 2 L L n=1

siendo an =

1 L

1 bn = L

Z L −L

Z L −L

f (x)cos(

nπx )dx L

f (x)sen(

(n = 0, 1, 2, 3, ...)

nπx )dx L

(n = 1, 2, 3, ....)

se denomina serie trigonom´etrica de Fourier de f (x) en el intervalo −L ≤ x ≤ L, escribi´endose f (x) ∼

∞ X nπx nπx 1 a0 + [an cos( ) + bn sen( )], 2 L L n=1

−L ≤ x ≤ L

Los n´ umeros an (n = 0, 1, 2, ...) y bn (n = 1, 2, 3, ...) se llaman coeficientes de Fourier de f (x) en nπx el intervalo dado. El t´ermino n-´esimo del desarrollo, es decir, an cos( nπx L ) + bn sen( L ) se denomina

n-´esimo arm´onico el cual puede expresarse en la forma An cos( nπx L + φn ), donde An =

p

a2n + b2n y

tag φn = − abnn si an 6= 0 φn = − π2 si an = 0 El factor An es la amplitud del n-´esimo arm´onico y φn la fase inicial. En el caso particular de que f (x) sea una funci´on par o impar, el c´alculo de los coeficientes de Fourier se simplifica. 4

Si f (x) es par en −L ≤ x ≤ L, entonces: an =

2 L

Z L 0

f (x)cos(

con lo que

nπx )dx L

(n = 0, 1, 2, 3, ...) y bn = 0

∞ X 1 nπx ), f (x) ∼ a0 + an cos( 2 L n=1

(n = 1, 2, 3, ...)

−L ≤ x ≤ L

En caso de ser f (x) impar, entonces: 2 bn = L

Z L 0

f (x)sen(

nπx )dx L

escribi´endose

(n = 1, 2, 3, ....) y an = 0

∞ X

f (x) ∼

nπx ), L

bn sen(

n=1

(n = 0, 1, 2, 3, ...)

−L ≤ x ≤ L

Ejemplos: a) f (x) = |x|,

−π ≤ x ≤ π. Dado que la funci´on es par los coeficientes bn = 0, ∀n, con lo que

obtendremos un desarrollo s´olo en cosenos. Z π

2 a0 = π 2 an = π

Z π 0

0

Ã

2 f (x) dx = π

x2 2

Z π

2 nπx ) dx = f (x) · cos( π π

0

!π

=π 0

x · cos(nx) dx = (1)

aplicando el m´etodo de integraci´ on por partes, tomando u = x y dv = cos(nx)dx, obtenemos 2 (1) = π

µ

x sen(nx) n

¶π 0

2 − π

Z π sen(nx)

n

0

por lo que

(

0 si n par − πn4 2 si n impar

∞ π 4 X cos[(2n − 1)x] − 2 π n=1 (2n − 1)2

|x| ∼ b) f (x) = x,

2 dx = (cos(nx))π0 = nπ 2

−4 ≤ x ≤ 4. Al ser la funci´on impar tenemos garantizado que an = 0, ∀n, lo que

nos llevar´a a obtener un desarrollo s´olo en senos. bn =

2 4

Z 4 0

µ

f (x) · sen

nπx 4

¶

dx =

1 2

Z 4 0

µ

x · sen

nπx 4

¶

dx = (2)

nuevamente, usando el m´etodo de integraci´ on por partes con u = x y dv = sen tiene 1 (2) = 2

(

−4x cos nπ

lo que nos lleva a

¡ nπx ¢ )4 4

2 + nπ 0

Z 4 0

µ

nπx cos 4

¶

dx = −

nπx 4

¶

8 8 cos(nπ) = (−1)n+1 nπ nπ

µ ¶ ∞ 8 X nπx (−1)n+1 x ∼ sen π n=1 n 4

5

µ

dx, se

(

c) f (x) =

π, −π ≤ x < 0 x, 0 ≤ x ≤ π 1 a0 = π an =

1 = π

(µ

1 π

−π

π sen(nx) n π

1 = π

µ

+ −π

Z 1 π −π

1 f (x) dx = π −π

f (x) · cos(nx) dx =

¶0

bn =

es decir

Z π

Z π

1 π

¶π

x sen(nx) n

− 0

f (x) · sen(nx) dx =

(µ

¶0

π − cos(nx) n

½Z 0 −π

½Z 0

n

0

½Z 0 1

π

−π

0

¾

x dx =

π cos(nx) dx +

−π

Z 1 π

π dx +

Z π

)

sen(nx) dx

x + − cos(nx) n −π

¶π

+ 0

Z 1 π

n

0

¾

x cos(nx) dx =

1 = 2 [(−1)n −1] = n π

π sen(nx) dx +

µ

Z π

3π 2

0

Z π 0

(

¾

0 si n par − n22 π n impar

x sen(nx) dx = )

cos(nx) dx

½

=−

∞ 2 1 3π X − + cos[(2n − 1)x] − sen(nx) f (x) ∼ 2π 4 (2n − 1) n n=1

1 n

¾

Nota: Si f (x) y g(x) son funciones definidas e integrables en a ≤ x ≤ b y tales que f (x) = g(x) salvo en un n´ umero finito de puntos del intervalo a ≤ x ≤ b, entonces Z b a

f (x)dx =

Z b a

g(x)dx

esta situaci´on es trasladable a los desarrollos de Fourier, por lo que si f (x) = g(x) salvo en un n´ umero finito de puntos de −L ≤ x ≤ L, entonces f (x) y g(x) tendr´an el mismo desarrollo en serie de Fourier. Ejemplo:

(

f (x) =

   π,

π, −π ≤ x < 0 x, 0 ≤ x ≤ π

g(x) =

−π ≤ x < 0 π/2 x = 0   x, 0 < x ≤ π

Series de Fourier de senos y series de Fourier de cosenos La famlia de funciones {φn (x)} definidas por r

φn (x) =

2 nπx sen( ), 0 ≤ x ≤ L L L

(n = 1, 2, 3, ...)

constituye un sistema ortonormal respecto a la funci´on peso r(x) = 1 en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. Consideremos el problema de desarrollar una funci´on arbitraria f (x), definida en 0 ≤ x ≤ L, en serie respecto de este sistema ortonormal de funciones f (x) ∼

∞ X n=1

6

cn φn (x)

cn =

Z L 0

r

f (x)

2 nπx sen( ) L L

(n = 1, 2, 3, ...)

y operando adecuadamente obtenemos ∞ X

f (x) ∼

bn sen(

n=1

donde bn =

2 L

Z L 0

f (x)sen(

nπx ) L

nπx )dx L

recibiendo esta u ´ltima serie, cuando exista, el nombre de serie de Fourier de senos de f (x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. Nota: Si f (x) es impar, la serie trigonom´etrica de Fourier de f (x) en −L ≤ x ≤ L coincide con la serie de Fourier de senos de f (x) en 0 ≤ x ≤ L. An´alogamente, la familia {φn } definida por 1 φ1 (x) = √ ; φn (x) = L

r

nπx 2 cos( ), 0 ≤ x ≤ L L L

(n = 1, 2, 3, ...)

