1

LEYES DE LA DINÁMICA Y APLICACIONES Ejercicios de la unidad 14 Cuestiones. 1.-

¿Qué opinas de la siguiente afirmación?: Andamos gracias al rozamiento. Si no existiera éste no lo podríamos hacer. ⌦

2.-

¿Por qué tienen dibujo las ruedas de los coches? ¿Qué ocurre cuando están muy desgastadas? ⌦

3.-

¿Porqué un objeto que está en reposo en un plano inclinado, y por lo tanto debe existir un equilibrio de fuerzas, no tiene porqué moverse al aplicar una fuerza nueva, que lógicamente rompe el equilibrio de fuerzas existente anteriormente? ⌦

4.-

Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Cuando un coche toma una curva, además del peso y la normal, sólo existe la fuerza del motor; b) Cuando la carretera está helada se ponen cadenas en los coches para aumentar el rozamiento; c) La fuerza centrífuga es la fuerza de reacción de la fuerza centrípeta. ⌦

Leyes de Newton. 5.-

¿Cuál será el módulo de la fuerza que se aplicará sobre un objeto de 15 kg de masa si éste ha aumentado su velocidad 50 km/h en un tiempo de 6,2 s, suponiendo que no existiera rozamiento? ⌦

6.-

Calcula la aceleración que sufrirá un cuerpo de 20 kg de masa situado en una superficie horizontal cuando se le aplica una fuerza de 80 N si sabemos que los coeficientes de rozamiento estático y cinético son 0,3 y 0,2 respectivamente. ⌦

7.-

Un bloque de 3 kg, en reposo sobre una superficie horizontal con un coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie de 0,2, adquiere una aceleración de 2,5 m/s2 cuando actúa una fuerza sobre él. Calcula: a) El módulo de la fuerza. b) La distancia recorrida por el bloque en 3 s. ⌦

8.-

Dos personas de 80 y 50 kg respectivamente se encuentran en reposo sobre una superficie sin rozamiento. Si la primera empuja a la segunda con una fuerza de 150 N. Calcula la aceleración adquirida por cada una de ellas. ⌦

9.-

Aplicamos una fuerza horizontal de 200 N a un cuerpo de 30 kg de masa apoyado sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,2, calcula: a) la fuerza de rozamiento, b) la aceleración del cuerpo: c) su velocidad al cabo de 3 s si partió con una velocidad de 10 m/s. ⌦

10.- Una caja de 60 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. a) Calcula el coeficiente de rozamiento estático si necesitamos tirar con una cuerda que forma un ángulo de 20º con la horizontal de la misma con una fuerza de 160 N para que empiece a moverse; b) ¿Cuál será la aceleración de la caja si mantenemos dicha fuerza y sabemos que el coeficientes de rozamiento cinético es el 80 % del estático? ⌦

2 11.- Aplicamos una fuerza de 60 N, que forma un ángulo de 45º con la horizontal, a un cuerpo de 10 kg de masa. Calcula la aceleración del cuerpo si éste se mueve por un plano horizontal si sabemos que el coeficiente de rozamiento cinético es 0,25. ⌦

