Lección 5 Magnetostática 1.

Introducción.

1

2.

Fuerza ejercida por un campo magnético. Ley de Lorentz.

1

3.

Pares de fuerza sobre espiras. Momento magnético.

4

4.

Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnético.

9

4.1.

Selector de velocidades.

11

4.2.

Efecto Hall.

12

5.

Campo magnético creado por una carga puntual.

13

6.

Campo magnético creado por corrientes estacionarias. Ley de Biot y Savart.

14

7.

Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas. Definición de Amperio.

19

8.

Circulación del Campo Magnetostático. Ley de Ampère. Aplicaciones.

20

Lección 5. Magnetostática.

1.-

1

Introducción. Los primeros fenómenos magnéticos observados por el hombre estaban

ligados a los llamados imanes naturales que, como es sabido, tienen la propiedad de atraer al hierro; pero el estudio de tales fenómenos tuvo relativamente poca importancia hasta que en 1819 el físico danés Hans Christians Oersted (1777 –1851) puso de manifiesto los efectos magnéticos de la corriente eléctrica, al investigar las desviaciones experimentadas por una brújula situada en las proximidades de un conductor por el que circula una corriente. Actualmente se sabe que los fenómenos magnéticos se deben a fuerzas originadas por cargas eléctricas en movimiento; es decir, toda carga, además de crear un campo eléctrico dado por la Ley de Coulomb, cuando se desplaza respecto a un observador origina en el espacio que la rodea una nueva perturbación que constituye un campo magnético. Por tanto entre dos cargas móviles existen dos tipos de acciones mutuas: acciones o fuerzas del campo eléctrico (que se manifiestan tanto si se trata de cargas fijas como móviles), y acciones o fuerzas debido al campo magnético que, a diferencia de las primeras, sólo existen entre cargas que se mueven una respecto a otra. En consecuencia, y dado que una corriente eléctrica supone un movimiento de cargas, podemos afirmar que toda corriente eléctrica crea un campo magnético. Si la corriente es estacionaria, es decir, no es función del tiempo, el campo creado tampoco dependerá del tiempo y se denomina Magnetostático. En lo que sigue nos dedicaremos al estudio del campo Magnetostático, en temas posteriores estudiaremos el campo magnético producidos por corrientes no estacionarias.

2.- Fuerza ejercida por un campo magnético. Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula con carga q se

r

mueve con una velocidad v en una región del espacio donde se ha establecido un campo magnético, aparece sobre ella una fuerza que llamaremos Fuerza Magnética. Si conocemos en un punto la dirección del campo magnético (cuyo origen por ahora no interesa), por ejemplo, a partir de estudiar la orientación de una brújula y realizamos una experiencia con distintas cargas que se mueven con distintas velocidades en ese punto, se obtienen los siguientes resultados:

Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)

Lección 5. Magnetostática. •

2

r F

La fuerza es proporcional a la carga q de la partícula. La fuerza que actúa sobre una carga negativa es

r B

opuesta a la de una carga negativa con igual velocidad. •

α

r v

La fuerza es proporcional al módulo de la velocidad

r v. •

La fuerza es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad.

•

La fuerza es proporcional al seno del ángulo formado por el campo magnético y la velocidad de la partícula. Si la partícula se mueve en la dirección del campo magnético la fuerza es nula. Estos resultados se resumen en la siguiente ley:

r r r F = qv × B

[5.1]

r

r

donde se ha definido el vector Intensidad de Campo Magnético B . El valor de B se

r

encuentra comparando el valor de la fuerza con los de q, v , y α. La unidad SI del vector

intensidad

de

campo

magnético

r B

es

el

Tesla

(T),

que

será:

1 T = 1 N C ⋅ m ⋅ s −1 = 1 N A ⋅ m . Esta unidad es bastante grande y se suele utilizar una unidad menor llamada Gauss (G) cuya equivalencia es 1 T = 104 G. Cuando una partícula se mueve en una región en la que hay tanto una campo

r

r

eléctrico E como uno magnético B , la fuerza total que experimentará será la suma de las fuerzas debidas a ambos campos.

r r r r F = q(E + v × B )

[5.2]

a esta expresión se le suele denominar Fuerza de Lorentz.

r Ejemplo: una carga positiva de 1 µC se mueve con una velocidad v = 10 5 iˆ + 10 5 ˆj m/s en el interior de un campo magnético B = 2iˆ + 2kˆ T. Calcular la fuerza magnética que actúa sobre la carga. Utilizando la ecuación [5.1] tenemos:

ˆj iˆ r F = 10 −6 10 5 10 5 2 0

kˆ 0 = 0.2 iˆ − ˆj − kˆ N 2

(

)

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Lección 5. Magnetostática.

