Universidad Politécnica de Madrid–Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Curso 2015-2016-3º Matemáticas de Especialidad–Ingeniería Eléctrica
Funciones trigonométricas de interpolación y ajuste
La Transformada de Fourier
José Luis de la Fuente O’Connor
[email protected] [email protected] Clase_interpolacion_trigonometrica_DFT_FFT_2016.pdf
1/36
2/36
Índice Introducción
Interpolación trigonométrica Números complejos
Transformada Discreta de Fourier Transformada Rápida de Fourier
Interpolación Trigonométrica con la Trasformada Rápida de Fourier
Introducción
3/36
El procesamiento digital de señales, DSP, es uno de los núcleos básicos de la economía digital que viene desarrollándose tan rápidamente en nuestra economía y sociedad desde hace años. La base de ello es lo tratado en este tema.
Las funciones trigonométricas, esencialmente a base de senos y cosenos, son idóneas para modelizar y tratar mediante interpolación o ajuste la información de fenómenos cíclicos o periódicos: señales acústicas, ópticas, económicas y sociales. Esas funciones cumplen que x.t / D x.t C T / D x.t C 2T / D D x.t C nT /; para un periodo T .
La representación de una función continua o discreta mediante combinaciones lineales de senos y cosenos permite descomponerla en su espacio de frecuencias lo que ayuda a un análisis más preciso de algunos de sus parámetros.
¿De qué hablamos? Espectro de frecuencias VS tiempos.
También:
y
4/36
5/36
Jean Baptiste Joseph Fourier, Francia, 1768-1830.
Estudiando cómo se transmite el calor, Fourier demostró que cualquier función periódica y continua, C Œ0; 2, puede representarse como una suma infinita (serie de Fourier) de polinomios trigonométricos1 de la forma a0 x.t / D C 2
1 i h
i aj cos.2f0tj / C bj sen.2f0tj / ;
j D1
donde2 los aj y bj vienen dados por las fórmulas de3 Euler: aj D
y
bj D 1
2 T
l
T
l
T
x.t / cos.2f0tj / dt;
para j D 0; 1; : : :
x.t / sen.2f0tj / dt;
para j D 1; 2; : : :
0
2 T
0
2
Sinusoides. f0 es la frecuencia fundamental, inversa del periodo T : f0 D 1=T .
3
Leonhard Euler
Basilea 1707-San Petersburgo 1783.
6/36
7/36
Las funciones 1=2, sen.2f0tj /, cos.2f0tj /; j D 1; : : : constituyen una base en un espacio vectorial de dimensión infinita4 de funciones ortogonales con el producto interior Z 2
hf; gi D
f .t /g.t / dt: 0
Los aj y bj son los coeficientes de x.t / en dicha base.
4
Espacio de Hilbert
FOURIER ANALYSIS
8/36
siguiente función y.tfunción / D Ay.t C1Acos.! t C 0t/.C /. Veamos la siguiente /D 0C 0 C C10cos.! FOURIER ANALYSIS y(t)
iguiente función y.t / D A0 C C1 cos.!0t C /. C1
y(t) 2
C1
21
a0 T
θ 1
1
θ
π
0
1 0
2
A0
2 T 2π (a)
π
3π
t, s ωt, rad t, s
2 2π
3π
ωt, rad
(a)
En sus tres componentes 21
A0 a0 B1 sin (ω0t)
10 A cos (ω0t) b 1 sen(ω10t) 0 1
a0 D 1;7 C1 D 1 ! D 2f D 2=T D 2=.1;5s/ Fase, D =3 D 1;0472 radianes .0;25s/ Frec. fundamental, f D 1=T D 1=.1;5s/ D 0;6667 Hz
(b)
a 1 cos(ω0t)
a1 D 0;5 b1 D 0;866 y.t / D a0 C a1 cos.!0 t / C b1 sen.!0 t /
representa la1función . En este caso A0 D 1;7, C1 D 1, ! D 2f D 2=T D 2=.1;5s/ FIGURE 16.2.0;25s/. La frecuencia f D 1=T D 1=.1;5s/ D 0;6667 Hz. 3 D 1;0472 radianes (a) A plot of the sinusoidal function y(t) = A 0 + C1 cos(0t + ). For this case, A0 = 1.7, presión deCla1la=función función componentes: /radians D C A1 cos.! COther B12=.1;5s/ sen.!0 t/ 1, 0 =. en 2/T =tres 2/(1.5 and1;7 =, /3 1.0472 (= 0 t /s). epresenta Ensus este caso As), Cy.t 1, A !0=D 2f D0.25 2=T D 0 D 1 D parameters used to describe the curve are f the D frequency f = 1=.1;5s/ 0/(2), which for this case FIGURE BD1 D 0;866 . 16.2 1;0472 radianes .0;25s/ . La frecuencia 1=T D D 0;6667 Hz.is
9/36
Decompo composit signal in frequenc
Interpolación trigonométrica
10/36
Se trata de representar mediante un polinomio de grado m en Œ0; 2/ una función periódica de la que se conocen n datos igualmente espaciados5 en ese intervalo, fx0; x1; : : : ; xn 1g. Haciéndolo así m m X a0 X p.t / D C aj cos.jt / C bj sen.jt /; 2 j D1 j D1
n cumpliéndose en los puntos .0; x0/;
2 ; x1 n
;
4 ; x2 n
;:::;
2.n 1/ ; xn 1 n
o .