Impulso mecánico y cantidad de movimiento. 12.- Si se ejerce una fuerza de 100 N sobre un cuerpo de 50 kg, que se encontraba en reposo, durante 6 s. Calcular: a) El impulso mecánico. b) La velocidad que adquiere el cuerpo y su cantidad de movimiento inicial y final. ⌦ 13.- Una pelota de 150 g choca perpendicularmente contra la pared de un frontón con una velocidad de 50 km/h y saliendo rebotada con 40 km/h Si el tiempo de contacto entre la pelota y la pared es de 5 centésimas de segundo. Calcula: a) la cantidad de movimiento inicial y final de pelota. b) la fuerza media ejercida por la pared sobre la pelota; c) el impuso mecánico sufrido por la pelota al chocar contra la pared. ⌦ 14.- Una pareja de patinadores de 50 kg y 70 kg chocan frontalmente con velocidades de 5 m/s y 3 m/s, respectivamente. Si los patinadores quedan unidos después del choque, calcula su velocidad final. ⌦ 15.- Se deja caer una pelota de 150 g desde una altura de 5 m, sobre un piso duro, y rebota exactamente hasta la misma altura. ¿Cuál es el impulso recibido sobre la pelota, durante los 0,015 s que estuvo en contacto con el piso? ⌦ 16.- Un satélite de comunicaciones de 4000 kg de masa se puede disparar del compartimiento de carga del trasbordador espacial mediante resortes. Determinado satélite se dispara a 0,3 m/s. a) ¿Qué impulso transmiten los resortes? b) Si los resortes trabajan durante un p eriodo de 0,2 s, ¿Qué fuerza promedio ejerce el resorte? ⌦ 17.- Calcula la velocidad de retroceso de una pistola de 1,5 kg que dispara un proyectil de 25 g a una velocidad de 600 m/s. ⌦ 18.- Calcula la velocidad final de un sistema formado por una masa de 15 kg a una velocidad de 10 m/s que choca por detrás de otra de 8 kg que se mueve a 6 m/s si una vez que chocan ambos cuerpos se desplazan unidos. ⌦ 19.- Una bola de billar de 130 g choca a una velocidad de 3 m/s con otra bola igual que se encuentra en reposo. Después del choque, la primera bola se mueve en una dirección que forma 25º con la inicial, y la segunda con –45º con la dirección inicial de la primera. Calcula: a) el módulo de la velocidad final de ambas bolas; b) la cantidad de movimiento de cada bola antes y después del choque ⌦ 20.- Dos bolas de billar de igual masa chocan con velocidades de 3 y 4 m/s, en un ángulo de 120º. Si después del choque, la primera bola se desvía 30° de su dirección inicial, y la segunda bola sigue la dirección inicial de la primera pero en sentido opuesto. ¿Cuál serán los módulos de las velocidades finales de ambas bolas después del choque? ⌦

1 2 Antes

120º Después

2

1 30º

3

Planos inclinados. 21.- Calcula el módulo de la fuerza normal que actúa sobre un cuerpo de 80 kg de masa cuando: a) el cuerpo está apoyado sobre un plano horizontal: b) el cuerpo está apoyado sobre un plano inclinado 25° con respecto a la horizontal. ⌦ 22.- Aplicamos una fuerza de 110 N a un objeto de 10 kg situado en un plano que forma un ángulo de 60º con la horizontal, paralela al mismo y hacia arriba. ¿Conseguiremos moverlo? En caso de que lo haga, calcula la aceleración Sabemos que los coeficientes de rozamiento estático y cinético son respectivamente 0,1 y 0,08. ⌦ 23.- Un objeto de 30 kg de masa desciende por un plano inclinado 25° con respecto a la horizontal. Calcula la aceleración del objeto si: a) no existe rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie es de 0,35. ⌦ 24.- Deseamos subir un objeto de 150 kg por un plano inclinado 20º con respecto a la horizontal, los coeficientes de rozamiento estático y cinético son respectivamente, 0,3 y 0,25. a) ¿Será necesario sujetarlo para que no se deslice hacia abajo, y en caso de que lo sea, con qué fuerza? Calcula: b) la fuerza que debe aplicarse paralelamente a dicho plano para que el objeto comience a ascender. c) la fuerza que debe aplicarse paralelamente a dicho plano para que el cuerpo suba con velocidad constante. ⌦ 25.- Un objeto de 10 kg de masa se encuentra en un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal. Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético son respectivamente, 0,35 y 0,3 calcula: a) con qué aceleración caerá el objeto; b) la aceleración del mismo al aplicar una fuerza de 60 N paralela a dicho objeto hacia arriba; c) 60 N paralela hacia abajo. ⌦

Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo de la aceleración y de la tensión. 26.- Colgamos dos objetos de 20 kg y 15 kg respectivamente de los extremos de la cuerda de una polea. Calcula: a) la aceleración del sistema; b) la tensión de la cuerda. ⌦ 27.- a) ¿Se moverá el sistema de la figura? En caso de que lo haga calcula la aceleración. Si no lo hace, calcula la fuerza con que habrá que empujar la caja de 20 kg para que empiece a moverse. b) ¿Cuál será la tensión de la cuerda si no aplicamos ninguna fuerza? Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son respectivamente, entre el cuerpo de 20 kg y la superficie son 0,4 y 0,35. ⌦ 28.- ¿Se moverá el sistema de la figura? Calcula la tensión de la cuerda y en caso afirmativo, también la aceleración del sistema. Sabemos que los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el cuerpo de 12 kg y la superficie son, respectivamente, son 0,18 y 0,15. ⌦

