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Diplomado: Enseñanza de las matemáticas en la educación secundaria
Lección 1 Experimentos aleatorios o deterministas En la vida cotidiana se presentan una gran cantidad de situaciones en las que los ciudadanos debemos tomar alguna decisión en función de la información que tenemos de dicha situación; en algunas de estas situaciones es posible tener el control siempre y cuando se conozca la información relevante y la relación que se da entre los elementos fundamentales de dicha información. Por ejemplo, podemos predecir cual es la posición de un objeto que se mueve si conocemos algunas de las condiciones iniciales como: la velocidad, el punto de partida y la dirección de salida. En casos como este diremos que estamos ante una situación determinista. Hay otro tipo de situaciones en las que no es posible tener certeza en la predicción de un suceso, si se observa de manera aislada. Por ejemplo, si queremos predecir el género del primer bebé de una pareja de recién casados, no es posible asegurar si será niño o niña lo único que podemos garantizar es que resultará ser alguno de los dos géneros posibles. En este tipo de situaciones lo que se puede conocer o predecir es el comportamiento a la larga del fenómeno que se observa, en este caso el género de los bebés que se engendran. A este tipo de situaciones las identificamos como aleatorias. En esta lección se presentan algunas situaciones con el propósito de que el profesor-estudiante tenga la oportunidad de deliberar con sus compañeros e identificar las características fundamentales de una situación para ser clasificada como determinista o aleatoria. Situación 1. La toma de decisiones en nuestras actividades cotidianas En nuestro quehacer diario tomamos una gran cantidad de decisiones, muchas de ellas son para la organización de nuestras actividades inmediatas, en otras ocasiones nos ayudan a planear nuestra vida a mediano o largo plazo. Por ejemplo, al comprar un automóvil mediante un plan de autofinanciamiento, necesitamos tomar en cuenta una serie de factores que determinan la posibilidad de poder cumplir con este compromiso durante un periodo de tres, cuatro o cinco años, dependiendo del plan que seleccionemos; lo mismo sucede cuando decidimos adquirir vivienda mediante un plan de financiamiento, en este caso estamos hablando de un compromiso a pagar en un periodo más largo de tiempo.
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Actividad 1. Planes de financiamiento El agente de ventas de automóviles nuevos, le ofrece al cliente potencial dos opciones para el pago de un auto: Plan 1. En la primera opción de pago le propone hacer un pago inicial del 35% del valor del auto y 36 pagos mensuales fijos de $3,850.00. Plan 2. En la segunda opción de pago le propone hacer un pago inicial de 20% del valor del auto y 36 pagos mensuales, el primer pago será de $3,100.00 y variará en función de la inflación mensual registrada por la Secretaría de Hacienda. 1.1 ¿Es posible saber cuanto pagará mensualmente el cliente si escoge el plan 1? _____ ¿por qué?_______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.2 Si el cliente acepta el primer plan, ¿cuánto pagará en total por el automóvil?______ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.3 Si el cliente acepta el plan 2, ¿cuánto pagará en total por el automóvil? __________ ¿por qué?______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.4 Las situaciones planteadas en cada uno de los planes de pago, ¿son deterministas o aleatorias? _____________________________________________________________ ¿por qué haz dado esa respuesta?____________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.5 Si la compra se hiciera en este momento, ¿cómo le puede hacer el cliente para estimar lo que pagaría en total por el auto si selecciona el segundo plan?____________ ______________________________________________________________________ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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1.6 Si el cliente decide utilizar el plan 2, ¿cuáles son los costos totales posibles que puede pagar por el auto? __________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad 2. Como planear un operativo vacacional Durante los periodos vacacionales las autoridades municipales, estatales y federales, montan operativos para salvaguardar la seguridad de las personas que se trasladan de un lugar a otro. 2.1 ¿Cómo crees que le hacen las autoridades para ubicar los puntos conflictivos? _____ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.2 Antes de implementar el operativo, ¿puede la autoridad correspondiente determinar con certeza cuántos agentes colocar en cada punto crítico? _____________________ ¿por qué?_______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.3 Determinar el número de agentes que participarán en el operativo, ¿es una situación determinista o aleatoria? _____________, ¿por qué?____________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.4 Antes de implementar el operativo, ¿puede la autoridad correspondiente saber cuántos accidentes ocurrirán en ese período vacacional? _________________________ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.5 Determinar el número de accidentes que se presentarán en el próximo periodo vacacional, ¿es una situación determinista o aleatoria?________________________ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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2.6 ¿Es posible hacer una estimación del número de accidentes que se pueden presentar en el próximo período vacacional? __________ ¿cómo crees que se puede hacer?_____ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Situación 2. Situaciones en el contexto de los juegos Los juegos con monedas, dados, ruletas, urnas, etc., son ambientes en los que los resultados que determinan al ganador no se pueden conocer sino hasta después de realizado el juego. En este tipo de situaciones el comportamiento impredecible de los resultados posibles en cada momento del juego brinda un contexto poner en acción las ideas de azar, probabilidad y regularidad estadística, entre otras que son importantes desde la perspectiva escolar. Actividad 1. Jugando con monedas Al jugar volados con una o varias monedas nos podemos hacer una serie de preguntas acerca del comportamiento de la moneda, antes de realizar algún lanzamiento. Si en condiciones como las de este día lanzamos una moneda de cinco pesos hacia arriba:
1.1 ¿Caerá la moneda al piso?_______ 1.2 ¿Es posible asegurar que siempre pasará lo anterior?________ ¿por qué? _________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.3 Las preguntas 1 y 2, ¿tratan de una situación determinista o aleatoria? ______________ ¿por qué? _______________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.4 Si la moneda cae al piso, ¿qué cara quedará hacia arriba? _____________________ ¿por qué dices lo anterior? _________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.5 La situación planteada en 4, ¿es determinista o aleatoria? _____________________ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.6 Si lo que queremos es registrar la cara que queda hacia arriba al lanzar una moneda, ¿cuáles son los resultados posibles?__________________________________________ 1.7 Si hacemos el lanzamiento de una moneda y registramos las caras que quedan hacia arriba, ¿puedes decir qué ocurrirá el próximo lanzamiento de esas monedas?_________ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.8 Si lanzamos dos veces una moneda, ¿cuáles son los resultados posibles que se pueden registrar?_________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.9 Si hacemos tres lanzamientos de una moneda y registramos las caras que quedan hacia arriba, ¿puedes decir que ocurrirá el próximo lanzamiento de esas monedas?_________ ¿por qué? ____________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.10 Si lanzamos tres veces una moneda, ¿cuáles son los resultados posibles que se pueden registrar?_________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
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Actividad 2. Un juego con dados Los juegos de dados son un buen contexto para trabajar algunas de las ideas básicas de las situaciones aleatorias. Si se hace el lanzamiento de dos dados, uno verde y uno azul y registramos el número de puntos que aparecen en la cara que queda hacia arriba de cada dado de la siguiente manera: primero el verde y después el azul.
Responde a cada uno de los siguientes planteamientos: 2.1 De acuerdo a lo que se quiere registrar, ¿es una situación determinista o aleatoria? ____________________, ¿por qué? _________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.2 Si se quiere hacer el registro de los puntos de las caras de los dados que quedan hacia arriba, ¿cuáles son todos los resultados posibles? __________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.3 ¿Cuántos son los _____________________________________
resultados
posibles?