tambi´en constituye un sistema ortonormal respecto a la misma funci´on peso y en el mismo intervalo. Por lo que dada f (x) definida en 0 ≤ x ≤ L podemos desarrollarla respecto a este sistema de funciones, obteni´endose

∞ X 1 nπx a0 + ) an cos( 2 L n=1

f (x) ∼ donde an =

2 L

Z L 0

f (x)cos(

nπx )dx L

(n = 0, 1, 2, ...)

serie que se denomina serie de Fourier de cosenos de f (x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. Nota: Si f (x) es par, la serie trigonom´etrica de Fourier de f (x) en −L ≤ x ≤ L coincide con la serie de Fourier de cosenos de f (x) en 0 ≤ x ≤ L. Ejemplos: a) f (x) = 1, 0 ≤ x ≤ π • 1 ∼

∞ a0 X + an cos(nx) 2 n=1

a0 = an =

Z 2 π

π

0

2 π

Z π 0

dx =

cos(nx) dx =

7

2 {x}π0 = 2 π 2 π

½

sen(nx) n

¾π

=0 0

luego 1 ∼ 1 y como hemos podido comprobar se ha trabajado de m´as, pues la funci´on ya estaba desarrollada en cosenos. • 1 ∼

∞ X

bn sen(nx)

n=1

2 bn = π

Z π 0

2 sen(nx) dx = π

por lo tanto

½

−cos(nx) n

¾π 0

2 1 − (−1)n = = π n

(

0 n par 4 nπ n impar

∞ 4 X 1 sen[(2n − 1)x] π n=1 2n − 1

1 ∼ b) f (x) = x, 0 ≤ x ≤ π • x ∼

∞ a0 X + an cos(nx) 2 n=1

2 a0 = π 2 an = π

Z π 0

2 x cos(nx) dx = π

es decir x ∼ • x ∼

∞ X

½µ

Z π 0

2 x dx = π

x sen(nx) n

¶π 0

(

1 − n

x2 2

Z π 0

)π

=π 0

¾

(

sen(nx) dx =

0 n par − n42 π n impar

∞ π 4 X 1 − cos[(2n − 1)x] 2 π n=1 (2n − 1)2

bn sen(nx)

n=1

2 bn = π

Z π 0

2 x sen(nx) dx = π

½µ

con lo que x ∼

−x cos(nx) n

¶π

∞ X 2(−1)n+1 n=1

n

0

1 + n

Z π 0

¾

cos(nx) dx =

2(−1)n+1 n

sen(nx)

Convergencia de las series de Fourier Hemos expresado el desarrollo de una funci´on f (x) en serie trigonom´etrica de Fourier en un intervalo −L ≤ x ≤ L como ∞ X nπx nπx 1 a0 + [an cos( ) + bn sen( )] 2 L L n=1

8

donde los coeficientes de Fourier de f (x) vienen dados por an =

1 L

1 bn = L

Z L −L

Z L −L

f (x)cos(

nπx )dx L

f (x)sen(

(n = 0, 1, 2, 3, ...)

nπx )dx L

(n = 1, 2, 3, ....)

Este desarrollo es meramente formal y nos planteamos ahora cu´ales deben ser las condiciones nπx nπx 2L para la convergencia de la serie. Las funciones sen( ) y cos( ) son peri´odicas de periodo , L L n lo que nos lleva a que tambi´en son peri´odicas de periodo 2L, por tanto si la serie trigonom´etrica de Fourier converge a una funci´on f (x), ´esta debe ser tambi´en peri´odica de periodo 2L. Luego, si la serie converge para todo x del intervalo −L ≤ x ≤ L lo har´a para todo x en −∞ < x < ∞ y la funci´on suma ser´a peri´odica de periodo 2L. Teorema: Sea f (x) una funci´on tal que 1. f (x) es peri´odica de periodo 2L. 2. f (x) es regular a trozos en el intervalo −L ≤ x ≤ L. Entonces, la serie trigonom´etrica ∞ X 1 nπx nπx a0 + ) + bn sen( )] [an cos( 2 L L n=1

donde an =

1 L

1 bn = L converge en cada punto x al valor

siendo f (x+ ) =

lim

h→0; h>0

Z L −L

Z L −L

f (x)cos(

nπx )dx L

f (x)sen(

(n = 0, 1, 2, 3, ...)

nπx )dx L

(n = 1, 2, 3, ....)

f (x+ ) + f (x− ) 2

f (x + h) y f (x− ) =

lim

h→0; h>0

f (x − h). En particular si f es continua en x, la

convergencia ser´a a f (x). Ejemplo:

(

f (x) =

π, −π ≤ x ≤ 0 x, 0 ≤ x ≤ π

Teorema: Sea f (x) una funci´on regular a trozos en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. Entonces:

9

f (x+ ) + f (x− ) para cada x tal que 2 0 < x < L. En particular si f es continua en 0 < x < L, converge a f (x). Adem´as converge a

1. La serie de Fourier de senos de f (x) converge al valor

cero en x = 0 y x = L. g(x+ ) + g(x− ) , siendo g la funci´on impar 2 peri´odica de periodo 2L que coincide con f en 0 < x < L y tal que g(0) = g(L) = 0.

La serie converge en cada punto x ∈ (−∞, ∞) a

f (x+ ) + f (x− ) para cada x tal que 2 0 < x < L. En particular si f es continua en 0 < x < L, converge a f (x). Adem´as converge a

2. La serie de Fourier de cosenos de f (x) converge al valor f (0+ ) en x = 0 y a f (L− ) en x = L.

h(x+ ) + h(x− ) , siendo h la funci´on par peri´odica 2 de periodo 2L que coincide con f en 0 ≤ x ≤ L. La serie converge en cada punto x ∈ (−∞, ∞) a

Ejemplo: f (x) = x,

3.

0≤x≤π

De la serie de Fourier a la integral de Fourier

En esta secci´on pretendemos deducir de forma intuitiva y poco rigurosa la expresi´on de la transformada integral de Fourier partiendo de la correspondiente serie compleja. Obteng´amos en primer lugar la forma compleja de las series de Fourier. Si consideramos la serie trigonom´etrica de Fourier de la funci´on f (t), como f (t) = donde ∆w =

∞ a0 X + an cos(n∆wt) + bn sen(n∆wt) 2 n=1

π . Dado que L cos(n∆wt) =

ein∆wt + e−in∆wt ein∆wt − e−in∆wt y sen(n∆wt) = 2 2i

si llevamos estas expresiones al desarrollo de Fourier obtenemos f (t) =

teniendo en cuenta que

∞ a0 X ein∆wt − e−in∆wt ein∆wt + e−in∆wt + + bn an 2 2 2i n=1

1 = −i, y haciendo i c0 =

a0 , 2

cn =

an − ibn 2

10

c−n =

an + ibn 2

nos queda f (t) = c0 +

∞ X

∞ X

cn ein∆wt + c−n e−in∆wt = c0 +

n=1

cn ein∆wt +

n=1

−∞ X

cn ein∆wt =

n=−1

∞ X

cn ein∆wt

n=−∞

donde los coeficientes cn se calculan mediante la integral 1 cn = 2L

Z L

f (t)e−in∆wt dt

−L

(n = 0, ±1, ±2, ...)

