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LECTURA 07: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE II) LA MEDIANA Y LA MODA TEMA 17: LA MEDIANA Y LA MODA 3. LA MEDIANA: Es una medida de tendencia central que divide al total de n observaciones debidamente ordenadas o tabuladas en dos partes de igual tamaño, cada una con el 50% de los datos observados. Notación: Me. 3.1. Formas de cálculo 3.1.1. Para datos no agrupados: Para calcular la mediana, los n datos originales se ordenan en forma ascendente o descendente, luego se halla el lugar en donde se encuentra la mediana (lugar = (n + 1)/2) y finalmente se determina su valor. Se presenta dos casos: i) Para un número par de datos: La mediana será el promedio de los dos valores centrales.. Ejemplo 7: Calcular e interpretar la mediana del Ejemplo 1 de la sesión de aprendizaje 07: Xi : 650, 750, 850, 1000, 750, 820, 850, 1200, 1000, 1000 Solución: • Ordenando en forma ascendente 650 750 750 820 850 850 1000

1000

1000

12000

Lugar 5.5 •

Ubicando el lugar en donde se encuentra la Me n + 1 10 + 1 Lugar = = = 5.5 2 2

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Cuando se tiene un número par de datos la mediana será el valor será el promedio de los dos valores centrales: 850 + 850 Me = 2 Me = 850 soles.

•

Interpretación: El 50% de los trabajadores tienen un ingreso máximo de 850 soles , no más del 50% supera dicho ingreso.

ii) Para un número impar de datos: La mediana será el valor que está ocupando la posición central. Ejemplo 8: Los siguientes datos corresponden a los tiempos de acceso en minutos a 11 Páginas Web cargadas por la tarde en el horario de 14 a 15 horas desde un ordenador domestico: Xi: 2.9, 1.4, 1.2, 3.4, 1.3, 2.5, 1.6, 1.8, 2.3, 1.5, 1.0 Solución: •

Ordenando los datos en forma ascendente 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2.3 2.5

2.9 3.4

Lugar 6 •

Hallando el lugar en donde se encuentra la mediana:

Lugar =

•

n + 1 11 + 1 = = 6 2 2

Cuando se tiene un número impar de datos la mediana será el valor que está ocupando la posición central.

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Interpretación: El 50% de las páginas Web son cargadas en un tiempo de acceso máximo de 1.6 minutos., el otro 50% supera dicho tiempo.

3.1.2. Para datos agrupados 3.1.2.1. La mediana cuando la variable es cuantitativa discreta: Cuando la variable es cuantitativa discreta y los datos se encuentra agrupados la mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea la primera en exceder a n/2, así: Me = Xi

tal que:

Fi > n/2 “i” determina clase en donde se encuentra la Me.

Ejemplo 9: Calcular e interpretar la mediana de los datos de la tabla N° 07 de la sesión de aprendizaje 07:

i 1 2 3 4 5 6

N° de cabinas

Tabla N° 11 N° de cibernautas

yi

fi

Fi

40 45 50 55 60 65 Total

10 20 40 15 10 5 100

10 30 70 85 95 100 -

Aquí vemos que n = 100, luego n/2 = 50 Entonces la primera frecuencia acumulada que excede a

n = 50 es 70, esto es: 2

70 > 50 F3 > 10 “i = 3”, la mediana se encuentra en la 3ra. clase. Me = 50 cibernautas _________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. Fecha : Diciembre 2007 Versión :1

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Interpretación: Al 50% de las cabinas acuden como máximo 50 cibernautas durante el mes anterior, el otro 50% de las cabinas supera dicho número. 3.1.2.2. La mediana cuando la variable es cuantitativa continua: Para calcular la mediana cuando la variable es cuantitativa continua se utilizará la siguiente fórmula: [ n / 2 − Fi − 1 ] Me = LI (i ) + Ci × fi Se debe cumplir la siguiente relación: Fi − 1 ≤

n < Fi 2 “i” determina el intervalo en donde se encuentra la Me.

Cuando: n Fi − 1 = 2 La mediana está dado por: Me = LI (i ) Además: LI (i )

:

Límite inferior del intervalo en donde se encuentra la Me.

Ci

:

Amplitud o ancho del intervalo en donde se encuentra la Me.

n

:

Número de observaciones de la muestra.

Fi − 1

:

Frecuencia acumulada inmediata anterior al intervalo en donde se encuentra la Me.

fi

:

Frecuencia absoluta del intervalo en donde se encuentra la Me

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Ejemplo 10: Calcular e interpretar la mediana de los datos de la Tabla N° 09 de la sesión de aprendizaje 07: Solución:

i 1 2 3 4 5

LI [25 [30 [35 [40 [45

Edad en en años LS 30) 35) 40) 45) 50) TOTAL

Tabla N° 12 N° de trabajadores fi 40 60 100 92 8 300

Fi 40 100 200 292 300 -

n = 150 2

Vemos que n = 300

y de acuerdo a la relación dada tenemos: 100 < 150 < 200 F2 < 150 < F3 “i = 3”, la mediana se encuentra en el 3er. intervalo. Reemplazando el subíndice i=3 en la fórmula y los valores correspondientes tenemos: Me = LI(3) + C3 ×

Me = 35 + 5 ×

[ n / 2 − F2 ] f3

[ 150 − 100] 100

Me = 37.5 años.