20 kg

6 kg

12 kg 2 kg

30º B

29.- Calcula la aceleración y la tensión de cada cuerda en el sistema de la figura, sabiendo que las masas A, B y C son, respectivamente 3, 10 y 1 kg y que los A

C

4 coeficientes de rozamiento estático y cinético entre B y la superficie son, respectivamente, 0,05 y 0,03. ⌦ B 30.- Calcula la aceleración y la tensión de cada cuerda 30º en el sistema de la figura, sabiendo que las masas C A A, B y C son, respectivamente 5, 4 y 2 kg y que los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre B 45º 60º y la superficie son, respectivamente, 0,1 y 0,08. Supongamos que A y C no sufren rozamiento. ⌦ 31.- Calcula la aceleración del sistema de la figura y la tensión de la cuerda si: a) no hay rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento cinético entre el objeto de 15 kg y la superficie es de 0,3. ⌦

15 kg 20º

10 kg

Dinámica del movimiento circular uniforme. 32.- Atamos un objeto de 1,5 kg a una cuerda de 1 m de longitud y lo hacemos girar en un plano horizontal, sobre el que se apoya y con el que no tiene rozamiento, a 60 rpm Calcula la tensión de la cuerda. ⌦ 33.- a) Un coche de 800 kg, gira con una velocidad constante de 120 km/h en una curva sin peralte de 100 m de radio. Calcula el valor de la fuerza centrípeta. b) Si al aumentar la velocidad en dicha curva hasta los 135 km/h empezara a derrapar, ¿cuál sería el coeficiente de rozamiento estático de deslizamiento? ⌦ 34.- ¿Con qué velocidad máxima podrá tomar un coche una curva plana de 90 m de radio sin derrapar sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático de deslizamiento entre los neumáticos y la carretera es de 0,25? ⌦ 35.- Hacemos girar en el aire una esfera atada al extremo de una cuerda de 80 cm de longitud con una celeridad constante describiendo un péndulo cónico. Si la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical, calcula: a) el módulo de la velocidad de la bola; b) el tiempo que tarda la esfera en dar una vuelta completa; c) el ángulo que debería formar con la vertical para llevar una celeridad doble. ⌦

5

SOLUCIONES (Leyes de la Dinámica y Aplicaciones). 1.-

⌫ La afirmación es correcta. Si nosotros nos podemos impulsar hacia delante y andar es porque hay una fuerza (acción) de la suela de nuestros zapatos hacia el suelo, contraria al movimiento, es decir, una fuerza de rozamiento. La fuerza de reacción del suelo hacia nuestros zapatos nos impulsa hacia delante.

2.-

⌫ Tienen dibujo para que haya un mayor coeficiente de rozamiento antideslizante entras las mismas y el suelo. Cuando el dibujo se desgasta, el coeficiente de rozamiento el coeficiente de rozamiento antideslizante disminuye y se produce el derrapaje en las curvas (deslizamiento) en las mismas condiciones ambientales a menor velocidad.

3.-

⌫ Porque está en equilibrio gracias a la fuerza de rozamiento estático. Como ésta es variable hasta adoptar un valor máximo, siempre que al aplicar una nueva fuerza que sumada a la fuerza tangencial no se supere este valor máximo, el equilibrio persistirá.

4.-

⌫ a) FALSO. Existe también la fuerza de rozamiento estático antideslizante que actúa como fuerza centrípeta y hace girar el coche. b) VERDADERO. Al haber hielo el coeficiente de rozamiento estático (deslizamiento) disminuye drásticamente. Con cadenas, que se clavan en éste conseguimos que dicho coeficiente vuelva a aumentar. c) FALSO. La fuerza centrífuga es una fuerza virtual (de inercia) que se inventan los observadores de un sistema que lleva aceleración para que puedan aplicarse las leyes de Newton. La fuerza de reacción de la fuerza centrípeta, que en este caso es la fuerza de rozamiento, es una fuerza que hacen las ruedas hacia el asfalto, pero que no produce efecto ya que el asfalto está firmemente adherido al suelo.