sustituyendo estas expresiones en la serie compleja obtenemos ∞ X

f (t) =

[

n=−∞

y por lo tanto f (t) =

∞ X

1 2L n=−∞

1 2L

Z L −L

Z L

f (x)e−in∆wx dx]ein∆wt

−L

f (x)ein∆w(t−x) dx

t ∈ (−L, L)

En esta u ´ltima expresi´on queremos determinar el l´ımite cuando L tiende a ∞, con lo que ampliaremos los resultados para funciones no peri´odicas y con t ∈ R. Escribamos G(w) = entonces

Z ∞ −∞

f (x)eiw(t−x) dx

∞ ∞ Z ∞ 1 X ∆w X G(n∆w) · ∆w = f (x)ein∆w(t−x) dx 2π n=−∞ 2π n=−∞ −∞

parece ser una buena aproximaci´on de la u ´ltima serie. Si hacemos tender L a ∞, lo que lleva a que ∆w tienda a 0, el lado izquierdo de la u ´ltima igualdad parecer´a una suma de Riemann; la cual ser´a una buena aproximaci´on de 1 2π con lo que f (t) =

1 2π

Z ∞ −∞

G(w) dw

Z ∞ µZ ∞ −∞

−∞

¶

f (x)e−iwx dx eiwt dw

En las siguientes secciones veremos como el par F (w) = F{f (t)}(w) = f (t) = F

−1

Z ∞ −∞

1 {F (w)}(t) = 2π

e−iwt f (t)dt

Z ∞ −∞

eiwt F (w)dw

definen la transformada integral de Fourier y su correspondiente inversa.

11

4.

La funci´ on impulso δ

La funci´on impulso unitario δ(t), conocida tambi´en como funci´on delta, puede introducirse de la siguiente manera, para ² > 0:

 1   

F² (t) =

−²≤t≤²

2²

  

es obivio que para cualquier ², se verifica que

0

|t| > ²

Z ∞ −∞

F² (t)dt = 1.

Se define la funci´on impulso unitario como δ(t) = lim F² (t) ²→0

Otra forma de introducci´on ser´ıa (

δ(t) = Z ∞ −∞

δ(t)dt =

0 si t 6= 0 ∞ si t = 0

Z ² −²

δ(t)dt = 1

(² > 0)

La funci´on delta tambi´en se puede definir en t´erminos de las propiedades de sus integrales. Si se supone que la funci´on φ(t) (llamada funci´on prueba) es una funci´on continua, que se anula fuera de alg´ un intervalo finito, entonces δ(t) se define como una funci´on simb´ olica por la relaci´on Z ∞ −∞

δ(t)φ(t)dt = φ(0)

δ(t) se trata como una funci´on ordinaria, aunque en realidad no lo es. Nunca se habla del valor de δ(t), pero s´ı de los valores de las integrales en que aparece δ(t). Ejemplos: 1. 2. 3.

Z ∞ −∞

Z ∞ −∞

Z b a

δ(t − t0 )φ(t)dt = δ(at)φ(t)dt =

1 |a|

Z ∞ −∞

Z ∞

t 1 δ(t)φ( )dt = φ(0) a |a| −∞

(

δ(t − t0 )φ(t)dt =

δ(t)φ(t + t0 )dt = φ(t0 )

φ(t0 ) a < t0 < b . Siendo a < b y φ(t) continua en t0 . 0 en los otros casos

La derivada δ 0 (t) de δ(t) est´a definida por la relaci´on integral Z ∞ −∞

δ 0 (t)φ(t)dt = −

Z ∞ −∞

12

δ(t)φ0 (t)dt = −φ0 (0)

an´alogamente se define la derivada en´esima Z ∞ −∞

δ

(n)

n

(t)φ(t)dt = (−1)

Z ∞ −∞

δ(t)φ(n) (t)dt = (−1)n φ(n) (0)

Ejercicios 1. Si a < b demostrar que Z b a

   1 para a < t0 < b

δ(t − t0 ) dt =

  0 para b < t , t < a 0 0

2. Demostrar que f (t)δ(t) = f (0)δ(t) donde f (t) es continua en t = 0. Usar esta igualdad para demostrar las siguientes propiedades de la funci´on δ a) tδ(t) = 0

b) δ(at) =

1 δ(t) |a|

c) δ(t) = δ(−t)

3. Demostrar que la expresi´on siguiente es consecuente con el concepto de derivaci´ on cl´asico Z ∞

0

−∞

f (t)φ(t)dt = −

Z ∞ −∞

f (t)φ0 (t)dt

siendo f (t) funci´on cuya derivada es continua y φ(t) funci´on prueba. 4. Si f (t) es una funci´on continua y diferenciable, demostrar que la regla del producto [f (t)δ(t)]0 = f (t)δ 0 (t) + f 0 (t)δ(t) se sigue cumpliendo 5. Demostar la siguiente igualdad f (t)δ 0 (t) = f (0)δ 0 (t) − f 0 (0)δ(t) 6. Demostrar que la funci´on δ es la derivada de la funci´on u(t), la cual est´a definida por la relaci´on Z ∞ −∞

u(t)φ(t)dt =

Z ∞ 0

φ(t)dt

7. Si f (t) es una funci´on continua por tramos con discontinuidades de salto finito a1 , a2 , ... en t1 , t2 , ..., y la funci´on f 0 (t) est´a definida en todas partes excepto en estas discontinuidades, encontrar la derivada generalizada de f (t). 13

5.

La transformada integral de Fourier

Definici´ on: Dada la funci´on f (t), se define la transformada de Fourier de f (t) como F (w) = F{f (t)}(w) =

Z ∞ −∞

e−iwt f (t)dt

y la transformada inversa de Fourier como f (t) = F −1 {F (w)}(t) =

1 2π

Z ∞ −∞

eiwt F (w)dw

La condici´on para que exista F (w) generalmente est´a dada por Z ∞ −∞

|f (t)|dt < ∞

aunque es una condici´on suficiente pero no necesaria. La funci´on F (w) = F{f (t)}(w) es, en general, compleja y se tiene F (w) = R(w) + iX(w) = |F (w)|eiφ(w) donde |F (w)| se denomina espectro de magnitud de f (t), y φ(w) espectro de fase de f (t). Nota: En caso de que f (t) sea real, se tiene: R(w) =

Z ∞ −∞

f (t)cos(wt)dt y X(w) = −

R(w) = R(−w);

Z ∞ −∞

f (t)sen(wt)dt

F (−w) = F (w)