2.4 ¿En cuántos resultados posibles el dado verde cae 3?__________,¿cuáles son?_____ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.5 ¿En cuántos resultados posibles la suma de los puntos es 8?, ______________, ¿cuáles son?____________________________________________________________ 2.6 ¿En cuántos resultados posibles el dado azul tiene un número de puntos par?______, Variación 6 Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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¿cuáles son?____________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.7.- ¿En cuantos resultados posibles el número de puntos es igual en ambos dados?___, ¿cuáles son? ____________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.8 Para el próximo lanzamiento, ¿qué tiene más oportunidad de salir un cinco y un cinco o un cinco y un seis? ______________, ¿por qué? _________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.9 ¿Cuál de los siguientes resultados tiene más oportunidad de salir: el verde 4 y el azul 3 o el verde 4 y el azul 4?_________________________________________________, ¿por qué?______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
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Lección 2 La graduación de eventos Actividad 1. Situación futura del país 1.1 De acuerdo a las condiciones en las que se encuentra actualmente el país, ¿cómo evaluarías la hipótesis de un medio de comunicación de que se podría presentar una crisis económica al iniciar el próximo sexenio?. a) Poco posible b) Imposible c) Seguro d) Posible e) Muy posible f) Están dadas las condiciones g) No están dadas las condiciones h) Agrega otras expresiones que permitan evaluar la situación antes descrita: ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.2 Propón al menos cinco situaciones en las que de acuerdo a tu experiencia se utilicen expresiones, como las señaladas en el punto anterior, para valorar la posibilidad de ocurrencia de algún suceso. 1) ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2) ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3) ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4) ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5) ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Comenta con tus compañeros de equipo y comparen sus propuestas. Describan las conclusiones más importantes a las que llegaron:____________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
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Actividad 2. ¿Qué podría pasar si lanzamos un dado? Si lanzamos un dado hacia arriba y observamos el número de puntos de la cara que queda hacia arriba al detenerse sobre una superficie. 2
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Figura 1
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Figura 2: Caras de un astrágalo.
2.1 ¿Cuáles son los resultados que se pueden obtener al lanzar un dado como los de la figura 1?_______________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
2.2 ¿Qué es más probable obtener: un punto o varios puntos?______________________ ¿Por qué?______________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
2.3
¿Qué
tan
probable
es
que
caiga
un
punto?
_____________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
¿Por ______________________________________________________________
qué?
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____ _______________________________________________________________________
2.4 ¿Qué tan probable es que caigan un número de puntos menor que tres puntos? ____ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
¿Por qué?______________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Actividad 3. Otro juego de dados Si consideramos el experimento de lanzar dos dados hacia arriba y registramos la suma de los puntos de ambos dados que quedan en la cara que cae hacia arriba: 3.1 ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden presentar? __________________ ______________________________________________________________________ 3.2 Si realizamos una vez el experimento: 3.2.1 ¿Cuál(es) de los resultados posibles tiene mayor oportunidad de salir? _________ ______________ ¿por qué? _______________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.2.2 ¿Cuál(es) de los resultados posibles tiene la menor oportunidad de salir? _______ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.2.3 Ordena los resultados posibles tomando en cuenta el grado de oportunidad que tiene de salir y asígnale cada uno una valoración tal como se hizo en la actividad 1. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.2.4 ¿Cuáles de los resultados posibles tienen la misma oportunidad de salir? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿por qué? ______________________________________________________________
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Actividad 4. El producto de las ruletas Si se giran las ruletas y se hace el producto de los números que marque la flecha en cada ruleta:
4.1 ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden presentar? __________________ ______________________________________________________________________ 4.2 ¿Cuál de ellos es más probable que salga?___________, ¿por qué?______________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 4.3 ¿Cuál de ellos es menos probable que salga? _________, ¿por qué?_____________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 4.4 Dejando una de las ruletas como está, propón como deberá quedar la otra para que los valores de 4.2 y 4.3 sean igualmente probables.
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Actividad 5. ¿En qué ruleta es mejor? 1 5.1 La figura muestra dos discos divididos en sectores partiendo del centro y que tienen agujas de tal modo que una vez giradas se detienen y apuntan a un número, como en una ruleta. Con qué disco es más fácil obtener un 3? Señala la respuesta que te parezca correcta: _____ a) Es más fácil obtener 3 en el disco A b) Es más fácil obtener 3 en el disco B c) En los dos discos se tiene la misma posibilidad para el 3 d) No lo sé
A
2
1
3
4
3
B
1 2
¿Por qué eliges esa respuesta?____________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
5.2 Dos ruletas hexagonales han sido marcadas con unos y doses, como aparecen en la figura de abajo. ¿Qué ruleta da mejor oportunidad de obtener un dos cuando se hace girar? Señala la respuesta que te parezca correcta: ______________________________ a) La ruleta C es mejor para obtener un 2 b) La ruleta D es mejor para obtener un 2 c) En ambas ruletas es la misma posibilidad d) No lo sé
2 1
1
2
¿Por qué eliges esa ______________________________________________
2
1
C
D 1
2 2
1
2
1
respuesta?
1
En esta actividad, y en las dos siguientes, con ciertas modificaciones, intervienen algunas ideas tomadas de: Cañizares C., M. J. (1997) Influencia del razonamiento proporcional y combinatorio de creencias subjetivas en las intuiciones probabilísticas primarias. Tesis Doctoral, Universidad de Granada, España. Alatorre F. S. (2000) Una actividad didáctica de probabilidad: la ruleta. Correo del maestro, revista para profesores de educación básica, Academia Mexicana de Ciencias. Se puede encontrar electrónicamente en http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2000/2000.htm o bien en http://miayudante.upn.mx/docint/DI6001.html Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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B B A A Diplomado: Enseñanza secundaria 180° de las matemáticas en la educación 45° 3 180 15°
Y en el par de ruletas circulares que aparecen adelante ¿cuál es mejor para obtener un dos y por qué crees eso? __________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
2 1
1
2 1
F 2 2 1
1
1
2
2 2
E
5.3 Ponemos a un ratón al comienzo del laberinto que aparece abajo y de algún modo hacemos que avance en la dirección de la flecha. 1er. entronque 2do. entronque 3er. entronque
¿Es más posible que quede en la parte A que en la parte B? _______________________ ¿Qué tanto más posible y por qué? __________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 5.4 Si ahora hacemos que el ratón avance en la dirección de la flecha según el resultado de las ruletas que aparecen abajo, ¿es más posible que quede en la parte A que en la B? ____________________ Segundo entronque uno 90°
Tercer entronque
dos
90° tres 180°
Primer entronque
¿Qué tanto más posible y por qué? __________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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5.5 ¿Habrá algunas forma de diseñar las ruletas de tal manera que sea más posible que el ratón quede en la parte A? Con ayuda de los círculos de abajo haz el diseño de las ruletas que propondrías.
Primer entronque
Segundo entronque
Tercer entronque
¿Habrá alguna forma de diseñar las ruletas de tal manera que sea igualmente posible? Muestra tu propuesta en los círculos de adelante.
Primer entronque
Segundo entronque
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
Tercer entronque
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Actividad 6. Resuelva los siguientes problemas adicionales2: 6.1 A Juan y Pedro les encanta ir a la feria y jugar al juego de las ruletas. El juego consiste en elegir una de las ruletas y realizar 5 tiradas por $5. Si al girar la ruleta le toca +1, significa que va ganando $1 y si sale –1, que va perdiendo $1. Lo mismo sucede con el +3 y el –3. ¿Qué ruleta les conviene elegir para tener más posibilidades de ganar? -1
+1 +3
-1 -1
-1
-1 +1
+1 +1
+1 -1
-3 +1
6.2 El siguiente razonamiento es incorrecto. Intente explicar por qué. Tienen la misma posibilidad porque en las tres ruletas hay, en total, +3 y –3. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
6.3 El siguiente juego consiste en mover al ratón para que llegue al queso. Si en la ruleta sale negro (N), sube una parte, y si sale blanco (B) baja una parte. ¿Qué ruleta convendrá elegir para que el ratón tenga más posibilidades de llegar al queso?
