Lecturas 5, 6 y 7 Conceptos básicos y equivalencia del dinero a través del tiempo. 1 Conceptos básicos y representación gráfica de los flujos de efectivo En cualquier tipo de entidad, ya sea física o moral, siempre se presenta el movimiento de dinero. Una persona física económicamente activa, percibirá dinero por su trabajo y gastará todo o parte de ese dinero comprando satisfactores que le permitan vivir. En una persona moral, empresas o instituciones, el movimiento del dinero es más evidente, su actividad diaria implica el movimiento de dinero, comprará materias primas o servicios, los transformará y a su vez venderá esos productos o servicios a otras empresas o a personas físicas. Cualquier de esas actividades implica el uso de dinero, hacia adentro de la organización, si es que percibe dinero por la venta de sus productos o servicios, o hacia fuera de la organización si está pagando cualquiera de los insumos que ha consumido o va a necesitar para la elaboración de productos o elaboración de servicios. El gran problema que siempre ha existido con el manejo del dinero es que cambia su valor con el paso del tiempo, por cambio de valor se quiere decir cambio de poder adquisitivo. Es muy sencillo comprobar esto. Tenga a la mano $1 000 unidades de su moneda local, llámese pesos, australes, reales, dólares, euros, etc., y compre en un mercado cierta cantidad de productos, por ejemplo, n kg de carne, n litros de leche, etc. Deje pasar unos meses, regrese con las mismas $1 000 unidades monetarias y es seguro que podrá comprar una cantidad menor, respecto de aquellas cantidades que compro de los mismos productos inicialmente. Cambió el poder adquisitivo del dinero. Este cambio va a ser proporcional a la llamada inflación que haya prevalecido en el periodo considerado en la economía de aquel país. Aunque para muchas organizaciones la entrada o salida de dinero, a la cual se le llamará flujo de efectivo, el cual será positivo si entra dinero a la organización, y negativo si es que sale de ella, como cuando paga por los insumos, se produce a diario, los administradores encargados de la contabilidad de las organizaciones, acostumbran ha realizar, a expresar y a declarar estos flujos de efectivo de forma mensual, y para efectos fiscales, en forma anual. Recordando el hecho de que el dinero cambia su valor con el paso del tiempo, se requiere entonces el contar con técnicas, primero para representar los flujos de efectivo en diferentes periodos de tiempo, y además, contar con técnicas para poder calcular el cambio del valor del dinero a través del tiempo. Para hacer la presentación formal de los conceptos de la Ingeniería Económica, considérese el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Supóngase que una persona va a una pequeña tienda que vende artículos para el hogar en la localidad donde vive, y que quiere comprar una TV, cuyo costo de contado es de $12 000. El comprador no tiene esa cantidad disponible, por lo que solicita al vendedor que haga un plan de compra a crédito a seis meses. El vendedor le contesta que el plan que le puede ofrecer es el pago de seis mensualidades iguales, la primera se haría al final del primer mes después de la compra, y que el interés que se cobra en la tienda es de 3 % mensual. El comprador pide al vendedor que haga el cálculo del valor de cada pago mensual, con lo que el vendedor muestra el siguiente cálculo: $12 000 x 0.03 x 6 meses = $2 160 sólo de interés Si la deuda inicial es de $12 000 + $2 160 de interés, el total es de $14 160 que dividido entre 6 meses arroja una mensualidad de $2 360. Ante estas cifras, el comprador dice no estar de acuerdo, ya que el cálculo supone que cada mes él esta debiendo $12 000, ya que el interés se carga seis veces sobre la misma deuda total, por tanto, considera injusta la forma de cálculo, ya que considera que con el pago de cada mensualidad, la deuda remanente disminuye. En contraposición, el comprador le propone el siguiente cálculo al vendedor: Deuda total $12 000 dividida entre seis meses, arroja un deuda mensual de $2 000, sobre la cual se debería cobrar el interés de 3 % mensual, con lo cual, el interés mensual es de $2 000 x 0.03 = $60, y el pago mensual es de $2 000 + 60 = $2 060. Ante este cálculo, ahora protesta el vendedor y dice que está mal, ya que el procedimiento considera que desde el primero mes se deben sólo $2 000, lo cual es falso, ya que al final del primer mes, antes de hacer el primer pago, el comprador debe $12 000, más el interés acumulado que son $360, por tanto, el cálculo le perjudica en su ganancia. Después de discutir un buen tiempo, deciden que es imposible llegar a un cálculo válido para ambos, si no cuentan con un criterio que satisfaga a los dos. Analizan el hecho de que es tan injusto considerar que se deben cada mes, todos los meses, $12 000, como injusto es considerar que cada mes,

1

todos los meses, se deben solo $2 000. Discutiendo por más tiempo, llegan a una conclusión que satisface plenamente a ambos, a la cual le llaman criterio de pago justo y la declaran con las siguientes palabras: Sólo se deben pagar intereses sobre saldos insolutos, es decir, sobre la deuda no pagada o deuda pendiente. Sin embargo, su problema es ahora que no saben como hacer el cálculo correcto, y menos pueden comprobar si haciendo determinado cálculo, la cifra obtenida para el pago mensual es la correcta. 2 Conceptos básicos Una de las principales ventajas que tiene la Ingeniería Económica es que puede comprobarse que el resultado obtenido en cualquier problema es correcto (o incorrecto). Del ejemplo anterior, es evidente que ambos cálculos están mal. Una forma de comprobar el error es tomando como base la declaración del criterio de pago justo, haciendo un cálculo, periodo a periodo, de cual es el saldo insoluto que va quedando luego de hacer el pago mensual correspondiente, y calcular el interés sobre ese saldo insoluto: Periodo Interés

0

Saldo Total Pago Nuevo saldo

12 000

1 12 000(0.03) =360 + 12 000 = 12 360 - 2 360 = 10 000

2 10 000(0.03)= 10 300 + 10 000 =10 300 - 2 360 = 7 940

3 7 940(0.03)= 238.2 + 7 940 =8 178.2 - 2 360 = 5 818.2

4 5 818.2(0.03)= 174.54 +5 818.2 =5 992.74 -2 360 = 3 632.75

5 3 632.75(0.03) =108.98 + 3 632.75 =3 741.73 - 2 360 = 1 381.73

6 1 381.73(0.03) = 41.45 + 1 381.73 = 1 423.18 - 2 360 = -936.82

Tabla 1.- Método de comprobación de resultado El saldo final debería ser cero, si el cálculo fuera el correcto. En este caso, como se supuso que cada mes, en todos los meses siempre se debían $12 000, entonces el resultado es que se pagaría de más, en vez de pagar solo $1 423.18 en el último mes, se estaría cobrando los $2 360 de la mensualidad acordada, en caso de aceptar el plan de pago del vendedor. Obsérvese como el interés siempre se carga sobre la cantidad que va quedando en cada periodo como saldo insoluto, lo cual corresponde al renglón inferior. De esta misma forma, cuando se obtenga la solución correcta, se podrá comprobar la validez del resultado y el saldo deberá ser cero. El estudiante podrá comprobar que el otro plan de pago tampoco conduce a la solución correcta. 3 Desarrollo de la fórmula que rige a la Ingeniería Económica.

Para resolver no solo este, sino casi cualquier tipo de problema planteado por la Ingeniería Económica, se requiere de una fórmula que considere el cambio del valor del dinero a través del tiempo. Se va a desarrollar esta fórmula con un ejemplo. Ejemplo 2.- Una persona deposita $100 en un Banco que paga un interés de 10 % anual. No se retira dinero. ¿Cuánto se acumula en el Banco al final de tres años? Solución: Llámese P a la cantidad depositada en el presente ($100). Llámese i al interés cobrado por periodo (10 % anual) Llámese F a la cantidad acumulada en el futuro. Llámese n al periodo de tiempo necesario para ganar (o cobrar) un interés, un año en el caso del ejemplo. Cantidad acumulada al final del periodo 1: F1 = 100 + 100(0.1) = 110 Como no se retira dinero, el periodo dos empieza con una cantidad acumulada de $110, sobre la cual se ganará el nuevo interés: F2 = 110 + 110(0.1) = 121 De la misma forma, el tercer año se inicia con $121 y sobre esa cantidad se va a ganar interés: F3 = 121 + 121(0.1) = 133.1 La respuesta al problema es entonces $133.1 Para desarrollar la fórmula se resuelve el mismo problema, pero sólo con literales: F1 = P + Pi = P(1+i)1 La cantidad acumulada al final del periodo 1 es (P + Pi) y sobre esa cantidad se gana un interés: F2 = P + Pi * i(P +Pi) = P + Pi + Pi + Pi2 = P(1 + 2i + i2) = P(1 + i)2

2

El estudiante podrá comprobar este resultado si hace la operación: (1 +i)(1 + i) = 1 + 2i + i2 De manera similar para el tercer periodo se tiene: F3 = P + Pi + Pi + Pi2 + i(P + Pi + Pi + Pi2) = P + Pi + Pi + Pi2 + Pi + Pi2 + Pi2 + Pi3 = = P(1 + 3i + 3i2 + i3) = P(1 + i)3 El estudiante podrá comprobar el resultado multiplicando: (1+ i)(1 +i)(1 +i) = 1 + 3i + 3i2 + i3 De los resultados obtenido se puede observar que el periodo coincide con el exponente, es decir, para el periodo 1, se obtuvo F = P(1 +i)1, para el periodo 2, se obtuvo F = P(1 + i)2 y para el periodo 3 se obtuvo F = P(1 + i)3. Lo primero que hay que comprobar es que utilizando la fórmula se obtienen los mismos resultados numéricos que ya se tenían: F1 = 100(1 + 0.1)1 = 110 F2 = 100(1 + 0.1)2 = 121 F3 = 100(1 + 0.1)3 = 133.1 Como los resultados son idénticos, esto permite hacer una generalización de la fórmula como: F = P(1 + i)n 1 O su inversa