5.-

⌫

a=

Δv = t

50

km 1000 m h · · h km 3600 s = 2,24 m / s 2 6,2 s

F = m · a = 15 kg · 2,24 m/s2 = 33,6 N 6.-

⌫ Fre (máxima) = μre · N = 0,3 · 20 kg · 9,8 m/s2 = 58,8 N. Frc = μrc · N = 0,2 · 20 kg · 9,8 m/s2 = 39,2 N. Como la fuerza aplicada supera a la Fre (máxima) existirá movimiento. Σ F = m · a ; 80 N – 39,2 N = 20 kg · a

∑ F 80 N − 39, 2 N = = 2,04 m/s2 m 20 kg ⌫ a) Frc = μc · N = μrc · m · g = 0,2 · 3 kg · 9,8 m/s2 = 5,88 N a=

7.-

Σ F = Faplic – Fr = m · a = 3 kg · 2,5 m/s2 = 7,5 N. Faplic = Σ F + Fr = 7,5 N + 5,88 N = 13,38 N

b) Δx = v0x · t + ½ a ·t2 = ½ · 2,5 m/s2 · (3 s)2 = 11,25 m 8.-

⌫ F12 = – F21 ;

a1 = − 9.-

150 N i = 50 kg · a2 = –80 kg · a1

150 kg · m / s 2 i = –1,875 m/s2 i 80 kg

a2 = −

150 kg · m / s 2 i = 3,00 i m/s2 80 kg

⌫ a) Frc = μc · N = μc · m · g = 0,2 · 30 kg · 9,8 m/s2 = 58,8 N b) Σ F = Faplic – Fr = 200 N – 58,8 N = 30 kg · a a=

∑ F 141, 2 N = m 30 kg

6

= 4,71 m/s2 c) v = v0 + a · t = 10 m/s + 4,71 m/s2 · 3 s = 24,12 m/s 10.- ⌫ a) Fx = F · cos α = 160 N · cos 20º = 150,4 N ; Fy = F · cos α = 160 N · cos 20º = 54,7 N; P = m · g = 60 kg · 9,8 m/s2 = 588 N ; N = P – Fy = 588 N – 54,7 N = 533,3 N Al empezar a moverse: Fx = Fre

μe =

⇒

150,4 N = μ e · 533,3 N

150, 4 N = 0,282 533,3 N

b) μc = 0,8 · 0,282 = 0,226 ; Frc = μc · N = 0,226 · 533,3 N = 120,3 N

a = ax =

∑ Fx 150, 4 N − 120,3 N = = 0,5 m/s2 m 60 kg

11.- ⌫ a) Fx = F · cos α = 60 N · cos 45º = 42,4 N ; Fy = F · sen α = 60 N · sen 45º = 42,4N; N = P – Fy = 98 N – 42,4 N = 55,6 N P = m · g = 10 kg · 9,8 m/s2 = 98 N ; Frc = μc · N = 0,25 · 55,6 N = 13,9 N Σ Fx = Fx – Frc = 42,4 N – 13,9 N = 28,5 N = 10 kg · ax

a = ax =

∑ Fx 28,5 N = = 2,85 m/s2 10 kg m

12.- ⌫ a) I = F · t = 100 N i · 6 s = 600 i N · s

G G G JJG I 600i N ⋅ s b) I = m · Δv ⇒ v = Δv = = = 12 i m/s m 50 kg p0 = m · v0 = 50 kg · 0 m/s i = 0 ;

pf = m · vf = 50 kg · 12 m/s i = 600 i kg·m/s

13.- ⌫ a) p0 = m · v0 = 0,15 kg · 13,9 m/s i = 2,08 i kg·m/s; pf = m · vf = 0,15 kg · (–11,1 m/s) i = –1,67 i kg·m/s G G G b) JJG JJJ Δp −1,67 i kg·m / s − 2,02 i kg·m / s Fm = = = –75 i N

Δt 0,05 s c) I = Fm · Δt = –75 i N · 0,05 s = –3,75 i N · s ; También se podía haber calculado como Δp

14.- ⌫ Se cumple el principio de conservación de la cantidad de movimiento: p0 = pf m1 · v01 m2 · v02 = (m1 + m2) vf ; 50 kg · 5 m/s i + 70 kg · (–3 m/s) i = 120 kg · vf ⇒ vf = 0,33 i m/s 15.- ⌫

v = 2 gh = 2 ×

9,8 m × 5m = 9,9 m s s2

La velocidad de la pelota antes del choque v0 será precisamente (–9,9 m/s) j ; La velocidad de la pelota después del choque vf , y puesto que ha de subir a la misma altura será precisamente la opuesta, 9,9 m/s j. I = Δp= 0,15 kg · 9,9 m/s j – 0,15 kg · (–9,9 m/s) j = 2,97 j kg m/s = 2,97 j N · s 16.- ⌫ a) I = Δp= 4000 kg · (0,3 m/s – 0)kg i = 1200 i N · s