B
N B N B
N
2
Tomados de: Block S., D; Schulmaister L., M; Balbuena C., H.; Dávila V., M. (1996) La enseñanza de las MATEMÁTICAS en la escuela primaria. Secretaria de Educación pública, Programa Nacional de Actualización Permanente, México. Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Actividad 7. Sacando canicas de cajas 7.1 La siguiente ilustración representa cuatro cajas que contienen canicas de colores negro (N) y blanco (B). a)
b)
c)
d)
Un experimento consiste en extraer sin mirar una canica, después observar su color y luego reintroducirla en la caja para futuras extracciones. a) Conteste V (verdadero) o F (falso) a las siguientes cuestiones: ( ) Es más fácil obtener N en a) que en b) ( ) Es más fácil obtener N en b) que en d) ( ) Es más fácil obtener N en a) que en d) ( ) Es más fácil obtener N en a) que en c) ( ) Es más fácil obtener N en b) que en c) b) Juan eligió una de estas cajas para hacer extracciones de canicas y obtuvo el siguiente resultado: N N B B N N N B N. ¿Con qué caja es más probable que haya estado jugando? _________________________________¿por qué? __________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
7.2 De una bolsa con 3 bolas negras y 3 bolas blancas sacamos sucesivamente dos bolas. Describe todos los resultados si : a) Devolvemos la primera bola a la caja después de ver el color: ___________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ b) No la devolvemos. _____________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 7.3 En la caja A se han metido 3 bolas negras y 1 bolas blanca. En la caja B se han metido 2 bolas negras y 1 bola blanca, como se puede observar en el dibujo. A
B
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Si tienes que sacar una bola negra para ganar un premio, sin mirar dentro de la caja, ¿cuál elegirías para hacer la extracción. Señala la respuesta correcta. a) La caja A da mayores posibilidades de obtener una bola negra _____ b) La caja B da mayores posibilidades de obtener una bola negra _____ c) Las dos cajas dan la misma posibilidad _____ d) No lo sé _____ ¿Por qué? ____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
7.4 Otras dos cajas tienen en su interior algunas bolas negras y algunas bolas blancas. En la caja C se han metido un total de 5 bolas negras y 2 bolas blancas, mientras que en la caja D se han metido 5 bolas negras y 3 bolas blancas, como se puede observar en el dibujo. ¿Qué caja (la C o la D) da más posibilidades de sacar una bola negra? o, por el contrario, dan las dos la misma posibilidad? Señala la respuesta correcta. a) Caja C ___ b) Caja D ___ c) La misma posibilidad ___ d) No lo sé ___
C
D
¿Por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 7.5 Otras dos cajas distintas tienen también bolas negras y bolas blancas: Caja E: 2 negras y 2 blancas Caja F: 4 negras y 4 blancas. ¿Qué caja da más posibilidades de sacar una bola negra?
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a) Caja E ___ b) Caja F ___ c) La misma posibilidad ___ d) No lo sé ___
E
F
¿Por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 7.6 Otras dos cajas distintas tienen bolas negras y bolas blancas: Caja G: 12 negras y 4 blancas Caja H: 20 negras y 10 blancas. ¿Qué caja da más posibilidades de sacar una bola negra? a) La misma posibilidad _____ b) Caja G _____ c) Caja H _____ d) No lo sé _____ ¿Por qué? ______________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
7.7 Otras dos cajas distintas de las anteriores tienen bolas negras y bolas blancas: Caja J: 3 negras y 1 blancas Caja K: 6 negras y 2 blancas. ¿Qué caja da más posibilidades de sacar una bola negra? a) La misma posibilidad _____ b) Caja J _____ c) Caja K _____ d) No lo sé _____ ¿Por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Actividad 8. Otras situaciones de muestreo 8.1 En una caja se ponen 4 bolas rojas, 4 azules y 2 verdes, y después se mezclan. Se sacan tres bolas fuera, resultando 2 rojas y 1 azul. A continuación sacamos otra bola sin haber regresado las anteriores. ¿De qué color es más probable que sea esta última bola? a) Azul _____ b) Roja _____ c) Verde _____ d) Todos los colores tiene la misma posibilidad _____ e) No lo sé _____ ¿Por qué? ______________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
8.2 De una bolsa con 3 bolas blancas y 3 bolas azules sacamos dos bolas, una por una. Describe todos los resultados posibles si: a) Devolvemos la primera bola a la caja después de ver el color ___________________ ________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ b) No la devolvemos _____________________________________________________ ________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 8.3 En una tómbola se tienen seis bolas rojas, cuatro amarillas y dos negras. Se extraen dos bolas de la tómbola. Describe todos los resultados posibles si : a) Devolvemos la primera bola a la caja después de ver el color b) No la devolvemos
8.4 Una bolsa contiene en su interior algunas bolas blancas y algunas bolas negras. Un niño extrae una bola, anota su color y la vuelve a introducir. A continuación remueve las bolas para que se mezclen bien. El chico repite esta operación cuatro veces y siempre obtiene una bola negra. A continuación extrae una quinta bola. ¿De qué color piensas que será con más probabilidad? Señala la frase que consideres correcta: Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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a) La negra es más probable de nuevo b) La negra y la blanca son igualmente probables c) La blanca es más probable esta vez ¿Por qué crees eso? ______________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
8.5 Supón que dejamos caer muchas bolas en el conjunto de canales dibujado: Señala la frase que mejor describa dónde esperas tú que vayan las bolas. a) Por cada canal pasará aproximadamente igual número de bolas b) Por 1 y 8 pasarán más bolas c) Por 3, 4, 5 y 6 pasarán más bolas d) Por 1, 3, 5 y 7 pasarán más bolas e) Ninguna de estas 8.6 Ahora haz lo mismo para los siguientes conjuntos de canales a) Por cada canal pasará aproximadamente igual número de bolas b) Por 1 y 2 pasarán más c) Por 3 y 4 pasarán más d) Por 1 y 4 pasarán más e) Ninguna de estas a) Por cada canal pasará aproximadamente igual número de bolas b) Por 2 pasarán más bolas c) Por 3 pasarán más bolas d) Por 1 y 2 pasarán muchas bolas y por 3 pocas e) Ninguna de estas En cada caso, ¿por qué crees eso? ___________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
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Actividad 9. ¿Cómo seleccionar a los alumnos de los primeros lugares del curso? Para la entrega de los diplomas de los primeros lugares de una escuela, el profesor considera con méritos suficientes a cinco estudiantes que tiene el mismo promedio general, María, Pedro, José, Itzel y Zulema, por considerar que es injusto que él decida quien debe recibir los diplomas respectivos, decide hacerlo la asignación de los lugares al azar: 9.1 Si sólo se entregará un primer lugar y un segundo lugar, ¿de cuántas maneras distintas puede quedar integrada la pareja que recibirá los premios? _______________ ______________________________________________________________________ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________, ¿cuáles son las parejas que se pueden formar?________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 9.2 Si sólo se entregará un primer lugar, un segundo lugar y un tercer lugar, ¿de cuántas maneras distintas puede quedar integrada la terna? _____________, ¿por qué? _______ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿cuáles son las ternas que se pueden formar?__________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 9.3. Si sólo se entregará un primer lugar, un segundo lugar, un tercer lugar y un cuarto lugar, ¿de cuántas maneras distintas puede quedar integrado el grupo de cuatro premiados? _____________________________________________________________ ¿por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________, Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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¿cuáles son los grupos posibles que se pueden formar?