Limite de una función. Concepto de límite. La palabra límite proviene del latín “limes” que significa frontera. El límite puede ser una línea imaginaria o real, que separa dos países, territorios o terrenos, por ejemplo: un padre le dice a su hijo que el límite de su propiedad es hasta el río, “El Ecuador es una línea imaginaria que divide al planeta en dos hemisferios. La frontera es un límite que marca la división de dos regiones, se refiere a algo concreto (un alambrado, un muro, la muralla China etc.), mientras que el límite puede ser algo simbólico. Supongamos que una puga tiene que llegar a un punto que está a una distancia de un metro. En el primer salto recorre medio metro, en el segundo salto recorre un cuarto de metro, y así sucesivamente, de tal menara que en cada salto que dé recorrerá la mitad de la distancia que le falta para llegar.

Nos damos cuenta que la distancia que recorre la pulga en su brinco es cada vez más y más pequeña, de tal manera que el límite de la distancia recorrida en el brinco tiende a un valor de cero.

Los límites en matemáticas. Wallis (1616-1703) introduce el concepto de límite y el símbolo para el infinito. Newton y Leibniz ignoraban una definición precisa de límite y de los conceptos que éste lleva asociado y sin embargo no fue ningún impedimento grave para inventar el cálculo. Tenían una idea intuitiva de los límites. Los conocimientos de los límites fueron asentados en el siglo XIX por Cauchy, Dedekind y Weierstrass. La famosa curva descubierta en 1906 por Helge von Koch y que originó los fractales fue un proceso al límite de un triángulo equilátero y en cada lado un nuevo triángulo.

¿Existe un límite? Consideremos el triángulo de la figura a, si unimos el punto medio de cada uno de sus lados obtendremos 4 triángulos que se muestran en la figura b, al repetir nuevamente este proceso obtenemos 16 triángulos figura c. Si continuáramos indefinidamente este proceso el límite de triángulos que se forman tiende al infinito.

a

b

c

Limite de una función.

x2 − 1 . Consideremos la función definida por f ( x ) = x −1 Observamos que la función no está definida en x=1 ya que en este punto f(x) tiene la forma

0 , que carece de significado. Sin embargo podríamos ver que le ocurre a f(x) cuando x se 0 aproxima a 1. Entonces cuándo x se aproxima a 1, f(x) se está aproximando a algún número específico ¿Cuál es ese número? Para contestar esta pregunta, le daremos algunos valores a x muy cercanos a 1, tanto antes de como después de 1 y veamos que le ocurre a f(x).

x2 − 1 f ( x) = x −1 2 1.2 1.2 − 1 =2.2 1.2 − 1 1.1 1.12 − 1 =2.1 1.1 − 1 1.01 1.012 − 1 =2.01 1.01 − 1 1.001 1.0012 − 1 =2.001 1.001 − 1 x

(x, f(x))

x

(1.2, 2.2)

1

(1.1, 2.1)

0.999

(1.01, 2.01)

0.99

(1.001, 2.001)

0.75 0.5

x2 − 1 f ( x) = x −1 2 1 −1 = = error 1−1 0.999 2 − 1 =1.999 0.9990 − 1 0.99 2 − 1 =1.99 0.99 − 1 0.75 2 − 1 =1.75 0.75 − 1 0.5 2 − 1 =1.5 0.5 − 1

(x, f(x)) (1, ?) (0.999,1.999) (0.99, 1.99) (0.75, 1.75) (0.5, 1.5)

Gráficamente tendríamos lo siguiente: f(x)

X

Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda

y por la derecha.

Toda la información que se ha obtenido, parece apuntar a la misma conclusión f(x) se aproxima a 2 cuando x se aproxima a 1.. En símbolos matemáticos, escribimos que: lim

2

→

x2 − 1 Esto se lee “el límite cuando x tiende a 1 de es 2” x −1 Si aplicamos algo de algebra y factorizamos por diferencia de cuadrados x2-1= (x-1)(x+1), podemos obtener más evidencia de este resultado. 1

lim

1 1

→

lim

→

1

1

1

2.