Interpretación: El 50% de los trabajadores tienen una edad máxima de 37.5 años, el otro 50% supera dicha edad. 3.2. Características: _________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. Fecha : Diciembre 2007 Versión :1

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La mediana es un estadígrafo que no está afectada por valores extremos muy altos o muy bajos y por lo tanto es más representativa que la media aritmética, o cuando las distribuciones son poco simétricas. Es útil cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos. Es una medida única; esto es, una distribución tiene solamente una mediana.

4. LA MODA: Es una medida de tendencia central que corresponde al valor de la variable que tiene frecuencia máxima. Notación: Md. Una distribución puede ser amodal sino tiene ninguna moda, unimodal si tiene una moda, bimodal si tiene dos modas y multimodal si tiene tres o más modas. En consecuencia es necesario considerar modas absolutas y modas relativas. 4.1. Formas de cálculo 4.1.1. Para datos no agrupados La moda será el valor que se repite el mayor número de veces. Ejemplo 11: Calcular e interpretar la moda del Ejemplo 1 de la sesíón de aprendizaje 07. Solución: Observamos que el valor que se repite frecuentemente es 850 y 1000. Entonces: Md = 850 y 1000 soles. Interpretación: El mayor número de trabajadores tiene un sueldo mensual de 850 y 1000 soles. Ejemplo 12: Calcular e interpretar la moda del coeficiente intelectual expresado en puntaje del siguiente grupo de alumnos. Xi: 95, 100, 105, 110, 95, 100, 110, 110, 95 Solución:

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Md = 95 y 110 Interpretación: El mayor número de alumnos tiene un coeficiente intelectual de 95 y 110 puntos. En este caso la serie es bimodal. 4.1.2. Para datos agrupados 4.1.2.1. La moda cuando la variable es cuantitativa discreta La moda será clase cuya frecuencia es máxima. Así: Md = yi Tal que: fi-1 < fi > fi + 1 “i” determina la clase en donde se encuentra la Moda Ejemplo 13: Calcular e interpretar la moda de los datos de la tabla N° 07 de la sesión de aprendizaje 07: Solución: Tabla N° 13 N° de N° de cabinas cibernautas f i

yi

1 2 3 4 5 6

40 45 50 55 60 65 Total

i

10 20 40 15 10 5 100

Observamos que la mayor frecuencia es 40 y se cumple que: 20< 40 > 15 f2 < f3 > f4 “i” = 3 la moda se encuentra en la 3ra. clase. Por lo tanto: Md = 50 cibernautas

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Interpretación: Al mayor número de cabinas acudieron 50 cibernautas durante el mes anterior. 4.1.2.2. La moda cuando la variable es cuantitativa continua: Para calcular la moda cuando la variable es continua se utilizará la siguiente fórmula: Md = LI(i) + Ci ×

d1 d1 + d 2

Se debe cumplir la siguiente relación: f i − 1 < fi > f i + 1 ' i ” determina el intervalo en donde se encuentra la Moda. Además: d1 = fi – fi-1 d2 = fi – fi+1 Ejemplo 14: Calcular e interpretar la moda de los datos dados en la tabla N°09 de la sesión de aprendizaje 07: Solución:

i 1 2 3 4 5

LI [25 [30 [35 [40 [45

Tabla N° 14 Edad en en años LS 30) 35) 40) 45) TOTAL

50)

N° de trabajadores fi 40 60 100 92 8 300

Observamos en la tabla N° 14 que la mayor frecuencia es 100 y se cumple que: 60 < 100 > 92 f2 < f3 > f4 i=3, la Md. se encuentra en el 3er. intervalo.

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d1= f3 – f2 = 100 – 60 = 40 d2= f3 – f4 = 100 – 92 = 8 Reemplazando el subíndice i=3 tenemos: d1 Md = LI(3) + C3 × d1 + d 2

en la fórmula y los valores correspondientes

 40  Md = 35 + 5 ×    48  Md = 39.17 años. Interpretación: El mayor número de trabajadores tiene 39.17 años.

4.2.

Características: • No se encuentra afectada por valores extremos. •

Puede usarse cuando los datos presentan clases abiertas en los extremos.

•

No es significativa a menos que la distribución contenga un gran número de datos y exista significativa repetición de alguno de ellos. Muchas veces la serie no tiene moda porque ningún valor se repite.

• •

Cuando la serie tiene dos, tres, o más modas, se hace difícil su interpretación y comparación.

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