3

r B

Si por un hilo conductor situado en el interior de un campo magnético circula una

r Id l

corriente, existe una fuerza que se ejerce sobre el conductor que es simplemente la suma de

r F

las fuerzas magnéticas sobre las partículas cargadas que constituyen la corriente.

Si la corriente está constituida por un solo tipo de partículas de carga q, la

r

r

r

fuerza sobre cada carga será qv × B siendo v la velocidad de desplazamiento de las cargas. Si hay n cargas por unidad de volumen y A y l son, respectivamente la sección y la longitud del hilo tendremos:

r r r r r r r F = (qv × B) nAl = qnvAl × B = I l × B

[5.3]

r

donde l es un vector cuyo módulo es la longitud del hilo y su dirección es paralela a

r qv . Si el conductor es de forma arbitraria, se puede dividir en elementos de corriente

lo suficientemente pequeños para que puedan ser considerados como rectilíneos, en este caso, la fuerza que actúa sobre dicho elemento será:

r r r r r r dF = Id l × B ⇒ F = ∫ Id l × B l

[5.4]

Ejemplo: Por un conductor recto de longitud l =2 m, situado a lo largo del eje X, circula una intensidad de corriente de 5 A en sentido negativo. Determinar la fuerza

r

que ejerce el campo magnético uniforme B = 6iˆ + 4 ˆj + 2kˆ T. La fuerza que actúa sobre un conductor rectilíneo está dada por la ecuación [5.3], el elemento de corriente es en este caso

(

)

r I l = 5 A ⋅ − 2iˆ m = −10iˆ A ⋅ m de forma que la fuerza sobre el hilo es:

iˆ r r r F = I l × B = − 10 6

ˆj 0 4

kˆ 0 = 20 ˆj − 40kˆ 2

y se comprueba que, como era de esperar, la componente del campo según el eje X no influye en el resultado.

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Lección 5. Magnetostática.

4

3.- Pares de fuerza sobre espiras. La fuerza ejercida por un campo magnético constante sobre un conductor de forma arbitraria por el que circula una corriente estacionaria I es:

( )

r r r r r r r F = ∫ Id l × B = I ∫ d l × B = I l × B C

[5.5]

c

r

Siendo l el vector resultante de la suma de todos los

r

elementos d l . Si el conductor es un circuito cerrado se tendrá que

( )

r Id l

r l

r r r F = I ∫ dl × B = 0 C

[5.6]

Luego la fuerza neta sobre el conductor es nula y el circuito no se verá acelerado. Esto no

implica

que

el

circuito

no

pueda

experimentar un par de fuerzas que lo haga rotar sobre su eje. Para ilustrar esta afirmación, supongamos un circuito cerrado (espira) por la que circula una intensidad I en el seno de un campo magnético constante, tal y como se muestra en la figura. Según se deduce de la ecuación [5.6] no existe una fuerza neta sobre la espira ya que el campo es uniforme. Lo que si existe es un par de fuerzas que provocará el giro de la espira sobre el eje que hemos dibujado. Las fuerzas magnéticas experimentadas por los segmentos superior e inferior

r ( Fm ) no provocan el giro de la espira (es decir no constituyen un par de fuerza) ya que tienen la misma dirección y sentido opuesto. Las fuerzas responsables del giro son las que experimentan los segmentos laterales de la espira ( Fm' ) que constituyen un par de fuerzas (es decir no están aplicadas sobre la misma línea de acción). Esto se puede apreciar la siguiente figura en la que se muestra la espira vista desde el segmento superior. Para determinar el efecto de este par de fuerzas debemos conocer el momento que ejerce.

