La#luna#y#el#triángulo## Paquete#Didáctico# ! Contexto:#Tal!vez!no!sabes!que!encontrar!el!área!de!figuras!geométricas!tiene! mucha!utilidad!en!la!vida!práctica!porque!sirve,!por!ejemplo,!para!medir!las! dimensiones!de!un!terreno!o!construir!una!casa!acomodar!tus!muebles,!etc.! ! Reto:#¿Las!áreas!de!la!luna!y!el!triángulo!(figuras!sombreadas)!son!iguales?!

! ! 1.#Método#Edgar# ! Me!enfoque!en!lo!que!es!el!triángulo,!recordando!que!la!línea!más!larga!del! mismo!tiene!el!nombre!de!hipotenusa,!fue!cuando!el!tutor!me!dijo!que!basado!en!eso! lograra!sacar!cuanto!mide!ese!lado!solo!teniendo!en!cuenta!que!los!otros!lados!del! triángulo!mide!3.4!cm,!que!también!esos!lados!tienen!un!nombre!en!especifico!por!lo! que!no!recordaba!el!nombre,!el!tutor!me!invito!a!investigar!en!libros,!me!fui!al! apartado!de!los!triángulos!el!cual!venia!uno!en!específico!de!los!triángulos! rectángulos,!fue!cuando!ahí!me!di!cuenta!que!esos!lados!se!llaman!catetos.! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Seguí!investigando!pues!tenía!que!sacar!cuanto!media!la!hipotenusa!mi!tutor! me! dijo! que! había! una! fórmula! para! sacarla! y! la! verdad! no! recordaba! cual! era! esa!

dichosa!formula!por!lo!que!me!dejo!investigar!por!mi!propia!cuenta!después!de!un! rato,! me! di! cuenta! que! era! por! la! fórmula! de! Pitágoras,! llamada! teorema! de!!! Pitágoras,!fue!ahí!donde!aprendí!que!el!teorema!de!Pitágoras!solo!se!utiliza!para!los! ángulos! rectángulos! la! verdad! yo! pensaba! que! era! para! cualquier! triangulo.! La! formula!me!decía!que!era:!!c=!a!+!b,!la!verdad!no!me!provoco!dificultad!en!realizar!la! formula!solo!di!valores!y!despejar!la!c!que!era!la!hipotenusa!y!pues!luego!obtuve!su! valor,!de!ahí!pues!le!dije!a!!mi!tutor!que!sacaría!el!área!del!triángulo!primera!lo!cual! me! dijo! que! estaba! bien,! la! fórmula! para! sacar! el! área! del! triángulo! si! me! la! sabia! b.h/2! el! tutor!me! cuestiono!del! porque! la!fórmula!del! triángulo! es! igual!que! la! del! rectángulo!pero!se!divide!entre!2!y!también!sabia!del!porqué,!pues!de!echo!estamos! sacando! el! área! de! un! rectángulo! pero! se! divide! en! dos! porque! el! rectángulo! está! compuesto!por!dos!triángulos.!Entonces!pues!fácil!sacar!el!área!del!triángulo!puesto! que!ya!tenía!lo!que!medidas!los!tres!lados.! Mi!dificultad!llego!cuando!tenía!que!sacar!el!área!de!la!luna!ahí!si!no!tenía!ni! idea!del!cómo!hacerle,!mi!tutor!me!dijo!que!lo!analizara!las!veces!que!yo!considerara! necesarias!y!a!si!lo!hice!pero!pues!no!lograba!aterrizar!bien!mis!ideas!de!cómo!sacar! el!área,!sabía!que!ya!tenía!el!área!del!triángulo!pero!me!faltaba!la!más!importante.!El! tutor! vio! que! no! podía! muy! bien! entonces! me! invito! a! que! realizara! un! cuadro! dentro!del!circulo!y!que!analizara!esa!situación,!y!pues!ya!analizando!el!cuadro!pues! deduje! que! había! que! sacarle! el! área,! y! pues! me! fue! fácil! pues! la! fórmula! para! obtener!el!área!de!un!cuadrado!la!tenía!presente!y!pues!saque!el!área!fácil.! El!problema!seguía!de!cómo!iba!a!obtener!el!área!de!la!luna,!tarde!en!analizar! bien! como! a! ! los! 15! minutos! se! me! prendió! el! foco! y! me! puse! a! sacar! el! área! del! circulo!grande!y!de!igual!manera!sabía!cuál!era!la!fórmula!para!obtenerla,!el!radio!lo! saque! por! el! lado! del! triángulo,! ya! que! lo! obtuve! le! reste! el! área! del! cuadrado! y! el! resultado!lo!dividí!en!4!y!a!si!saque!el!área!de!las!cuatro!medias!lunas!que!salieron! luego!de!formar!el!cuadro!y!de!ahí!obtuve!una!y!esa!fue!el!área!de!la!media!luna!! Con!el!resultado!me!di!cuenta!que!el!triangulo!tenía!mayor!área!que!la!luna.! La! mayor! dificultad! fue! sin! duda! alguna! llegara! a! obtener! el! área! de! la! luna! tarde! algún!tiempo,!para!poder!llegar!a!ella!trace!algunas!figuras!que!me!ayudaron!al!final! a!resolver!el!problema,!el!tutor!jugo!un!papel!importante!pues!por!medio!del!dialogo! y!de!sus!cuestionamientos!llegue!al!resultado.! ! ! 2.#Método#Isabel## # Para!empezar,!mi!tutora!me!preguntó!¿por!qué!elegí!este!tema?!Yo!le!platiqué!que! me!interesa!mucho!las!matemáticas!y!que!muchas!de!la!tutorías!que!conozco!son!de! español!y!quería!escoger!un!reto!de!geometría.!Empecé!con!el!triángulo!y!tuve!que! escribir!todo!que!sé!de!triángulos.!Sabía!que!cada!triángulo!tiene!3!lados,!y!que!es! probable!que!este!triángulo!tiene!un!ángulo!de!90!grados,!pero!no!sabía!como!se! llama!los!diferentes!tipos!de!triángulos,!así!que!mi!tutora!me!puso!a!investigar.! Encontré!que!hay!3!tipos!de!triángulos:! 1. Triángulos!equiláteros!–!3!lados!iguales,!3!ángulos!iguales! 2. Triángulos!isósceles!–!2!lados!iguales,!2!ángulos!iguales! 3. Triángulos!escaleno!–!no!hay!lados!iguales,!no!hay!ángulos!iguales!!