___________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Actividad 10. Integrar un equipo para que participen en un concurso El mismo profesor de la actividad anterior, integrará un equipo de estudiantes para que participen en un concurso de matemáticas, es un concurso en el que pueden participar dos, tres o cuatro estudiantes por equipo. El profesor ha considerado a los mismos cinco estudiantes que tienen el mejor promedio para que participen en dicho concurso, para integrar el equipo participante realizará una selección al azar entre estos cinco estudiantes: 10.1 ¿Cuántos equipos distintos de dos estudiantes puede integrar? __________ ¿cuáles son los equipos que se pueden formar? _______________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 10.2 ¿Cuántos equipos distintos de tres estudiantes puede integrar?________________ ¿cuáles son los equipos que se pueden formar? ________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 10.3 ¿Cuántos equipos distintos de cuatro estudiantes puede integrar?______________ ¿cuáles son los equipos que se pueden formar?_________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 10.4 ¿Dónde salieron más grupos, en cada caso, en la actividad 10 o en la 11?__________ ¿a qué crees que se debe esta diferencia?________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 10.5 ¿Hay alguna relación entre la cantidad de grupos que se formaron en la actividad 9 y los que se formaron en la actividad 10?____________________________________. Explica tu respuesta ampliamente ___________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
Lección 3 Modelos probabilísticos y cálculo de probabilidades La utilización de monedas, dados o ruletas en diversos juegos hace que el resultado o desarrollo del juego no dependa sólo del conocimiento del juego y las habilidades o destrezas desarrolladas por cada uno de los participantes. Digamos que estos dispositivos incorporan un factor de incertidumbre en los posibles resultados del juego y con ello hacen interesante el juego. Un caso sencillo viene a ser el juego de volados, en donde se trata de adivinar el resultado del lanzamiento de una moneda, una predicción antes del lanzamiento, que de verificarse con el resultado del lanzamiento una vez efectuado permite decidir si el jugador gana o pierde. Alrededor de esta situación caben algunas interrogantes que ayudan a definir lo que resulta importante en este tipo de situaciones: ¿cuál es la gama de posibles pronósticos que pueden efectuarse? ¿cuál es el conjunto de posibles resultados? ¿cuál es la probabilidad de ganar? ¿cómo se puede calcular dicha probabilidad? ¿bajo que condiciones es válido el procedimiento empleado? ¿qué significa la probabilidad obtenida?, etc. En cierto modo estas interrogantes orientan nuestra visión hacia un modelo probilístico de la situación y al cálculo de probabilidades bajo dicho modelo y /o sus implicaciones. Enseguida presentamos una serie de situaciones y actividades con monedas, dados, ruletas y otros dispositivos en las que se plantean interrogantes encaminadas a esclarecer aspectos de este tipo de situaciones que guardan una intima relación con nociones Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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probabilísticas, las cuales son contempladas en lo estudios que se hacen en la escuela secundaria. Situación 1. La observación de resultados en el lanzamiento de monedas Al jugar a los volados con una moneda ¿cuál es la probabilidad de obtener águila? ¿por qué? ¿qué significa esa probabilidad? O más generalmente ¿cómo se obtienen las probabilidades y que significados tienen estas?
Actividad 1: Cuestiones a priori acerca del lanzamiento de monedas 1.1 Al jugar a los volados con una moneda normal ¿cuáles son los resultados posibles que se consideran? _______________________________________________________ ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila? ___________________________________ ¿por qué crees eso? ______________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿qué significado le atribuyes a esa probabilidad? __________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
Si haces 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda normal ¿cuántas águilas esperas que ocurran? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿por qué crees eso? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.2 Si le hacemos un doblez a la moneda con una pinza de mecánica ¿cuál es la probabilidad de obtener águila en un lanzamiento de esta moneda? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿por qué crees eso? ______________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿qué significado le atribuyes a esa probabilidad? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Si haces 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda doblada ¿cuántas águilas esperas que ocurran? ______________________________________________________________________ ¿por qué crees eso? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad 2: Experimentando con monedas 2.1 Efectuar ochenta lanzamientos de una moneda normal y, utilizando la tabla que aparece abajo, registra los resultados de cada lanzamiento como a (águila) o s (sello), formando grupos de cinco resultados. Luego, contabilizando el número de águilas acumuladas en los grupos sucesivos o frecuencias (f) regístralo en la columna correspondiente así como su acumulación o frecuencias acumuladas (fa) y los resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos acumulados o frecuencias acumuladas relativas (far). Lanz. Acum. 5 10 15 20 25 30 35 40
Resultados
f
fa
far
Lanz . Acu m. 45 50 55 60 65 70 75 80
Resultados
f
fa
far
2.2 Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haz una gráfica de puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de lanzamientos de una moneda normal. fa r 1 .00 0 .90 0 .80
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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0 .70 0 .60 0 .50 0 .40 0 .30 0 .20 0 .10
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
6 6 7 7 8 8 9 9 10 0 5 0 5 0 5 0 5 0 Número de lanzamientos acumulados
2.3 Describe el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responde a las siguientes preguntas ¿qué relación tiene este comportamiento con la probabilidad que tu crees tiene el obtener águila en el lanzamiento de una moneda normal? ¿qué quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el lanzamiento de una moneda sea el número que tu crees? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
Actividad 3: Experimentando con monedas dobladas 3.1 Utilizando ahora monedas dobladas con una pinza de mecánica, efectúa ochenta lanzamientos de una moneda y utiliza la tabla que aparece abajo para registrar los resultados de cada lanzamiento formando grupos de cinco resultados, las frecuencias (f) obtenidas en los grupos sucesivos, frecuencias acumuladas (fa) y las frecuencias acumuladas relativas (far). Lanz. Acum. 5 10
Resultados
f
fa
far
Lanz . Acu m. 45 50
Resultados
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
f
fa
far
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15 20 25 30 35 40
55 60 65 70 75 80
3.2 Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haz una gráfica de puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de lanzamiento de monedas. fa r 1 .00 0 .90 0 .80 0 .70 0 .60 0 .50 0 .40 0 .30 0 .20 0 .10
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
6 6 7 7 8 8 9 9 10 0 5 0 5 0 5 0 5 0 Número de lanzamientos acumulados
3.3 Describe el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responde a las siguientes preguntas ¿qué relación tiene este comportamiento con la probabilidad que tu crees tiene el obtener águila en el lanzamiento de una moneda doblada? ¿qué Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el lanzamiento de esta moneda sea el número que tu crees? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