7

JJJG G Δp 1200 i kg·m / s Fm = = = 6000 i N · s 0, 2 s Δt

b) JJG

17.- ⌫ p0 = pf ;

0 = 0,025 kg · 600 m/s i + 1,5 kg · vp ⇒ vp = –10 i m/s

18.- ⌫ p0 = pf ;

15 kg · 10 m/s i + 8 kg · 6 m/s i = (15 kg + 8 kg) · vf ⇒ vf = 8,6 i m/s

19.- ⌫ a) 0,13 kg · 3 m/s i = 0,13 kg · v1f + 0,13 kg · v2f 3 m/s i = v1f · cos 25º i + v1f · sen 25º j + v2f · cos (–45º) i + v2f · sen (–45º) j cuyas ecuaciones escalares son: 3 m/s = 0,906 v1f + v2f 0 = 0,423 v1f + (–0,707) v2f

⇒ v1f = 2,26 m/s ; v2f = 1,35 m/s

b) p10 = 0,13 kg · 3 m/s i = 0,39 i kg · m/s ;

p20 = 0,13 kg · 0 m/s i = 0

p1f = 0,13 kg · (0,906 · 2,26 m/s i + 0,423 · 2,26 m/s j) = (0,266 i + 0,124 j) kg · m/s p2f = 0,13 kg · [0,707 · 1,35 m/s i + (–0,707) · 1,35 m/s j] = (0,124 i – 0,124 j) kg · m/s Se puede comprobar fácilmente que la cantidad de movimiento inicial y final conjunta es la misma. 20.- ⌫ Al igual que en el ejercicio anterior se puede eliminar la masa de la bolas ya que son iguales. Supondremos que la bola 1 va en la dirección del eje x, mientras que la 2 tiene componente x y componente y: 3 m/s i + 4 m/s · cos 120º i + 4 m/s · sen 120º j = v1’ cos 30º i + v1’ · sen 30º j + v2’ cos 180º i + v2’ · sen 180º j Ecuaciones escalares: eje x) 3 m/s + 4 m/s · (–0,5) = 0,866 v1’ – v2’ eje y) 4 m/s · 0,866 = 0,5 v1’

⇒

v1’ = 6,93 m/s ; v2’ = 5,00 m/s

21.- ⌫ a) N – P = 0 ⇒ N = P = m · g = 80 kg · 9,8 m/s2 = 784 N. b) N – PN = 0 ⇒ N = PN = m · g · cos α = 80 kg · 9,8 m/s2 · cos 25º = 710,5 N. Ft = m · g · sen α = 10 kg · 9,8 m/s2 · sen 25= 41,4 N ; 22.- ⌫ Faplic = 110 N ; Fre = μe · m · g · cos α = 0,1 · 10 kg · 9,8 m/s2 · cos 25º = 8,88 N a) Como Faplic > Ft + Fre (110 N > 41,4 N + 8,88 N) se moverá el objeto. b) Frc = μc · m · g · cos α = 0,08 · 10 kg · 9,8 m/s2 · cos 25º = 7,1 N Σ F = Faplic – Ft –Frc = m · a ; 110 N – 41,4 N – 7,1 N = 10 kg · a ⇒ a = 6,15 m/s2. 23.- ⌫ Ft = m · g · sen α = 30 kg · 9,8 m/s2 · sen 25= 124 N ; a) Σ F = Ft = m · a ; 124 N = 30 kg · a ⇒ a = 4,14 m/s2. b) Frc = μc · m · g · cos α = 0,35 · 30 kg · 9,8 m/s2 · cos 25º = 93,3 N Σ F = Ft –Frc = m · a ; 124 N – 93,3 N = 30 kg · a ⇒ a = 1,02 m/s2. 24.- ⌫ a) Ft = 150 kg · 9,8 m/s2 · sen 20º = 502,8 N ; Fre = 0,3 · 150 kg · 9,8 m/s2 · cos 20º = 414,4 N Como Ft > Fre ⇒ El objeto tenderá a caer y será necesario aplicar una fuerza para sostenerlo, hacia arriba, paralela a la superficie de:

8 Faplic = Ft –Fre = 502,8 N – 414,4 N = 88,4 N b) Faplic = Ft + Fre = 502,8 N + 414,4 N = 917,2 N. c) Frc = 0,25 · 150 kg · 9,8 m/s2 · cos 20º = 345,3 N Si queremos que se mueva hacia arriba con v = constante, es decir con a = 0, entonces: Faplic = Ft + Frc = 502,8 N + 345,3 N = 848,1 N. 25.- ⌫ Ft = 10 kg · 9,8 m/s2 · sen 30º = 49,0 N ; Fre = 0,35 · 10 kg · 9,8 m/s2 · cos 30º = 29,7 N; Frc = 0,30 · 10 kg · 9,8 m/s2 · cos 30º = 25,5 N a) Como Ft > Fre el objeto caerá. Una vez que sabemos que cae, nos olvidamos del Fre y utilizaremos el Frc: Σ F = Ft –Frc = m · a ; 49,0 N – 25,5 N = 10 kg · a ⇒ a = 2,35 m/s2. b) Como la fuerza aplicada es inferior a la suma de Ft + Fremax, Fre no llegará a su valor máximo, y el objeto se queda parado, pues carece de sentido pensar que empujando hacia arriba el objeto va hacia abajo, pues ello implicaría que la fuerza de rozamiento favorecería el movimiento. c) El objeto sin aplicar ninguna fuerza sabemos que cae, luego al aplicar una fuerza hacia abajo caerá con una aceleración mayor: Σ F = F + Ft –Frc = m · a ;

60 N + 49,0 N – 25,5 N = 10 kg · a ⇒ a = 8,35 m/s2.

26.- ⌫ P1 = m1 · g = 20 kg · 9,8 m/s2 = 196 N ; P2 = m2 · g = 15 kg · 9,8 m/s2 = 147 N a) El objeto que caerá será el de mayor peso, es decir P1, con lo que el cuerpo 2 ascenderá. Aplicando las ecuaciones escalares a cada objeto tendremos: P1 – T = 20 kg · a ;

T – P2 = 15 kg · a

Sumando ambas ecuaciones escalares desparece la tensión y nos queda la ecuación global: P1 – P2 = 196 N – 147 N = (20 kg + 15 kg) · a ⇒ a = 1,4 m/s2. b) Despejando T de cualquiera de las dos ecuaciones escalares (en este caso elegimos la segunda) y sustituyendo el valor de a obtenido anteriormente, tendremos: T = P2 + 15 kg · a = 147 N + 15 kg · 1,4 m/s2 = 168 N 27.- ⌫ a) Sea 1 el objeto que cuelga y 2 el que está en el plano horizontal; calculamos las fuerzas que están en la dirección del posible movimiento son: P1 = m1 · g = 6 kg · 9,8 m/s2 = 58,8 N; Fremax = 0,4 · 20 kg · 9,8 m/s2 · cos 0º = 78,4 N Como P1 < Fremax, la fuerza de rozamiento estático no tomará su valor máximo, sino únicamente el necesario para evitar el movimiento, es decir, 58,8 N. Por tanto, habrá que empujar la caja de 20 kg para que se inicie el movimiento con una fuerza F. Σ F = P1 + F – Fremax = 0 ⇒

F = 78,4 N – 58,8 N ⇒ F = 19,6 N.

b) Como no hay movimiento P1 – T = 0 ; T – Fre = 0 Despejando T de cualquiera de ellas tendremos:

T = 58,8 N

28.- ⌫ Sea 1 el objeto que cuelga y 2 el de 12 kg; calculamos las fuerzas que están en la dirección del posible movimiento son: P1 = m1 · g = 2 kg · 9,8 m/s2 = 19,6 N; Fremax = 0,18 · 12 kg · 9,8 m/s2 · cos 30º = 18,3 N PT2 = m2 · g = 12 kg · 9,8 m/s2 · sen 30º = 58,8 N;

9 Como PT2 > P1 de haber movimiento éste se producirá hacia la izquierda; con lo Fremax actuaría hacia la derecha. Como PT2 > P1 + Fremax habrá movimiento y el objeto de 12 kg en su bajada hará subir al de 2 kg. Una vez que sabemos que hay movimiento necesitamos calcular Frc, pues será esta fuerza la que actúe en vez Fre. Frc = 0,15 · 12 kg · 9,8 m/s2 · cos 30º = 15,3 N Aplicamos la segunda ley de la dinámica a cada uno de los cuerpos: Σ F = m · a PT2 – T – Frc = 12 kg · a ;