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Lección 5. Magnetostática.

5 El módulo del momento de este par de fuerzas está dado por:

M = Fd = FL sen α

[5.7]

y como

Fm' = IL´ B

[5.8]

entonces

M = IL' LB sen α = ISB sen α

[5.9]

Siendo S = LL´ la superficie de la espira. La ecuación [5.9] se puede escribir de forma vectorial como

r r r M = IS × B

[5.10]

Llegados a en este punto, resulta útil definir nueva magnitud

r r m = IS

[5.11]

que se denomina momento magnético de la espira y cuyas unidades en el S.I. son A⋅m2. En función del momento magnético de la espira, la ecuación [5.10] se expresa como:

r r r M = m× B

[5.12]

Como consecuencia de lo anterior podemos afirmar que una espira cerrada de forma arbitraria en un campo magnético experimenta un par de fuerzas que tiende a alinear su momento magnético con el campo. Este resultado es muy importante para el estudio de los medios materiales magnéticos. Este resultado, que se ha deducido para una espira rectangular, es válido para cualquier espira de forma arbitraria. El momento sobre cualquier espira es igual al producto vectorial del momento magnético de la espira por el campo. Es frecuente que una espira esté formada por varias vueltas muy apretadas de hilo conductor (de longitud despreciable) es evidente que en este caso la superficie efectiva de la espira será N veces la superficie de una vuelta, de forma que el momento magnético de una espira de este tipo será igual al numero de vueltas N por el momento magnético de una espira

r r m = NIS

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[5.13]

Lección 5. Magnetostática.

6

Conviene recordar que, tal y como se indicó en la lección 1, el momento

r

r

r

ejercido por un campo eléctrico sobre dipolo es M = p × E . Si comparamos las ecuaciones

r r r r r r M = m × B; M = p × E

[5.14]

correspondientes al momento experimentado por una espira en un campo magnético y por un dipolo en un campo magnético, vemos que ambas ecuaciones son formalmente análogas. Por tanto, una espira de corriente en un campo magnético se comporta del mismo modo que un dipolo eléctrico en un campo eléctrico. Por esto a las espiras de corriente se les denomina dipolos magnéticos.

r m

Por analogía con el estudio hecho para el dipolo eléctrico, la energía acumulada al hacer girar un dipolo magnético contra las fuerzas del campo será:

r r U = −m ⋅ B

[5.15]

Para el estudio de las propiedades magnéticas de la materia se supone que esta está constituida por espiras elementales que pueden orientarse en la dirección del campo magnético aplicado. Cuando esto ocurre decimos que el material se ha magnetizado. Ejemplo, Una espira rectangular de lados a = 0.1 m y b = 0.4 m está situada tal y como se indica en la figura. Existe un campo magnético constante B = 10 −2 ˆj T. Calcular la fuerza que actúa sobre cada lado de la espira y el momento sobre la misma si está recorrida por una corriente eléctrica de 5 A. Calcularemos

la

fuerza

sobre

cada

z 2

segmento de espira aplicando la ecuación [5.3].

r Segmento 1-2: l12 = 0.1kˆ m

3

ˆj iˆ kˆ r r r F12 = Il12 × B = 5 ⋅ 0 0 0.1 = −5 ×10−3 iˆ N x 0 10−2 0 r

(

a

)

y

1 30º 4

(

)

Segmento 2-3: l 23 = 0.4 sen 30º iˆ + 0.4 cos 30º ˆj m = 0.2 iˆ + 0.2 3 ˆj m

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b

Lección 5. Magnetostática.