Actividad 4: Calculando otras probabilidades a priori 4.1 Cuando los posibles resultados de una situación pueden ser pensados como compuestos de resultados parciales producidos por una secuencia de experimentos, ensayos o etapas simples (primer lanzamientos, segundo lanzamiento, tercer lanzamiento, etc.), un diagrama de árbol de posibilidades o de probabilidades resulta una alternativa muy efectiva para su visualización, determinación y operación. Por ejemplo, para la observación de tres lanzamientos de una moneda normal podríamos iniciar un árbol de posibilidades y probabilidades como sigue: Árbol de posibilidades y probabilidades por eslabón (e) y por rutas (r) e1 r1 r2 r3
e2
a a
r4 r5 r6 r7
½
s
a s
Probabilidad ruta (½)(½)(½)=1÷8=0.125
aaa aas asa saa
(½)(½)(½)=1÷8=0.125
ass
½
s r8
½
½ ½
Resultado ruta
e3
sas ssa sss
Completar el árbol de posibilidades y probabilidades anterior y discutir por qué proceder de ese modo. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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En esta situación es posible interesen resultados con una característica o propiedad particular. Por ejemplo: “no ocurren águilas”; “ocurre una águila”; “ocurre a lo más una águila”; “ocurre más de una águila”; “ocurre al menos una águila”, etc., que para referirnos a ellos denominaremos eventos A, B, C, D y E, respectivamente. Antes de pasar a ponderar las probabilidades de estos eventos y de algunas relaciones entre ellos, complete la siguiente tabla de probabilidades que resume parte de la información en el árbol de probabilidades anterior y que podría resultarnos útil. Número de águilas ocurridas 0 1 2 3
Números de casos presentados
Probabilidad de cada caso
Probabilidad subtotal
Total de probabilidades
4.2 En tres lanzamientos de una moneda, qué probabilidad corresponde a cada una de los eventos anteriores: P(“no ocurren águilas”)= __________________________________________________ P(“ocurre una águila”)= ___________________________________________________ P(“ocurre a lo más una águila”)= ___________________________________________ P(“ocurre más de una águila”)= _____________________________________________ P(“ocurre al menos una águila”)= ___________________________________________ ¿Qué relaciones encuentra entre A, B, C, D, E y sus probabilidades? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
4.3 La situación anterior podría tener alguna variantes, por ejemplo considerar más lanzamientos o bien utilizar una moneda que no fuese normal, digamos una moneda doblada con una pinza de mecánica. ¿Qué cambios habría que introducir en el árbol de posibilidades y probabilidades? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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4.4 Para el caso en que se tenga una moneda doblada en la cuál la probabilidad de un águila en un lanzamientos sea 0.30, complete la siguiente tablas de probabilidades resumiendo información relativa a los resultados de lanzar cinco veces esta moneda. Número de águilas ocurridas 0 1 2 3 4 5
Números de casos presentados
Probabilidad de cada caso
Probabilidad subtotal
Total de probabilidade s
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Situación 2. Juegos con dados, ruletas y otros dispositivos Algunas cuestiones análogas a las planteadas para la moneda en el casos de los volados tienen sentido cuando “accionamos” otros dispositivos que denominaremos aleatorizantes físicos. Por ejemplo: - Al lanzar un dado y observar el número de puntos en la cara que queda hacia arriba cuando este se detiene, ¿cuál es la probabilidad de que resulten dos puntos? ¿y un número impar de puntos? ¿cómo se obtienen dichas probabilidades y que significados tienen estas? - Al lanzar dos veces un dado y observar la suma de puntos de las caras que quedan hacia arriba en cada lanzamiento, ¿cuál es el conjunto de posibles resultados? ¿qué probabilidad tiene cada uno de ellos? ¿qué probabilidad existe de obtener una suma de a lo más tres puntos? ¿y de a lo más nueve? ¿y de al menos tres?¿de a lo más nueve y al menos tres? ¿de al menos tres y a lo más nueve?, etc. - Si de una urna obscura conteniendo cinco canicas azules y tres blancas extraemos tres de ellas, una por una, y observamos cada vez el color obtenido regresando luego la canica a la urna (con reemplazo), ¿cuál es la probabilidad de obtener sólo una canica blanca?, ¿al menos dos blancas? ¿Y todas del mismo color? En el caso de que la urna obscura contenga tres canicas azules y tres blancas ¿qué respuesta tendrían las preguntas anteriores? ¿y si la extracción de canicas se hace sin que sean regresadas a la urna (sin reemplazo)? Actividad 1. ¿Qué podría pasar si lanzamos un dado? Si lanzamos un dado hacia arriba y observamos el número de puntos de la cara que queda al detenerse sobre una superficie. •
•
• •
Figura 1: Caras de un dado normal.
• •
•
• •
Figura 2: Caras de un astrágalo.
1.1 Con un dado normal, como el de la figura 1, ¿cuál es la probabilidad de obtener un punto? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Cómo le hiciste para obtener el resultado anterior? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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1.2 ¿Qué tan probable es que caigan un número de puntos menor que tres puntos? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Por qué? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ____________________ 1.3 Con un astrágalo como el de la figura 2, ¿cuáles son los posibles resultados que se puede obtener al hacer lanzamientos con él? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.4 ¿Qué es más probable obtener: un punto o varios puntos? _____________________ ______________________________________________________________________ ¿Por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.5 ¿Qué tan probable es que caiga un punto? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ __________¿Por qué? ____________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.6 ¿Qué tan probable es que caigan un número de puntos menor que tres puntos? ____ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Por qué? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.7 Para el caso de un dado normal, completa el siguiente diagrama, llamado cartesiano, de los posibles resultados en dos lanzamientos sucesivos y sus sumas.
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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6
P u n t o s
5
L a n z
3
D O S
4
(1,3) (1,2) (2,2)
2
1
(1,1) (2,1) (3,1) 4 1
2
3
4
5
6
Puntos Lanz UNO
1.8 Complete la siguiente tabla de probabilidades resumiendo información relativa a los resultados de lanzar dos veces un dado. Suma de puntos 2 3 4 5
Números de casos presentados 1 2 3
Probabilidad de cada caso
Probabilidad subtotal
Total de probabilidade s
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Actividad 2. Experimentando con un dado 2.1 Si realizamos 20, 60 y 120 lanzamientos con un dado, ¿cuántas caras de cada tipo esperarías obtener en cada caso? ____________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
1
2
3
4
5
6
Número de puntos en la cara del dado
2.2 Con el dado que se te ha entregado realiza el número de lanzamientos que se piden y registra con una cruz cada resultado en la cuadrícula que aparece más arriba, contemplando: a) Al realizar los primeros 20 lanzamientos, hacer sobre la cuadrícula una gráfica de contorno. b) Posteriormente, al acumular 40, 60, 80, 100 y 120 lanzamientos, sobre la misma cuadrícula, hacer una gráfica de contorno en cada caso distinguiéndolos de algún modo. c) Comenta con tus compañeros lo que observen ocurre con los contornos dibujados y resúmelo brevemente: ____________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.3 En los primeros 20, 60 y 120 lanzamientos, en cada caso, ¿cómo fueron los resultados obtenidos respecto a los esperados? _________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Por qué crees que ocurrió lo anterior? _______________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.4 Con los datos anteriores, para cada uno de los números de puntos posibles y en cada etapa de números de lanzamientos múltiplos de veinte (20, 40, 60, 80, 100 y 120), determina las frecuencias relativas que se observa se ha acumulado anotándolas en la tabla de abajo y represéntalos con una gráfica de puntos y líneas en la figura posterior (número 3).