El grado m del polinomio depende del tamaño de la muestra, n. Si n es par, sería m D n=2; si es impar, m D .n 1/=2.
Para obtenerlo de la manera que conocemos habría que determinar 2m C 1 parámetros: a0, ai , bi , i D 1, : : : ; m. 5
Tren de impulsos.
11/36
Ejemplo Interpolemos 4 6 ˚ a los datos ; 3 ; ; 5 ; 4 ;2 .0; 1/; 2 4 4 el polinomio a0 a2 p.t / D C a1 cos .1 t / C cos .2 t/ C 2 2 Cb1 sen .1 t/ C b2 sen .2 t/ :
Para obtener los coeficientes a0, a1, a2, b1 y b2 planteamos un sistema de ecuaciones lineales del tipo Ax D b, en el que la matriz A es del tipo Vandermonde, y b D Œ1; 3; 5; 2T .
El sistema que hay que resolver, en forma matricial, es 32 3 21 1 2 3 1 0 0 a0 2 2 1 1 21 21 21 7 a1 7 6 12 cos 1 21 2 sen 1 sen 2 cos 6 4 2 4 4 4 7 4a25 D 4 35 : 6 1 5 5 b1 4 21 cos 1 22 sen 1 22 sen 2 22 cos 2 22 4 2 4 4 4 1 2
cos 1
23 4
1 2
cos 2
23 4
sen 1
23 4
sen 2
23 4
b2
2
Simplificando resulta así 21 6 6 4
2 1 2 1 2 1 2
12/36
1 0 1 0
1 2 1 2 1 2 1 2
3 2a 3 2 3 00 0 1 6 7 a 1 7 10 6 7 37 7 6a27 D 6 : 4 55 0 05 4b 5 1 10
2
b2
Resolviendo da, como solución de norma euclídea mínima, 2 13 2 3 2 a0 6 37 6a17 6 7 6 7 6 97 6a27 D 6 2 7 : 4b1 5 6 1 7 4 25 b2
0
El polinomio de interpolación es entonces p.t / D 41 C 3 cos.t / 94 cos.2t / C 12 sen.t /.
Sustituyendo 0, =2, y 3=2 en este polinomio se puede comprobar que se consiguen los valores de la muestra.
Números complejos
13/36
Los números del cuerpo surgen para dar sentido a raíces de p C de lo complejos p a2 D ˙a 1. Para ello se utiliza la unidad imaginaria números p negativos, iD 1.
Cualquier complejo z D x C yi , donde x es la parte real e y la imaginaria (ambas reales), se representa geométricamente en el plano complejo así:
En su forma polar se6 escribe z D re i' D r cos ' C i sen ' , donde p r D x 2 C y 2 y ' D arctan.y=x/. 6
A e i' D cos ' C i sen ' se la conoce como identidad de Euler
La circunferencia de radio unidad en el plano complejo es el Transform lugar geométrico 10.1 The Fourier | 469 de los números complejos con r D 1. y
e
e iπ= –1 + 0i
iπ 2
=i
iπ e4
e0= 1 + 0i x
Si se multiplican dos números e i y e i de esa circunferencia, i i
e 10.2 e Unit D circle cos in C sen plane. cos Complex C i sennumbers
Figure thei complex of the form eiθ for some D cos cos sen sen
circle. C i sen cos C sen cos : angle θ have magnitude one and lie on the unit 7 i.C /
Reordenando, e D cos. C / C i sen. C /. Por tanto, el producto de dos números complejos en la circunferencia de radio unidad es otro número de la z = a + bi = reiθ , (10.1) misma circunferencia cuyo ángulo es √ la suma de los dos precedentes. where r is the complex magnitude |z| = a 2 + b2 and θ = arctan b/a. i i plane corresponds i e i to complex numbers of magnitude The unit circle in the complex 7 Es interesante saber que cos D e Ce y sen D i e . 2 r = 1. To multiply together the two numbers eiθ and2eiγ on the unit circle, we could convert
14/36
Los números Moivre, z tales que z n
1 D 0, raíces n-ésimas de la unidad,
por Abraham de Moivre, Francia, 1667-1754
, tienen interés: 1 y 1.
