SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO

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Lectura 1: Diseño de Sistemas de Control mediante el Lugar Geométrico de las Raíces 1

Lecturas recomendadas • •

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Cap. 10, pags. 714-759, Sistemas de Control Automático, KUO Benjamín, Séptima Edición. Cap. 7, pags. 404-427, Ingeniería de Control Moderna, OGATA Katsuhiko, Tercera Edición.

Introducción

El objetivo principal es presentar los procedimientos para el diseño y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan como especificaciones de desempeño. Por lo general se refieren a la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta. Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de desempeño se proporcionan en términos de valores numéricos precisos. Por lo general, las especificaciones de desempeño no deben ser más rigurosas de lo necesario para efectuar la tarea definida. Si la precisión de una operación en estado estable es de importancia vital para determinado sistema de control, no debemos solicitar especificaciones de desempeño más rígidas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, dado que tales especificaciones requerirían de componentes costosos. Establecer la ganancia es el primer paso encaminado a ajustar el sistema para un desempeño satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos, el solo ajuste de la ganancia tal vez no proporcione una alteración suficiente del comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estable pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) a fin de alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se requiere. Este nuevo diseño o adición de un dispositivo apropiado se denomina compensación. Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el desempeño con déficit del sistema original.

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Configuraciones del compensador

El diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado completo y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado. Compensación en serie (cascada): (Figura 1) es la más comúnmente utilizada con el controlador colocado en serie con el proceso controlado.

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r

+

ea

−

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µ

GC controlado r

GP

•

planta instr.

SERIE o CASCADA

H

lazo de control

Figura 1 Compensación en serie

Compensación en realimentación (en paralelo): (Figura 2) el controlador está colocado en la trayectoria menor de realimentación.

r

+ −

ea

G

+

GP

−

•

•

y

GC lazo menor de realimenta ción PARALELO o REALIMENTACIÓN

H

lazo de control

Figura 2 Compensación en realimentación

En general, la compensación en serie es más sencilla que la compensación mediante realimentación; sin embargo, aquélla requiere con frecuencia de amplificadores adicionales para incrementar la ganancia y/o ofrecer un aislamiento. (Para evitar la disipación de potencia, el compensador en serie se inserta en el punto de bajo nivel en la trayectoria directa.) Observe que, en general, la cantidad de componentes requerida en la compensación mediante realimentación será menor que la cantidad de componentes de la compensación en serie, siempre y cuando se tenga una señal adecuada, debido a que la transferencia se da de un nivel de potencia más alto a un nivel más bajo. (Esto significa que tal vez no se requiera de amplificadores adicionales.) Al analizar los compensadores, se suele utilizar términos como red de adelanto, red de atraso, y red de atraso-adelanto. Un compensador que tenga la característica de una red de adelanto, una red de atraso, o una red de atraso-adelanto se denomina compensador de adelanto, compensador de atraso, o compensador de atraso-adelanto, respectivamente.

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Procedimientos de diseño

Después que se ha escogido una configuración del controlador, el diseñador debe seleccionar un tipo de controlador que satisfaga las especificaciones de diseño. Uno de los controladores más utilizados en el PID, el cual aplica una señal al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la señal de actuación. Además de estos se cuentan con controladores o redes de adelanto, atraso y atrasoadelanto. Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar sus parámetros. Estos son coeficientes de una o más funciones de transferencia que conforman el controlador. A continuación se debe realizar la verificación del desempeño del sistema y en caso de ser necesario reajustar los parámetros del compensador. Se emplea la simulación mediante un paquete computacional para evitar gran parte de la complicación numérica necesaria en esta verificación Lectura 1: Diseño de Sistemas de Control mediante el LGR

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Una vez obtenido un modelo matemático satisfactorio, el diseñador debe construir un prototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo abierto, el diseñador cierra el lazo y prueba el desempeño del sistema en lazo cerrado resultante. Debido a los efectos de carga no considerados entre los componentes, la falta de linealidad, los parámetros distribuidos, etc, mismos que no se toman en consideración en el trabajo de diseño original, es probable que el desempeño real del sistema prototipo difiera de las predicciones teóricas. Por tanto, tal vez el primer diseño no satisfaga todos los requerimientos de desempeño. Mediante el enfoque de prueba y error, el diseñador debe cambiar el prototipo hasta que el sistema cumpla las especificaciones. Debe analizar cada prueba e incorporar los resultados de este análisis en la prueba siguiente. El diseñador debe ver que el sistema final cumpla las especificaciones de desempeño y, al mismo tiempo, sea confiable y económico.