Lanzamientos acumulados
Puntos en dado
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5 6
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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fr 0 .50 0 .45 0 .40 0 .35 0 .30 0 .25 0 .20 0 .15 0 .10 0 .05
1
2
3
Puntos dado
4
5
6
Figura 3
2.5 ¿Cuál era el comportamiento esperado de las frecuencias relativas y cuál fue el observado? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Por qué crees que ocurrió lo anterior? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2.6 Con el dado que se te ha entregado, proponer un modelo que describa la ocurrencia de los resultados en el lanzamiento de un dado. Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________ ¿Qué ajustes harías al modelo si se tratara de un astrágalo como el de la figura 2? ____ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad 3. Experimentando con ruletas Aunque se pueden usar diferentes ruletas, en esta actividad se propone trabajar con el primer diseño de los dos que aparecen abajo. El diseño de dicha ruleta consiste en dividir un círculo en diez sectores de 36° cada uno e iluminar cuatro de ellos con rojo, tres de color amarillo, dos de color verde y uno en azul. Además se contempla construir una ruleta en cartoncillo de acuerdo al diseño, hacerla girar alrededor de su centro para experimentar con ella y observar el color resultante (habrá que usar algún criterio o señalador). R
R
R N
R A
V A
A
V
Diseño uno
R R 45° 45° A 90°
N 135 V 90°
Diseño dos
3.1 Primera etapa. Si se efectuará una vez el experimento de hacer girar la ruleta, ¿qué color crees que resulte? _______________________________ ¿por qué crees eso? ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ En el espacio de la tabla correspondiente a la primera etapa, anota tu predicción, el resultado de tu experimento y comenta con tus compañeros los resultados obtenidos.
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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PRIMERA ETAPA COLOR Rojo Amarillo Verde Azul Total
SEGUNDA ETAPA
Predicción
Experimento
Predicció n
Experimento
1
1
10
10
3.2 Segunda etapa. Si se efectuara 10 veces el experimento de la ruleta ¿cuántas veces crees que saldría cada color? En el espacio de la tabla correspondiente a la segunda etapa, anota tu predicción, el resultado de tu experimento y comenta con tus compañeros los resultados obtenidos. 3.3 Tercera etapa. Efectúa 18 veces el experimento de la ruleta, anota los resultados en el espacio correspondiente a la tercera etapa y comenta con tus compañeros los resultados obtenido.
TERCERA ETAPA COLOR
CONTEO DEL EXPERIMENTO
Total
Rojo Amarillo Verde Azul Total
18
X 20= X X X X X
20= 20= 20= 20= 20=
Ángulo
360°
3.4 Cuarta etapa. Efectúa 180 veces el experimento de la ruleta, anota los resultados en el espacio correspondiente a la cuarta etapa y comenta con tus compañeros los resultados obtenidos.
CUARTA ETAPA COLOR
CONTEO DEL EXPERIMENTO
Total
Rojo Amarillo Verde Azul Total
180
X 2= X X X X X
2= 2= 2= 2= 2=
Ángulo
360°
3.5 Las cuatro etapas se pueden repetir con una ruleta como la del diseño dos. En términos generales, describe lo que tu crees que Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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ocurriría en esas cuatro etapas, las coincidencias y diferencias respecto a lo obtenido con el diseño uno y por que crees todo eso. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad 4: Sacando canicas de una urna Consideremos una urna conteniendo cinco canicas azules y tres blancas, de la que planeamos hacer extracciones sin ver y asegurándonos de revolver las canicas cada vez. Una pregunta sencilla podría ser,¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea blanca? Para la pregunta ¿cuál es la probabilidad de que la segunda canica sea blanca?, casi inmediatamente surge la observación de que dicha probabilidad de si las extracciones son o no con reemplazo. A continuación ésta y otras cuestiones ilustrativas de algunas nociones probabilistas.
4.1 Iniciemos con el caso en que las extracciones son con reemplazo. Al hacer una primera extracción,¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? ________. Luego ¿cuál será la probabilidad de que resulte una canica blanca en la segunda extracción? ________; ¿en una tercera? ________. Y ¿cuál es la probabilidad de que resulte blanca en las tres primeras extracciones? ________. 4.2 Ahora sin reemplazo pero una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca una primera extracción? ________. Luego ¿cuál será la probabilidad de que resulte una canica blanca en la segunda? ________; ¿en una tercera? ________. Y ¿cuál es la probabilidad de que resulte blanca en las tres primeras extracciones? ________. 4.3 Para revisar las respuestas anteriores proponemos elaborar un árbol de posibilidades y probabilidades para cada caso en el entendido de que sólo necesitamos observar tres extracciones. Para esto adoptemos como notación A para cuando resulta una canica azul y B para cuando resulte blanca, solicitándote completar ambos árboles así como una tabla que resuma la información contenida en dichos árboles. Árbol de posibilidades y probabilidades para extracciones CON REEMPLAZO Resultado ruta
Probabilidad ruta
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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5/ 8 A
A
A AAA B
AAB
B 3/ 8 B
Árbol de posibilidades y probabilidades para extracciones SIN REEMPLAZO Resultado ruta
Probabilidad ruta
CON REEMPLAZO Número de canicas blancas
Números de casos presentad os
SIN REEMPLAZO
Probabilida Probabilida Probabilida Probabilida d de cada d de cada d subtotal d subtotal caso caso
0 1 2 3 Total
Total
4.4 Después de revisar los puntos anteriores e intercambiar opiniones con tus compañeros, resume las principales conclusiones a las que arribaron acerca de cómo calcular probabilidades tanto Variación 40 Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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cuando se realizan extracciones con reemplazo como con sin él. _________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿A qué se deben las coincidencias y/o diferencias encontradas? ___________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 4.5 En la extracción de tres canicas de la urna, determine las siguientes probabilidades: CON REEMPLAZO
SIN REEMPLAZ O
P(“resulta sólo una blanca”)= P(“no resultan negras”)= P(“resultan dos blancas o dos negras)= P(“a lo más dos de cada color”)= P(“dos blancas y dos negras”)= P(“ninguna negra o ninguna blanca”)= P(“la menos una blanca y una negra”)=
Actividad 5: Situaciones adicionales 5.1 en el experimento esquematizado en la figura siguiente ¿cuál es la probabilidad, en cada caso, de que la bola caiga en un recipiente blanco? ¿Y en un recipiente negro?
5.2 En una caja hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 blancas. ¿Cuántas bolas debe uno sacar para estar seguros de que se obtendrá una bola de cada color? 5.3 En los exámenes de español y matemáticas de un grupo formado por 47 alumnos se observaron los siguientes resultados: 35 alumnos aprobaron español; 29 alumnos aprobaron matemáticas; y, 7 alumnos no aprobaron ninguna de las dos materias. Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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a) ¿Cuántos alumnos aprobaron las dos materias?, ¿cuántos aprobaron al menos una?, ¿cuántos sólo aprobaron una?, ¿cuántos aprobaron español, pero no matemáticas?, ¿cuántos atemáticas, pero no español? b) Si se elige a un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: No haya aprobado ninguna materia; Sólo haya aprobado una materia; Haya aprobado al menos una materia; Haya aprobado las dos materias; Haya aprobado matemáticas, pero no español. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que aprobó español también haya aprobado matemáticas?, ¿y la probabilidad de que un alumno que aprobó matemáticas haya aprobado español? 5.4 Pedro ha participado en una lotería semanal durante los dos últimos meses. Hasta ahora no ha ganado nunca, pero decide continuar por la siguiente razón: “la lotería es un juego basado en la suerte. A veces gano, a veces pierdo. Yo ya he jugado muchas veces, y nunca he ganado. Por lo tanto, estoy más seguro que antes de que ganaré en alguna partida próxima”. ¿Cuál es tu opinión sobre la explicación de Pedro? 5.5 Pedro y Pablo juegan a ver quién completa más puntos al lanzar cinco veces un dado. Cuando cada uno ha realizado cuatro tiradas, Pedro lleva 13 puntos y Pablo lleva 16, ¿cuáles son las probabilidades de ganar, empatar y perder de cada uno de los jugadores? 5.6 Suponga que se permutan al azar las cifras del número 5 034, ¿cuáles son las probabilidades de los siguientes eventos?
a) Se obtiene un múltiplo de 3; b) Se obtiene un múltiplo de 5; c) Se obtiene un número mayor que d) Se obtiene un múltiplo de 10; 4 000; e) Se obtiene un múltiplo de 9; f) Se obtiene un número entre 3 000 y 4 000.