En la recta de números reales sólo hay dos:
En el plano complejo hay muchos. Por ejemplo, i es una raíz cuarta de 1: 4 p i4 D 1 D . 1/2 D 1.
Están localizados en la circunferencia del plano complejo de radio la unidad: forman los vértices de un polígono regular de n lados con un vértice en 1.
)LIWKURRWVRIXQLW\
L
í
íL
15/36
Una raíz n-ésima de la unidad se denomina primitiva8 si no es una raíz k-ésima para k < n. Así, 1 es una raíz segunda primitiva de la unidad y cuarta no Roots of Unity primitiva de ella.
16/36
For given integer n, we use notation
Es fácil verωnque, para una −nicualquiera, número complejo !n D e i2=n es = cos(2π/n) sin(2π/n) =ele−2πi/n una raíz unidad (también lo es !n D e i2=n). forn-ésima primitiveprimitiva nth rootde ofla unity
En la figura la context, raíz cuarta debyla ωunidad !4 D e k factorsseinve this areprimitiva then given n or −k k = 0, . .las tres. Son, !4k , k D 0; 1; 2; 3. by ωen . , npotencias −1 n ,general,
nth roots of unity, sometimes called twiddle
i2=4
y las otras
i = ω43 = ω4−1 •....
ω42 = ω4−2 =
... .... .................. .... .......2π/4 ... .... . .. 1 −1 •............................................................................................• ... .... .... .... .. •..
= ω40 = ω44
−i = ω41 = ω4−3
8
De otra manera, la raíz n-ésima de la unidad ˛ es primitiva, si sólo si sus k-ésimas potencias, k D 0; 1; : : : ; n 1 son distintas. Las raíces cuartas de 1 son: 1, 1, i , i . En el caso de 1 sus potencias de grado 0, 1, 2 y 3 son iguales; no es raíz primitiva. Para i , se calcula que las potencias de grado 0, 1, 2, 3 son, respectivamente, 1, i , 1, i , distintas, luego i es una raíz cuarta primitiva de 1.
4
17/36
Las !nk se denominan también factores twiddle. Mirar más aquí.
Se puede verificar que la raíz n-ésima de la unidad, ! D e cumple que
También que
i2=n
, con n > 1,
1 C ! C ! 2 C ! 3 C C ! n 1 D 0; 1 C ! 2 C ! 4 C ! 6 C C ! 2.n 1/ D 0; 1 C ! 3 C ! 6 C ! 9 C C ! 3.n 1/ D 0; ::: 1 C ! n 1 C ! .n 1/2 C ! .n 1/3 C C ! .n 1/.n 1/ D 0:
1 C ! n C ! 2n C ! 3n C C ! n.n
1/
D 1 C 1 C 1 C 1 C C 1 D n:
Además, si k es un número entero, n 1 i j D0
!jk D
n si k=n es entero, 0 en otro caso.
18/36
Transformada Discreta de Fourier
La interpolación trigonométrica que estamos estudiando se puede llevar a cabo de forma eficaz usando la Transformada Discreta de Fourier y la Transformada Rápida de Fourier.
Para un vector de coeficientes reales, x D Œx0; x1; : : : ; xn 1T , su Transformada Discreta de Fourier, TDF, es el vector n-dimensional y D Œy0; y1; : : : ; yn 1T tal que n 1 1 X xj ! j k ; yk D p n j D0 donde ! D e
i 2=n
.