T – P1 = 2 kg · a

Sumando ambas ecuaciones se elimina T: PT2 –Frc –P1 = 58,8 N – 15,3 N – 19,6 N = 14 kg · a ⇒ a = 1,7 m/s2 Despejando T de la segunda ecuación tendremos:

T = 19,6 N + 2 kg · 1,7 m/s2 = 23,0 N

29.- ⌫ Como A tiene más masa que C y B está en un plano horizontal, de haber movimiento, este será hacia la izquierda. PA = mA · g = 3 kg · 9,8 m/s2 = 29,2 N; PC = mC · g = 1 kg · 9,8 m/s2 = 9,8 N; Fremax = 0,05 · 10 kg · 9,8 m/s2 · cos 0º = 4,9 N Como PA > PC + Fremax habrá movimiento. Una vez que sabemos que hay movimiento necesitamos calcular Frc, pues será esta fuerza la que actúe en vez Fre. Frc = 0,03 · 10 kg · 9,8 m/s2 · cos 0º = 2,9 N De la suma de las ecuaciones escalares de cada objeto obtenemos a y de las ecuaciones de cada objeto obtenemos las tensiones de cada una de las dos cuerdas. PA – PC – Frc = 29,2 N – 9,8 N – 2,9 N = 14 kg · a ⇒ a = 1,18 m/s2 PA – TAB = 3 kg · 1,18 m/s2 ⇒ TAB = 29,2 N – 3,5 N = 25,7 N TBC – PC = 1 kg · 1,18 m/s2 ⇒ TBC = 9,8 N + 3,5 N = 13,3 N 30.- ⌫ PTA = mA · g · sen 45º = 5 kg · 9,8 m/s2 · 0,71 = 34,6 N PTB = mB · g · sen 30º = 4 kg · 9,8 m/s2 · 0,5 = 19,6 N PTC = mC · g · sen 30º = 2 kg · 9,8 m/s2 · 0,87 = 17,0 N Fremax = 0,1 · 4 kg · 9,8 m/s2 · cos 30º = 3,4 N B

Como PTA + PTB > PTC + Fremax habrá movimiento hacia la izquierda. Una vez que sabemos que hay movimiento necesitamos calcular Frc, pues será esta fuerza la que actúe en vez Fre. Frc = 0,08 · 4 kg · 9,8 m/s2 · cos 30º = 2,7 N De la suma de las ecuaciones escalares de cada objeto obtenemos a y de las ecuaciones de cada objeto obtenemos las tensiones de cada una de las dos cuerdas. PTA + PTB – PTC – Frc = 34,6 N + 19,6 N – 17,0 N – 2,7 N = 11 kg · a ⇒ a = 3,1 m/s2 PTA – TAB = 5 kg · 3,1 m/s2 ⇒ TAB = 34,6 N – 15,7 N = 18,9 N TBC – PTC = 2 kg · 3,1 m/s2 ⇒ TBC = 17,0 N + 6,2 N = 23,2 N 31.- ⌫ a) Sea 1 el objeto que cuelga y 2 el del plano inclinado; calculamos las fuerzas que están en la dirección del posible movimiento son: P1 = m1 · g = 10 kg · 9,8 m/s2 = 98 N; PT2 = m2 · g = 15 kg · 9,8 m/s2 · sen 20º = 50,3 N; Como P1 > PT2 el movimiento se producirá hacia la derecha, con el que el cuerpo de 10 kg hará subir al de 15 kg.

10 P1 –T = 10 kg · a ; T – PT2 = 15 kg · a Sumando ambas ecuaciones tendremos: 98 N – 50,3 N = 25 kg · a ⇒ a = 1,9 m/s2 Sustituyendo a en cualquiera de las otras ecuaciones obtenemos que: T = 79 N. b) Calculamos la fuerza de rozamiento cinético: Frc = 0,3 · 15 kg · 9,8 m/s2 · cos 20º = 41,4 N Las ecuaciones para cada objeto ahora son: P1 –T = 10 kg · a ; T – PT2 – Frc = 15 kg · a Sumando: P1 – PT2 – Frc = 98 N – 50,3 N – 41,4 N = 25 kg · a ⇒ a = 0,25 m/s2 ; T = 95,5 N. 32.- ⌫ Pasamos ω al sistema internacional: ω =

60 vueltas 2π rad min 2π rad × × = min vuelta 60 s s

En este caso T es la fuerza centrípeta:

2π rad ⎞ km h m ⎛1000m × 1 m = 59, 2 N 33.- ⌫ a) Pasamos v al sistema internacional: T =vm=×120 ω 2 × R×= 1,5 kg × ⎜ =⎟ 33,3 h 3600 s ⎝ kms ⎠ s 2 m⎞ ⎛ 33,3 ⎜ ⎟ v2 s⎠ Fc = m × = 800 kg × ⎝ = 8890N R 100 m 2 m⎞ ⎛ ⎜ 37,5 ⎟ v '2 km h 1000m m s⎠ b) v ' = 135 ; Fc ' = m × × × = 37,5 = 800 kg × ⎝ = 11250 N h 3600 s km 100 m R s 2

En el momento en que empieza a derrapar Fre = Fc, luego Fre = 11250 N.

μe =

Como no tiene peralte: N = P ⇒

34.- ⌫

v = μ × R × g = 0, 25 × 90 m × 9,8

Fre 11250 N = = 1, 43 N 800 kg × 9,8 m s2 m m = 220, 5 2 s s

35.- ⌫ a) La tensión de la cuerda se descompone es sus componentes Tx que actúa como fuerza centrípeta y Ty que contrarresta el peso de la esfera:

Tx = T × sen 30º =

m × v2 m × v2 m × v2 = ⇒T = 0,8 m × sen 30º 0,8 m × sen 2 30º R

Ty = T × cos 30º = m × g ⇒ T =

m× g cos 30º

Igualando T y eliminando m:

v2 g 0,8 m × 0, 25 × 9,8 m s 2 m = ⇒v= = 1, 5 0,8 m × 0, 25 0,866 0,866 s

b) El periodo T (no confundir con la tensión) es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa:

T=

c)

2π R 6, 28 × 0,8 m = 3, 35 s = v 1,5 m s

v2 g 1 − sen 2α 0,8 m × 9,8 m s 2 = ⇒ = = 0,871 2 0,8 m × sen 2α cos α sen 2α ( 3, 0 m s )

11

Llamando x = sen α obtenemos:

1 − x2 1 − x2 = 0,871 ⇒ = 0,8712 = 0, 759 x2 x4

Como sale una ecuación bicuadrada llamamos y = x 2 con lo que nos queda: 0, 759 y 2 + y − 1 = 0 Resolviendo queda que: y = 0,665 ⇒ x = 0,815 ⇒ α = arcsen 0,815 = 54,6º

Soluciones a los ejercicios de los apuntes: JG JJG JG JJG A.- ⌫ m × v1 + m × v2 = m × v1' + m × v2' Descomponiendo la ecuación vectorial en dos escalares: JG JJG m x) m × ( 4 + 0 ) = m × ⎡ v1' × cos 30º + v2' × cos (−60º ) ⎤ ⎣⎢ ⎦⎥ s JG JJG m y) m × ( 0 + 0 ) = m × ⎡ v1' × sen 30º + v2' × sen(−60º ) ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ s JG JG J JG JJG m m Eliminando la masa: 4 = 0,866 v1' + 0,5 v2' 0 = 0,5 v1' − 0,866 v2' s s Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos: JG JJG m m v1' = 3, 46 ; v2' = 2 s s

B.- ⌫ Calculamos el valor numérico de todas las fuerzas implicadas: P1T = P1 · sen 30º = 6 kg · 9,8 m/s2 · 0,5 = 29,4 N P1N = P1 · cos 30º = 6 kg · 9,8 m/s2 · 0,866 = 50,9 N P2 = 2 kg · 9,8 m/s2 = 19,6 N Fre = μe · N = μe · PN = 0,12 · 50,9 N = 6,1 N Como P1T > P2 + Fre (29,4 N > 19,6 N + 6,1 N) se moverá hacia la izquierda. C.- ⌫ Calculamos el valor numérico de todas las fuerzas implicadas: P1T = 29,4 N; P1N = 50,9 N; P2 = 19,6 N Frc = μc · N = μc · PN = 0,10 · 50,9 N = 5,1 N

1: P1T – T – Frc = m1 · a 2: T– P2 = m2 · a

; ;

29,4 N – T – 5,1 N = 6 kg · a T – 19,6 N = 2 kg · a

29,4 N – 5,1 N – 19,6 N = (6 kg + 2 kg) · a T = 2 kg · 0,59 m/s2 + 19,6 N = 20,8 N

⇒ a=

29, 4 N − 5,1 N − 19, 6 N m = 0, 059 2 6 kg + 2 kg s