Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas

Asignatura: Cálculo III

Laboratorio N° 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange. Introducción. En este laboratorio estudiaremos los extremos condicionados de las funciones reales de varias variables. Dadas las funciones f : ℜn → ℜ y g : ℜn → ℜ , el punto r0 donde la función f , restringida al conjunto nivel g = c , toma un valor máximo o mínimo se G denomina extremo condicionado. Si r0 es un extremo condicionado y ∇g ( r0 ) ≠ 0 , G G entonces existe un número real λ tal que ∇f ( r0 ) = λ∇g ( r0 ) . El número λ se denomina multiplicador de Lagrange. Este hecho permite construir una función auxiliar F = f − λ g G entre cuyos puntos críticos (los puntos r0 , tales que ∇F ( r0 ) = 0 ) podemos encontrar los extremos condicionados de f . Para determinar el tipo de extremo condicionado podemos ayudarnos en primer lugar con consideraciones geométricas, por ejemplo si el conjunto nivel g = c es una superficie acotada entonces la función f restringida a dicha superficie debe tener un valor máximo y uno mínimo. Si los puntos críticos de la función auxiliar F son dos, entonces uno debe ser un máximo y el otro mínimo. Reemplazando en la función f podremos saber cuál es cuál. En general, podemos emplear el hessiano de la función auxiliar F , pero en este caso los criterios cambian. En particular para una función f : ℜ2 → ℜ , denotando por H ( F ( r0 ) ) la matriz hessiana, si det ⎡⎣ H ( F ( r0 ) ) ⎤⎦ > 0 entonces r0 es máximo condicionado, si det ⎡⎣ H ( F ( r0 ) ) ⎤⎦ < 0 , r0 es un mínimo condicionado y si det ⎡⎣ H ( F ( r0 ) ) ⎤⎦ = 0 , no hay información sobre el tipo de punto.

Ejercicios Resueltos 1. Determine los extremos condicionados de la función f ( x, y ) = x 2 y dada la condición g ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 = 6 . G G a. Verifique ∇f ( r0 ) = λ∇g ( r0 ) en los extremos condicionados. b. Represente las curvas de nivel f ( x, y ) = c , la curva constricción g ( x, y ) = 6 . Trace una recta que tenga la dirección del gradiente y que pase por uno de los extremos condicionados r0 . Compruebe que dicha recta es perpendicular tanto a la curva de nivel f ( x, y ) = f

r0

como a la constricción g ( x, y ) = 6 .

Solución

Construimos la función auxiliar F ( x, y, λ ) = f ( x, y ) − λ ( g ( x, y ) − c ) :

F ( x, y , λ ) = x 2 y − λ ( x 2 + 2 y 2 − 6 ) G Resolvemos la ecuación ∇F = 0 , es decir, debemos igualar a cero las derivadas parciales. Los cálculos se muestran en la figura 1. Tenemos las siguientes relaciones entre las variables x = ±2 y , λ = y , y 2 − 1 = 0 . De donde obtenemos los puntos: P1 ( 2,1) ; λ = 1 ; P2 ( −2,1) ; λ = 1 ; P3 ( 2, −1) ; λ = −1 ; P4 ( −2, −1) ; λ = −1 . Note que para resolver la ecuación “ec1” hemos supuesto x ≠ 0 . Otra solución posible de esta ecuación es x = 0 , lo que implica de acuerdo a la ecuación “ec2”, que y = 0 o λ = 0 . Pero y = 0 no puede ser ya que en este caso g = 0 , lo que contradice la ecuación “ec3”. Si

λ = 0 y x = 0 , de la ecuación “ec3” obtenemos y = ± 3 . Tenemos los puntos:

(

)

(

)

P5 = 0, 3 ; λ = 0 ; P6 = 0, − 3 ; λ = 0 . El conjunto nivel (curva de nivel) x 2 + 2 y 2 = 6 constituye una curva cerrada, por tanto la función f alcanza su valor máximo y mínimo. Evaluamos los puntos en la función (figura 2) y comprobamos que los puntos P1 ( 2,1) y P2 ( −2,1) son máximos condicionados, mientras que P3 ( 2, −1) y P4 ( −2, −1) son mínimos condicionados. En los

(

)

(

)

puntos P5 = 0, 3 y P6 = 0, − 3 la función se anula.

Figura 1

Figura 3

Figura 2

a. Para calcular el gradiente podemos emplear la función de usuario “Df2_m” como se muestra en la figura 3. Vemos por ejemplo que: G G ∇f ( P1 ) = λ∇g ( P1 ) ⇒ [ 4, 4] = 1⋅ [ 4, 4] G G ∇f ( P3 ) = λ∇g ( P3 ) ⇒ [ −4, 4] = −1⋅ [ 4, −4]

c para c = ±2, ±4, ±5 . x2 ⎧⎪ x = 6 cos t y2 + =1⇒ ⎨ 3 ⎪⎩ y = 3 sen t

b. Las figuras 4 muestran las curvas de nivel de x 2 y = c ⇒ y = También se grafica la elipse x 2 + 2 y 2 = 6 ⇒

x2

( 6)

2

Buscamos la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 ( 2,1) en la dirección del

⎧ x = 2 + 4t vector gradiente en ese punto ⎨ o eliminando en parámetro t , y = x − 1 . ⎩ y = 1 + 4t

Figura 4

Figura 5

2. Construya un programa para aplicar el criterio del hessiano a la función auxiliar F = f − λ g en la clasificación de los extremos condicionados de una función f : ℜ2 → ℜ a. Compruebe su programa aplicándolo a la función de la pregunta anterior.

Solución. En el recuadro se muestra el programa “ExtConxy”, que permite clasificar los extremos condicionados de una función. El programa requiere que se introduzcan la función auxiliar F ( x, y ) = f − λ g (figura 6) el valor del multiplicador de Lagrange y el punto extremo que deben escribirse entre llaves (figura 7).

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Delvar F,P,S,a InputFunc F( λ ,x,y),"f- λ g" Input P,"{ λ ,x,y}" Hess3(F( λ ,x,y), λ ,x,y)| λ =P[1]|x=P[2]|y=P[3] ⇒ S det(S) ⇒ a If a=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a