19/36
En forma matricial, la definición anterior dice que 3 2 y0 a0 C i b0 6 y1 7 6 a1 C i b1 6 7 6 6 y2 7 D 6 a2 C i b2 6 : 7 6 ::: 4 :: 5 4 yn 1 an 1 C i bn 2
2 0 0 32 3 ! ! !0 !0 x0 6! 0 ! 1 7 ! 2 ! n 1 7 6 x1 7 6 6 7 7 4 2.n 1/ 7 7 6 x2 7 : 7 D p1 6! 0 ! 2 ! ! 6 7 7 n6 : ::: ::: ::: 7 4 :: 5 4 ::: 5 5 2 xn 1 ! 0 ! n 1 ! 2.n 1/ ! .n 1/ 1 3
A la matriz simétrica 3 !0 !0 !0 !0 6! 0 ! 1 !2 !n 1 7 6 0 2 4 2.n 1/ 7 7 ! ! ! ! F n D p1n 6 6 : ::: ::: ::: 7 5 4 :: 2 ! 0 ! n 1 ! 2.n 1/ ! .n 1/ 2
se la denomina matriz de Fourier. Todas sus filas y columnas, excepto las primeras, suman cero.
20/36
La inversa de la matriz de Fourier es
F n1
2 !0 !0 !0 6! 0 ! 1 ! 2 ! 6 6 ! 4 ! D p1n 6! 0 ! 2 6 :: ::: ::: 4 : ! 0 ! .n 1/ ! 2.n 1/ !
!0
3
.n 1/
7 7 2.n 1/ 7 7 7 ::: 5 .n 1/2
y la Transformada Discreta de Fourier inversa de y es x D F n 1y.
Dado que un número complejo en la circunferencia unidad, z D e i D cos C i sen , tiene como recíproco, su complejo conjugado, e i D cos i sen , la inversa de la matriz F n será la que tenga como coeficientes los complejos conjugados los de F n, es decir
F n 1 D F n:
21/36
La matriz de Fourier es una matriz unitaria, F F D I, por lo que, recordemos, al multiplicarla por cualquier vector, éste conserva su norma.
Aplicar la Transformada Discreta de Fourier requiere O.n2/ operaciones, concretamente n2 multiplicaciones y n.n 1/ sumas; aplicar la inversa lo mismo.
Ejemplo Calculemos la TDF del vector x D Œ1; 0; 1; 0T . Sea en este caso ! la raíz cuarta de la unidad, es decir ! D e i2=4 D e D cos.=2/ i sen.=2/ D i . La trasformada es 2 3 y0 6y1 7 6 7D 4y2 5 y3
2
32 1 1 1 1 61 ! ! 2 ! 3 7 6 1 76 p 6 4 41 ! 2 ! 4 ! 6 5 4 1 !3 !6 !9
3 1 07 7D 15 0
2 32 1 1 1 1 6 6 i 1 i7 1 61 76 2 41 1 1 15 4 1 i 1 i
3 2 3 1 0 6 7 07 7 D 617 : 15 405 0 1
i=2
22/36
Si utilizamos la rutina de Matlab para hacer TDF, fft, hay que tener en cuenta que su normalización es un poco diferente, y hay que usar fft(x)/sqrt(n). Para la inversa ifft(y)*sqrt(n). En efecto:
>> x=[1 0 -1 0]; >> fft(x) ans = 0 2 0 >> fft(x)/sqrt(4) ans = 0 1 0 >> ifft(ans)*sqrt(4) ans = 1 0 -1 >>
2
1
0
23/36
Una propiedad importante de la TDF es que si n es par y el vector x D Œx0; x1; : : : ; xn 1T tienes todos sus coeficientes reales, los de su transformado, y, son los siguientes, para por ejemplo n D 8, 2 3 2 3 x0 3 2 a0 6x17 y0 6 7 6a C i b 7 17 6x 7 6 1 6 ::: 7 2 7 6 7 6a C i b 7 6 27 6x 7 6 2 6y n 7 17 6 37 6 7 6 6 7 6a3 C i b37 6 y2 n 7 F 8 6x47 D 6 7 D 6 2 7: 6 7 6a4 7 7 6 6x57 6 7 6y n 17 6 7 6a3 i b3 7 6 2: 7 6x67 6 7 4 :: 5 6 7 4a2 i b2 5 4x75 y1 a1 i b1 x8
Transformada Rápida de Fourier
24/36
Como acabamos de ver la TDF necesita para su cálculo O.n2/ operaciones.
James William Cooley, 1926 y John Tukey, 1915-2000. EE.UU.