7

ˆj iˆ kˆ r r r F23 = I l23 × B = 5 ⋅ 0.2 0.2 ⋅ 3 0 = 10−2 kˆ N 0 10−2 0 r

r

Segmento 3-4: l 34 = − l12 = −0.1kˆ m

ˆj iˆ kˆ r r r F34 = I l34 × B = 5 ⋅ 0 0 − 0.1 = +5 ×10−3 iˆ N 0 10−2 0 r

(

r

)

(

)

Segmento 4-1: l 41 = − l 23 = − 0.4 sen 30º iˆ + 0.4 cos 30º ˆj m = − 0.2 iˆ + 0.2 3 ˆj m

ˆj iˆ kˆ r r r F41 = I l41 × B = 5 ⋅ − 0.2 − 0.2 ⋅ 3 0 = −10−2 kˆ N 0 10−2 0 Vemos que la fuerza neta sobre la espira es cero como era de esperar, en efecto:

r r r r r Fneta = F12 + F23 + F34 + F41 = −5 × 10 −3 iˆ N + 10 −2 kˆ N + 5 × 10 −3 iˆ N − 10 −2 kˆ N = 0 Para calcular el momento que experimenta la espira, hemos de conocer el

r

r

momento magnético de la misma que viene dado por la ecuación [5.11] ( m = IS ). Para calcular el momento magnético hemos de conocer el vector superficie de la espira que, como definimos en la lección 1, tendrá como módulo la superficie de la espira (0.04 m2) y como sentido el de avance de un tornillo a derechas que gire con la intensidad que recorre la espira.

) (

)(

)

r r r m = IS = I S nˆ = (5 A) ⋅ 0,04 m 2 ⋅ − sen60º iˆ + cos 60º ˆj = − 0.1 ⋅ 3 iˆ + 0.1 ˆj A ⋅ m 2

(

y aplicando la ecuación [5.12]

ˆj iˆ kˆ r r r M = m × B = − 0.1 ⋅ 3 − 0.1 0 = − 3 ⋅ 10 −3 kˆ N ⋅ m

(

0

10

−2

)

0

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Lección 5. Magnetostática.

8

4.- Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético. Una característica importante de la fuerza magnética que se deduce inmediatamente de la expresión [5.1] es que siempre es perpendicular a la velocidad (y por tanto a la trayectoria) de forma que el trabajo que realiza al mover la carga es nulo. Esto implica que la fuerza magnética no produce cambio alguno en la energía cinética de la partícula, ya que, según establece la mecánica en el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo de una fuerza sobre una partícula es igual a la variación de energía cinética de la partícula. Por tanto la velocidad de una partícula cargada sometida a una fuerza magnética permanece constante en módulo pudiendo cambiar sólo en sentido1. Si una partícula de masa m y carga q penetra perpendicularmente a un campo

r

magnético uniforme B obtendremos:

r qvB r r v ⊥B ⇒ F = qvB ⇒ a = m

[5.16]

esta aceleración debe ser centrípeta ya que el módulo de la velocidad permanece constante con lo que:

a=

v 2/ qv/ B mv = ⇒r= r m qB

[5.17]

con lo que si B = cte el radio es constante, y la partícula describirá un movimiento circular de frecuencia angular dada por:

v = ωr ⇒

qBr q = ωr ⇒ ω = B m m

[5.18]

Como se deduce la ecuación anterior la frecuencia de giro sólo depende de la relación carga masa de las partícula y del campo aplicado. El periodo del movimiento (tiempo que tarda la partícula en describir una circunferencia completa será:

1

Conviene recordar que según establece la cinemática, las componentes intrínsecas de la aceleración r r2 r están dadas por ar = d v uˆ t + v uˆ n donde v es la velocidad de la partícula y r es el radio de curvatura dt r de la trayectoria. El primer término es la componente de la aceleración tangente a la trayectoria (aceleración tangencial) y la segunda la componente normal (aceleración normal o centrípeta). Evidentemente si la velocidad es constante en módulo, la componente tangencial se anula.

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Lección 5. Magnetostática.

9 T=

2π

ω

2πm qB

=

[5.19]

En general si la partícula penetra con un cierto ángulo respecto al campo el movimiento será helicoidal de radio constante. Si el campo varia de un punto a otro del espacio, B=B(x,y,z), el radio de la hélice será variable obteniéndose, en general un movimiento helicoidal de paso variable.

