LAS DIFERENTES FORMAS DE ESCRIBIR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON EN LOS LIBROS DE TEXTO Ponencia presentada en el Seminario LAC el día 29 de agosto de 2013 Autor: Yuri Posadas Velázquez

Introducción En esta ponencia exploraremos algunas de las formas en las que los libros de texto presentan la segunda ley de Newton. Como veremos, en ocasiones se habla simplemente de fuerza, sin especificar si se trata de una cantidad escalar o vectorial; en otras se define simplemente como el producto de la masa y la aceleración; algunos más no realizan la distinción entre fuerza media e instantánea; y en algunas obras sí se formula correctamente la segunda ley de Newton. Desarrollo En la obra Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), Newton enunció su segunda ley o principio en los términos siguientes: “El cambio [en la cantidad] de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.”* Para Newton, la cantidad de movimiento (p) es igual al producto de la masa (m) y la velocidad (v). Si F es la fuerza, del principio enunciado por Newton se desprende simplemente que F α ∆p = ∆ (m v) Obsérvese que en el aserto newtoniano no se menciona el tiempo, pues la variación en la cantidad de movimiento se entiende que implícitamente sucede con la variación de aquél. En la formulación actual, la segunda ley se escribe así para la fuerza instantánea: F = dp dt Mientras que para la fuerza media se emplea la notación de los deltas: *

Newton, Isaac, Principios matemáticos de la filosofía natural, Madrid, Alianza Editorial, vol. I (2 vols.), 2002, p. 32.

F = ∆p ∆t En algunos libros de texto encontramos diferentes formas de escribir la segunda ley de Newton. En las siguientes líneas veremos solamente unos casos.

Aquí está la primera muestra (Resnick et al, Física, Vol. 1, México, CECSA, 2004, p.47): ΣF=ma Aquí Σ F es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, m su masa y a su aceleración. Otra más (Alonso-Rojo, Física. Mecánica y termodinámica, Addison-Wesley Iberoamericana, E.U, 1986, p. 93): : F=ma “fuerza = masa x aceleración” (textual). Aún hay otras formas (Wilson-Buffa, Física, México, Pearson, 2003, p.107): Fneta = m a Aquí Fneta es la suma vectorial de las fuerzas, m la masa y a la aceleración. En otros textos (Starzhinski, Mecánica teórica, Moscú, Mir, 1985, p. 282) encontramos la expresión correcta: d (mv) = F dt En esta obra se hace esta importante precisión: “Si con el tiempo la masa del punto no varía, es decir, es constante, tendremos” m dv = F dt En ocasiones se utiliza la notación de los deltas, aunque no siempre se especifica que se trata de la fuerza media y no de la instantánea. Veamos. Un ejemplo. En un libro (Astudillo et al,Física I, México, UNAM, 2009) se afirma lo siguiente:

“La segunda ley de Newton viene a ser una precisión en la definición de la fuerza: La fuerza es el agente capaz de provocar un cambio en el ímpetu del cuerpo y se cuantifica por la rapidez con la que se produce este cambio”. F = ∆p ∆t Más adelante (p.109) se realiza un análisis de la segunda ley: “Como el ímpetu es el producto de la masa por la velocidad, p = m v, entonces, F = ∆(m v) ∆t “desarrollando obtendremos: F = m( ∆v) + v (∆m) ∆t F = m( ∆v) + v (∆m) ∆t ∆t “El término ∆v/ ∆t, como ya se vio anteriormente es la aceleración, por lo que queda: F = m a + v (∆m) ∆t

... (1)

Hasta aquí el último texto. Ahora analizaremos cómo se pasa de la notación de los deltas a la notación diferencial para escribir correctamente la segunda ley de Newton, o bien, de la fuerza media a la fuerza instantánea. Si Fm es la fuerza media, entonces Fm = ∆p ∆t Aquí ∆p = pf –pi Escribiendo p como función de m y de v, quedan: pi = p (m, v) = m v pf = p (m + ∆m, v + ∆v) = (m + ∆m) (v + ∆v) Entonces, resulta para la fuerza Fm = (m + ∆m) (v + ∆v) - m v ∆t

Desarrollando: Fm = m v + m ∆v + ∆m v + ∆m ∆v - m v ∆t Al simplificar: Fm = m ∆v + ∆m v + ∆m ∆v ∆t O bien: Fm = m ∆v + ∆m v + ∆m ∆v ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t Fm = m a + ∆m v + ∆m ∆v ∆t ∆t ∆t ∆t Obsérvese que a la ecuación ( 1) le falta el tercer término. Ahora sí, cuando se toma el límite ∆t → 0, Fm se transforma en Finstantánea

F = lím Fm = ∆t → 0

lím ∆t → 0 F=

m ∆v + ∆m v + ∆m ∆v ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t

m dv + dm v dt dt

Conclusiones Del análisis de lo expresado con antelación, podemos colegir lo siguiente: 1) En ciertos libros de texto no se expresa que la fuerza es una magnitud vectorial, o bien, cuando se realiza un enfoque en una dimensión, no se precisa que se trata con la magnitud de la fuerza. 2) En otros libros no se realiza la distinción entre el concepto de fuerza media y el de fuerza instantánea. Lo anterior es característico de libros de nivel medio superior. 3) Aún en libros de texto de nivel universitario, la segunda ley de Newton – aunque ya se expresa en forma diferencial– suele expresarse así: F = m a = m dv = m d2x dt dt2

Sin aclarar que esta expresión es correcta siempre que la masa permanezca constante. 4) No obstante, también hay libros de texto en los que sí se escribe la segunda ley de Newton en forma correcta: F = dp dt Si bien a nivel bachillerato el alumno no tiene las herramientas del cálculo diferencial –los conceptos de límites y derivada–, considero que es importante escribir la segunda ley de Newton con la simbología de los deltas (y aclarando que se trata de la fuerza media): F = ∆p ∆t La consideración anterior no es trivial, sino necesaria por dos razones. Para los alumnos que ya no van a continuar con cursos de física propedéuticos, es útil que se lleven la idea de que la fuerza depende del cambio que experimenta el ímpetu en un intervalo de tiempo. Por otra parte, los alumnos que continúan con los cursos propedéuticos de física y/o carreras afines con esta disciplina, es necesario el concepto de fuerza media –como también los de velocidad y aceleración medias– para construir el concepto de fuerza instantánea, apoyados con los conceptos de límite y de derivada. Como docentes del bachillerato universitario, debemos buscar herramientas didáctico-pedagógicas para enseñar conceptos de física, pero sin perder de vista el aspecto formal y disciplinario.

Referencias 1. Alonso-Rojo, Física. Mecánica Iberoamericana, E.U, 1986.

y

termodinámica,

Addison-Wesley

2. Astudillo et al,Física I, México, UNAM, 2009. 3. Newton, Isaac, Principios matemáticos de la filosofía natural, Madrid, Alianza Editorial, vol. I (2 vols.), 2002, p. 32. 4. Resnick et al, Física, Vol. 1, México, CECSA, 2004. 5. Starzhinski, Mecánica teórica, Moscú, Mir, 1985. 6. Wilson-Buffa, Física, México, Pearson.