X(−w) = −X(w);

|F (w)| es par y φ(w) impar. Ejemplos: a) Pd (t) =

 1   1 |t| < 2 d   0 |t| > 1 d 2

F (w) = F{Pd (t)}(w) =

Z ∞ −∞

Z −iwt

Pd (t)e

dt =

d 2

− d2

½

−iwt

e

1 dt = − e−iwt iw

³ ´ wd µ ¶ ³ ´ sen 1 2 wd 2 iw d2 −iw d2 = e −e = sen =d ³ ´

iw

w

14

2

wd 2

¾d 2

− d2

=

(

b) f (t) =

e−αt t > 0 0 t 0)

Z ∞ −∞

f (t)e

−iwt

dt =

Z ∞ 0

e

−αt −iwt

e

dt =

Z ∞ 0

e−(α+iw)t dt =

1 α + iw

Definici´ on: Si f (t) est´a definida para 0 < t < ∞, se define la transformada de Fourier coseno de f (t) como Fc {f (t)}(w) = Fc (w) = Fc−1 {Fc (w)}(t) = f (t) =

2 π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

f (t)cos(wt)dt Fc (w)cos(wt)dw

y la transformada de Fourier seno de f (t), como Fs {f (t)}(w) = Fs (w) = Fs−1 {Fs (w)}(t) = f (t) =

2 π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

f (t)sen(wt)dt Fs (w)sen(wt)dw

Ejemplo: f (t) = e−αt para t > 0 y α > 0. Fc (w) =

Z ∞ 0

−αt

e

cos(wt) dt

y

Fs (w) =

Z ∞ 0

e−αt sen(wt) dt

Denotamos por I1 e I2 , respectivamente, a las integrales anteriores . Integrando por partes cada una de ellas obtenemos I1 =

1 w − I2 α α

e

I2 =

w I1 α

y resolviendo el sistema llegamos a Fc (w) =

6.

α α2 + w 2

y

Fs (w) =

w α2 + w 2

Propiedades de la transformada de Fourier 1. Si F1 (w) = F[f1 (t)](w) y F2 (w) = F[f2 (t)](w), y a1 y a2 son dos constantes arbitrarias. Entonces F[a1 f1 (t) + a2 f2 (t)](w) = a1 F1 (w) + a2 F2 (w) La demostraci´on es muy sencilla, basta tener encuenta el car´acter lineal del operador integral.

15

2. Si a es una constante real y F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (at)](w) = Demostarci´ on: F[f (at)](w) =

Z ∞ −∞

1 w F( ) |a| a

f (at)e−iwt dt efectuando el cambio de variable at = x

obtenemos

F[f (at)](w) =

   (a > 0)   

1 a

     (a < 0)

1 a

Z ∞ −∞

w

f (x)e−i a x dx =

Z −∞ ∞

1 w F( ) |a| a

w

f (x)e−i a x dx = −

1 a

Z ∞ −∞

w

f (x)e−i a x dx =

1 w F( ) |a| a

3. Si F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (−t)](w) = F (−w) Demostraci´ on: Aplicar la propiedad anterior al caso a = −1. 4. Si F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (t − t0 )](w) = F (w)e−iwt0 Demostraci´ on: F[f (t − t0 )](w) = F[f (t − t0 )](w) =

Z ∞ −∞

Z ∞

−∞

f (x)e

f (t − t0 )e−iwt dt haciendo el cambio t − t0 = x

−iw(t0 +x)

dx = e

iwt0

Z ∞ −∞

f (x)e−iwx dx = eiwt0 F (w)

5. Si w0 es una constante real y F (w) = F[f (t)](w), entonces F[f (t)eiw0 t ](w) = F (w − w0 ) Demostraci´ on: F[f (t)e

iw0 t

](w) =

Z ∞ −∞

f (t)e−i(w−w0 )t) dt = F (w − w0 )

6. Si F (w) = F[f (t)](w), entonces F[F (t)](w) = 2π f (−w) Demostraci´ on: Sabemos que 2π f (t) = cambiando t por −t 2π f (−t) =

Z ∞ −∞

Z ∞ −∞

F (w) eiwt dw

F (w) e−iwt dw

Intercambiando t y w 2π f (−w) =

Z ∞ −∞

F (t) e−iwt dt = F[F (t)](w)

7. Si F (w) = F[f (t)](w) y f (t) → 0 cuando t → ±∞, entonces F[f 0 (t)](w) = iwF (w) 16

es m´as F[f (n) (t)](w) = (iw)n F (w) cuando exista F[f (n) (t)](w) Demostraci´ on: Aplicando el m´etodo de integraci´ on por partes 0

F[f (t)](w) =

Z ∞

0

−∞

f (t)e

−iwt

n

dt = f (t)e

−iwt

o∞ −∞

+ iw

Z ∞ −∞

f (t)e−iwt dt

y teniendo en cuenta el comportamiento de f (t) para t → ±∞, se obtiene el resultado buscado. La segunda parte puede demostrarse por inducci´on, siempre que en cada paso se admite la existencia de la correspondiente transformada. 8. Si F (w) = F[f (t)](w), w 6= 0, y

Z ∞ −∞

F cuando

Z ∞ −∞

f (t)dt = F (0) = 0, entonces

·Z t −∞

¸

f (x)dx (w) =

1 F (w) iw

f (t)dt = F (0) 6= 0,entonces F

·Z t −∞

¸

f (x)dx (w) =

1 F (w) + πF (0)δ(w) iw

La demostraci´on de la segunda parte la dejaremos para las clases de problemas. Demostraci´ on: Consideremos la funci´on φ(t) =

Z t −∞

f (x) dx

entonces, φ0 (t) = f (t), y como lim φ(t) =

t→∞

Z ∞ −∞

f (x) dx = F (0) = 0

tenemos que, si F[φ(t)](w) = Φ(w), entonces F[φ0 (t)](w) = F[f (t)](w) = iwΦ(w) =⇒ Φ(w) =

1 F (w) iw

9. Si F (w) = F[f (t)](w), entonces F[−it f (t)](w) = Demostraci´ on: d dF (w) = dw dw

Z ∞ −∞

dF (w) dw

f (t)e−iwt dt =

17

Z ∞ −∞

−it f (t)e−iwt dt

10. El producto de convoluci´on: Sean f1 (t) y f2 (t) dos funciones dadas. La convoluci´ on de ellas est´a definida por la funci´on f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) =

Z ∞ −∞

f1 (x)f2 (t − x)dx

esta operaci´on es conmutativa, asociativa y tiene a la funci´on impulso δ(t) como elemento unidad, es decir, f (t) ∗ δ(t) = f (t). • f1 (t) ∗ f2 (t) =

Z ∞ −∞

Z ∞

f1 (x)f2 (t − x)dx = {t − x = y} =

−∞

f1 (t − y)f2 (y)dy = f2 (t) ∗ f1 (t)

• tomemos f1 (t) ∗ f2 (t) = g(t), y f2 (t) ∗ f3 (t) = h(t). Dado que g(t) =

Z ∞ −∞

f1 (x)f2 (t − x)dx,

se tiene que g(t) ∗ f3 (t) =

Z ∞ −∞

g(x)f3 (t − x)dx =

Z ∞ ·Z ∞ −∞

¸

−∞

f1 (y)f2 (x − y)dy f3 (t − x)dx

sustituyendo z = x − y e intercambiando el orden de integraci´ on, obtenemos g(t) ∗ f3 (t) = y como h(t) =