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Enfoque del Lugar Geométrico de las Raíces

Al desarrollar un sistema de control, sabemos que la modificación adecuada de la dinámica de la planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones de desempeño. Sin embargo, tal vez esto no sea posible en muchas situaciones prácticas, debido a que la planta esté fija y no pueda modificarse. En este caso, deben ajustarse parámetros diferentes a los que tiene la planta fija. Se supone que la planta está definida y es inalterable. Por tanto, los problemas de diseño son aquellos que implican la mejora del desempeño de un sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema de control se reduce al diseño de un filtro cuyas características tiendan a compensar las característigcas inconvenientes o inalterables de la planta. El método del lugar geométrico de las raíces es un enfoque gráfico que permite determinar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicaciones de los polos y ceros en lazo abierto conforme algún parámetro (por lo general la ganancia) varía de cero a infinito. El método produce un indicio claro de los efectos del ajuste del parámetro. El enfoque del lugar geométrico de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se incorporan las especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. En la práctica, una gráfica del lugar geométrico de las raíces de un sistema indica que el desempeño deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia. De hecho, en algunos casos, tal vez el sistema no sea estable para todos los valores de ganancia. En este caso, es necesario volver a construir los lugares geométricos de las raíces para cumplir las especificaciones de desempeño. Cuando se diseña un sistema de control, si se requiere de un ajuste diferente al de la ganancia, debemos modificar los lugares geométricos de las raíces originales insertando un compensador conveniente. Una vez comprendidos los efectos de la adición de los polos y/o ceros sobre el lugar geométrico de las raíces, podemos determinar con facilidad las ubicaciones de los polos y los ceros del compensador que volverán a dar una forma conveniente al lugar geométrico de las raíces. En esencia, en el diseño realizado mediante el método del lugar geométrico de las raíces, los lugares geométricos de las raíces del sistema se vuelven a construir mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada. (A menudo se especifican el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia no amortiguada natural de un par de polos dominantes en lazo cerrado.)

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Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y alentar el asentamiento de la respuesta. La Figura 3 muestra ejemplos de los lugares geométricos de las raíces, que presentan el efecto de la adición de uno o dos polos a un sistema de un solo polo.

Figura 3 Efecto de la adición de polos

Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta. (Físicamente, la adición de un cero a la función de transferencia de la trayectoria directa significa agregar al sistema un control derivativo. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.) La Figura 4 muestra los lugares geométricos de las raíces para un sistema estable con una ganancia pequeña, pero inestable con una ganancia grande. Las Figuras 4 (b), (c) y (d) muestran las gráficas del lugar geométrico de las raíces para el sistema cuando se añade un cero a la función de transferencia en lazo abierto. Observe que, cuando se agrega un cero al sistema, éste se vuelve estable para todos los valores de ganancia.

Figura 4 Efecto de la adición de ceros

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Redes de Compensación r

+ −

e

GC

u

•

GP

y

s+z G = K C C Se trata del diseño del controlador: s+ p

K C = Ganancia de compensación (ajuste de ganancia)

donde:

z = valor del CERO de compensación p = valor del POLO de compensación

Para bajas frecuencias:

KC lim s →0

z s+z = K C   s+ p  p

→

Para altas frecuencias:

lim KC s →∞

s+z = KC s+ p

no depende de z y p

Para: s = jω

→

GC ( jω ) = K C

→

depende de z y p

jω + z jω + p

donde:

z ω  ω  = 20 log K C   + 20 log 1 +   − 20 log 1 +    z  p  p 2

GC ( jω ) db

2

ω  ω  ∠GC ( jω )° = tg −1   − tg −1   z  p

Si: z < p, se tiene una Red de Adelanto de fase (RED DE ADELANTO), puesto que:

ω  ω  tg −1   > tg −1   , ángulo (+) z  p Si: z > p, se tiene una Red de Atraso de fase (RED DE ATRASO), puesto que: Lectura 1: Diseño de Sistemas de Control mediante el LGR

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ω  ω  tg −1   < tg −1   , ángulo (-) z  p

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Compensador o Red de Adelanto

Se lo utiliza para mejorar la respuesta transitoria readaptando el lugar geométrico de las raíces del sistema original. El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geométrico de las raíces, mientras que el polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la parte readaptada por el cero. Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el lugar geométrico de las raíces (LGR) 1. De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Trazar el lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado cuya función de transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular Φ, este ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo LGR pase por las ubicaciones deseadas. 3. Se determinan α y T a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud. 4. Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño, de no ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. Ejemplo de diseño

r

s+z s+ p CONTROL

+

KC

−

4 s' ( s + 1) PLANTA

•

y

1) Se analiza las características de la PLANTA: ω n2 4 Y 4 GP = ⇒ = 2 = 2 s ( s + 1) R s + s + 4 s + 2ξω n s + ω nn donde:

ωn = 2 2ξωn = 1 ⇒ ξ = 0.25

% M p=

−

e

t s (2%) = 4τ =

πξ 1−ξ 2

4

ξω n

⋅ 100 = 44.4% = 8 [s]

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%E p =

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1 ⋅100 = 0 % 1+ K p

Por lo que se requiere mejorar el Transitorio, para lo cual se debe diseñar una Red de Adelanto. System: untitled1 Peak amplitude: 1.44 Overshoot (%): 44.4 Step Response At time (sec): 1.61

1.5

1

Amplitude

System: untitled1 Settling Time (sec): 7.06

0.5

0

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

2) Se analiza el LGR de la PLANTA:

jω

•

X

X

−1

0

σ

Los POLOS DESEADOS deben ubicarse con su parte real por lo menos en el límite – 1

p1, 2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2 entonces:

− 1 = −ξω n

⇒ ωn =

⇒

p d = −1 ± jω n 1 − ξ 2

1

ξ

además considerando %M p = 20% , se tiene ξ = 0.456 , para lo cual ω n = 2.193 . Lectura 1: Diseño de Sistemas de Control mediante el LGR

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Por lo tanto, el valor de los Polos Deseados, será: pd = −1 ± j1.952 Estos Polos Deseados deben pertenecer al LGR del Sistema Compensado, esto es: jω

j1.952 polos deseados O

X

•

X −1

X

0

σ

p>z − j1.952

RED de ADELANTO

3) Se calcula el ángulo de adelanto necesario LGR pase por los Polos Deseados.

φ A que debe entregar la Red para que el

Se aplica la condición de fase ∠GH ( jω )° = −180° El ángulo de la PLANTA viene dado por:

∠GP H (s)° s= p = −∠s p −∠( s + 1) p d

d

d

para:

p d = −1 + j1.952 ⇒ − ∠(−1 + j1.952) − ∠(−1 + j1.952 + 1) = −117.1° − 90° = −207.1° Entonces, para que alcance un ángulo de -180º, el ángulo de adelanto viene dado por: φ A = 207.1° − 180° = 27.1° . 4) Con el ángulo de adelanto POLO del Compensador.

φ A , se fija el valor del CERO y se determina el valor del

Así, si: z = 2 ⇒ ∠( s + 2) p −∠(s + p) p = φ A Entonces, para: pd = −1 + j1.952 ⇒ + ∠(−1 + j1.952 + 2) − ∠(−1 + j1.952 + p) = 27.1° d

d

se tiene que:  1.952   = 27.1° − 62.9° = −35.8° ⇒ − tg −1   −1+ p 

1.952 = tg (35.8°) = 0.72 → −1+ p

p = 3 .7

Donde: Lectura 1: Diseño de Sistemas de Control mediante el LGR

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KC

s+2 s + 3.7

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4 s' ( s + 1)

GC

=

K

s+2 s( s + 1)( s + 3.7)

GT

GP

5) Para el cálculo de la ganancia K = 4K C se aplica la condición de módulo, esto es:

GT

pd

=1 →

K

s+2 s( s + 1)( s + 3.7)

=1 pd

entonces, para: p d = −1 + j1.952 ⇒ K

−1 + j1.952 + 2 − 1 + j1.952 ⋅ − 1 + j1.952 + 1 ⋅ − 1 + j1.951 + 3.7

=1

donde: K = 6.5 ⇒ K C = 1.63 entonces:

r

+ −

1.63

s+2 s + 3.7

4 s' ( s + 1)

y

•

La Respuesta Temporal de este Sistema Compensado arroja los siguientes datos: %M p = 26.6% ωn = 2.28 [rad / s]

ξ = 0.441

t s (2%) = 3.76 [s] System: untitled1 Peak amplitude: Step1.27 Response Overshoot (%): 26.5 At time (sec): 1.49

1.4

1.2

1

Amplitude

System: untitled1 Settling Time (sec): 3.76 0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

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Por lo tanto, el aún no cumplir con las especificaciones, es necesario hacerle un ajuste fino al compensador. Así, considerando el valor del cero en s + 1.6 se tienen los siguientes resultados del Sistema Compensado: %M p = 18.3% ω n = 1.59 [rad / s] ξ = 0.632

t s (2%) = 2.64 [ s]

Step untitled1 Response System: Peak amplitude: 1.18 Overshoot (%): 18.3 At time (sec): 1.55

1.4

1.2 System: untitled1 Settling Time (sec): 2.63

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Time (sec)

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Compensador o Red de Atraso

Se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la respuesta transitoria, por lo que pretende no cambiar el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado. Generalmente se ubican el polo y el cero próximos entre sí y cerca del origen Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante el lugar geométrico de las raíces (LGR) 1. Trace el LGR para el sistema no compensado y con base a las especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el LGR. 2. Calcule la constante de error estático especificada en el problema. 3. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones. 4. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente el LGR original. 5. Trace el nuevo LGR del sistema compensado y ubique sobre este los polos en lazo cerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria.

