Letrillas El azar: La vida entre el cosmos y el caos Reseña del libro “Probabilidad: Curso Introductorio” de la Profesora Luz María Lavín Alanís, publicado por la Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Estudios Superiores Acatlán, en 2012.

La palabra “cosmos” se deriva del griego κόσμος que significa orden u ornamentos. El cosmos es también el sistema supuestamente armónico y ordenado en el cual vivimos, es decir, el universo. Cuando uno mira las estrellas en una noche despejada o cuando disfrutamos de videos maravillosos como el del telescopio espacial James Webb de la NASA (2013) , en verdad tenemos la clara sensación de que vivimos en un espacio regido por el orden y la belleza. El cosmos es una aspiración humana. Los cosméticos y cosmetólogos tienen el objetivo de poner orden y armonía en los rostros humanos y hacerlos, tal vez, más amables. La antítesis del cosmos es el “caos”, que también se deriva del griego. El caos se relaciona con lo impredecible y desordenado. Por lo mismo, el caos también tiene su ingrediente de misterio y atracción. La vida sería tremendamente aburrida y sosa si todo fuera predecible con certeza. Los elementos caóticos hacen que cada día sea algo distinto de lo que planeamos, aún para nuestras actividades más sencillas. Por supuesto, tampoco querríamos vivir en un desorden absoluto, cada minuto con la angustia de lo que pudiera pasar. Pues bien, si uno ha tenido el privilegio de conocer a la profesora Luz María Lavín, sabrá que encierra en su persona, simultáneamente, el cosmos y el caos. En ella conviven el cosmos de su generosidad, su lealtad con los amigos, su solidaridad con quienes necesitan apoyo, su alegría y su hermosa sonrisa; con el caos de una vida ajetreada llena de sucesos peculiares y variados, las mil pruebas que ha resistido su increíble fortaleza, junto con su capacidad de aparecer y desaparecer en cada minuto como por arte de magia. Por ello, Luz María Lavín es una excelente representante de la vida. La vida no es cosmos ni caos, sino una mezcla perfecta de estas dos sustancias. La vida nos permite Núm. 17, ene-abr. 2014, pp. 164-169

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organizarnos y planear, pero también nos sorprende y sacude de vez en cuando, para que seamos capaces de volvernos a poner de pie y mirar todo con ojos nuevos. Tenemos proyectos y trabajamos para cumplirlos, pero a veces irrumpen en ellos factores impensados que nos obligan a repensar las ideas y explorar caminos que no habíamos imaginado. Las circunstancias nos descolocan para sacarnos de nuestra zona de confort y obligarnos a crecer sin remedio. La vida es ese camino intermedio entre el orden y el caos. De ahí que Luz María Lavín sea la escritora más adecuada para llevarnos de la mano por el mundo real que transita entre ambos, unas veces más para acá y otras veces más para allá. Este mundo se caracteriza justamente por la probabilidad, por el azar, por los modelos aleatorios o hasta estocásticos, si queremos usar una palabra más dominguera. Ahí es donde vivimos, donde tomamos decisiones y donde queremos lograr siempre algo mejor. Estaríamos de acuerdo con Ogunnaike (2011), cuando dice que “los fenómenos que varían de forma aleatoria ejercen una influencia sutil pero penetrante, en la vida cotidiana”. Así pues, nuestra existencia no es caos ni cosmos, sino probabilidad. La mayoría de los acontecimientos son poco probables o muy probables; casi ninguno es predecible con certeza o netamente sorpresivo, aun en nuestro México, donde Franz Kafka sería un autor costumbrista. Por fortuna, tenemos un gran poder de planear y dirigir nuestra vida. Somos conscientes de nuestros pensamientos, nuestros actos y sus consecuencias. En nuestras manos está acercarnos al éxito o al fracaso, hacer felices a otros, cuidar nuestro cuerpo y nuestra salud, disfrutar con los seres queridos, gozar el arte y expresarnos, entre muchas otras cosas. La vida está llena de probabilidades y será más plena si somos capaces de adentrarnos en este tema y manejarlo con maestría. El libro de la Profesora Lavín tiene un nombre a la vez cálido y modesto: “Probabilidad: Curso Introductorio”. Al igual que en sus clases, los alumnos pueden sentirse bien recibidos y bien tratados en él. Pueden recorrerlo con toda confianza, con la certidumbre de que está hecho para guiarlos con cuidado y, por supuesto, de manera amena. Entre sus ejemplos hallaremos el encuentro Pumas-Atlante, la elección de representantes políticos, las creencias religiosas y la opinión sobre la pena de muerte, además del virus del papiloma humano, los fumadores de mariguana y los pozos petroleros. Parecería una colección extraña y sorprendente, pero tiene toda una lógica para quienes conocemos a la Maestra Lavín. El primer capítulo se centra en los conceptos fundamentales de la probabilidad y el análisis combinatorio. Como bien señala Bennet (1999), “todos hemos