P=

F

(1 + i ) n Donde: F = cantidad acumulada en el periodo n P = cantidad depositada en el presente i = interés cobrado o ganado por periodo n = periodo que debe transcurrir para ganar o cobrar un interés o periodo de capitalización del interés. La fórmula 1 recibe cualquiera de estos tres nombres: - Fórmula de interés capitalizado.- Esto significa que el interés se convierte en capital, por tanto, para el siguiente periodo va a ganar un interés. Esto se puede observar en los resultados. Al final del primer periodo, se acumulan $110, donde $10 es el interés ganado en el primer periodo. Para el segundo periodo, se acumulan $121, y el $1, es el interés ganado sobre el interés del periodo previo, es decir $10(0.1) = $1. En el tercer periodo, desde luego, pasa lo mismo, pero aquí ya no es tan evidente a partir del resultado obtenido. - Fórmula de equivalencia del valor del dinero a través del tiempo.- Se puede decir que $100 en el presente, son equivalentes a $133.1 dentro de tres años, siempre que el interés anual sea de 10 %: F = 100(1 + 0.1)3 = 133.1 Lo que significa equivalencia del dinero es que si Ud. va a comprar un conjunto de bienes en este momento y tiene $100, anota la cantidad comprada, por ejemplo, n litros de leche y n kg de carne, si la tasa de interés del mercado (o la inflación) fuera de 10 % en cada uno de los próximos 3 años, y Ud. quisiera volver a comprar exactamente la misma cantidad de litros de leche y cantidad de carne que hace 3 años, necesitaría tener $133.1 para hacerlo. La equivalencia significa mismo poder adquisitivo en diferentes periodos de tiempo. De la misma forma, se puede decir que $133.1 dentro de 3 años, son equivalente a $100 el día de hoy, siempre que la tasa de interés sea de 10 % en cada uno de los 3 años. Por tanto, se debe declarar también, como un requisito indispensable para comparar flujos de dinero que aparecen en diferentes periodos de tiempo que: Para comparar correctamente flujos de efectivo (dinero) que se encuentra diferentes periodos, hay que hacer la comparación en el mismo periodo y al valor equivalente de esos flujos de efectivo, esto es, el dinero se puede pasar a su valor equivalente hacia el futuro, multiplicando por (1+ i)n, o bien, se puede pasar del futuro hacia el presente a su valor equivalente dividiendo entre (1 + i)n. - Fórmula básica.- A la fórmula 1.1 también se le llama fórmula básica de la Ingeniería Económica, pues con ella se pueden resolver prácticamente todos los problemas planteados en Ingeniería Económica. De hecho en muchos ejemplos se demostrará esta aseveración. 4 El diagrama de flujo de efectivo Para resolver el ejemplo planteado inicialmente, falta contar con una herramienta diagramática que ayude a visualizar como fluye el dinero a través del tiempo. A esta herramienta se le llama diagrama de flujo de efectivo, donde el tiempo o periodo de análisis del problema se representa como una línea horizontal, el inicio se considera en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea. El

3

dinero se representa con flechas hacia arriba y hacia abajo. Una flecha hacia arriba siempre va a representar ganancia, ahorro, beneficio, ingreso, etc., en tanto que una flecha hacia abajo siempre va a representar inversión, gasto, desembolso, pérdida, costo, etc. Hay que decir que en cualquier transacción económica siempre hay dos partes, un comprador y un vendedor, un prestador y un prestatario, etc., y que los diagramas de flujo de efectivo de ambos participantes son imágenes de espejo. En la gráfica 1 se puede observar el diagrama de flujo del vendedor. La flecha hacia abajo en el periodo cero, indica que él ha hecho una venta y que sus inventarios han bajado por $12 000. A cambio de eso, el recibirá 6 pagos iguales mensuales. La notación de la letra A para representar los pagos mensuales, obedece a una razón histórica, ya que los estadounidenses le asignaron esa letra para denotar un pago anual (del inglés annuity), pero pasado el tiempo, no importa si el pago es mensual, semanal, etc., se le sigue asignando la letra A, por tanto, a partir de este momento, la A va a denotar un pago uniforme o igual a lo largo de n periodos de tiempo. A

A

A

A

A

A

1

2

3

4

5

6

0

P = 12 000

Gráfica 1.- Diagrama de flujo del vendedor del ejemplo 2.1 Es sencillo imaginar que el diagrama de flujo para el comprador del mismo ejemplo, es una imagen de espejo de la gráfica. 1, ya que el comprador llega a la tienda sin dinero y, una vez hecha la compra sale de la tienda con una artículo con valor de $12 000, lo cual se representaría como una flecha hacia arriba; a cambio de eso, va a tener que hacer 6 pagos mensuales iguales, lo cual se representaría con flechas hacia abajo. En estos problemas existe un periodo cero que denota el inicio del periodo de análisis, ya que si al final del primer mes se le llama mes1, al mes anterior se le debe llamar mes cero o periodo cero. Solución del ejemplo. El ejemplo 1 está aún sin resolver, aunque ahora ya se cuenta con elementos suficientes para hacerlo. Para resolver cualquier casi problema de Ingeniería Económica, se debe hacer uso de lo que se puede llamar el axioma o declaración básica de Ingeniería Económica, que dice lo siguiente: la cantidad de dinero que se debe, es igual a la cantidad de dinero que se va a pagar, siempre que ambas cantidades, de deuda y pago, se comparen a su valor equivalente en el mismo instante de tiempo. Supóngase que en el mismo ejemplo 1 la compra se hace de contado. Obviamente la cantidad de dinero que debe pagarse es $12 000, ya que la cantidad de deuda y la cantidad de pago están el mismo instante de tiempo, y no hay necesidad de obtener el valor equivalente de una ellas en otro instante. Ahora supóngase que se hace la misma compra, pero se acuerda pagar toda la deuda un mes después de haber hecho la compra. Sin necesidad de saber Ingeniería Económica, se puede calcular la respuesta, pues al final del primer mes, se debería la cantidad inicial, $12 000, más el interés acumulado durante un mes que es 12 000 (0.03) = 360, por tanto, la respuesta es $12 360. Sin embargo, si se plantea la solución formalmente se tiene:

4

A

0 1

P = 12 000

Gráfica 2.- Compra para pagar en un mes. Expresando el resultado con la única fórmula que se tiene hasta este momento: F = 12 000(1.03)1 = 12 360 Obsérvese que lo que se hizo en realidad, fue pasar a su valor equivalente a un mes, el valor del periodo cero. Si se hace uso de la declaración fundamental, se diría: lo que se debe en el presente, es igual a lo que se va a pagar dentro de un mes, siempre que ambas cantidades se comparen a su valor equivalente en el mismo instante de tiempo, si se toma como punto de comparación al periodo cero, entonces se tiene que pasar el pago que se hace al final del primer mes, a su valor equivalente en el presente: F 12000 = (1.03)1 Como se observa, es exactamente la misma fórmula, sin embargo, la forma de razonar y abordar el problema es distinta. Ahora supóngase que la compra se hace para liquidar la deuda en dos mensualidades iguales, que se pagarían al final de los meses 1 y 2. El diagrama de flujo es el siguiente: A

A

1

2

0

12 000

Gráfica 3- Pago de la deuda en dos mensualidades iguales Obsérvese que ahora la solución de este problema es muy sencillo, si se plantea desde el punto de vista de la declaración fundamental: la cantidad que se debe es igual a la cantidad que se va a pagar, siempre que ambas cantidades se compren a su valor equivalente en el mismo instante de tiempo. También obsérvese que ahora a las mensualidades ya se les denota como A. Por tanto, habrá que pasar, a su valor equivalente, las dos A al presente: 12 000 =

A (1.03)

1

+

A (1.03) 2

A = 6 271.330049 Para resolver el ejemplo 1, el cual planteaba el pago de 6 mensualidades iguales, se utiliza la gráfica 1 y la solución es: 12 000 =

A (1.03)

1

+

A (1.03)

2

+

A (1.03)

3

+

A (1.03)

4

+

A (1.03)

5

+

A (1.03) 6

2

5

A = 2 215.170005 Para verificar que este resultado es la solución correcta, ya se tiene el método de comprobación (Tabla. 1), y además, ya se sabe que el saldo debe ser cero:

0

12 000

1 12 000(1.03)= 12 360 - 2 215.170005 =10 144.83000

4 6 265.855037(1.03)= 6 453.830688 - 2 215.170005 = 4 238.660683

2 10 144.830(1.03)= 10 449.17490 - 2 215.170005 = 8 234.004895

3 8 234.004895(1.03)= 8 481.025042 - 2 215.170005 = 6 265.855037

5 4 238.660683(1.03)= 4 365.820503 - 2 215.170005 = 2 150.650498

6 2 150.650498(1.03)= 2 215.170013 - 2 215.170005 = 0.000008

Tabla 2 Hay que observar que en la declaración básica no dice que el instante de comparación del dinero deba ser el presente o periodo cero. Para resolver el ejemplo 1 se consideró como punto de comparación al presente, pero el dinero a su valor equivalente puede ser comparado en cualquier otro instante de tiempo. En las soluciones que se muestran, se tomaron diferentes periodos de referencia: A A A A A t1 12 000(1.03)1 = A + + + + + 1 2 3 4 (1.03) (1.03) (1.03) (1.03) (1.03) 5

t2

t3 t6

12 000(1.03) 2 = A(1.03)1 + A +

A (1.03)

1

+

A (1.03)

12 000(1.03) 3 = A(1.03) 2 + A(1 + 03)1 + A +

2

+

A (1.03)

1

A (1.03)

+

+

3

A (1.03)

2

A (1.03) 4 +

A (1.03) 3

12 000(1.03) 6 = A(1.03) 5 + A(1 + 03) 4 + A(1.03) 3 + A(1.03) 2 + A(1.03)1 + A

Si se calcula la A en cada una de las soluciones anteriores, el resultado siempre será exactamente A = 2 215.170005. Incluso las soluciones posibles no son sólo 7 sino n, ya que la declaración básica no dice que el instante de referencia deba estar dentro del diagrama de flujo que representa al problema. Se recomienda al estudiante calcular la A para los periodos 4 y 5, pero además podrá hacer el cálculo para los instantes de tiempo -10 y + 20, o cualesquiera otros periodos que seleccione. 5 Los pagos uniformes y el presente. Existe una fórmula muy sencilla para resolver el ejemplo 2.1:  (1 + i ) n − 1  P = A n   i (1 + i ) 

y su inversa

 i (1 + i ) n  A = P  n  (1 + i ) − 1 

3

A la fórmula 3 se le conoce como aquella que relaciona los pagos uniformes y el presente. Aunque se puede utilizar cualquiera de las formas de la fórmula 2.3 para resolver el problema, no es lo mismo, desde el punto de vista del enfoque de solución. Si se quiere calcular directamente la A entonces:  0.03(1.03) 6  A = 12 000  = 2 215.170005 6  (1.03) − 1 

6

Sin embargo, aunque el cálculo es directo, la fórmula por si misma no explica que sucede detrás de ella. Si se quiere utilizar la declaración básica utilizando la fórmula 3, entonces para iniciar la solución se dice: la cantidad que se debe, que son $12 000, es igual a la cantidad que se va a pagar que son seis pagos uniformes (mensualidades), siempre que las cantidad se comparen a su valor equivalente en el mismo instante:  (1.03) 6 − 1  12 000 = A 6   0.03(1.03)  Aquí el instante en que se está haciendo la comparación es el presente ¿Cómo se sabe esto? Porque la deuda de $12 000 está en el presente y no fue modificada o pasada a su valor equivalente a algún otro instante de tiempo, y esto se sabe porque no está multiplicada o dividida por algún factor. Obsérvese que cuando se calculó la A tomando como referencia instantes distintos al presente, la A siempre fue multiplicada por un factor que enviaba los $12 000 a su valor equivalente al instante de referencia. Pero ¿Cómo es que esta A resuelve el ejemplo 1 directamente? De la fórmula 3 que es la solución del ejemplo 1, se hará una manipulación algebraica a fin de simplificar el cálculo y encontrar una fórmula que permita resolver problemas para cualquier n. Imagínese la enorme ecuación que se tendría que plantear si en un problema n = 40. A la ec. 2 multiplíquese ambos 1 lados por 1+ i  1 12000 1 1 1 1 1  = A + + + + + 4  2 3 4 5 6 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 7   (1 + i ) Restar 2.4 – 2.2:  A  A 12000 A   A A  A   A A  − 12000 =  − + − + ..... + − + −        2 6 (1 + i ) (1 + i )   (1 + i ) 3 (1 + i ) 2  (1 + i ) 5   (1 + i ) 7 (1 + i ) 6   (1 + i )  (1 + i ) Simplificando la ec. anterior:  1  1  1  12000  − 1 = A − 5  7 (1 + i )   (1 + i )   (1 + i ) Si se quiere comprobar que tanto la resta de ecuaciones y su simplificación son correctas, basta considerar que i = 3 %, hacer los cálculos, calcular A, y en ambos casos se comprobará que: - 349.51456 = -A0.15778227 y despejando A = 2 215.170005 que es el resultado del ejemplo 1. Siguiendo con la manipulación algebraica, se sabe que:

1 1 1+ i −i −1 = − = (1 + i ) (1 + i ) 1 + i 1 + i Nuevamente si se quiere comprobar la veracidad de la igualdad anterior, sustituya i = 3 % y compruébese el resultado. Finalmente, multiplíquese ambos lados de la ec. 5 por – (1+i):  (1 + i ) 1+ i  P (i ) = A  − +  − 6 −1 1 + i   (1 + i )

 (1 + i ) 6 − 1  12000 = A 6   i (1 + i )  Analizando la ec. obtenida, se observará que es la fórmula 3, de forma que se puede generalizar el resultado para toda P y para toda n, ya que la n = 6 obtenida, es la n del ejemplo 2.1, es decir, la 3 es válida para resolver este tipo de problemas. La fórmula 3, a la que se le puede llamar fórmula condensada que relaciona al presente con pagos uniformes, se le puede utilizar de dos formas. Una es la ya mostrada en el ejemplo 1, donde se calcularon los pagos uniformes que deberían de hacerse si se contrae una deuda. La otra forma es:

7

Ejemplo 2: Se vende un aparato eléctrico a crédito bajo las siguientes condiciones: pagar 6 mensualidades iguales de $2 215.170005 cada una, empezando a pagar un mes después de hacer la compra. El interés que se cobra es 3 % mensual ¿Cuál es el precio de contado? Solución: Utilizando la fórmula 2.3:

 (1 + i ) n − 1   (1.03) 6 − 1  P = A = 2 215 . 170005 = 12 000   n 6  i (1 + i )   0.03(1.03)  Obsérvese un punto muy importante en los ejemplos 1 y 2, el primer pago siempre se hace al final del primer periodo (fin del primer mes). Esto lleva a definir las restricciones de uso de la fórmula 3: 1.- La primera A siempre está en el periodo 1. 2.- La última A siempre está en el periodo n. 3.- Los pagos (o depósitos) no se interrumpen. Ahora obsérvese como se deberá utilizar la fórmula 3 si no se cumplen las restricciones mencionadas. Ejemplo 3.- Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $12 000, se compra a crédito bajo las siguientes condiciones: interés mensual 3 %, pago de 6 mensualidades iguales, pagando la primera mensualidad al final del quinto mes después de hacer la compra, por lo que la última mensualidad se paga al final del mes 10. Calcular el valor de cada una de las 6 mensualidades. Solución: En este problema se están violando las restricciones 1 y 2. El diagrama de flujo del ejemplo es: A

A

A

A

A

A

5

6

7

8

9

10

0 1

2

3

4

P

Gráfica 4 El ejemplo se puede resolver, al menos, de dos formas distintas. Si se utiliza la fórmula básica y la declaración: la cantidad que se debe es igual a la cantidad que se va a pagar, siempre que ambas cantidades se comparen a su valor equivalente en el mismo instante, y si se toma al tiempo presente como punto de comparación, entonces: 12 000 =

A (1.03)

5

+

A (1.03)

6

+

A (1.03)

7

+

A (1.03)

8

+

A (1.03)

9

+

A (1.03)10

Es la misma solución del ejemplo 1, pero cada una de las A hay que llevarlas a su valor equivalente unos pocos periodos más. El resultado es: A = 2 493.193312 Para comprobar que el resultado es correcto, utilice el mismo método de comprobación del resultado del ejemplo 1. Recuérdese que el saldo final debe ser cero. Para resolver el ejemplo con la fórmula 3, debe quedar claro como funciona esta fórmula. Si  (1 + i ) 6 − 1  12000 = A 6   i (1 + i )  y

12 000 =

A (1.03)

1

+

A (1.03)

2

+

A (1.03)

3

+

A (1.03)

4

+

A (1.03)

5

+

A (1.03) 6

8

producen exactamente el mismo resultado numérico para A, como ya ha sido demostrado, entonces lo que hace la fórmula:

 (1 + i ) n − 1  P = A n   i (1 + i )  es sumar una serie de cantidades uniformes (A) a su valor equivalente y depositar la suma un periodo antes de la primera A. Con este conocimiento se aborda la solución del ejemplo 3 y se sabrá que aplicando dicha fórmula al pago de las mensualidades, las va a sumar a su valor equivalente y las va a depositar en el periodo 4, es decir, un periodo antes de la primera A, pero recordando que un requisito básico para la solución de problemas es comparar el dinero un mismo instante, se tienen dos soluciones: comparar el dinero en el tiempo cero y comparar el dinero en el tiempo 4:

 (1.03) 6 − 1   1  12 000 = A 6  4  0.03(1.03)   (1.03) 

comparando el dinero en t0

comparando el dinero en t4

 (1.03) 6 − 1  12 000(1.03) 4 = A 6  0.03(1.03) 

Por supuesto que es un simple despeje, pero la forma de razonamiento es distinta, ya que cambia el punto de comparación en el tiempo. Se podrá comprobar que ambos planteamientos llevan a la misma solución de A = 2 493.193312. Es necesario aclarar que en la fórmula condensada en este tipo de problemas, la n es el número de pagos (cobros) y no es la n de todo el horizonte de análisis, es decir, el horizonte de análisis es 10 años, pero sólo hay seis periodos donde existen flujos de efectivo en la forma de pagos, por lo que la n de la fórmula es 6 y no 10. Una cuarta forma de solución, consiste en considerar que se están pagando 10 mensualidades, de los meses 1 a 10, y restar las mensualidades que no se pagan, es decir, restar las mensualidades 1, 2, 3 y 4.

 (1.03)10 − 1   (1.03) 4 − 1   (1.03)10 − 1  A A A A 12000 = A − A = A − − − −     10 4 10  1 2 3 (1.03) (1.03) (1.03) 4  0.03(1.03)  (1.03)  0.03(1.03)   0.03(1.03)  En tanto que la fórmula inversa:

 i (1 + i ) n  A = P  n  (1 + i ) − 1  lo que hace es calcular una serie uniforme de cobros (o pagos) a su valor equivalente, de los periodos 1 a n, conociendo la cantidad que se debe o se va a cobrar, y que debe estar un periodo antes del primer pago (cobro). Esa cantidad no necesariamente debe estar en el presente. Ejemplo 4.- Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $12 000, se compra a crédito bajo las siguientes condiciones: interés mensual 3 %, pago de 6 mensualidades iguales, las primeras tres mensualidades se pagan al final de los meses 1, 2 y 3, se suspenden los pagos en los meses 4, 5, 6 y 7, pagando las últimas tres mensualidades al final de los meses 8, 9 y 10. Calcular el valor de cada una de las 6 mensualidades iguales. Solución: En este ejemplo se están violando las restricciones 2 y 3, ya que la primera A está en el periodo 1. El diagrama de flujo es:

9

A

A

A

1

2

3

A

A

A

8

9

10

0 4

5

7

6

P

Gráfica 5 La primera solución es con la fórmula básica: A A A A A A 12 000 = + + + + + 1 2 3 8 9 (1.03) (1.03) (1.03) (1.03) (1.03) (1.03)10 La segunda solución es con la fórmula condensada, pero ahora hay que observar que se tienen dos series uniformes de tres A cada serie. Si se toma al tiempo cero como punto de comparación del dinero, se tiene:

 (1.03) 3 − 1   (1.03) 3 − 1   1  12 000 = A + A   3 3  7   0.03(1.03)   0.03(1.03)   (1.03)  Una tercera solución es comparar el dinero en el tiempo cero, considerar que se pagan diez mensualidades y restar aquellas que no se pagan:

 (1.03)10 − 1   (1.03) 4 − 1   1  12000 = A A − =   10 4  3  0.03(1.03)   0.03(1.03)   (1.03) 

 (1.03)10 − 1  A A A A A − − − − 10  4 5 6 (1.03) (1.03) (1.03) 7  0.03(1.03)  (1.03)

En todos los casos se comprobará que A = 2 339.851202. Como siempre el estudiante tiene el método para comprobar que este resultado es correcto, tal y como se hizo en la Tabla 2 6 El futuro y las series uniformes. Ejemplo 5.- Una persona deposita $1 000 cada mes de los meses 1 a 6, en un banco que paga un interés de 2 % mensual a sus ahorradores. No retira dinero ¿Cuánto se acumula en el banco al momento de hacer el sexto depósito? Solución: Datos: A = 1 000; i = 2 % mensual; n = 6; F =? El diagrama de flujo del ejemplo es: F=?

0

1

2

3

4

5

1000

1000

1000

1000

1000

6

1000

Gráfica 6 Obsérvese que no hay cantidad en el periodo cero, puesto que el ejemplo declara que los depósitos se van a hacer del los periodos 1 a 6. Se va a resolver el ejemplo sin conceptos de Ingeniería Económica:

10

Periodo CFP Depósito (D) D + CFP Interés ganado i(D +CFP) Cantidad de fin de periodo (CFP)

1

2

3

4

1 000 1 000 20 1 020

1 020.0 1 000.0 2 020.0 40.4 2 060.4

2 060.400 1 000.000 3 060.400 61.208 3 121.608

3 121.60800 1 000.00000 4 121.60800 82.43216 4 204.04020

5

6

4 204.0402 1 000.0000 5 204.0402 104.0808 5 308.1210

5 308.121 1 000.000 6 308.121

Tabla 3 Se puede utilizar la misma declaración básica inicial, ahora considerando que son depósitos. La cantidad que se deposita es igual a la cantidad que se puede retirar, siempre que ambas cantidades, de depósitos y de retiros, se comparen a su valor equivalente en el mismo periodo de tiempo. Ahora se resuelve el ejemplo con la fórmula básica. El periodo de tiempo en que se compara el dinero es el futuro, o el último periodo del horizonte de análisis del problema: F = 1 000(1.02)5+1 000(1.02)4+1 000(1.02)3+1 000(1.02)2+1 000(1.02)1+1 000 = 6 308.121 t1 t2 t3 t4 t5 t6 A esta solución se le llamará fórmula 6. Hay que observar que el primer depósito del periodo 1, permanece sólo 5 periodos depositado, ganando 2 % mensual, por eso el primer término tiene un exponente de 5, en tanto que el depósito del periodo 6 no gana interés, porque el enunciado del ejemplo pregunta la cantidad acumulada al momento de realizar el sexto depósito. Debajo de cada término de la ecuación de solución, se anotó el periodo a que corresponde cada uno de los términos de la ecuación. También aquí existe una fórmula condensada que resuelve el problema directamente:  (1 + i ) n − 1    i F = A o su inversa A = F 7   n i    (1 + i ) − 1  Sustituyendo valores:

 (1.02) 6 − 1  F = 1 000   = 6 308.121  0.02  La fórmula 7 se desarrolla mediante una manipulación algebraica de la solución por fórmula básica, a la cual se le llamó fórmula 6. Obsérvese que: F = A[ (1.02)6-1 + (1.02)6-2 + (1.02)6-3 + (1.02)6-4 + (1.02)6-5 + (1.02)6-6]

8

Multiplíquese la ec. 8 por (1 + i): F (1+.02) = A[(1+.02)6 + (1+.02)5 + (1+.02)4 + (1+.02)3 + (1+.02)2 + (1+.02)1] Restar (8 – 7) y sustituir números por literales: F(1 + i – 1) = A[(1+i)6 – 1] Simplificando y despejando F:

 (1 + i ) 6 − 1  F = A  i   Se dejó deliberadamente la n = 6 para poder generalizar la aplicación de la fórmula, es decir, si mediante la manipulación hecha, resultó que la n tiene un valor de 6 y la n del ejemplo 5 es 6, entonces se puede hacer una generalización resultando la fórmula 7. Sin embargo, el uso de esta fórmula también tiene restricciones de uso y son: 1.- La primera A está en el periodo 1. 2.- La última A está en el periodo n. 3.- Los depósitos (pagos) no se interrumpen.