En el ejemplo dibujado, si el campo es muy intenso en los extremos, la partícula puede quedar confinada el la estructura de líneas de campo en lo que se denomina una botella magnética. Ejemplo 2. Un electrón y un protón inciden perpendicularmente en una región del espacio en la que hay establecido un campo magnético de 5 mT y con una velocidad de 3×106 m/s. Determinar el radio de la órbita descrita por cada uno de ellos así como la frecuencia y el periodo de su movimiento. Datos: qe=-1.609×10-19 C, me= 9.1×10-31 kg, qp=1.609×10-19 C, mp= 1.67×10-27 kg. Supondremos

que

el

campo

magnético entra perpendicularmente en el

rP

plano del a hoja y que las partículas inciden desde abajo hacia arriba tal y como

re

se ve en la figura. El radio del la trayectoria del protón es:

rp =

mpv qpB

=

+

(1.67 × 10 kg )⋅ (3 × 10 m s ) = 6.2 m (1.609 × 10 C )⋅ (5 × 10 T ) −27

6

−19

−3

para el electrón tendremos que

( (

)( )(

) )

me v 9.1 × 10 −31 kg ⋅ 3 × 10 6 m s re = = = 0.0034 m q e B 1.609 × 10 −19 C ⋅ 5 × 10 −3 T

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-

Lección 5. Magnetostática.

10

como vemos el radio de la trayectoria del electrón es mucho menor que la del protón debido a su menor masa. El protón gira en sentido horario mientras que el electrón lo hace en sentido horario, esto se puede deducir simplemente analizando el sentido de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada partícula. Este hecho se utiliza para discriminar la carga de las partículas subatómicas en experimentos científicos. La frecuencia de cada partícula es

ωp =

ωe =

qp mp

1.609 × 10 −19 C 5 × 10 −3 T = 4.8 × 10 5 rad s ; − 27 1.67 × 10 kg

B=

qe 1.609 × 10 −19 C 5 × 10 −3 T = 8.8 × 10 −8 rad s ; B= −31 me 9.1 × 10 kg

y finalmente el periodo

Tp =

2π

ωp

= 1.3 × 10 −5 s ; Te =

2π

ωe

= 7.1 × 10 −9 s

4.1.- Selector de velocidades. En muchos dispositivos es necesario disponer de partículas cargadas cuya velocidad sea conocida, para esto se utilizan los selectores de velocidad. Se basan en que es posible equilibrar la fuerza magnética que experimenta una partícula cargada mediante un campo eléctrico, siendo este equilibrio sólo válido para partículas de una determinada velocidad. En efecto para que una partícula atraviese sin desviarse la región de la figura en la que coexisten un campo eléctrico y uno magnético

perpendiculares

debe

cumplirse que:

qvB = qE ⇒ v =

E B

[5.20]

De forma que cualquier partícula con esta velocidad independientemente de su masa o carga atravesará el espacio sin desviarse. Una partícula de velocidad mayor se desviará en ele sentido de la fuerza magnética y una de velocidad menor lo hará en el de la fuerza eléctrica.

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Lección 5. Magnetostática.

11

4.2.- Efecto Hall. Una manifestación especialmente importante de la Fuerza de Lorentz la constituye el efecto Hall. Supongamos que introducimos un conductor por el que circula una

r

corriente I en el seno de un campo magnético uniforme B perpendicular al sentido de

r

r

la corriente (realmente al sentido del vector densidad de corriente J = qnv ).

Entonces sobre cada una de las cargas móviles actuará una fuerza de Lorentz que desviará las partículas cargadas (en este caso hacia arriba). Esto provocará la aparición de un campo interno (creado por las cargas acumuladas) dirigido hacia debajo que tiende a compensar la fuerza magnética. Cuando se alcance el equilibrio se cumplirá que E = vB , de forma que si w es la anchura del conductor, la diferencia de potencial entre los bordes debido a la carga acumulada (potencial de Hall) es:

V H = Ew = vBw

[5.21]

A partir del potencial de Hall se pueden determinar la densidad de portadores n o el campo magnético aplicado (sonda Hall). En efecto, si l es el espesor del conductor y S su sección (S=wl) tendremos que

I = qnvS ⇒ n =

B=

I I IB = = qvS qvwl qlV H

qlnVH I

[5.22]

[5.23]

el efecto Hall se utiliza, por ejemplo, parar determinar si una muestra de material semiconductor es tipo N o P.

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