También,!encontré!que!hay!3!tipos!de!ángulos:! 1. Acutángulo!–!todos!miden!menos!de!90!grados! 2. Rectángulo!–!tiene!un!Angulo!recto!(90!grados)! 3. Obtusángulo!–!tiene!un!Angulo!mayor!de!90!grados! Cuando!terminé!la!explicación!de!los!triángulos!mi!tutora!me!preguntó!¿cómo!se! llama!los!lados!de!un!triángulo?!Con!el!apoyo!de!el!libro!de!matemáticas!en!el!aula,! aprendí!que!los!lados!que!forman!el!Angulo!recto!se!llaman!catetos,!y!el!otro!lado!se! llama!la!hipotenusa.!Con!toda!esa!información,!ya!estaba!lista!para!encontrar!el!área! del!triangulo:!! A!=!½!bh!!!! ! ! (*encontré!las!medidas!de!b!y!h!con!el!uso!de!una!regla)! A!=!½!(3.8cm)(3.8cm)! A!=!7.22!cm2!!! # Mi!tutora!me!preguntó!si!es!importante!saber!la!medida!de!la!hipotenusa!para!sacar! el!área.!Yo!le!dije!que!no!porque!no!es!la!base!ni!la!altura.!Ella!me!preguntó!como! podría!encontrar!la!medida!de!la!hipotenusa!si!solamente!tienes!las!medidas!de!los! catetos.!Yo!le!dije!que!este!triangulo!es!rectángulo!así!que!uno!puede!usar!el! teorema!de!Pitágoras:!! a2!+!b2!=!c2! *Cuando!usé!la!regla!para!medir!la! (3.8)!2!+!(3.8)!2!=!c2! 2 hipotenusa!me!salió!5.3!!Casi!lo!mismo!que! 14.44!+14.44!=!c ! 2 5.374,!incluyendo!errores!humanos!! 28.88!=!c ! 5.374!=!c! # Terminamos!con!el!estudio!del!triángulo!y!empezamos!de!nuevo!con!el!circulo.! Investigué!las!características!de!un!circulo!para!reforzar!mi!conocimiento!previo:! # Radio:!segmento!que!se!establece!entre!el!centro!del!circulo!y!cualquier!de!los! puntos!de!la!circunferencia!! Diámetro:!longitud!de!un!punto!a!otro!punto!de!la!circunferencia!pasando!siempre! por!el!centro.!Divide!el!circulo!en!dos!partes!iguales!! Arco:!la!distancia!entre!dos!radios,!no!pasa!por!el!centro.!! # Discutimos#las#diferentes#formulas#que#yo#conocía#con#respeto#al#circulo:## ! = !! ! ! ∁= !"! Y!luego!me!preguntó!¿Qué!es!!?!con!confianza!yo!le!dije,!“3.14!es!el!numero!de!veces! que!el!radio!puede!cubrir!la!circunferencia.!¿Segura?!me!preguntó.!Y!de!repente,! después!de!memorizar!la!definición!durante!otra!tutoría,!no!estaba!segura.! Pensando!en!la!formula!∁= !"!aprendí!que!!!es!la!relación!entre!la!longitud!de!una! circunferencia!y!su!diámetro.!En!vez!de!memorizar!una!definición,!entendí!la! ! relación!a!través!de!la!formula.!! = ! = 3.14.!Y!siempre!es!así,!por!eso!decimos!que! es!un!constante.!! !