Siempre y cuando x ≠ 1 .

Definición intuitiva de límite de una función. Si una función f(x) está definida para valores de x cercanos a un cierto valor fijo “c” y si la x está restringida a tomar valores dentro de intervalos cada vez más pequeños en la vecindad de “c”, los valores de f(x) se acercarán más y más a cierto número fijo L, el número L se llama límite de f(x), cuando x se aproxima al número “c”. Este enunciado se puede escribir como: →

Métodos para calcular el límite de una función. En este bloque sólo se darán a conocer dos métodos para calcular los límites: 1) Método de sustitución directa. 2) Método de factorización del tipo indeterminado

0 0

Limite de una función por el método de sustitución directa. En este método sólo se deberá de sustituir el valor de x en la función inicial y realizar las operaciones correspondientes. Ejemplos resueltos. Encontrar el límite de las siguientes funciones por simple sustitución. Ejemplo 1. lim 4 ⟶

= 4(−1) = 4(+1) = 4 2

Ejemplo 2. lim ⟶

+ 3 − 1 = (− 2 ) + 3( −2) − 1 = 4 − 6 − 1 = 4 − 7 = −3 2

Ejemplo 3. −1 52 − 1 25 − 1 24 24 12 6 3 lim = = = = = = = 2 ⟶ 2 +6 2(5) + 6 2(25) + 6 50 + 6 56 28 14 7 Ejemplo 4. lim ⟶

!

+ 5 + 2# = (2)

2

(

)

(

)

2 2 + 5(2) + 2 = (4) 4 + 10 + 2) = (4)(4) = 16

Ejemplo 5.

(2π ) %2 ⟶ $

lim

10 10(10) 100 = (2π ) = (2π ) = (2π ) +5 2(10) + 5 25

( 4 ) = 2π (2) = 4π

Limite de una función que se indetermina con

0 0

Método de factorización (diferencia de cuadrados). Para eliminar una indeterminación se procederá a factorizar la diferencia de cuadrados y posteriormente se efectuará la cancelación en la fracción. Ejemplos resueltos. 2

2

Calcular los siguientes límites utilizando la factorización a - b = (a- b) (a+b) Ejemplo 1. lim →

−1 = +1

Si solamente sustituimos el valor de x en la función, tendríamos: lim →

− 1 −1 − 1 0 = = = '()*+*,-.(/)0. +1 −1 + 1 0

Ahora si factorizamos el numerador tenemos: lim →

−1 = +1

−1

+1

+1

=

− 1 = −1 − 1 = −2

Ejemplo 2. Si solamente sustituimos el valor de x en la función, tendríamos 3 4 − 9 4 − 2# − 9 9−9 0 lim = = = 2 2 +3 3 → 2 − # + 3 −3 + 3 0 2 Ahora si factorizamos el numerador tenemos:

lim →

2

4 −9 2 −3 2 +3 3 = = 2 − 3 = 2 4− 5 − 3 = −3 − 3 = −6 2 +3 2 2 +3

Método de factorización (Trinomio de la forma x2+bx+c). REGLA PRÁCTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c. 1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio. 3) Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio. Ejemplos resueltos. Calcular los siguientes límites utilizando la factorización x2+bx+c. Ejemplo 1. 6 lim → lim →

6

= Si solamente sustituimos el valor de x en la función, tendríamos:

+2 −2 + 2 0 0 = = = = '()*+*,-.(/)0 + − 2 −2 + −2 − 2 4 − 2 − 2 0

Ahora si factorizamos el denominador tenemos: lim →

+2 = + −2

+2

+2

−1

=

1 1 1 = = = −1 − 1 −2 + 1 −1

Ejemplo 2. −7 +6 lim = →7 −6 Si solamente sustituimos el valor de x en la función, tendríamos: lim

→7

− 7 + 6 6 − 7 6 + 6 36 − 42 + 6 42 − 42 0 = = = = −6 6−6 0 0 0

Ahora si factorizamos el denominador tenemos: lim

→7

−7 +6 = −6

−6

−6

−1

=

−1=6−1=