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sido tocados de algún modo por las leyes del azar”. Así que nos atañe directamente comprender términos tales como “evento simple”, “evento compuesto” o “cardinalidad”. Para ello, se nos “adoctrina” como diría Jakob Bernoulli (Maseres et al., 1795) en esa maravilla de la vida que es la combinatoria, que significa que podemos crear cientos o miles de variantes si engarzamos unos cuantos eventos diferentes. ¿Cuántas pizzas distintas pueden hacerse con ocho ingredientes? O bien, ¿cuántas formas de decir “te amo” se pueden construir con un alfabeto de 27 letras? ¿Cuántos seres humanos irrepetibles de carne y hueso pueden nacer a partir de la combinación de los genes que existen hasta hoy? Todas preguntas inquietantes y románticas. También aparece en escena la probabilidad inversa formulada por Thomas Bayes (Dale, 1999), que busca atacar el interesantísimo problema de determinar la probabilidad de una causa dada la ocurrencia de su efecto. Es decir, se trata de calcular la epónima probabilidad bayesiana que hoy es, según Box y Tiao “de mayor énfasis para el interés científico y de menor énfasis para la conveniencia matemática” (2011). Este tipo de probabilidades es la nueva base para la estadística inferencial y, gracias a la posibilidad de hacer cálculos intensivos con las computadoras actuales, ha promovido aplicaciones que ayudan a comprender el mundo. El libro que nos ocupa permite acercarse con toda confianza a problemas reales. Por ejemplo, puede demostrarse que la probabilidad de que una persona en Estados Unidos tenga cáncer de pulmón, dado que es fumador, está entre 0.51 y 0.57%. ¡Mucho más baja de lo que hubiéramos pensado! En el Capítulo 2, la profesora Lavín aborda el tema de las variables aleatorias y sus distribuciones. Nos explica con toda sencillez esa introducción misteriosa que formuló en su momento Cramer (2004): En los más variados campos de la experiencia práctica y científica ocurren casos donde ciertas observaciones o ensayos pueden repetirse muchas veces, en circunstancias semejantes. Nuestra atención se dirige entonces hacia cierta cantidad, que puede asumir diferentes valores numéricos en observaciones sucesivas. En muchos casos, cada observación arroja no una, sino varias cantidades, digamos k, de modo que podemos decir que el resultado de cada observación es un punto definido X en un espacio de k dimensiones…

Poco a poco, se hace un recorrido que nos acerca un conjunto de términos que son la taxonomía clásica de las distribuciones de probabilidad. Hoja tras hoja nos apropiamos de las distribuciones discretas, como la Bernoulli, la 166

Una encuesta sobre prácticas anticonceptivas encontró que el método más usado en todo el mundo es la frase: “Ahorita no querido, tengo dolor de cabeza”, por parte de algún integrante de la pareja. Con base en una encuesta aplicada a 2,000 personas, se detectó que la frase se usa en promedio 100 veces al año con una desviación estándar de 15. ¿Se puede determinar qué proporción del público presente en este auditorio usa este argumento por lo menos 115 veces al año; o menos de 70 veces; o entre 106 y 112 veces?

¿Quieres saber la respuesta? Revisa el libro de la Maestra Lavín. El Capítulo 3 está dedicado a los momentos de las funciones de distribución. Los “momentos” son términos tomados de la física. El momento de primer orden funciona como el centro de gravedad (Reichenbach, 1971) de la función; es una medida importante de tendencia central: la media. Por su parte, el momento de segundo orden más común es la dispersión, que sería similar al concepto de momento de inercia. Este momento explica por qué la patinadora de hielo Julia Liptinskaia gira más lento si abre los brazos y más rápido si los cierra sobre su cuerpo (Figure Skating Arts, 2014). Esto tiene que ver con la distribución de la masa alrededor de un eje de rotación, que sería en este caso el centro de gravedad de la función. Con ideas semejantes a éstas se da paso a la formulación de funciones generatrices de momentos y funciones características. 167