11

Como el ejemplo 5 se elaboró para que se apegara exactamente a estas restricciones, fue posible utilizar directamente la fórmula para resolver el problema. Ahora se presentan ejemplos donde los datos no se ajustan a las restricciones, para observar como se resuelve el ejemplo con el uso de la fórmula 7. Ejemplo 6.- Se depositan $1 000 cada mes de los meses 1 a 6, en un banco que paga un interés de 2 % mensual. No se retira dinero ¿Cuánto se acumula en el banco al final del noveno mes? Solución: Obsérvese que el ejemplo es muy similar al ejemplo 2.5, excepto que se hace el sexto depósito al final del sexto mes y el dinero acumulado se deja depositado 3 meses más. Esto viola la restricción 2, ya que la n del ejemplo es 9, en tanto que sólo se hacen 6 depósitos. El diagrama del ejemplo es: F=?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1000 1000 1000 1000 1000 1000

Gráfica 7 La primera solución es con la fórmula básica. Obsérvese que el depósito del mes 1, permanece depositado 8 meses, ganando cada mes el 2 % de interés, y el último depósito correspondiente al mes 6, se queda depositado solo 3 meses. F = 1000(1.02)8+1000(1.02)7+1000(1.02)6+1000(1.02)5+1000(1.02)4+1000(1.02)3= 6694.22847 Si se quiere utilizar la fórmula 7 en la solución se debe tener claro como actúa o qué hace la fórmula. Lo que hace es sumar una serie uniforme a su valor equivalente y depositar la suma en el último periodo de la serie, haciendo énfasis que el último depósito (pago) de la serie no gana interés. En el ejemplo esto significa que la fórmula va a sumar los 6 depósitos de $1 000 a su valor equivalente y los va a depositar al final del periodo 6, es decir, en el último periodo de la serie de 6 depósitos. Una vez que se ha acumulado cierta cantidad al final del periodo 6, el dinero se deja depositado tres meses más, ganando el 2 % de interés mensual.

 (1.02) 6 − 1  3 F = 1 000   (1.02) = 6 694.22847  0.02  Hay que observar nuevamente en este problema, que la n de la fórmula no es la n de todo el horizonte de análisis del problema que son 9 periodos, sino que la debe ser 6, por que es el número de depósitos que se realizan obedeciendo las restricciones de uso de la fórmula condensada. Una tercera solución implica considerar que se hacen 9 depósitos y luego restar aquellos meses donde no se deposita. Recordando como trabaja la fórmula, se restan los últimos 3 depósitos, de la forma indicada, porque la fórmula dice que en el periodo n, que en este caso se supone que es 9, hay un depósito que ya no gana interés.

 (1.02) 9 − 1  2 1 0 F = 1 000   − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) = 6 694.22847 0 . 02   Ejemplo.7.- Una persona realiza 6 depósitos de $1 000 cada uno en un banco que paga un interés de 2 % mensual. Hace 3 depósitos al final de los meses 1, 2 y 3. Suspende los pagos en los meses 4, 5 y 6, haciendo los 3 últimos depósitos al final de los meses 7, 8 y 9. No se retira dinero ¿Cuánto se acumula en el banco al momento de hacer el último depósito al final del noveno mes? Solución: El ejemplo es similar al 5, excepto que ahora se están violando la restricción de que los pagos (depósitos) no deben suspenderse. El diagrama de flujo es el siguiente:

12

F=?

1

3

2

4

5

6

1 000 1 000 1 000

8

7

9

1 000 1 000 1 000

Gráfica 8 La primera solución es con la fórmula básica: F = 1000(1.02)8+1000(1.02)7+1000(1.02)6+1000(1.02)2 +1000(1.02)1+1000 = 6 506.907467 En la segunda solución, se considera que existen dos series uniformes, la primera está en los periodos 1, 2 y 3, y la segunda serie está en los periodos 7, 8 y 9. Utilizando la fórmula 7 se tiene:

 (1.02) 3 − 1   (1.02) 3 − 1  6 F = 1 000   (1.02) + 1 000  = 6 506.907467  0.02   0.02  La tercera forma de solución es suponiendo una vez más que se hacen 9 depósitos, y luego restar, a su valor equivalente, aquellos depósitos que no se hacen:

 (1.02) 9 − 1   (1.02) 3 − 1  3 F = 1 000   − 1 000   (1.03) = 6 506.907467 0 . 02 0 . 02     o bien hacer la resta de las mensualidades una a una:  (1.02) 9 − 1  5 4 3 F = 1 000   − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) − 1 000(1.02) = 6 694.22847  0.02  La validez del resultado se puede comprobar utilizando una tabla similar a la 3, tomando en cuenta los periodos en que el dinero se queda depositado ganando interés, pero sin depósitos adicionales en esos periodos. Ejemplo 8.- De los flujos de efectivo que aparecen en la gráfica 8 calcular el valor de P, con un interés de 10 % por periodo.

10

10

10

10

10

1

2

3

4

5

20

20

20

20

20

6

7

8

9

10

0

P= ?

Gráfica 9 Solución: El cálculo de P se hará de varias formas para demostrar la aplicación y flexibilidad que tienen las fórmulas mostradas hasta ahora. Por la fórmula básica: P=

10 (1.1)

1

+

10 (1.1)

2

+

10 (1.1)

3

+

10 (1.1)

4

+

10 (1.1)

5

+

20 (1.1)

6

+

20 (1.1)

7

+

20 (1.1)

8

+

20 (1.1)

9

+

20 (1.1)10

13

Considerando dos series, una serie de 5 pagos uniformes de 10 cada uno, y otra serie de 5 pagos uniformes de 20 cada uno:

 (1.1) 5 − 1   (1.1) 5 − 1   1  + P = 10  20   5 5  5  0.1(1.1)   0.1(1.1)   (1.1)  Considerando que la serie es de 10 en cada término y sumar otra serie de 10, de los periodos 6 a 10.

 (1.1)10 − 1   (1.1) 5 − 1   1  P = 10  + 10  10  5  5  0.1(1.1)   0.1(1.1)   (1.1)  Considerar una serie de 10 términos, con un valor de 20 cada término y restar una serie de 5 términos de 10 de los 5 primeros periodos:

 (1.1)10 − 1  (1.1) 5 − 1  P = 20  − 10   10 5   0.1(1.1)   0.1(1.1)  Todas las determinaciones anteriores se han hecho considerando al tiempo cero como punto de comparación del dinero. Ahora considérese a t5 como punto de comparación:  (1.1) 5 − 1  (1.1) 5 − 1  P(1.1) 5 = 10   + 20  5  0.1   0.1(1.1)  Ahora considérese a t10 como punto de comparación del dinero

 (1.1) 5 − 1   (1.1) 5 − 1  5 P(1.1)10 = 10  ( 1 . 1 ) + 20     0.1   0.1  Se encontrará que en todas las formas propuestas de solución P = 84.98347442. 7 Series gradiente y el presente. En Ingeniería Económica se le llama serie gradiente a un diagrama de flujo que presenta la característica de que a partir del segundo periodo y por n periodos sucesivos, hay un incremento de una cantidad igual cada periodo, respecto de la cantidad que aparece en el primero periodo. A la cantidad en que se incrementa cada periodo el flujo de efectivo se le llama gradiente y se denota por G. Ejemplo 9.- Una persona compró un automóvil; espera que los costos de mantenimiento sean de $150 al final del primer año y que en los subsecuentes aumente a razón de $50 anuales. Si la tasa de interés es de 8 % capitalizada cada año ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6 años? Solución: Los datos del ejemplo son: P = ?; i = 8 %; primer pago = 150; G = 50. El diagrama de flujo es:

150

1

200

2

250

3

300

4

350

5

400

6

P= ?

Gráfica 10

14

Como siempre, la primera opción de solución es por la fórmula básica: P=

150 (1.08)

+

1

200 (1.08)

2

+

250 (1.08)

3

+

300 (1.08)

4

+

350 (1.08)

5

+

400 (1.08) 6

= 1 219.5956

El diagrama de la gráfica 10 puede descomponerse en dos diagramas, los cuales al sumarse, den como resultado el diagrama original: 150

150

150

150

150

150 0

1

2

4

3

5

6

50

1

2

100

3

150

4

200

250

5

6

P''

P'

Gráfica 11

+

Gráfica 12

Desde luego que P = P’ + P’’ Se observa que la suma de los dos diagramas produce el diagrama original. El diagrama de la gráfica 11 es una serie uniforme, cuya solución da origen a P’: P' =

150 (1.08)1

+

150 (1.08) 2

+

150 (1.08) 3

+

150 (1.08) 4

+

150 (1.08) 5

+

 (1.08) 6 − 1  150 = 693.4319496 =  6 (1.08) 6  0.08(1.08)  150

El diagrama de la gráfica 12 que da origen a P’’, se puede resolver con la fórmula básica: 0 50 100 150 200 250 P' ' = + + + + + = 526.1636504 1 2 3 4 5 (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) 6 o bien con la siguiente fórmula condensada: P=

G i

 (1 + i ) n − 1   1  − n   n  i   (1 + i )  

9

sustituyendo valores en 9: P' ' =

 50  (1 + 0.08) 6 − 1   1 − 6    = 526.1636897 6 0.08  0.08   (1 + 0.08) 

como P = P’ + P’’ = 693.4319496 + 526.1636897 = 1 219.5956 La derivación de la fórmula 2.9 obedece también a una manipulación y simplificación algebraica como sigue: De la solución numérica de P’:  1 2 3 4 5  P' = 50  + + + + 10  2 3 4 5 (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) 6   (1.08) Para eliminar el aparente problema que representa el que la serie dentro de los corchetes empiece con el exponente 2, multiplíquese ambos lados de la ec. 10 por (1+i), es decir, por (1.08):  1 2 3 4 5  P' (1.08) = 50  + + + + 11  1 (1.08) 2 (1.08) 3 (1.08) 4 (1.08) 5   (1.08) Restar 10 –11:

15

 1  6  1 1 1 1  P' (0.08) = 50  + + + + − 50  1 2 3 4 5 6 (1.08) (1.08) (1.08) (1.08)   (1.08)  (1.08)  Si se observa, la primera expresión entre corchetes es una serie uniforme con A = 50 y n = 5, lo cual lleva directamente a la fórmula 3 que ya había sido deducida, por tanto: 50  (1.08) 6 − 1 n  − P' =   6 0.08  0.08(1.08) ((1.08) 6  multiplicando ambos lados de la ec. por (1.08) y simplificando: 50  (1.08) 6 − 1   1  P' = − 6   6 0.08  0.08   (1.08)  esta última ec. es la que llevó a la solución del ejemplo 9 y de ahí se puede generalizar sustituyendo los números por literales, para obtener la fórmula 9. Sin embargo, hay que observar dos cosas importantes en la fórmula 9: 1.- En una serie gradiente, el valor del periodo 1 es cero, a pesar de esto, la n que se considera en la fórmula siempre es la n de la serie uniforme del problema. Con referencia al ejemplo 9, la n = 6; cuando se descompone la solución en dos partes, se observa de la solución de P’, que la n = 6, y que en la solución de P’’ con la fórmula de gradiente, la n vuelve a ser 6, a pesar de que el valor del periodo 1 es cero, cuando se dibuja el diagrama de la serie gradiente, gráfica 12. 2.- Lo que hace o la forma en que funciona la fórmula 9 para resolver series gradientes, es que suma todos los gradientes a su valor equivalente y deposita la suma dos periodos antes del primer gradiente. Con referencia a la solución de P’’ en el ejemplo 9 con la fórmula fundamental, esto se hace evidente, ya que el primer gradiente está en el periodo 2. P' ' =

0 (1.08)1

+

50 (1.08) 2

+

100 (1.08) 3

+

150 (1.08) 4

+

200 (1.08) 5

+

250 (1.08) 6

=

50  (1.08) 6 − 1   1  − 6   6 0.08  0.08   (1.08) 

Para mayor claridad, se presenta el diagrama 12 con literales:

G

2G

3G

4G

5G

0 0 1

2

3

4

5

6

P''

Gráfica 13 Se analizó un ejemplo con gradiente positivo o creciente, es decir, que las cantidades del gradiente se suman a la serie uniforme, ahora se presenta un ejemplo donde el gradiente se resta: Ejemplo 10.- Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes condiciones: se realiza un primer pago de $900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos adicionales mensuales, cada uno de los cuales disminuye en $50 el pago del mes anterior, es decir, en el segundo mes se pagarán $850, al final del tercer mes se pagarán $800, etc. Si el interés que cobra la comercializadora es de 1 % mensual ¿Cuál será el valor a pagar de contado por la compra de la computadora? Solución: Los datos son: A = 900; G = 50; i = 1 %; n = 10. El diagrama de flujo es el que se representa en la gráfica 14:

16

900

850

800

2

1

750

3

700

4

650

5

6

600

7

550

500

450

8

9

10

P= ?

Gráfica 14 P=

900 (1.01)

1

+

850 (1.01)

2

+

800 (1.01)

3

+

750 (1.01)

4

+

700 (1.01)

5

+

650 (1.01)

6

+

600 (1.01)

7

+

550 (1.01)

8

+

500 (1.01)

9

+

450 (1.01)10

P = 6 431.999345 De forma simplificada el cálculo es:

 (1.01)10 − 1  50  (1.01)10 − 1  1  − − 10  = 6 431.999345 P = 900  10  0.01  10   0.01(1.01)   0.01   (1.01)  8 Series gradiente y el futuro Así como en los ejemplos 9 y 10 se utilizaron el gradiente, positivo y negativo, para calcular un valor en el presente, también se puede calcular un valor en el futuro con series gradiente. Véase el siguiente ejemplo. Ejemplo 11.- Una persona depositó $100 en un banco al final del primer mes, y los depósitos sucesivos se incrementaron en $50 cada uno, es decir, en el mes 2 depositó $150, en el mes 3 depositó $200, etc. Si el banco paga a sus ahorradores un interés de 2 % mensual ¿Cuánto se va a acumular en el banco al momento en que se haga el sexto depósito? Solución: Datos: A = 100; G = 50: i = 2 %; n = 6. El diagrama de flujo del ejemplo es: F=?

1

100

2

3

4

5

6

150 200

250

300

350

Gráfica 15 Como en todos los casos, la primera solución es con la fórmula básica: F = 100(1.02)5+150(1.02)4+200(1.02)3+250(1.02)2+300(1.02)1+350(1.02)0= 1 401.1145030 Si se divide el diagrama de la gráfica 15 en dos, cuya sumatoria resulte en el diagrama original, entonces tales diagramas son los numerados como las gráficas 16 y 17.

17

F' = ?

1

2

3

4

5

100

100

100

100

100

6

100

Gráfica 16 El diagrama de la gráfica 16 es una serie uniforme donde se calcula la cantidad que se acumula en el futuro, a partir de haber hecho una serie uniforme de depósitos (pagos), y la determinación se hace al momento de realizar el pago (depósito) n, y este ejemplo se resuelve con la fórmula 7

 (1.02) 6 − 1  F ' = 1 00   = 630.8120963  0.02  Para la solución de F’’del diagrama de la gráfica 17 se utilizan los mismos principios que se argumentaron en la fórmula 9, excepto que ahora en vez de calcular una cantidad en el presente, se calcula una cantidad en el futuro: F'' = ?

1

0

3

2

4

5

6

50 100

150

200

250

Gráfica 17 Obsérvese de la fórmula 9, como el último término entre corchetes es lo que hace que la cantidad calculada sea enviada a su valor equivalente al presente: P=

G i

 (1 + i ) n − 1   1  − n   n  i    (1 + i ) 

9

De forma que eliminando ese término, se tiene la fórmula para enviar una serie gradiente al futuro. G  (1 + i ) n − 1  − n 12  i  i  Esta fórmula tiene los mismos principios que la fórmula 9, es decir, a pesar de que el gradiente en el periodo 1 es cero, la n que se aplica en la fórmula es la n de la serie uniforme; lo que hace o la forma en que funciona la fórmula 12, es que suma la serie gradiente a su valor equivalente y deposita la suma al momento de hacer el último depósito (pago) del gradiente, es decir, en el periodo n. Resolviendo F’’ del ejemplo 11: F=

F'' =

50  (1 + 0.02) 6 − 1  − 6 = 770.302378  0.02  0.02 

F = F’ + F’’ = 630.8120963 + 770.302378 = 1 401.114474 Lo cual se puede considerar un resultado igual a aquel obtenido por la fórmula básica, debiéndose la diferencia al redondeo que hacen las calculadoras. Evidentemente la fórmula de series gradiente para calcular una cantidad en el futuro, funciona para gradientes positivos y negativos

18

(ascendentes y descendentes), tal y como funciona cuando se calculan cantidades en el presente a partir de gradientes. Ejemplo 12.- Calcule P del siguiente diagrama utilizando exclusivamente fórmulas de gradiente y para una i = 10 % por periodo. 90

80

70

2

1

60

3

50

4

40

7

6

5

70

60

50

8

9

90

80

10

11

P= ?

Gráfica 18 Solución: La forma más sencilla y segura de resolver este ejemplo es mediante la fórmula básica: P=

90 (1.1)

1

+

80 (1.1)

2

+

70 (1.1)

3

+

60 (1.1)

4

+

50 (1.1)

5

+

40 (1.1)

6

+

50 (1.1)

7

+

60 (1.1)

8

+

70 (1.1)

9

+

80 (1.1)

10

+

90 (1.1)11

=

P = 440.8548472 Resolviendo el problema de acuerdo al enunciado, se pueden tener tres planteamientos distintos: a).- el primero es tomar una serie gradiente descendente de los periodos 1 a 6, y el resto como una serie ascendente y comparar el dinero en t0; b).- el segundo planteamiento es considerar una serie gradiente descendente de los periodos 1 a 5, y el resto considerarlo como una serie ascendente, comparando el dinero en t0; c).- el tercer planteamiento es comparar el dinero en t5 o t6, en este caso se tomará como punto de comparación a t6: a). (1.1) 6 − 1 10  (1.1) 6 − 1   1    (1.1) 5 − 1  10  (1.1) 5 − 1   1   1 P = 90  − − 6  + 50 + − 5    6  6    5  5  6  0.1(1.1)  0.1  0.1   (1.1)    0.1(1.1)  0.1  0.1   (1.1)   (1.1) b). (1.1) 5 − 1  10  (1.1) 5 − 1   1    (1.1) 6 − 1  10  (1.1) 6 − 1   1   1 P = 90  − − 5  + 40 + − 6    5  5   6  6  5  0.1(1.1)  0.1  0.1   (1.1)    0.1(1.1)  0.1  0.1   (1.1)   (1.1)  (1.1) 6 − 1  10  (1.1) 6 − 1   (1.1) 5 − 1 10  (1.1) 5 − 1   1  c).- P(1.1) 6 = 90  − 6 + 50  + − 5  −   5 5  0.1  0.1  0.1   0.1(1.1)  0.1  0.1   (1.1)   (1.1) 6 − 1   (1.1) 5 − 1  10  (1.1) 5 − 1  10  (1.1) 6 − 1  5 d).- P(1.1)11 = 90  − 6 (1.1) 5 + 50  − 5  (1.1) −  +  0.1  0.1  0.1    0.1  0.1  0.1  Resolviendo, en todos los planteamientos se encuentra el mismo resultado. Se podrá observar que existen al menos seis soluciones al problema, pues además de las cuatro mostradas, existe una variante en las últimas dos soluciones, consistente en tomar la primera serie de cinco términos (del los periodos 1 a 5), en vez de tomarla de seis términos (de los periodos 1 a 6), como se hizo.. 9 Interés nominal e interés efectivo. En el mundo de los negocios y de los impuestos, un año ha sido y es el periodo en que se dan cifras totales. En los negocios se habla de declaraciones anuales, utilidad anual, etc., aunque las declaraciones financieras puedan calcularse en periodos menores de un año, la referencia siempre va a ser un periodo anual. Lo mismo sucede con los impuestos, aunque haya declaraciones parciales, ya sean mensuales o trimestrales, al final el pago, o la devolución de impuestos, siempre tendrá una base anual.