5.7 Un agente de ventas sabe que la probabilidad de hacer una venta a un cliente es ½. a) Si un día atiende a cinco clientes, ¿cuál es la probabilidad de que realice dos o más ventas? b) Resuelva el inciso a) suponiendo que la probabilidad de realizar una venta es del 60%. 5.8 A un prisionero se le entregan cuatro canicas blancas, cuatro negras y dos bolsas, y se le pide que distribuya, como quiera, las canicas dentro de las bolsas; pero se le previene de que luego deberá escoger una bolsa al azar y extraer una canica sin mirar dentro: - Si sale una canica blanca, será liberado y se le entregarán 1000 monedas de oro; - Si sale una negra, será decapitado por el verdugo del reino. ¿Cómo le conviene al prisionero distribuir las canicas en las bolsas? Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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5.9 Una secretaria escribió tres cartas a tres personas diferentes, pero se equivocó al introducirlas en los sobres y no se fijó qué carta metió dentro de cada sobre; ¿cuál es la probabilidad de que cada carta haya quedado en el sobre correcto?, ¿de que ninguna? 5.10 En una fábrica de frascos para perfumería hay dos máquinas que producen la totalidad de los artículos. - La máquina “López” produce el 70% de los frascos, mientras que la máquina “Pérez” produce el 30% restante. - El 5% de los artículos producidos por la máquina “López”, y el 8% de los producidos por la máquina “Pérez” resultan con algún defecto. ¿Qué porcentaje de los frascos producidos en la fábrica resulta defectuosos?, ¿qué porcentaje de los artículos defectuosos proviene de la máquina “Pérez”? 5.11 Un vendedor de automóviles tiene 75 vehículos clasificados en tres categorías: A, B y C. De ellos los de A tienen tracción delantera, los de B son compactos y los de C tienen transmisión automática. Los automóviles se distribuyen de acuerdo a la figura anexa. Supongamos que un comprador llega al lote y desea elegir al azar un automóvil que va a adquirir. Determine la probabilidad de que el automóvil elegido: a) Sea compacto;
b) Sea compacto sin transmisión automática; c) Tenga tracción delantera y sea c) Tenga tracción delantera; compacto; d) Tenga tracción delantera o sea d) Tenga tracción delantera o no sea automático; compacto.
A
B 1 2
7
1 5
4 8
C
8 1 0
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
1 1
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Lección 4 Simulación En lecciones anteriores las situaciones o experimentos hacen referencia a objetos como monedas, dados y ruletas, entre otros, e inclusive, manipulándolos físicamente, hemos realizado tareas encaminadas a esclarecer nociones probabilísticas, algunas de las cuales realmente se muestran como comportamientos a la larga. En el ámbito probabilistico la expresión “comportamiento a la larga” la entenderemos como una característica que tiende a observarse tras muchas replicas de una situación o de un experimento, un patrón común en lo general, una regularidad o una tendencia límite. Podemos decir que la observación de comportamientos a la larga constituye un medio importante para la construcción de intuiciones que sustentan a las nociones probabilísticas, sin embargo esto no resulta fácil y más aún tomando en cuenta que realmente llevar a cabo muchas replicas de un experimento dado enfrenta limitaciones de diversa índole. Una alternativa ante tal problemática puede ser encontrada con apoyo de dispositivos proporcionados por la tecnología de la información y la comunicación, como lo son calculadoras y computadoras, en combinación con una estrategia matemática llamada simulación, que permite hacer muchas replicas de varios experimentos aleatorio, y también resolver problemas diversos. La simulación se basa en la obtención de números aleatorios y en una transformación adecuada de ellos. Los números aleatorios que proporciona un dispositivo tecnológico semejan los resultados de un sorteo y el tipo más básico de estos corresponde a sortear números mayores o iguales que cero y menores que uno. Dispositivos tecnológicos como los mencionados cuentan entre sus funciones o variantes de software con instrucciones que proporcionan números aleatorios del tipo señalado como básico (“Rnd#”, “rand()”,“aleatorio()”, etc.) o para obtener números aleatorios más sofisticados y, en algunos casos, también la posibilidad de automatizar la generación de series tanto de tales números como de algún tipo de transformación deseada. La conjunción de la simulación con la tecnología, en las formas que tenemos planeado, dará lugar a lo que se conoce como un dispositivo virtual. Las actividades a continuación se han diseñado para servir de introducción a este tópico que ofrece un apoyo significativo a la didáctica de algunas nociones probabilísticas fundamentales. Situación 1. La simulación y el experimento de lanzar una moneda Considerando el tipo más básico de números aleatorios, agregando que estos se encuentran distribuidos uniformemente en el Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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intervalo [0,1)3, la convención de que obtener un número aleatorio menor que 0.5 significará sello y de que obtener uno mayor o igual que 0.5 significará águila bastará para poder simular el lanzamiento de una moneda con algún dispositivo que genere este tipo de números. Sin embargo ¿en qué forma y/o en qué medida podemos relacionar este proceso con el lanzamiento de una moneda?, ¿cómo nos proporciona información acerca del lanzamiento de una moneda? ¿Cómo extender este proceso a la simulación de lanzamientos de un dado, de hacer girar una ruleta, etc. o en la resolución de un problema bajo incertidumbre? Actividad 1: Simulación de lanzamientos de una moneda 1.1 En las líneas anteriores se ha sugerido cómo utilizar un dispositivo tecnológico para dar lugar a un dispositivo virtual que asemeja el lanzamiento de una moneda. Realice y anote el resultado de simular cinco lanzamientos de una moneda: 1er. Lanz.
2do. Lanz.
3ro. Lanz.
4to. Lanz.
5to. Lanz.
1.2 Considerando la idea de cómo se ha simulado el lanzamiento de una moneda, usando un dispositivo virtual, ¿qué semejanzas encontramos entre este y el dispositivo físico constituido por una moneda real? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 1.3 Efectúa ochenta simulaciones del lanzamiento de una moneda y registra en la tabla que aparece abajo los resultados de cada lanzamiento como A (águila) o S (sello), formando grupos de cinco resultados. Luego, contabilizando el número de águilas acumuladas en los grupos sucesivos o frecuencias (f) regístralo en la columna correspondiente así como su acumulación o frecuencias acumuladas (fa) y los resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos acumulados o frecuencias acumuladas relativas (far).