Después!de!terminar!todas!las!investigaciones!de!los!círculos!y!los!triángulos,!mi! tutora!me!dijo!que!ya!estoy!lista!para!resolver!el!reto:!“Las!áreas!de!la!luna!y!el! triangulo!son!iguales?”!Ya!sabía!que!el!área!del!triángulo!es!7.22!cm2.!Empecé!con!la! otra!información!que!ya!conocía:!! r!=!3.8!cm! d!=!7.6!cm! C!=!!"!=!(3.14)(7.6cm)! C!=!23.86!cm! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Concluí!que!la!medida!del!arco!es!1/4C.!! ! 23.86 = = 5.966!!"! 4 4 Pero!todavía!no!entendí!como!encontrar!el!área!de!la!luna.!Sin!embargo,!si!sabía! como!encontrar!el!área!del!espacio!“blanco”!porque!era!el!área!del!circulo!divido!por! 4,!menos!el!área!del!triangulo.!! ! ! = !! ! = ! 3.8 2! A!=!(3.14)(14.44)! A=!45.34!cm2! ! Área!del!circulo 45.34 − !Área!del!triángulo = − 7.22 = 4.12! 4 4 # De!haber!encontrado!el!espacio!blanco,!dibujé!otro!circulo,!usando!el!medio!de!la! hipotenusa!como!el!centro,!y!el!arco!de!la!luna!como!la!mitad!del!circunferencia.!Si!el! diámetro!es!5.3cm,!el!radio!es!2.65!cm.!Así!que!el!área!del!circulo!en!total!es! ! = !! ! = 3.14 7.0225 = 22.05!"2.!Pero!solamente!necesitaba!el!área!de!la! mitad!del!circulo!que!era!11.02cm2.!Hay!que!restar!el!espacio!blanco!de!la!mitad!del! circulo!en!total!para!encontrar!el!área!de!la!luna:!! Área!de!la!luna!=!11.02!–!4.12!=!6.91!cm2! # En!fin,!si!el!área!de!la!luna!es!6.91!cm2!y!el!área!del!triángulo!es!7.22!cm2,!los!dos! áreas!no!son!iguales!porque!el!área!del!triangulo!es!mas!grande.!! # #

Material#de#apoyo:# # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Área!de!un!triangulo! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Área!de!un!circulo! # # # # # # # # # #

# # # # Área!de!un!sector!de!un!circulo! ! # # # n#representa#el#número# # de#grados#del#ángulo# # central#del#sector.# # ! # ! # # # # # # # Encontrar#el#área#de#un#segmento#de#un#circulo:## ! Resolver!un!problema!para!el!área!es!algo!semejante!al!proceso!de!resolver!para!el! área!de!un!sector!de!un!circulo.!!Si!encuentras!el!área!del!sector,!y!restras!el!área!de! un!triangulo,!tienes!el!área!de!una!porción!del!circulo.!!Vamos!a!ver!con!un!ejemplo:! ! ! ! Reto:# ! Solución:# Resuelva!para!el!área!de!un! ! Empieza!por!resolver!para!el!área!del!sector.! segmento!del!circulo!con!un! ! ! ángulo!central!de!120!grados!y! ! un!radio!de!8.!!! ! ! Ahora,!encuentra!el!área!del!triangulo.!!Divídelo! ! en!dos!triángulos!en!este!caso!para!crear!dos! triángulos!de!30k60k90!grados.!!Por!el!uso!de! ! trigonometría,!encuentra!la!altura,!que!es!4,!y!la! ! otra!parte!que!mide!6.9282!(4!√3).! ! ! ! ! ! Asegmento)=)Asector)–)Atriangulo) ! ) ! Asegmento)=!67.02064328!–!27.7128191! ! ! ! ! Asegmento)=!39.30783036!≈!39! !

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