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binomial y la Poisson. Podemos observarlas en acción y detectar relaciones interesantes entre ellas. Por ejemplo, la binomial y la geométrica se forman con eventos Bernoulli y al final de cuentas, la Poisson también, porque justo es el límite de la distribución binomial cuando el número de ensayos es grande y la probabilidad de éxito es pequeña. Los eventos Bernoulli son como los unos y ceros de la computadora: están encendidos o apagados. Los eventos Poisson imaginan que el tiempo está conformado por miles y miles de pequeñísimos eventos Bernoulli, pegados unos a otros, formando la cadena de acontecimientos que ocurren… o no, en nuestras vidas. Enseguida, desfilan algunas de las distribuciones continuas más importantes, como la Gamma y la Beta, con sus imponentes nombres de letras griegas que se traducen en integrales presentadas al lector de manera accesible y práctica. Les sigue la entrañable distribución normal. Es la distribución que ha sido la base de muchos avances técnicos y científicos. Norman y Strainer (2007) plantean su uso con un ejemplo que puede resultar claro aún para quienes no aprecian mucho la estadística:

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Por último, el libro concluye con un capítulo dedicado a los vectores aleatorios. Algunos recordamos los vectores como las pequeñas flechas que aprendimos en la Física de la preparatoria. En este caso, los vectores nos permiten escaparnos del universo abstracto de los números escalares, para viajar al más interesante espacio de las n-dimensiones (Barbeito y Villalón, 2003). En lugar de estudiar una sola variable aleatoria y su comportamiento, ahora tenemos un conjunto ordenado de ellas, que puede representar el valor de algún fenómeno en distintos momentos del tiempo, por ejemplo. Esto enriquece el panorama porque permite manejar distribuciones de probabilidad multivariadas, procesos estocásticos y modelos estadísticos lineales. Con estos modelos podremos detectar, por ejemplo, que en el México de hoy los matrimonios van a la baja, los divorcios al alza y la vejez imperará en la pirámide demográfica. No podría decir si esto nos hace afortunados o es motivo de preocupación. Lo que puedo decirles con certeza es que este libro es un documento útil y práctico para quienes somos del área de matemáticas, y para quienes no, también. Es un buen estímulo para pensar y para ubicarnos entre el cosmos y el caos, en ese camino donde “el azar será nuestro compañero de marcha [y] la belleza será nuestra guía” (Ekeland, 1998). Invitamos a todos a leer este libro y a la Profesora Lavín a seguir recorriendo este camino en compañía de quienes tanto la apreciamos. MariCarmen González Videgaray

Referencias ࣩࣩ BARBEITO, J. M. y VILLALÓN, J. G. (2003). Introducción al cálculo estocástico aplicado a la modelización económico-financiero-actuarial: Netbiblo. ࣩࣩ BENNETT, D. J. (1999). Randomness: Harvard University Press. ࣩࣩ BOX, G. E. P. y TIAO, G. C. (2011). Bayesian Inference in Statistical Analysis: Wiley. ࣩࣩ CRAMER, H. (2004). Random Variables and Probability Distributions: Cambridge University Press. ࣩࣩ DALE, A. I. (1999). A History of Inverse Probability: From Thomas Bayes to Karl Pearson, 2nd edition: Springer New York. ࣩࣩ EKELAND, I. (1998). Al azar: la probabilidad, la ciencia y el mundo: Gedisa.

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ࣩࣩ NASA. (2013). Seeing Beyond - The James Webb Space Telescope. Fecha de consulta: 11/02 2014, en: ࣩࣩ NORMAN, G. R. y STREINER, D. L. (2007). Biostatistics: The Bare Essentials: B.C. Decker. ࣩࣩ OGUNNAIKE, B. A. (2011). Random Phenomena: Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers: Taylor & Francis. ࣩࣩ REICHENBACH, H. (1971). The Theory of Probability: University of California Press.

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ࣩࣩ MASERES, F., BERNOULLI, J. y WALLIS, J. (1795). The doctrine of permutations and combinations: being an essential and fundamental part of the doctrine of chances; as it is delivered by Mr. James Bernoulli, in his excellent treatise on the doctrine of chances, intitled, Ars conjectandi, and by the celebrated Dr. John Wallis, of Oxford, in a tract intitled from the subject, and published at the end of his Treatise on algebra: in the former of which tracts is contained, a demonstration of Sir Isaac Newton's famous binomial theorem, in the cases of integral powers, and of the reciprocals of integral powers. Together with some other useful mathematical tracts. Published by Francis Maseres, esq: Sold by B. and J. White.

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ࣩࣩ FIGURE SKATING ARTS. (2014). Julia Lipnitskaia - Closing Gala - 2014 European Figure Skating. Fecha de consulta: 11/02 2014, en: