Matemáticas II

CEPA ”Carmen Conde Abellán”

Las Figuras Planas Melilla

Los polígonos ¿Te has fijado alguna vez en el metro que usan los carpinteros? Está formado por segmentos de madera que se pliegan con facilidad. Este instrumento tiene forma de línea poligonal. Una línea poligonal es una serie de segmentos unidos que no se cortan, salvo que el origen del primero coincida con el extremo del último, en cuyo caso decimos que la línea poligonal es cerrada.

Poligonal abierta

Poligonal cerrada

El Polígono. El polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los elementos principales de cualquier polígono son los siguientes:

Vértice

Ángulo

Diagonal Lado

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1. 2. 3. 4.

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Los lados son los segmentos que limitan el polígono Vértices, son los puntos del polígono donde se cortan los lados La diagonales son líneas que unen vértices no consecutivos de un polígono Ángulos, como sabes, son las porciones de plano que quedan entre dos lados

que se cortan 5. Y por fin se define PERÍMETRO, como la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono.

Clasificación de los polígonos Existen diversas clasificaciones de polígonos:

Además de los polígonos que observas en la tabla, existen muchos otros que tienen un mayor número de lados y ángulos. Algunos de ellos son: el hexágono( 6 lados), el heptágono( 7 lados), el octógono( 8 lados), etc. Según la igualdad de lados y ángulos clasificamos los polígonos en: • Polígonos regulares: Tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales. • Polígonos irregulares: Tienen al menos un lado o un ángulo distinto al resto. Además de los elementos comunes a cualquier polígono, existen otros exclusivos de los polígonos regulares. Radio de la circunferencia Polígono inscrito circunscrita

Ángulo central Centro Circunferencia circunscrita Apotema

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1. Circunferencia circunscrita. Es una circunferencia que tiene su centro en 2. 3. 4. 5.

O y que pasa por los vértices del polígono Centro. Punto que equidista de los vértices Radio. Cualquier segmento que una el centro con un vértice Apotema. Cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado Ángulo central. Cualquier ángulo que quede entre dos radios

El triángulo

El triángulo es el polígono más sencillo: tiene tres lados y tres ángulos

Clasificación Los triángulos pueden clasificarse según dos criterios: la medida de sus ángulos y la medida de sus lados. En el siguiente cuadro puedes observar los distintos tipos de triángulos:

Estas dos clasificaciones no son excluyentes, es decir, que un triángulo puede ser a la vez acutángulo e isósceles; o puede ser escaleno y a la vez obtusángulo, etc.

Medida de los ángulos de un triángulo

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Imagina que te preguntaran la medida de uno de los ángulos de un triángulo a partir del valor de los otros dos. Para responder a esa pregunta necesitarías saber cuánto mide la suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera. Y eso es 180º

A

A+B+C= 180º B

C

Elementos principales de un triángulo 1. Mediatriz y circuncentro. El punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo se llama circuncentro. Este punto: • Equidista de los vértices del triángulo. • Es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices llamada circunferencia circunscrita.

2. Bisectriz e Incentro El punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo se llama incentro. Este punto: • Equidista de los lados del triángulo. • Es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados llamada circunferencia inscrita.

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3. Medianas y Baricentro El equilibrista es capaz de mantener los platos sin que se le caigan porque conoce las propiedades del centro de gravedad o baricentro del triángulo. Si estuvieras en su situación necesitarías saber el lugar del triángulo en el que se encuentra el baricentro; para ello deberías trazar primero las tres medianas del triángulo.

El punto donde se cortan las tres medianas se llama baricentro. La distancia del baricentro a un vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto.

4. Alturas y ortocentro de un Triángulo

También podrías comprobar que en un triángulo obtusángulo, una de las alturas caería fuera del triángulo. El punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo es el ortocentro

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El teorema de Pitágoras Pitágoras fue un filósofo, físico, astrónomo y matemático griego. Cuando estuvo en Egipto descubrió que los albañiles egipcios realizaban obras perfectas, con ángulos rectos perfectos, utilizando unas cuerdas de longitud de 12 unidades. Las cuerdas tenían una señal a la distancia de 3 unidades desde el inicio y siete del inicio. O sea se lograba medir con ellas longitudes de 3, 4 y 5 unidades Si median un triangulo estirando la cuerda de lados 3,4 y 5unidades, el ángulo formado entre los lados de longitudes 3 y 4 medía exactamente 90º. Incluso en nuestros días muchos albañiles que no han estudiado a Pitágoras usan pequeños tableros con longitudes estándar que les ayudan a alinear las esquinas. ¡se formaba un triángulo rectángulo!

En realidad, los egipcios utilizaban una propiedad muy importante de los triángulos rectángulos:

Esta propiedad recibe el nombre de teorema de Pitágoras.

En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 + b2 = c2

Los Cuadriláteros De los cuadriláteros vamos a decir que son polígonos de 4 lados y vamos a clasificarlos en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES

1. Paralelogramos Un paralelogramo es un cuadrilátero que tienen sus lados opuestos, paralelos e iguales. Los paralelogramos son el Cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. En el siguiente cuadro, los verás definidos

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Cuadrado

Rombo 4 lados iguales y ningún ángulo recto

4 lados iguales y 4 ángulos rectos

Rectángulo

Romboide

Dos lados iguales y paralelos y 4 ángulos rectos

Lados y ángulos iguales, dos a dos

2. Trapecios y trapezoides Los trapecios sólo tienen dos lados paralelos y los trapezoides, ninguno

Trapecio rectángulo

Trapecio escaleno

Tiene dos ángulos rectos

4 ángulos y 4 lados desiguales

Trapecio Isósceles

Trapezoide

Ángulos iguales dos a dos. Los lados no paralelos son iguales

No hay lados paralelos

¿Qué es el área de un polígono? Laura y Javier están poniendo los azulejos de su cocina. ¿Quién ha cubierto más pared? Las dos superficies cubiertas tienen formas diferentes. Para saber cuál de las dos es mayor utilizamos un cuadrado como unidad de medida; por ejemplo, un azulejo.

Por tanto, Laura lleva más pared cubierta. Para calcular el área de una superficie debemos compararla con otra que elegimos como superficie unidad, y averiguar el número de unidades que contiene

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Área del rectángulo y del cuadrado Teniendo en cuenta la definición que hemos visto para el área de una figura, podemos aplicarla a figuras sencillas y obtener expresiones generales para el área de cada una de ellas.

El área del rectángulo es igual al producto de su base por sus alturas expresadas en la misma unidad.

El área del cuadrado es igual al producto del lado por sí mismo, es decir, es igual al lado elevado al cuadrado.

Área del Triángulo Una vez que conocemos el área de un rectángulo, podemos deducir fácilmente el área de otras figuras como el triángulo, el paralelogramo, etc. El área del triángulo es igual a la mitad del producto de la base y de la altura, expresadas en la misma unidad:

Área de un paralelogramo También podemos deducir la expresión del área del paralelogramo a partir del área del rectángulo: El área del paralegramo es igual a la base por la altura, expresadas en la misma unidad.

h b

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Área de un polígono regular A partir de la expresión del área del triángulo podemos obtener el área de cualquier polígono regular.

p= perímetro a= apotema

La circunferencia y el círculo

Ojo, no es lo mismo la circunferencia que el círculo. La circunferencia es LA LINEA curva y cerrada, cuyos puntos están a la misma distancia del centro, y el CIRCULO, el espacio que queda dentro de la circunferencia. Por lo tanto cuando hablemos de área, lo hacemos del área del círculo y no de la circunferencia, ¿vale?

Elementos del círculo Puntos Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

Rectas y segmentos Radio: es el segmento que une el centro y un punto de la circunferencia perimetral. Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos semicírculos; es la mayor de las cuerdas de la circunferencia perimetral. Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco. Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes de diferente área.

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Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Área de un círculo y perímetro o longitud de una circunferencia

L = 2×π × r

Longitud o perímetro

A = π × r2

Área