Cooley y Tukey formularon en 1965 uno de los algoritmos más importantes del Siglo XX. La Transformada Rápida de Fourier, FFT.
Este algoritmo sigue la estrategia del divide y vencerás para hacer mucho más rápido la TDF. Requiere O.n log n/ operaciones.
Su aportación más significativa es haber convertido el tratamiento de señales de lo analógico a lo digital, ampliando casi hasta el infinito su campo de aplicación.
25/36
Si expresamos la TDF, F nx, de la forma 3 2 2 3 x0 y0 4 ::: 5 D p1 M n4 ::: 5 ; n xn 1 yn 1 donde
2 3 0 0 0 0 ! ! ! ! 6! 0 ! 1 !2 !n 1 7 6 7 6! 0 ! 2 4 2.n 1/ 7 ! ! Mn D 6 7; 6 :: :: ::: ::: 7 4 : : 5 2 ! 0 ! n 1 ! 2.n 1/ ! .n 1/
veamos cómo calcular de forma recursiva el producto z D M nx.
26/36
i2=4
Empecemos simulando su mecánica con n D 4. Si ! D e 2 3 2 32 3 0 0 0 0 z0 x0 ! ! ! ! 6 7 6 0 1 2 37 6 7 6z17 6! ! ! ! 7 6x17 6 7 D 6 0 2 4 67 6 7 : 4z25 4! ! ! ! 5 4x25 z3 !0 !3 !6 !9 x3
Reordenando las operaciones de tal manera que los términos pares aparezcan primero se tiene que z0 D ! 0x0 C ! 0x2 C ! 0 ! 0x1 C ! 0x3 0 2 1 0 2 z 1 D ! x0 C ! x2 C ! ! x1 C ! x3 z2 D ! 0x0 C ! 4x2 C ! 2 ! 0x1 C ! 4x3 0 6 3 0 6 z3 D ! x0 C ! x2 C ! ! x1 C ! x3 :
, la TDF es
27/36
Usando el hecho de que ! 4 D 1, las ecuaciones anteriores quedan z 0 D ! 0 x0 C ! 0 x2 C ! 0 ! 0 x1 C ! 0 x3 0 2 1 0 2 z 1 D ! x0 C ! x2 C ! ! x1 C ! x3 z2 D ! 0x0 C ! 0x2 C ! 2 ! 0x1 C ! 0x3 0 2 3 0 2 z3 D ! x0 C ! x2 C ! ! x1 C ! x3 :
Los términos entre paréntesis en las primeras dos líneas se repiten en las dos siguiente. Hagamos u 0 D 0 x0 C 0 x2 u 1 D 0 x0 C 1 x2
y
v0 D 0x1 C 0x3 ; v1 D 0x1 C 1x3
donde D ! 2, la segunda raíz de la unidad.
28/36
T
T
Los vectores u D Œu0; u1 y v D Œv0; v1 son básicamente x u D M2 0 x2 x v D M2 1 x3 por lo que el original M 4x es z0 D u0 C ! 0v0 z1 D u1 C ! 1v1 z2 D u0 C ! 2v0 z3 D u1 C ! 3v1:
La TDF.4/ original se ha transformado en un par de TDF.2/ más algunas p pocas multiplicaciones y sumas. Si ignoramos el término 1= n una TDF.n/ se puede reducir al cálculo de dos TDF.n=2/ más 2n 1 operaciones adicionales.
Interpolación Trigonométrica con la Trasformada Rápida de Fourier
29/36
Dado un intervalo Œc; d y un número positivo n, definamos t D .d c/=n y unos tj D c C jt, j D 0; : : : ; n 1, igualmente espaciados en el intervalo.
Para un vector dado x al que le aplicaremos la Transformada de Fourier, cada uno de sus coeficientes, xj , lo interpretaremos como una medida de un conjunto de ellas tomadas a una señal determinada en los tiempos tj .
Si y D F nx es la TDF de x, cada coeficiente xj vendrá dado por la fórmula de la inversa de TDF: i 2k.t
j n 1 n 1 n 1 X X d c e 1 1 X j yk ! k D p yk e i2kj=n D yk p xj D p n kD0 n kD0 n kD0
c/
› Q.t/
:
Esta expresión la podemos ver como la que materializa, mediante TDF, una interpolación de los puntos .tj ; xj / con funciones de base trigonométricas
e
i 2k.t c/ d c
p n
;
k D 0; : : : ; n
1
con coeficientes, o pesos, yk D ak C i bk .