Z ∞ −∞

Z ∞ −∞

f1 (y)

·Z ∞ −∞

¸

f2 (z)f3 (t − y − z)dz dy

f2 (z)f3 (t − z)dz, se tiene h(t − y) =

consiguiente g(t) ∗ f3 (t) =

Z ∞ −∞

• f (t) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ f (t) =

Z ∞ −∞

f2 (z)f3 (t − y − z)dz. Por

f1 (y)h(t − y)dy = f1 (t) ∗ h(t)

Z ∞ −∞

δ(x)f (t − x)dx = [f (t − x)]x=0 = f (t)

Si F[f1 (t)](w) = F1 (w) y F[f2 (t)](w) = F2 (w), entonces F[f1 (t) ∗ f2 (t)](w) = F1 (w)F2 (w) y adem´as F −1 [F1 (w) ∗ F2 (w)](t) = 2πf1 (t)f2 (t) o bien F[f1 (t)f2 (t)](w) =

1 1 F1 (w) ∗ F2 (w) = 2π 2π

18

Z ∞ −∞

F1 (y)F2 (w − y)dy

• F[f1 (t)∗f2 (t)](w) =

Z ∞ ·Z ∞ −∞

−∞

¸

f1 (x)f2 (t − x)dx e−iwt dt =

Z ∞ −∞

f1 (x)

·Z ∞ −∞

¸

f2 (t − x)e−iwt dt dx

pero la expresi´on entre corchetes es la transformada de f2 (t − x) y su valor es F2 (w)e−iwx , por lo que F[f1 (t) ∗ f2 (t)](w) =

Z ∞ −∞

f1 (x)e−iwx F2 (w)dx = F1 (w)F2 (w)

• F

−1

[F1 (w) ∗ F2 (w)](t) = F 1 = 2π

Z ∞ ·Z ∞ −∞

−∞

−1

·Z ∞

¸

F1 (y)F2 (w − y)dy =

−∞

¸

F1 (y)F2 (w − y)dy eiwt dw = (1)

efectuando el cambio w − y = x e intercambiando el orden de integraci´ on, se obtiene (1) =

1 2π

Z ∞ −∞

F1 (y)

·Z ∞ −∞

¸

·

1 2π

F2 (x)ei(x+y)t dx dy = 2π

Z ∞ −∞

¸·

F1 (y)eiyt dy

= 2π[f1 (t)f2 (t)]

11. Relaciones de Parseval: (a) Si F[f1 (t)](w) = F1 (w) y F[f2 (t)](w) = F2 (w), entonces Z ∞

1 f1 (t)f2 (t)dt = 2π −∞

sabemos que 1 F[f1 (t)f2 (t)](w) = 2π

Z ∞ −∞

Z ∞ −∞

F1 (w)F2 (−w)dw

F1 (y)F2 (w − y)dy

o lo que es lo mismo Z ∞ −∞

[f1 (t)f2 (t)]e

−iwt

1 dt = 2π

Z ∞ −∞

F1 (y)F2 (w − y)dy

y tomando w = 0 se obtiene la igualdad requerida. (b) Si F (w) = F[f (t)](w), entonces Z ∞ −∞

|f (t)|2 dt =

19

1 2π

Z ∞ −∞

|F (w)|2 dw

1 2π

Z ∞ −∞

¸

F2 (x)eixt dx =

7.

Problemas 1. Si F (w) = F[f (t)](w), hallar la transformada de Fourier de f (t)cos(w0 t). 2. Hallar la transformada de Fourier de la funci´on f (t) =

sen(at) . πt

3. Demostrar que a) f (t) ∗ δ(t − T ) = f (t − T )

b) f (t − t1 ) ∗ δ(t − t2 ) = f (t − t1 − t2 )

4. Utilizar la convoluci´on para encontrar f (t) = F −1 [

1 ]. (1 + iw)2

5. Hallar la integral de Fourier que representa la funci´on (

f (t)

1 para |t| < 1 0 para |t| > 1

6. Utilizar el resultado del problema anterior para deducir que 7. Si F (w) = F[f (t)](w), demostrar que

Z ∞ sen w 0

w

dw =

π . 2

1 w − w0 F( ) = F[f (at)eiw0 t ](w) |a| a

8. Si F (w) = F[f (t)](w), hallar la transformada de Fourier de f (t)sen(w0 t). 9. Hallar, de dos formas diferentes, f (t) = F −1 [

1 ]. (1 + iw)(2 + iw)

10. Hallar la transformada de Fourier de la funci´on impulso δ(t). 11. Deducir las siguientes representaciones a) δ(t) =

1 2π

Z ∞ −∞

eiwt dw

b) δ(t) =

1 π

Z ∞ 0

cos(wt)dw

12. Hallar la transformada de Fourier de una funci´on constante. 13. Hallar la transformada de Fourier de las siguientes funciones a) f (t) = eiw0 t

b) f (t) = cos(w 0 t) ( 1 para t > 0 d) u(t) = 0 para t < 0

c) f (t) = sen(w0 t)

du(t) , entonces F[δ(t)](w) = iwF[u(t)](w). Por lo tanto 1 = iwF[u(t)](w), de lo que dt 1 se deduce que F[u(t)](w) = , sin embargo en el apartado d) del problema anterior se obtiene iw un resultado distinto. Encontrar el fallo de esta argumentaci´ on.

14. Si δ(t) =

20

15. Probar que F −1 [

1 1 ] = sgn t, donde sgn t est´ a definido como iw 2 (

sgn t =

16. Demostrar que cuando

Z ∞ −∞

F

1 para t > 0 −1 para t < 0

f (t)dt = F (0) 6= 0,entonces

·Z t

¸

−∞

f (x)dx (w) =

1 F (w) + πF (0)δ(w) iw

17. Sea F[f (t)](w) = F (w) y F[g(t)](w) = G(w); establecer la igualdad de Parseval Z ∞ −∞

8.

f (x)G(x)dx =

Z ∞ −∞

F (x)g(x)dx

Ap´ endice

En esta secci´on estableceremos algunos resultados te´oricos asociados a la transformada integral de Fourier. Comenzaremos mostrando las notaciones que usaremos a lo largo de ´esta. Sea Ω ⊂ R: C(Ω) = {f continua en Ω} C n (Ω) = {f, f 0 , ..., f (n) continuas en Ω}

(n puede ser ∞)

P(Ω) = {f continua a trozos en Ω} P n (Ω) = {f, f 0 , ..., f (n) continuas a trozos en Ω}

(n puede ser ∞)

Z

L1 (Ω) = {f abs. integrable en Ω, esto es Z

Lp (Ω) = {f :

8..1

Ω

Ω

|f |dx < ∞}

|f |p dx < ∞}

Teorema integral de Fourier

Pretendemos averiguar para qu´e tipo de funciones es v´alida la expresi´on 1 f (x) = 2π