19

Con el manejo cotidiano del dinero es igual. Si se pide prestado o deposita dinero en cualquier banco, o se compra a crédito cualquier artículo, la tasa que se cobra siempre tiene una base anual, aunque los pagos (cobros), normalmente se realizan en intervalos más pequeños de tiempo, trimestres, meses e incluso semanas. Esta forma en que se maneja el dinero, ha dado origen a los conceptos de interés nominal e interés efectivo. Véase el siguiente ejemplo: Ejemplo 13.- Una persona pide un préstamo a un banco por $10 000 por el que se cobra un interés de 24 % anual. Las condiciones son que el capital deberá ser pagado al final de un año. Determinar la cantidad de dinero que acumula en banco si: a).- El interés se paga una sola vez a fin de año. Solución: Interés = 10 000(0.24) = 2 400 Cantidad acumulada a fin de año = 10 000 + 2 400 = $12 400 b).- El interés de 24 % anual se paga en dos partes: la primera al final del primer semestre por $1 200 y la segunda parte por la misma cantidad al final del año, lo cual es equivalente a pagar un interés de 12 % semestral. Aquí está el enfoque que tiene un hombre de negocios y una persona normal con una deuda. Para la persona que debe, probablemente sea indiferente pagar $2 400 a fin de año, que dos veces $1 200, sin embargo, para el banco o para los hombres de negocios, no es igual. En todo caso, si se supone que el banco recibe el primer pago y lo gurda en la caja fuerte, entonces para el banco también sería igual, pero es obvio que no es así. Cualquier dinero que recibe el banco, de inmediato lo vuelve a prestar, pues ese es su negocio, o en todo caso lo reinvierte en otra opción, pero nunca lo deja inmóvil. El diagrama de flujo de esta operación es: F=?

0

1 semestre

1 200

2 semestre

1 200 + 10 000

Gráfica 19 En este caso, el pago que recibe el banco al final del primer semestre lo vuelve a prestar a la misma tasa semestral de 12 %, por lo que gana el 12 % sobre $1 200 que ha recibido. Los datos del problema no dan más elementos para suponer que el banco pudiera prestar la cantidad de $1 200 que ha recibido al final del primer semestre, a otra tasa de interés. La suposición es que repite exactamente la misma operación con otro cliente. La cantidad acumulada a fin de año es: F = 1 200 + 1 200(0.12) + 1 200 + 10 000 = $12 544 c).- El interés de 24 % anual se paga en cuatro partes iguales: se pagan $600 al final de los trimestres 1, 2, 3 y 4, lo cual es equivalente a pagar un interés de 6 % trimestral. El diagrama de flujo es: Se hace la misma suposición que en el inciso b), es decir, que cada vez que el banco recibe un pago, lo vuelve a prestar a la misma tasa de 6 % trimestral. La cantidad acumulada a fin de año es: F = 600(1.06)3 + 600(1.06)2 + 600(1.06)1 + 600 + 10 000 = $12 624.7696 El diagrama de flujo de este inciso es:

20

F=?

0

1 trim

2 trim

600

600

3 trim

4 trim

600 600+10 000

Gráfica 20 O bien utilizando la fórmula 7 que calcula una cantidad en el futuro a partir de una serie uniforme de pagos:  (1.06) 4 − 1  F = 600   + 10 000 = 12 624.7696  0.06  La cantidad que queda como excedente de los $10 000 del préstamo a fin de año, de hecho es la tasa de ganancia anual. Por ejemplo, en el inciso a), el porcentaje de ganancia fue de 24 %, en el inciso b), fue de 25.44 % y en el inciso c), fue de 26.247696 %. Obsérvese como al reducir el periodo en el cual se cobra el interés, se acumula más dinero a fin de año, a pesar de que en todos los incisos se está cobrando un interés anual de 24 %. Esto lleva a decir que el 24 % es la tasa de interés nominal anual, en tanto que la ganancia neta anual, expresada como porcentaje de ganancia es el interés efectivo anual, que en este caso fue de 25.44 % para el inciso b) y de 26.247696 para el inciso c). Existe una fórmula que hace el cálculo directo de la tasa de interés efectiva anual: n

i  i efectivaanual = 1 +  − 1 13  n donde: i = interés nominal anual n = periodos de capitalización del interés menores de un año. Obsérvese que la fórmula 13 es la misma fórmula básica desarrollada en un principio, excepto que el interés se divide por un número entero, que es el periodo de capitalización, dando lugar a la tasa de interés por periodo menor de un año. Con la fórmula 2.13 se van a recalcular los incisos a), b) y c) del ejemplo 13 y se va a seguir disminuyendo el periodo de capitalización del interés. Véase la siguiente tabla: Interés nominal anual

Periodo de capitalización menor de un año

Interés por periodo menor de un año

Interés efectivo anual

24 %

Anual

24 %

 0.24  1 +  − 1 = 0.24 1  

24 %

Semestral

0.24 = 0.12 2

 0.24  1 +  − 1 = 0.2544 2  

24 %

Trimestral

0.24 = 0.06 4

 0.24  1 +  − 1 = 0.26247696 4  

24 %

Mensual

0.24 = 0.02 12

 0.24  1 +  12  

24 %

Semanal

0.24 = 0.00461538 52

0.24   1 +  52  

52

24 %

Diario

0.24 = 0.00065753 365

 0.24  1 +  365  

365

1

2

4

12

− 1 = 0.2682418 − 1 = 0.27054745 − 1 = 0.27114878

21

24 %

Cada hora

----------

0.24   1 +  365 x 24  

365 x 24

− 1 = 0.27124207

Tabla 4 10 Interés contínuo Se observa que el interés efectivo anual se incrementa con cada disminución del periodo de capitalización. Se puede seguir disminuyendo ese periodo, pero hay un límite. El límite que se está buscando es: n

i  lim n →∞ 1 +  = e i n   De esta expresión se obtiene la fórmula de interés continuo: i contínuo = e ni − 1

14

donde: e = base de logaritmos naturales n = periodos de capitalización menores de un año i = interés nominal anual. Calculando el interés continuo para un interés nominal anual de 24 % se tiene:

i continuo = e 0.24 x1 − 1 = 0.27124915 Se observa que el resultado es ligeramente mayor que aquel obtenido cuando se capitalizó el interés cada hora. En el último cálculo la n = 1 debido a que para que el resultado pudiera ser comparable con los resultados de la tabla 4, es necesario calcular el interés efectivo anual, tal y como se hizo en la columna de la derecha de la tabla. ¿Tiene alguna utilidad práctica calcular interés con capitalización continua? Supóngase que usted compra algún instrumento de inversión como los Cetes que se venden en México), los cuales se adquieren en una Casa de Bolsa y tienen vencimientos en múltiplos de 7 días, siendo el plazo más corto de 7 días. Usted adquiere un lote de Cetes a un plazo de 7 días, un lunes y tendrá que esperar hasta el siguiente lunes para haber ganado un interés, y tendrá todo el día para poder cobrar el interés que ha ganado. Lo mismo sucede con los demás instrumentos y plazos que se contratan, lo cual significa que son periodos discretos. A su vez, esto significa que debe haber ciertos instrumentos de inversión o ciertas formas de manejar el dinero, donde el precio (costo) del dinero, cambie muy frecuentemente. Tales instrumentos son las llamadas opciones1. En 1973, los norteamericanos Black y Schöles, desarrollaron una fórmula para calcular el precio de las opciones en la Bolsa de Valores de Nueva York, y para ello utilizaron el interés continuo. El resultado práctico de esto, es que el precio de tales opciones, cambia de un momento a otro y muchas veces durante una sola jornada de la Bolsa, es decir, el precio al cual se compran las acciones, es mucho más real de lo que era en el pasado, pues su precio refleja casi al instante las condiciones del mercado. Todas las fórmulas hasta ahora presentadas, se pueden expresar con capitalización continua. Para obtenerlas, basta sustituir (1 + i)n por ein en cada una de las fórmulas de interés discreto, tal y como se muestra en la siguiente tabla:

Capitalización discreta F = P(1 + i)n  (1 + i ) n − 1  P = A n   i (1 + i ) 

Capitalización continua F = Pein  e in − 1  P = A in i   e (e − 1 

1

Las opciones pertenecen a los llamados instrumentos derivados, que son instrumentos utilizados para especular y para cubrir riesgos financieros en las empresas. Para mayor información puede consultarse un texto de Ingeniería Financiera.

22

 (1 + i ) n − 1  F = A  i  

 e in − 1  F = A i   e − 1  Tabla 5

11 Interés en periodos menores de un año. Es conveniente enfatizar que en el adecuado manejo del interés nominal y el interés efectivo, el concepto importante es el periodo de capitalización del interés, el cual es el lapso de tiempo que debe transcurrir para ganar (pagar) un interés. Lo que la tabla 4 muestra es que el interés efectivo anual es mayor conforme disminuye el periodo de capitalización, llegando a su límite con el interés continuo. El efecto que se genera fue el mostrado en el ejemplo 13, es decir, para una capitalización semestral del interés, hay que esperar un semestre para ganar un interés, para un mes hay que esperar un mes para ganar el interés, etc., pero cada vez que se gana un interés, el dinero se vuelve a reinvertir, y para el siguiente periodo se ganará interés no solo sobre el capital inicial, sino también sobre el interés o los intereses ganados en los periodos previos, es decir, sobre el interés que ya se volvió capital o interés capitalizado, por tanto, a menor periodo de capitalización, se van generando más rápido intereses que se convierten en capital con la misma rapidez. Se puede construir otra tabla que muestre como se pueden calcular tasas de interés efectivo en periodos menores de un año: Interés Periodo de Interés por Interés nominal capitalizaperiodo efectivo anual ción anual 24 % Anual 0.24 24 % 24 % Semestral 0.12 (1.12)2 24 % Trimestral 0.06 (1.06)4 24 % Bimestral 0.04 (1.04)6 24 % Mensual 0.01 (1.01)12 24 % Semanal 0.0046153 (1.0046)52 N.C.- No calculable o incorrecto si se calcula.

Interés efectivo semestral N.C. 0.12 (1.06)2 (1.04)3 (1.01)6 (1.004)26

Interés efectivo trimestral N.C. N.C 0.06 N.C. (1.01)3 (1.004)13

Interés efectivo bimestral N.C N.C N.C. 0.04 (1.01)2 (1.004)8

Interés efectivo mensual N.C N.C N.C. N.C. 0.01 (1.004)4

Interés efectivo semanal N.C N.C N.C. N.C. N.C. 0.00461

Tabla 6 Hay dos aspectos importantes que se deben resaltar de la tabla 6. La primera es la anotación NC o no calculable o incorrecto si se calcula. Esto significa que si se tiene una tasa, por ejemplo, de 24 % anual capitalizada semestralmente, teóricamente no tiene sentido calcular un interés efectivo en periodos menores a seis meses, ya que es necesario esperar seis meses para ganar un interés, y a esto se debe que cuando el periodo de capitalización es una semana sea posible calcular tasas de interés efectivas para cualquier periodo mayor a una semana. También, obsérvese que todos los exponentes de cualquier cálculo que aparece en la tabla 6, son el número de veces que el periodo de capitalización está contenido en el periodo mayor al cual se quiere calcular el interés efectivo, por ejemplo, se quiere calcular la tasa de interés efectiva semestral a partir de una tasa cuyo periodo de capitalización es mensual, el exponente es 6 porque hay 6 meses en un semestre, aunque hay también 26 semanas en un semestre, ya que el año tiene 52 semanas. Ejemplo 14.- Una persona ahorra $1 000 cada año de los años 1 a 5, en un Banco que paga un interés de 12 % anual. No se retira dinero. Calcular la cantidad que se acumula en el banco al momento de hacer el depósito número 5, si: a).- El interés se capitaliza anualmente: Solución: Este ejemplo es similar al ejemplo 5 y solo se calcula para fines de comparación. El diagrama de flujo es:

23

F=?