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Esto quiere decir que se producen números mayores o iguales que cero y menores que uno tienen y que todos ellos tienen igual posibilidad de ocurrir o ser producidos. Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Registro tabular: Simulación monedas Lanz. Acum. 5 10 15 20 25 30 35 40
Resultados
f
fa
far
Lanz. Acum . 45 50 55 60 65 70 75 80
Resultados
f
fa
far
1.4 Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haz una gráfica de puntos unidos por segmentos de recta como resumen de esta simulación de lanzamientos de una moneda. Además agrega gráficos correspondientes a los datos obtenidos por al menos dos compañeros. Registro gráfico: Simulación lanzamiento de monedas fa r 1 .00 0 .90 0 .80 0 .70 0 .60 0 .50 0 .40 0 .30 0 .20 0 .10
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
6 6 7 7 8 8 9 9 10 0 5 0 5 0 5 0 5 0 Número de lanzamientos acumulados
1.5 Enseguida describe lo más ampliamente posible el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas correspondiente a los lanzamientos simulados comparando lo aquí observado con lo que esperarías de realmente lanzar una moneda real. __________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 1.6 Cómo podríamos realizar la simulación de lanzamientos de una moneda doblada y qué resultados esperaríamos encontrar en una gráfica de frecuencias relativas como la anterior. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad 2: Simulación de lanzamientos de un dado Un esquema simple para ilustrar cómo extender el proceso de simular el lanzamiento de una moneda al caso del lanzamiento de un dado, apoyados en una calculadora científica, se ha bosquejado abajo. Para simular el lanzamiento de un dado - Obtener aleatorio
un número
- Multiplicarlo por 6 - Sumarle 1 - Tomar su parte entera
[Rnd#] [Rnd#]* 6 [Rnd#]* 6+1 5,
0
1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6}
{ 1,
2,
3,
6
6
4,
2.1 Efectúa noventa simulaciones del lanzamiento de un dado y registra en la tabla que aparece abajo los resultados de cada lanzamiento, en el renglón y columna correspondiente, con una diagonal (/) por cada resultado, en el entendido de que esto está dispuesto en tres grupos de treinta simulaciones. Luego, Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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contabilizando el total de resultados para cada valor de puntos, acumulando lo de los grupos sucesivos, anota las frecuencias en la columna correspondiente (f) y los resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos acumulados para obtener las frecuencias relativas que tienen una columna correspondiente (fr). Registro tabular: Simulación dados Punt Primeros 30 os resultados
f30
fr30
Siguientes 30 resultados
f60
fr60
Últimos 30 resultados
f90
fr90
1 2 3 4 5 6
2.2 Utilizando los valores de puntos posibles y las frecuencias relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, distinguiéndolas de algún modo, haz tres gráficas de barras que resuman la evolución de esta simulación de lanzamientos de un dado. Registro gráfico: Simulación lanzamiento de dados fr 1 .00 0 .90 0 .80 0 .70 0 .60 0 .50 0 .40 0 .30 0 .20 0 .10
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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1
2
3
4
5
6
Puntos en lanzamiento de un dado
2.3 Compara tu gráfica con la obtenida por al menos dos compañeros y enseguida describe lo más ampliamente posible el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas correspondiente a los lanzamientos simulados comparando lo aquí observado con lo que esperarías de realmente lanzar un dado. _______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad 3: Simulación de selección de bolas en una urna Consideremos una urna conteniendo cinco canicas azules y tres blancas, de la que planeamos hacer extracciones sin ver y asegurándonos de revolver las canicas cada vez. Un procedimiento alternativo a la realización física de dichas extracciones sería su simulación, que para el caso de que las extracciones sean con reemplazo y con el apoyo de una calculadora científica se esquematiza enseguida . Para simular extracciones de una urna con cinco canicas azules (A) y tres blancas (B) - Obtener aleatorio
un número
- Multiplicarlo por 8
[Rnd#]
0
1
[Rnd#]* 8
0
1
- Tomar su parte entera - Decisión
7,
8 }
2
3
{ 1,
un número de 1 a 5 un número de 6 a 8
{
A
4
5
2,
3,
,
B
6
7 8
4,
5,
6,
}
3.1 Realiza noventa grupos de tres simulaciones, contabiliza en cada uno de ellos el número de bolas blancas y registra los números resultantes en la siguiente tabla. Registro tabular: Simulación extracciones con reemplazo Canic as Primeros 30 blanc resultados as 0 1 2
f30
fr30
Siguientes 30 resultados
f60
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
fr60
Últimos 30 resultados
f90
fr90
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3
¿Qué puedes decir acerca de la probabilidad de obtener cero canicas blancas? ¿y dos canicas blancas? _________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.2 ¿Qué ajustes harías al esquema presentado para realizar simulaciones de extracciones de una urna con 4 canicas azules y 6 blancas? ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Y si en lugar de modificar el número de canicas de cada color cambiamos a extracciones sin reemplazo? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.3 ¿Cómo podrías utilizar estos esquemas para estimar probabilidades, por ejemplo de que eligiendo al azar un par de dígitos, uno por uno, se obtenga dos números iguales? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.4 Realizando las simulaciones que consideres necesarias estima la probabilidad de obtener dos canicas blancas si se realizan extracciones sin reemplazo de una urna que contiene 4 canicas azules y 6 blancas. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.5 ¿Qué analogías, semejanzas o diferencias pudiéramos establecer entre la simulación estas ideas de simulación y lo que ocurre en situaciones reales de incertidumbre? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.6 Qué opinión tienes acerca del lugar o momento en que se trabajaron las ideas de simulación en el presente módulo así como de Variación 50 Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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la importancia que se le debiera brindar a este tópico en la escuela secundaria. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad 4: Problemas diversos Utiliza las ideas de simulación que hemos venido trabajando para resolver los siguientes problemas. 4.1 Un matrimonio tiene cuatro hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que sean 3 mujeres y 1 varón? ______________________________________________________________ 4.2 Si se obtienen un número con cada una de las siguientes ruletas, ¿cuál es la probabilidad de que su producto sea impar? ___________________________________
4.3 Un vendedor sabe que al visitar cada cliente, la probabilidad de hacer una venta es 1/2: a) Un día tiene cita con cinco clientes, ¿cuál es la probabilidad de que realice dos o más ventas? b) ¿Con cuántos clientes debe hacer cita para estar relativamente seguro de que hará al menos dos ventas? c) Resuelva el inciso a) suponiendo que la probabilidad de realizar una venta es del 60%. 4.4 En el experimento esquematizado en la figura siguiente ¿cuál es la probabilidad, en cada caso, de que la bola caiga en un recipiente blanco? ¿Y en un recipiente negro?
4.5 Pedro y Pablo juegan a ver quién completa más puntos al lanzar cinco veces un dado. Cuando cada uno ha realizado cuatro tiradas, Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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Pedro lleva 13 puntos y Pablo lleva 16, ¿cuáles son las probabilidades de ganar, empatar y perder de cada uno de los jugadores? 4.6 Suponga que se permutan al azar las cifras del número 5 034, ¿cuáles son las probabilidades de los siguientes eventos? a) Se obtiene un múltiplo de 3; b) Se obtiene un múltiplo de 5; c) Se obtiene un número mayor que d) Se obtiene un múltiplo de 10; 4 000; e) Se obtiene un múltiplo de 9; f) Se obtiene un número entre 3 000 y 4 000.
4.7 A un prisionero se le entregan cuatro canicas blancas, cuatro negras y dos bolsas, y se le pide que distribuya, como quiera, las canicas dentro de las bolsas; pero se le previene de que luego deberá escoger una bolsa al azar y extraer una canica sin mirar dentro: - Si sale una canica blanca, será liberado y se le entregarán 1000 monedas de oro; - Si sale una negra, será decapitado por el verdugo del reino. ¿Cómo le conviene al prisionero distribuir las canicas en las bolsas? 4.8 Un pastelero mezcla 25 pasitas en la masa para fabricar 100 panquecitos, ¿cuál es la probabilidad de que en un panquecito se vayan 0, 1, 2, 3, ... pasitas?
Variación Hugues, G.E., , Urrea, B.M.A.
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