Z ∞ −∞

e

ixu

Z ∞ −∞

21

f (v)e−iuv dvdu

Lema de Riemann-Lebesgue Sea f ∈ C([a, b]), 0 ≤ a < b < ∞, entonces lim

Z b

λ→∞ a

f (t) sen(λt) dt = lim

Z b

λ→∞ a

f (t) cos(λt) dt = 0

Demostraci´ on: Lo haremos para el caso de sen(λt), ya que para el caso del coseno ser´ıa an´alogo. Z b a

f (t) sen(λt) dt =

Z b− π λ a− π λ

π f (u + ) sen(λu + π) du = − λ

Z b− π λ a− π λ

f (u +

π ) sen(λu) du λ

Por tanto, 2

Z b a

f (t) sen(λt) dt =

Z b a

f (t) sen(λt) dt −

Z b− π λ a− π λ

f (t +

π ) sen(λt) dt = I1 + I2 + I3 λ

siendo I1 = −

Z a a− π λ

f (t +

π ) sen(λt) dt; I2 = λ

Z b− π λ a

[f (t) − f (t +

π )] sen(λt) dt; I3 = λ

Z b b− π λ

f (t) sen(λt) dt

• Estudiemos primero I1 : f es continua en [a, b], luego alcanza el m´aximo en [a, b], y por tanto existe M > 0 de forma que |f (x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b] ¯Z ¯ ¯ a ¯ ² π π ¯ ¯ f (t + ) sen(λt) dt¯ ≤ M < ¯ π ¯ a− ¯ λ λ 3 λ

siendo λ ≥ max{λ0 , λ1 }, tal que a + • Caso de I3 : |I3 | ≤

π ≤ b y M λπ1 < λ0

Z b b− π λ

siendo λ ≥ max{λ2 , λ3 }, tal que b −

² 3.

|f (t)| |sen(λt)| dt ≤ M

π ≥ a y M λπ3 < λ2

π ² < λ 3

² 3.

• veamos qu´e ocurre para I2 : f continua en [a, b] ⇒ f uniformemente continua en [a, b] ⇒ dado ² > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x, y ∈ [a, b] : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ². π ² Dado > 0 existen un δ y un λ4 tal que para cualquier λ > λ4 se tiene que |t − (t+ )| = 3(b − a) λ π π ² < δ ⇒ |f (t) − f (t + )| < , entonces λ λ 3(b − a) |I2 | ≤

² π ² ² (b − a − ) ≤ (b − a) = 3(b − a) λ 3(b − a) 3

Por u ´ltimo, tomando λ ≥ max{λ0 , λ1 , λ2 , λ3 , λ4 }, podemos demostrar que ¯ Z ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯ f (t) sen(λt) dt¯ ≤ |I1 | + |I2 | + |I3 | < ² ¯2 ¯ a ¯

22

Corolario 1.- Si f ∈ P(a, b), 0 ≤ a < b < ∞, entonces lim

Z b

λ→∞ a

f (t) sen(λt) dt = lim

Z b

λ→∞ a

f (t) cos(λt) dt = 0

Demostraci´ on: Aplicamos el lema de Riemann-Lebesgue a cada subintervalo y escribimos Z b a

=

n Z bi X i=1 ai

.

Corolario 2.- Si f ∈ P(a, ∞), a ≥ 0 y f ∈ L1 [a, ∞), entonces lim

Z ∞

λ→∞ a

f (t) sen(λt) dt = lim

Z ∞

λ→∞ a

f (t) cos(λt) dt = 0

Demostraci´ on: • f ∈ L1 [a, ∞) ⇒

Z ∞ a

|f (t)| dt < ∞ ⇒ ∃ N > a :

Z ∞ N

|f (t)| dt <

² 2

• f ∈ P(a, ∞) ⇒ f ∈ P(a, N ), por el lema de Riemann-Lebesgue ∃ λ0 > 0 : ∀ λ > λ0 ¯R ¯ ¯ N ¯ ¯ a f (t) sen(λt) dt¯ < 2² . Entonces, ¯Z ∞ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < f (t) sen(λt) dt ¯ ¯

¯Z ¯ Z ∞ ¯ N ¯ ¯ ¯ f (t) sen(λt) dt¯ + |f (t)| dt < ² ¯ ¯ a ¯ N

a

Lema de localizaci´on Sea f ∈ P 1 [0, a], a < ∞, entonces lim

Z a

λ→∞ 0

f (t)

sen(λt) π dt = f (0+ ) t 2

Demostraci´ on: Supondremos que f ∈ C(0, a], ya que si no fuese as´ı, buscar´ıamos el punto 0 < b < a tal que f ∈ C(0, b] y el valor del l´ımite de la integral depender´a tan s´olo de la integral entre 0 y b dado f (t) que le l´ımite de la integral entre b y a ser´ıa igual a cero al aplicar el corolario 1 a la funci´on . t Iλ =

Z a 0

sen(λt) π f (t) dt− f (0+ ) = t 2

Z a

sen(λt) [f (t) − f (0 )] dt+f (0+ ) t +

0

• Estudiemos I1 : La funci´on g(t) =

µZ a sen(λt) 0

t

π dt − 2

¶

= I1 +I2

f (t) − f (0+ ) es continua en (0, a] y en t = 0 ocurre que t

lim g(t) = lim

t→0+

t→0+

f (t) − f (0+ ) = f 0 (0+ ) t

y podemos definir g(0) = f 0 (0+ ). Entonces, por el lema de Riemann-Lebesgue, existe un λ0 tal que para todo λ ≥ λ0 , se tiene que ¯Z a ¯

|I1 | = ¯¯

0

¯ ¯

g(t) sen(λt) dt¯¯ < 23

² 2

• Veamos ahora qu´e ocurre con I2 : – si f (0+ ) = 0 ya estar´ıa. – si f (0+ ) 6= 0, efectuando el cambio u = λt en la integral obtenemos Z a sen(λt)

t

0

dt =

Z λa sen u 0

u

du

Z λa sen u

π du = . Por tanto, existe un λ1 tal u 2 ² que para todo λ ≥ λ1 se verifica que |I2 | ≤ |f (0+ )| 2|f (0+ )|

y sabemos (problema 6 del tema) que lim

λ→∞ 0

Para finalizar, tomando λ ≥ max{λ0 , λ1 } concluimos que |Iλ | < ² f (t) ∈ L1 [a, ∞), a > 0, entonces t

Corolario 3.- Si f ∈ P 1 [0, ∞) y

lim

Z ∞

λ→∞ 0

f (t)

sen(λt) π dt = f (0+ ) t 2

Demostraci´ on: Sea ² > 0 ¯ Z ∞¯ ¯ f (t) ¯ ² ¯ ¯ ¯ t ¯ dt < 2 N ¯Z ¯ ¯ N ¯ π ² sen(λt) ¯ 1 + ¯ dt − f (0 )¯ < , para todo λ ≥ λ0 . • f ∈ P [0, N ] ⇒ ¯ f (t) ¯ 0 ¯ t 2 2

•

f (t) ∈ L1 [a, ∞) ⇒ ∃N ∈ N : t

Por tanto para todo λ mayor o igual que un cierto λ0 se verifica que ¯Z ∞ ¯ ¯ ¯ π sen(λt) + ¯ ¯ dt − f (0 ) f (t) ¯ ¯ < ² t 2 0

Corolario 4.- Si f ∈ P 1 (R) y f ∈ L1 (R), entonces lim

Z ∞

λ→∞ 0

f (x + t)

sen(λt) π dt = f (x+ ) t 2

Demostraci´ on: Definimos gx (t) = f (x + t), t ∈ [0, ∞), x > 0

[x + t ≥ x].