1

2

3

4

1000

1000

1000

1000

5

1000

Gráfica 21  (1.12) 5 − 1 F = 1 000   = 6 352.84736  0.12  b).- El interés se capitaliza semestralmente. Solución: La solución a este inciso puede plantearse en semestres o en años. Si es en semestres, habrá que calcular el interés semestral. Como se está pasando de un interés capitalizado de un periodo mayor (12 % anual), a un periodo menor (6 meses), el interés anual se divide entre el número de semestres que tiene un año, 0.12/2 = 0.06. Con un planteamiento de la solución en semestres, es imposible utilizar la fórmula condensada. El diagrama de flujo es el siguiente, donde s significa semestres: F=?

1s

1000

2s

3s

1000

4s

5s

1000

6s

7s

1000

8s

1000

Gráfica 22 Obsérvese que los $1 000 que se depositan en el año 1 se quedan depositados 8 semestres, ganando cada semestre un interés de 6 %, el segundo depósito se queda en el banco 6 semestres, etc. Obsérvese que el interés es semestral y el exponente de cada término también son semestres. F = 1 000(1.06)8 + 1 000(1.06)6 + 1 000(1.06)4 + 1 000(1.06)2 + 1 000 = 6 398.444147 Si se desea encontrar el resultado trabajando en años, entonces se deberá considerar un interés efectivo anual, ya que la tasa se capitaliza semestralmente y los depósitos son anuales. El diagrama de flujo es similar al que se muestra en la gráfica 21: 2

i efectivo

anual

 0.12  = 1 +  − 1 = 0.1236 2  

 (1.1236) 5 − 1 F =1 000  = 6 398.444147  0.1236  Obsérvese que la n de la fórmula condensada es el número de depósitos y no el número de periodos de capitalización del interés. Así como en la solución en semestres el interés era semestral y el exponente de cada término eran semestres (aunque los depósitos sean anuales, en este caso, en la fórmula condensada, los depósitos son anuales, el interés es anual, (efectivo anual ya que hay periodos de capitalización del interés menores de un año) y la n es el número de depósitos. c).- El interés se capitaliza mensualmente. Solución: Al igual que en el inciso anterior, aquí también se puede encontrar una solución en meses y otra en años. Para la solución en meses el diagrama de flujo es:

24

F=?

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1000

46 47

48

1000

1000

Gráfica 23 Como la solución es en meses y la tasa se capitaliza mensualmente, es necesario trabajar con un interés mensual. 0.12 = 0.01 i mensual = 12 Obsérvese de la figura 23 como el primer depósito se queda en el banco 48 meses, ganando cada mes el 1 % de interés. El segundo depósito se queda 36 meses, etc. F = 1 000(1.01)48 + 1 000(1.01)36 + 1 000(1.01)24 + 1 000(1.01)12 + 1 000 = 6 439.554538 Si se desea encontrar la solución en años, se deberá trabajar con el interés efectivo anual:

i efectivo

anual

 0.12  = 1 +  12  

12

− 1 = 0.12682503

 (1.12682503) 5 − 1  F =1 000  = 6 439.554538  0.12682503  Es digno de observarse en este ejemplo, que la cantidad que se acumula en el banco al momento de hacer el depósito número 5, se incrementa conforme disminuye el periodo de capitalización del interés, lo cual era de esperarse de acuerdo a las razones expuestas. Ejemplo 15.- Una persona deposita $10 000 en un Banco que paga un interés de 12 % anual. Desea hacer cinco retiros iguales al final de los años 1 a 5. Determínese el valor de cada uno de los 5 retiros iguales, de forma que con el último retiro se agote totalmente el depósito, si: a.)- El interés se capitaliza anualmente. Solución: Este problema tiene una solución directa por que los retiros y el interés tienen una base anual. A

A

A

A

A

1

2

3

4

5

12 000

Gráfica 24 Si se aplica la declaración básica de Ingeniería Económica se diría: la cantidad que se deposita es igual a la cantidad que se puede retirar, siempre que ambas cantidades, de depósito y de retiros se comparen a su valor equivalente en el mismo periodo de tiempo. Si se toma al presente como punto de comparación y resolviendo por la fórmula básica, entonces: A A A A A 10 000 = + + + + 1 2 3 4 (1.12) (1.12) (1.12) (1.12) (1.12) 5 Resolviendo por fórmula condensada:

25

 (1.12) 5 − 1  10 000 = A 5  0.12(1.12)  Con ambas soluciones es resultado es: A = 2 774.097319 b).- El interés se capitaliza semestralmente. Solución: Se pueden plantear dos soluciones: una en semestres y otra en años. La solución en semestres es: A

A

1s

2s

3s

A

5s

4s

A

A

6s

8s

7s

9s

10 s

12 000

Gráfica 25 En la gráfica 25 las s son semestres. Si se plantea así la solución, es imposible utilizar la fórmula condensada, de forma que la única solución es por medio de la fórmula básica, utilizando un interés 0.12 semestral de i semestral = = 0.06 : 2 10 000 =

A (1.06)

2

+

A (1.06)

4

+

A (1.06)

6

+

A (1.06)

8

+

A (1.06)10

Si se quiere resolver por fórmula condensada, se utiliza el diagrama de la gráfica 2.25 y un interés 2

 0.12  capitalizado anualmente cuyo valor es i efectivoanual = 1 +  − 1 = 0.1236 : 2    (1.1236) 5 − 1  10 000 = A 5  0.1236(1.1236)  En ambos casos el resultado es exactamente A = 2 798.879939. Se dijo en el enunciado del problema que los retiros deberían ser tales, que realizando el último, se agotaría totalmente el depósito. La comprobación de que la solución es correcta es la siguiente:

26

0 10 000

1 sem

1.06

10 600 1.06

2 sem 11 236 -2 798.879939 8 437.120061

1.06

3 sem 8 943.347265

4 sem

1.06

9 479.948101 - 2 798.879939 6 681.068162 1.06

5 sem 7 081.932252

6 sem

1.06

7 506.848187 - 2 798.879939 4 707.968248 1.06

7 sem 4 990.446343

1.06

8 sem 5 289.873124 -2 798.879939 2 490.993185

1.06

9 sem 2 640.452776

1.06

10 sem 2 798.879943 - 2 798.879939 0.00004

Tabla 7 Se puede observar de la tabla 7 que en los semestres nones no hay retiro y en los semestres pares es cuando se retira la anualidad, lo cual coincide con las indicaciones del diagrama de la gráfica 25. Desde luego que el resultado final obtenido como saldo no es cero absoluto debido al redondeo que hacen las calculadoras, pero se puede considerar como tal. También obsérvese que para pasar de los semestres 0 a 2, 2 a 4, etc., la cantidad que existe como saldo se multiplica dos veces por 1.06 que es el interés semestral, con lo que se obtiene (1.06)(1.06) – 1 = 0.1236. Esto explica por que en la solución con fórmula condensada se utiliza un interés de 12.36 %. c).- Interés capitalizado mensualmente. Solución: Con razonamientos similares a aquellos hechos en los problemas 14 y 15 b), se presentan las soluciones en meses y en años, obteniéndose el mismo resultado. Solución en meses, i mensual = 10 000 =

A (1.01)

12

012 = 0.01 12 +

A (1.01)

24

+

 0.12  Solución en años i efectivo anual = 1 +  12  

A (1.01)

36

+

A (1.01)

48

+

A (1.01) 60

12

− 1 = 0.12682503

27

  (1.12682503) 5 − 1 10 000 = A 5  0.12682503(1.12682503)  A = 2 821.152747 16.- Un mueble que tiene un precio de contado de $10 000 se compra a plazos. El trato es pagar 24 mensualidades iguales, realizando el primer pago al final del primer mes. El interés que se cobra es 3 % mensual. Inmediatamente después de pagar la mensualidad número 10, la empresa informa al comprador que el interés ha disminuido a 2 % mensual. Determinar el valor de cada una de las últimas 14 mensualidades que se deberán hacer para pagar totalmente la deuda. Solución. En este tipo de problemas, como no sabe que va a suceder en el futuro con las tasas de interés, el primer paso en la solución es calcular las 24 mensualidades con las que se pagaría la deuda, si no cambia el interés en el futuro.  (1.03) 24 − 1  10 000 = A 24   0.03(1.03)  A = $590.4741595 NOTA.- En este problema, como es un ejemplo de solución, los cálculos se hacen con siete cifras decimales para efectos de demostración. En general, la solución deberá contener sólo dos cifras decimales redondeando el último decimal. Continuando con la solución, ahora el problema consiste en determinar cuál es la deuda pendiente después de haber pagado 10 mensualidades, y éste cálculo se puede realizar de cuatro formas distintas. Solución a: ¿Cuánto se ha pagado con 10 mensualidades?

 (1.03)10 − 1  P = 590.4741595 = 5 036.864350 10   0.03(1.03)  Esta es la cantidad que se ha pagado, pero comparando el dinero en t0. El saldo insoluto o deuda restante se obtiene restando a la deuda en t0 que son $10 000, la cantidad que se ha pagado: 10 000 – 5 036.8643502 = 4 963.1356508 Esta cantidad es la cantidad que se debe en t0, pero en el problema interesa conocer cuál es la cantidad que se debe al final del mes 10: 4 963.1356508(1.03)10 = 6 670.0392913 Si esta es la nueva deuda, entonces el valor de cada una de las últimas 14 mensualidades, ahora con un interés de 2 % mensual es:  (1.02)14 − 1  6 670.0392913 = A 14   0.02(1.02)  A = $550.9583866 Solución b: Se hace una comparación similar, pero se toma como el periodo de comparación el final del mes 10: Saldo insoluto o deuda pendiente al final de t10 sin haber efectuado algún pago: 10 000(1.03)10 = 13 439.1638 Cantidad que se ha pagado de la deuda, con la aportación de 10 mensualidades de $590.4741595:  (1.03)10 − 1  F = 590.4741595  = 6769.124501  0.03  La resta de ambas cantidades, lo que se debe menos lo que se ha pagado, determinará directamente el saldo insoluto o deuda pendiente al final de t10 : 13 439.1638 – 6 769.124501 = 6 670.039299 La diferencia con el resultado anterior se debe al redondeo de cifras. Con esta cantidad se calcula el valor de cada una de las 14 mensualidades restantes:  (1.02)14 − 1  6 670.039299 = A 14   0.02(1.02) 