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6. Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada. Ejemplo de diseño 16 s (s + 4 )

1) Se analiza las características de la PLANTA:

GP =

16 s ( s + 4)

Y 16 ω n2 = 2 = 2 R s + 4 s + 16 s + 2ξω n s + ω n2

⇒

ωn = 4

donde:

2ξωn = 4 ⇒ ξ = 0.5

% M

=e

−

πξ 1−ξ 2

p

t s (2%) = 4τ =

4

ξωn

⋅ 100 = 16.30% = 2 [ s]

Step Response System: untitled1 Peak amplitude: 1.16 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): 0.911

1.4

1.2

1

Amplitude

System: untitled1 Settling Time (sec): 2.02 0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Time (sec)

Como se observa este sistema no presenta problemas con su respuesta transitoria pero al analizar su constante de velocidad se obtiene KV = 4, por lo que el error de velocidad es de eV = 25% Por lo que se desea compensar su error de velocidad sin desmejorar su respuesta transitoria. Se pretende obtener un eV ≤ 5%, es decir se requiere un KV ≥ 20. Lectura 1: Diseño de Sistemas de Control mediante el LGR

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  16   = 4 Para el sistema original : KV = lim  s s →0   s(s + 4)    Ts + 1  16   Al poner en serie el compensador se tiene : KVcomp = lim  s K C β  s →0 βTs + 1  s(s + 4)    como se requiere que el KVcomp = 20 para el sistema compensado entonces :   Ts + 1  16  20  → K C β = 20 = lim  s K C β  =5 s →0 βTs + 1  s (s + 4 )  4   para que no se modifique el LGR → K C = 1, por lo que → β = 5 Escogiendo el cero del compensador lo más cercano al origen por ejemplo en - 0,05 → zC =

1 = 0,05 T

1 0,05 = = 0,01 βT 5 s + 0,05 Finalmente, el compensador de atraso diseñado es GC (s ) = K C s + 0,01

de ahí que el polo del compensador será → pC =

Reajustando el valor de K C → K C =

s (s + 4 )(s + 0,01) = 1,004 16(s + 0,05) s =polos en l.c.

y el aporte de fase del compensador es ∠1,004

s + 0,05 = −0,49º (debe ser < a 5º ) s + 0,01 s = polos en l.c.

Comprobando el compensador diseñado se observa que no se altera notablemente la respuesta transitoria del sistema.

System: untitled1 Peak amplitude: 1.18 Overshoot (%): 17.7 At time (sec): 0.928

1.4

Step Response

1.2 System: untitled1 Settling Time (sec): 1.47

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

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Compensador o Red de Atraso-Adelanto

La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta. Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, debe usarse en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso. La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que el compensador de atraso-adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado. El procedimiento de diseño implica realizar primero la compensación por adelanto y luego por atraso. Por esto tomando como base el ejemplo de la red de adelanto se tiene el siguiente sistema:

r

+ −

1.63

s+2 s + 3.7

4 s' ( s + 1)

•

y

donde Comprobando el funcionamiento del compensador total: s + 0.05 s + 2 GC (s ) = 1.63 s + 0.0088 s + 3.7   s + 2  4   = 3.52 Para el compensador de adelatnto + sistema original : K V = lim  s1.63  s →0 s + 3.7  s(s + 1)      Ts + 1  s + 2  4   1.63 Al poner en serie el compensador se tiene : K Vcomp = lim  s K C β  s →0 s + 3.7  s(s + 1)  βTs + 1    como se requiere que el K Vcomp = 20 para el sistema compensado entonces :   Ts + 1  s + 2  4  20  → K C β = 1.63 20 = lim  s K C β = 5.68  s →0 s + 3.7  s (s + 1)  3.52 β Ts + 1    para que no se modifique el LGR → K C = 1, por lo que → β = 5.68 Escogiendo el cero del compensador lo más cercano al origen por ejemplo en - 0,05 → z C =

1 = 0,05 T

1 0,05 = = 0,0088 β T 5.68 s + 0,05 Finalmente, el compensador de atraso diseñado es GC (s ) = s + 0,0088

de ahí que el polo del compensador será → p C =

Se presentan a continuación tanto el lugar geométrico de las raíces como la respuesta temporal del sistema total.

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