• f ∈ P 1 (R) ⇒ gx ∈ P 1 [0, ∞). •

gx (t) ∈ L1 [a, ∞), t

a > 0, ya que

¯ Z ∞¯ Z 1 Z ∞ Z ∞ ¯ gx (t) ¯ |f (x + t)| |f (x + t)| ¯ ¯ dt = dt ≤ dt + |f (x + t)| dt < ∞ ¯ t ¯ t t a

a

a

24

1

Aplicando el corolario 3 a la funci´on gx obtenemos el resultado buscado. Corolario 5.- Si f ∈ P 1 (R) y f ∈ L1 (R), entonces lim

Z ∞

λ→∞ −∞

f (x + t)

sen(λt) π dt = [f (x+ ) + f (x− )] t 2

Demostraci´ on: Z ∞

sen(λt) f (x + t) dt = t −∞

Z 0

Z ∞

sen(λt) f (x + t) dt + t −∞

Aplicando el corolario 4, sabemos que I2 tiende a

0

f (x + t)

sen(λt) dt = I1 + I2 t

π f (x+ ) cuando λ → ∞. En cuanto a I1 2

efectuemos el cambio de variable u = −t y obtenemos Z ∞

I1 =

0

f (x − u)

sen(λu) du u

actuando de forma similiar a como lo hicimos en el corolario 4. Definimos gx (u) = f (x − u), u ≥ 0,

(x − u ∈ (−∞, x]).

• f ∈ P 1 (R) ⇒ gx ∈ P 1 [0, ∞). •

gx (t) ∈ L1 [a, ∞), t

a > 0, ya que

¯ Z ∞¯ Z 1 Z ∞ Z ∞ ¯ gx (t) ¯ |f (x − t)| |f (x − t)| ¯ ¯ dt = dt ≤ dt + |f (x − t)| dt < ∞ ¯ t ¯ t t a

a

a

Luego I1 tiende a

1

π π gx (0+ ) = f (x− ) cuando λ → ∞ 2 2

Teorema integral de Fourier Sea f ∈ P 1 (R) ∩ L1 (R). Entonces 1 π

Z ∞ Z ∞ 0

−∞

f (t) cos[u(x − t)] dt du =

¤ 1£ f (x+ ) + f (x− ) 2

Demostraci´ on: (a) El corolario 5 nos permite escribir 1 1 [f (x+ )+f (x− )] = lim λ→∞ π 2 1 (1) = lim λ→∞ π

Z ∞ −∞

f (x + y)

sen(λy) dy = (1) y

Z ∞

sen[λ(t − x)] 1 f (t) dt = lim λ→∞ t−x π −∞ 25

Z ∞ −∞

f (t)

(efectuamos el cambio t = x + y) Z λ 0

cos[u(t − x)] du dt = A

(b) 1 π

Z ∞ Z ∞

1 f (t) cos[u(t − x)] dt du = lim λ→∞ π −∞

0

Z λ Z ∞ −∞

0

f (t) cos[u(t − x)] dt du = B

Pasaremos a demostrar que A = B, para ello comprobaremos que A − B = 0, es decir (Z ∞

lim

λ→∞

−∞

f (t)

Z λ 0

cos[u(t − x)] du dt −

Z λ Z ∞ 0

−∞

)

f (t) cos[u(t − x)] dt du

= 0

Denotemos por I a la diferencia de integrales que hay entre llaves y expres´emosla como sigue I=

+

ÃZ x

Z λ

−∞

ÃZ ∞ Z λ x

0

0

f (t) cos[u(t − x)] du dt −

f (t) cos[u(t − x)] du dt −

Z λ Z x 0

Z λ Z ∞ 0

x

−∞

!

f (t) cos[u(t − x)] dt du

+

!

f (t) cos[u(t − x)] dt du

= I1 + I2

Veamos a continuaci´on que lim I2 = 0, el correpondiente resultado para I1 , se demostrar´ıa de λ→∞

forma an´aloga. • Z ∞ x

f (t)

Z λ 0

cos[u(t − x)] du dt =

Z ∞ x

f (t)

sen[λ(t − x)] dt = t−x

Z ∞ 0

f (y + x)

sen(λy) dy y

por el corolario 4 sabemos que lim

Z ∞

λ→∞ 0

f (x + y)

sen(λy) π dy = f (x+ ) y 2

luego ∀ ² > 0, ∃ λ² : ∀ λ ≥ λ² ¯ ¯ ¯Z ∞ ¯Z ∞ ¯ ¯ ¯ π sen(λy) sen(λy) ¯¯ π + ¯ ¯ ¯ dy − f (x ) < ² ⇒ dy ≤ C² = ²+ |f (x+ )| f (x + y) f (x + y) ¯ ¯ ¯ ¯ y 2 y 2 0 0

Sea ² = 1, entonces

¯Z ∞ ¯ ¯ sen(λy) ¯¯ ¯ f (x + y) dy ¯ ≤ C1 , ¯ y 0

Sea λ ≥ λ1 (fijo), y ² > 0. Como ∀ b > Bλ0

•

Z ∞ 0

f (x + y)

sen(λy) dy es finita, entonces ∃ Bλ0 < ∞ tal que y

¯Z ∞ ¯ ¯ sen(λy) ¯¯ ² ¯ dy ¯ < f (x + y) ¯ y 2 b ¯Z ∞ ¯ Z ∞ ¯ ¯ ¯ ¯ f (t) cos[u(t − x)] dt¯ ≤ |f (t)| dt < ∞, ¯ x

x

26

λ ≥ λ1 .