28

A = $550.9583873 Solución c: Una solución más directa es traer a su valor equivalente las 14 mensualidades que no se han pagado, lo cual determinará directamente cuál es el saldo insoluto después de haber pagado 10 mensualidades. En este cálculo todavía se utiliza una i = 3 % mensual, puesto que solo determina el saldo insoluto y aún no intenta calcular la nueva mensualidad:  (1.03)14 − 1  P10 = 590.4741595 = 6 670.039293 14   0.03(1.03)  Con este resultado se vuelve a calcular el valor de cada una de las 14 mensualidades restantes con el nuevo interés de 2 % mensual, las cuales arrojan un valor de A = 550.9583868. Como se podrá observar, los resultados son casi idénticos, mostrando variación de resultados hasta el sexto decimal. Solución d: Una solución mucho más sencilla, pero mucho más laboriosa, es ir determinando mes a mes, cual es el saldo insoluto que queda después de pagar esa mensualidad, tal y como se ha mostrado en la parte teórica. Si se sigue este procedimiento haciendo el cálculo para 10 meses, se llegará a resultados idénticos que en las tres soluciones anteriores. 17 Se tiene una deuda por $10 000 para pagar en 24 mensualidades iguales, empezando a pagar al final del primer mes después de adquirir la deuda. Se cobra un interés de 12 % anual con capitalización mensual. Inmediatamente después de realizar el pago al final del mes 8, se le informa al deudor que el interés del préstamo disminuyó a 9 % anual. Determinar el valor de cada una de las últimas 16 mensualidades que se deben pagar para saldar totalmente la deuda. DATOS: P = 10 000; n = 24; i = 12 % anual capitalizado mensualmente; imensual =0.12/12 = 0.01 Solución. Este tipo de problemas se resuelve en dos partes. La primera es, desde luego, calcular el valor de cada una de las 24 mensualidades iniciales. Es decir, si el estudiante se sitúa en el lugar del deudor, al adquirir la deuda, nadie sabe lo que va a pasar en el futuro, de forma que inicialmente se calculan las 24 mensualidades, y es hasta el final del octavo mes en que cambian las condiciones del problema, lo cual se convierte en la segunda parte de la solución. Cálculo de 24 mensualidades iguales:  (1.01) 24 − 1  10 000 = A 24   0.01(1.01)  A = $470.7347222 En este problema se utilizarán siete cifras decimales para efectos de demostración. En un problema propuesto normal, la solución sería simplemente $470.73. Ahora supóngase que han transcurrido ocho meses desde que se realizó el primer pago, y se le informa al deudor que la tasa de interés del préstamo disminuyó a 9 % anual con capitalización mensual. La primera pregunta que se debe contestar en esta segunda parte del problema es ¿Cuál es la nueva deuda después de haber pagado ocho mensualidades? La respuesta se puede obtener, al menos de tres formas distintas, dependiendo del periodo en que se quiera comparar el dinero a su valor equivalente. Estos periodos son t0, t8 y t24. Comparación del dinero en t0: Pasar a su valor equivalente a t0 los ocho pagos que se han realizado:  (1.01) 8 − 1  P = 470.7347222  = 3 601.910401 8  0.01(1.01)  Se tiene una deuda inicial de $10 000 en t0 y se han pagado $3 601.910401. La nueva deuda en t0 es: 10 000 – 3 601.910401 = 6 398.089599 Pero en realizad lo que interesa es conocer esta deuda a su valor equivalente en t8, que es el periodo donde cambia el interés: 6 398.089599 (1.01)8 = $6 928.214189 Comparación en t8: La deuda de 10 000 se lleva a su valor equivalente a t8: 10 000 (1.01)8 = 10 828.5671 También los ocho pagos que se han hecho se llevan a t8 a su valor equivalente:

29

 (1.01) 8 − 1  F = 470.7347222   = 3 900.352831  0.01  Se resta la cantidad que se debe menos la cantidad que se ha pagado, el resultado será la nueva deuda después de pagar 8 mensualidades: 10 828.5671 – 3 900.352831 = $6 928.214269 La diferencia entre los resultados obtenidos comparando el dinero en t0 y en t8 es de tan solo 0.00008, lo cual por el efecto de redondeo de las calculadoras, se considera que es exactamente el mismo resultado. Otra forma de cálculo, también tomando como periodo de comparación a t8, es llevar a su valor equivalente a t8 todos los pagos que no se han efectuado, es decir 16 pagos. Directamente calcular el valor presente en t8, de los pagos que no se han hecho es equivalente a calcular la deuda pendiente después de realizar 8 pagos:  (1.01)16 − 1  P = 470.7347222  = 6 928.214225 16   0.01(1.01)  Este resultado difiere de los dos resultados anteriores en exactamente 0.000044, de manera que se consideran resultados iguales. Se deja al alumno hacer el mismo tipo de cálculos, pero ahora tomando como punto de comparación del dinero a t24. Existe una cuarta forma de llegar al mismo resultado, y esta consiste en calcular mes por mes, cual es el saldo insoluto o deuda pendiente, es decir, se está hablando de un procedimiento similar a aquel mostrado en la Tabla 2.1 Cualquiera que se el método utilizado, y habiendo obtenido la deuda pendiente o saldo insoluto después de pagar 8 mensualidad iguales, cuyo valor es $6 928.214225, se calcula el valor de la nueva mensualidad, restando propagar solo 16 mensualidades. Ahora el nuevo interés es de 0.09 i mensual = = 0.0075 12  (1.0075)16 − 1  6 928.214225 = A 16   0.0075(1.0075)  A =$461.1335244 Concepto de Valor Presente Neto (VPN) y Tasa Interna de Rendimiento (TIR).

Para explicar este tema, primero es necesario preguntar ¿Para que invierte una persona? Si alguien invierte es porque le sobra un poco (o un mucho) de dinero. Si le sobra ese dinero, inicialmente esa persona tiene dos opciones: o gastar ese dinero o invertirlo. Si lo gasta en el presente y ya no invierte, generalmente va a haber un consumo de algo, de bienes o servicios, ese consumo le va a proporcionar una satisfacción y en términos formales, una utilidad. Si decide invertir en vez de gastar, entonces lo que espera es que el consumo en el futuro sea mayor que en el presente, por tanto, espera que en el futuro el consumo, la satisfacción y la utilidad sean mayores que el consumo, la satisfacción y la utilidad que obtendría en el presente por consumir. Una vez que en las secciones anteriores se ha mostrado la forma en que el dinero cambia su valor a través del tiempo, ahora supóngase que se presenta una propuesta de inversión con las siguientes características:

260

1

310

330

400

505

2

3

4

5

1000

Gráfica 26 La pregunta es ahora ¿cuál decisión debe tomar el inversionista, invertir o no invertir? Desde luego que debe tener algunos criterios para tomar tal decisión. El primer criterio es fijar la llamada tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR), es decir, una tasa que el inversionista debe fijar su valor basado en el riesgo que corre en la inversión. En este momento solo ha aparecido un diagrama de flujo de efectivo, pero no se sabe el tipo de inversión que es, puede ser una inversión en una empresa productiva de cualquier sector de la economía, incluyendo servicios tales como turismo, telefonía celular, etc., o bien

30

puede ser una inversión especulativa como invertir en un portafolio en la Bolsa de Valores. Como quiera que sea, lo primero que debe saber el inversionista potencial es el tipo de negocio en el que va a invertir para asignar un valor a la TMAR. El valor de la TMAR está determinado inicialmente por el riesgo de la inversión. No es lo mismo invertir para elaborar refrescos envasados, que producir maquinaria industria, que un hotel en una playa turística. Los riesgos de cada inversión son distintos y por tanto, la TMAR para cada alternativa de inversión también debe ser distinta. El segundo criterio que ya sabe el inversionista es que para comparar el dinero adecuadamente, se debe llevar o trasladar a su valor equivalente a un solo instante en el tiempo, que normalmente es el presente. El tiempo presente es un instante muy utilizado para comparar dinero, ya que es el único momento en que se sabe cuál es el verdadero poder adquisitivo del dinero. Cualquier otro instante en el futuro siempre presentará incertidumbre. Por tanto, los flujos de efectivo mostrados en el diagrama habrá que llevarlos al presente de la siguiente forma: 260 310 330 400 505 VPN = −1000 + + + + + 1 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 5 Se le llama Valor Presente Neto (VPN), porque obsérvese que si solo se suman los flujos de efectivo de las ganancias probables que está prometiendo la inversión, se estaría calculando el valor presente de esas ganancias, pero al momento en que se resta la inversión inicial ($1,000), entonces el resultado que se obtenga va a ser la cantidad neta restante, que se tiene después de haber recuperado la inversión inicial. De acuerdo al criterio señalado a la pregunta ¿Por qué se invierte?, parece claro que para aceptar una inversión el VPN debe ser mayor que cero, ya que implicaría haber recuperado la inversión original y ganar una cantidad extra. En caso de ser negativo el VPN, implicaría que a la tasa de referencia, ni siquiera es posible recuperar la inversión inicial, por tanto, si el VPN es menor que cero habría que rechazar la inversión. Como ya ha sido comentado, la TMAR la fija el inversionista, con base en el riesgo que él haya analizado que tiene la inversión que pretende realizar; el análisis de riesgo puede ser cualitativo, es decir, que el inversionista lo está percibiendo con base en su experiencia, o bien puede ser cuantitativo. Como quiera que esto sea, supóngase que hay seis diferentes inversionistas para invertir en esta propuesta de inversión y que cada uno de ellos tiene diferente percepción del riesgo, por tanto, ha asignado diferente TMAR a la inversión, y por tanto, cada uno de ellos obtiene un VPN diferente. En la tabla 8 se muestran los resultados: Inversionista 1 2 3 4 5 6

TMAR 5% 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

$VPN 538.62 327.26 157.24 18.76 - 95.32 - 190.30

Tabla 8 La primera pregunta es ¿Cuál de todos los inversionistas gana más? Si se observa la forma en que está calculado el VPN, el resultado está expresado en dinero. El inversionista 1 podría decir que el resultado que obtuvo es equivalente a que él invierta $1 000, gane el 5 % cada año durante 5 años (que es el horizonte de análisis), y que además, el banco o sitio donde invirtió, le diera $538.62 al momento de hacer la inversión. El inversionista 4 diría que a pesar de que su resultado es equivalente a ganar cada año durante 5 años el 20 % sobre su inversión, solamente le darían al momento de invertir $18.76 extras, y por último, los inversionistas 5 y 6 dirían que ellos en vez de ganar, perderían, dado el resultado obtenido en su VPN ¿Es esto cierto? Obsérvese que se ha utilizado la expresión su resultado es equivalente a, y lo cierto es que todos están ganando lo mismo. Esto puede comprobarse fácilmente observando que los flujos de efectivo de la gráfica 26 no cambian para ninguno de ellos, por tanto, todos ganarían lo mismo. Entonces ¿Qué interpretación debe darse a los VPN obtenidos? El VPN, tal y como se calcula, simplemente indica si el inversionista está ganando, más o menos del porcentaje de ganancia que él mismo fijo como mínimo aceptable, esto es, para los inversionistas 1, 2, 3 y 4, que solicitaron una ganancia al menos de 20 % para aceptar invertir, el proyecto del ejemplo, definitivamente ofrece un rendimiento superior al 20 %, en tanto que los inversionistas 5 y 6, no es que pierdan si invierten, sino que la interpretación es que el proyecto no proporcionará la ganancia que ellos

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están solicitando como mínima para realizar la inversión, es decir, el proyecto no rinde ni el 25 % y menos el 30 %. Por eso es que los criterios para tomar una decisión con el VPN son: - Si VPN > 0 aceptar invertir, ya que se estaría ganando más del rendimiento solicitado. - Si VPN