Del desarrollo de Q.t /, es decir, 1 Q.t / D p n
n 1 i
2k.t c/ 2k.t c/ .ak C i bk / cos C i sen ; d c d c
kD0
si los xj son reales, la función trigonométrica de orden n que interpola los puntos .tj ; xj / es 1 Pn .t/ D p n
n 1 i kD0
2k.t c/ ak cos d c
2k.t c/ bk sen : d c
30/36
Simplificando un poco más esta fórmula, si n es par, se llega a que
31/36
n
a0 2 Pn .t / D p C p n n
1 2 i
2k.t c/ ak cos d c
an =2 n.t c/ 2k.t c/ C p cos bk sen d c d c n
kD0
satisfaciendo Pn.tj / D xj , j D 0; : : : ; n
1.
Ejemplo Calculemos el polinomio trigonométrico de interpolación del vector x D Œ1; 0; 1; 0T . El intervalo es Œ0; 1; t D Œ0; 1=4; 1=2; 3=4T . La TDF de x es y D Œ0; 1; 0; 1T . Los coeficientes de la interpolación son ak C i bk D yk , por lo que a0 D a2 D 0, a1 D a3 D 1 y b0 D b1 D b2 D b3 D 0. Aplicando la fórmula anterior, el polinomio trigonométrico de interpolación es: a2 a0 C a1 cos 2 t b1 sen 2 t C cos 4 t D cos 2 t: P4.t / D 2 2
32/36
Ejemplo Obtengamos el polinomio trigonométrico de interpolación de x D Œ 2;2 2;8 6;1 3;9 0;0 1;1 0;6 1;1T en el intervalo Œ0; 1. La Transformada de Fourier es
2 6 6 6 6 6 yD6 6 6 6 4
3 5;5154 1;0528 C 3;6195i 7 7 1;5910 1;1667i 7 7 0;5028 0;2695i 7 7: 0;7778 7 0;5028 C 0;2695i 7 7 1;5910 C 1;1667i 5 1;0528 3;6195i
Aplicando la fórmula para obtener el polinomio, se tiene que P8 .t/ D
D
1;0528 5;5154 p p p cos 2 t 3;6195 sen 2 t 8 2 2 p p C 1;5910 cos 4 t C 1;1667 sen 4 t 2 2 0;5028 p p p cos 6 t C 0;2695 sen 6 t 0;7778 2 2 8
1;95
0;7445 cos 2 t
cos 8 t
2;5594 sen 2 t
C1;125 cos 4 t C 0;825 sen 4 t
0;3555 cos 6 t C 0;1906 sen 6 t
0;275 cos 8 t:
33/36
El resultado se ve gráficamente así: 2
1
0
-1
-2 y
-3
-4
-5
-6
-7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 Tiempo
0.6
0.7
0.8
0.9
1
34/36
Una consecuencia práctica muy importante del hecho de que en el polinomio trigonométrico de interpolación Pn.t / las funciones de base sean ortogonales es que si m < n entonces m
a0 2 Pm .t / D p C p n n
1 2 i
2k.tj c/ ak cos d c
2k.tj c/ am =2 n.t c/ bk sen C p cos d c d c n
kD0
es la mejor aproximación de mínimos cuadrados de orden m a los datos .tj ; xj /; j D 0; : : : ; n 1.
Esto quiere decir que para el ejemplo anterior, los polinomios trigonométricos de interpolación P4.t / y P6.t / serán P4 .t/ D P6 .t/ D
1;95
0;7445 cos 2 t
1;95
0;7445 cos 2 t
2;5594 sen 2 t C 1;125 cos 4 t 2;5594 sen 2 t
C1;125 cos 4 t C 0;825 sen 4 t
0;3555 cos 6 t:
2
35/36 1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Aplicaciones prácticas: Sonido, ruido, filtrado, ...
36/36
>> load handel >> plot(y(1:256)) >> xp=dftfilter([0,1],y(1:256),64,256,256); 0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.15
-0.2
-0.2
-0.25
0
50
100
150
>> >> >> >> >>
200
250
300
-0.25
0
50
100
sound(y,Fs) xp=dftfilter([0,1],y,10000,73113,73113); sound(xp,Fs) xp=dftfilter([0,1],y,73112,73113,73113); sound(xp,Fs)
150
200
250
300