(∗)

∀ u > 0 (⇒ ∀ λ > 0)

Z ∞

Por lo tanto ∀ ²0 > 0 : ∃ B > 0 /∀ b > B : ¯Z ∞ ¯ ¯ ¯ ¯ ⇒ ¯ f (t) cos[u(t − x)] dt¯¯ < ²0 ,

|f (t)| dt < ²0 ⇒

b

∀ u > 0.

b

N´otese que B no depende de u. Tomando ²0 = b ≥ Bλ1 tenemos

² , encontramos Bλ1 > 0 tal que para todo 2λ

¯Z ∞ ¯ ¯ ¯ ² ¯ f (t) cos[u(t − x)] dt¯¯ < ¯ 2λ b

(∗∗)

• Sea Bλ = max{Bλ0 , Bλ1 , Bλ0 + x} ¯ ¯Z Z λ Z ∞ ¯ ¯ ∞ Z λ ¯ ¯ f (t) cos[u(t − x)] du dt − f (t) cos[u(t − x)] dt du¯ = ¯ ¯ ¯ x 0 0 x ¯Ã Z ¯ ÃZ Z Z ∞ Z λ! Z λ Z ∞! ¯ ¯ Bλ Z λ λ Bλ ¯ ¯ + f (t) cos[u(t − x)] du dt − + f (t) cos[u(t − x)] dt du¯ ≤ =¯ ¯ x ¯ 0 Bλ 0 0 x 0 Bλ ¯ ¯ ¯Z ∞ ¯ ¯Z λ Z ∞ ¯ ¯ sen[λ(t − x)] ¯¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ f (t) dt¯ + ¯ f (t) cos[u(t − x)] dt du¯ ≤ ¯ ¯ t−x Bλ 0 Bλ ¯ ¯Z ∞ ¯ Z λ Z λ ¯Z ∞ ¯ ¯ ¯ ² ² sen(λy) ¯¯ ¯ ¯ ¯ dy ¯ + du = ² ≤ ¯ f (t) cos[u(t − x)] dt¯ du ≤ + f (y + x) ¯ y 2 2λ 0

Bλ −x

0

Bλ

Hemos obtenido, para f ∈ L1 (R) ∩ P(R) y para x ∈ R que: ¤ 1 1£ f (x+ ) + f (x− ) = 2 π

Z ∞ Z ∞ 0

−∞

f (t) cos[u(x − t)] dt du

Ahora bien, 1 π

Z ∞ Z ∞

1 f (t) cos[u(x − t)] dt du = 2π −∞

0

= =

Z ∞ Z ∞ 1

2π

0

Z 0 1

2π

−∞

−∞

Z ∞ −∞

f (t) e

iut

−iux

dt e

Z ∞ Z ∞ 0

−∞

1 du + 2π

Z ∞ −∞

e

iux

Z ∞ Z ∞ 0

−∞

Z ∞ Z ∞ 1

f (t) e−ivt dt eivx dv + 1 = 2π

h

Z ∞

2π

−∞

0

i

f (t) eiu(t−x) + e−iu(t−x) dt du =

−∞

f (t) e−iut dt eiux du = f (t) e−iut dt eiux du =

f (t) e−iut dt du

Corolario 6.- Si f ∈ L1 (R) ∩ P 1 (R) y f es continua en x ∈ R, entonces f (x) =

1 2π

Z ∞ −∞

eiux

Z ∞

27

−∞

f (t) e−iut dt du

8..2

Transformada de Fourier

F (y) = F{f }(y) =

Z ∞ −∞

e−ixy f (x) dx

Nota: Si f ∈ L1 (R) ∩ P 1 (R) y f es continua en x ∈ R, entonces f (x) =

1 2π

Z ∞ −∞

eixy F (y) dy

(Teorema de inversi´ on de Fourier)

Teorema Si f ∈ L1 (R) entonces F (y) = F{f }(y) es una funci´on acotada en R. Adm´as, lim F (y) = 0, |y|→∞

si f ∈ P 1 (R).

Demostraci´ on: Veamos que |F (y)| < C, ∀ y ∈ R. Teniendo en cuenta que |e−ixy | = 1, ∀ x, y ∈ R, podemos escribir

Z ∞

|F (y)| ≤

−∞

|f (x)| dx = ||f ||1 = C < ∞

Estudiemos ahora el lim F (y). |y|→∞

F (y) =

Z ∞ −∞

e

−ixy

f (x) dx =

µZ −a −∞

+

Z a −a

+

Z ∞¶ a

e−ixy f (x) dx = I1 + I2 + I3

Analicemos las tres integrales • I3 =

Z ∞ a

e−ixy f (x) dx = =

Z ∞ a

Z ∞ a

cos(xy) f (x) dx − i

cos(x|y|) f (x) dx ± i

Z ∞ a

Z ∞ a

sen(xy) f (x) dx =

sen(x|y|) f (x) dx

donde mantendr´ıamos menos si y > 0, en caso contrario pondr´ıamos +. En cualquier caso, el corolario 2 nos garantiza que las dos integrales tienden a cero para |y| tendiendo a ∞. Por lo ² tanto a partir de un cierto valor de |y| en adelante |I3 | < . 3 • I1 =

Z −a −∞

e−ixy f (x) dx =

Z ∞ a

eiuy f (−u) du =

Z ∞ a

cos(u|y|) f (−u) du ± i

Z ∞ a

sen(u|y|) f (−u) du

De forma an´aloga al caso anterior, podemos garantizar que a partir de cierto valor de |y| en adelante, |I1 | < 3² . 28

• Dado que f ∈ P 1 (R), podemos asegurar que f estar´ a acotada en el intervalo [−a, a], por lo que ² |f (x)| ≤ M , en dicho intervalo, para alg´ un M > 0. Tomando a < , tenemos 6M ¯Z a ¯ Z a ¯ ¯ ² −ixy ¯ |I2 | = ¯ e f (x) dx¯¯ ≤ M dx = M 2a < 3 −a −a

Finalmente podemos garantizar que |F (y)| < ² a partir de un cierto valor de |y| en adelante, es decir, lim F (y) = 0. |y|→∞

Teorema Si f ∈ L1 (R) entonces F (y) = F{f }(y) es continua en R Demostraci´ on: Sea y0 ∈ R, demostraremos que lim F (y0 + h) = F (y0 ) h→0

F (y0 + h) − F (y0 ) =

Z ∞ −∞

e−i(y0 +h)x f (x) dx −

Z ∞ −∞

e−iy0 x f (x) dx =

Z ∞ −∞

³

´

e−iy0 x e−ihx − 1 f (x) dx

Nota: (Teorema de la convergencia dominada)(”Integraci´ on: Teor´ıa y t´ecnicas”, M. de Guzm´an y B. Rubio, ed: Alhambra, pag. 76) Sea {fn }n∈N una sucesi´on de funciones integrables en R, y g ∈ L1 (R) tal que |fn | ≤ g, entonces: Z

Z

lim fn = lim

R n→∞

En nuestro caso: tomamos h =

1 n

n→∞ R

fn

por lo tanto h → 0 ⇔ n → ∞, con lo que s´olo hemos de ³

1

´

aplicar el teorema de la convergencia dominada a las funciones fn (x) = e−iy0 x e−i n x − 1 f (x), ya ¯ ¯

³

1

´

¯ ¯

que ¯e−iy0 x e−i n x − 1 f (x)¯ ≤ 2|f (x)|.

lim [F (y0 +h)−F (y0 )] = lim

h→0

Z ∞

n→∞ −∞

−iy0 x

e

³

1 −i n x

e

´

− 1 f (x) dx =

29

Z ∞

³

1

´

lim e−iy0 x e−i n x − 1 f (x) dx = 0

−∞ n→∞