LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Significado del límite Ejercicio nº 1.Representa gráficamente y explica el significado de la expresión: lím

x → +∞

5x 2 − 1 =5 x 2 + 2x

Ejercicio nº 2.Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente: lím x →3

x2 −9 =6 x −3

Ejercicio nº 3.Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente: lím f (x ) = −∞

x →2 −

Ejercicio nº 4.Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente: lím+

x →1

3x 2 = +∞ x2 −1

Ejercicio nº 5.Dado el siguiente resultado: 2x 2 − 2 =2 x → −∞ x 2 + 1 lím

explica su significado y represéntalo gráficamente.

Cálculo de límites Ejercicio nº 6.Calcula:

[

]

a) lím e x − x 2 + 1 x → +∞

b) lím

x → −∞

x 4 − 3x log x 2

1

Ejercicio nº 7.Obtén el valor de los siguientes límites: 3−2 x4 +1

a) lím

x → −∞

2x 4 + 1

x2 −1 x3  b) lím  − 2  x → +∞ x + 2 x + 1 

Ejercicio nº 8.Calcula los siguientes límites:  2x − 1  a) lím   x → −∞ 3 x + 2  

x2

 2x − 2  b) lím   x → +∞ 3 + 2 x  

x +1

Ejercicio nº 9.Halla el límite: x + 1  2x lím  2 − x →3 x − 9 x − 3  

Ejercicio nº 10.Halla el límite: 3

 x 2 − 3x + 1 x  lím   x →0  5x + 1 

Ejercicio nº 11.Halla los siguientes límites:

[

a) lím 2 x − x 2 x → +∞

]

(

)

ln x 2 + 1 x → −∞ x

b) lím

Ejercicio nº 12.Halla los siguientes límites:  3x 2 2x − 3 x3  a) lím  b) lím − 2  → −∞ x → +∞ x + 1 x x + 1  3x 2 + 1

Ejercicio nº 13.Halla los límites:  x2 +1  a) lím  2 x → +∞ x − 2   

2x

 4x 2 − 7   b) lím  x → −∞ 3 x 2 + 9 x   

x

2

Ejercicio nº 14.Calcula el límite: 3x 2 + x − 2 x → −1 x 3 + x 2 − x − 1 lím

Ejercicio nº 15.Calcula: 2x

 2 x 2 − x + 1  x −3  lím   x →3  4x + 4 

Ejercicio nº 16.Calcula los siguientes límites:

[

a) lím x 3 − log x x → +∞

]

b) lím

x → −∞

3x x2 +1

Ejercicio nº 17.Calcula los límites: 3

a) lím  3 x 2 − 1 − 2 x   x → +∞  

b) lím

x → −∞

2x 5 − 1 x4 +2

Ejercicio nº 18.Calcula: 1  a) lím  2 +  x → −∞ x 

2 x −3

 3x 2 b) lím  x → +∞ 2 + 3 x 2 

   

x +1 2

Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite: lím

x →0

2x + 4 − 2 x +1−1

Ejercicio nº 20.Halla el siguiente límite: x

 3 x − 2  x −2 lím  2  x →2  x − 2x + 4 

3

Ejercicio nº 21.Calcula estos límites: a) lím 3 x 2 − x 9 + 1  x → +∞  

b) lím

x → −∞

ex x +1

Ejercicio nº 22.Calcula los siguientes límites: 3x + 2

a) lím

x → +∞

b) lím  x 2 − 3 x + 2 x   x → −∞  

5x 2 − 3x + 1

Ejercicio nº 23.Halla:  5x − 2  a) lím   x → +∞ 4 + 5 x  

2x 3

 4x − 2  b) lím   x → −∞ 3 x + 5  

x 2 −1

Ejercicio nº 24.Calcula: lím

x →1

3

2x 3 − 3x 2 + 1 3x 3 − 8x 2 + 7x − 2

Ejercicio nº 25.Calcula el límite: 3x

 2 x + 4  x −1 lím  2  x →1  x − x +6

Ejercicio nº 26.Obtén el valor de los siguientes límites: 3x 2 − 2 x → +∞ log x

a) lím

b) lím

x → −∞

x +1 2x

Ejercicio nº 27.Halla los límites: a) lím  5 x 2 − 2 x − 3 x   x → +∞  

b) lím

x → −∞

x 2 + 3x − 1 x 6 − 2x

4

Ejercicio nº 28.Calcula estos límites:  2 − 3x  a) lím   x → −∞ − 2 x + 1  

−x 2

 1+ 2x  b) lím   x → +∞ 2 x + 5  

2 x 2 −1

Ejercicio nº 29.Halla el valor del siguiente límite: 2 x 2 + x − 10 x →2 x 3 − 3 x 2 + 4

lím

Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite: 1

 x 2 − 2 x + 3  x −1  lím   x →1 x +1  

Continuidad Ejercicio nº3 1.Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay: f (x ) =

x 3 − x 2 − 5x − 3 x2 −1

Ejercicio nº 32.Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:  3x − a  f (x ) = 2 x 2 + bx + a  3x + 1 

x 1

Ejercicio nº 35.Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta: f (x ) =

3x 2 − 2x − 8 x 2 + 3 x − 10

Ejercicio nº 36.Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:  3 x 3 − 11x 2 + 8 x + 4  2  3 f (x ) =  4 x − 14 x + 8 x + 8  k  

si

x ≠2

si

x =2

Ejercicio nº 37.Estudia la continuidad de la función:  ex  f (x ) =  3 x 2 + 1 4 + ln x 

si si si

x 0, podemos encontrar un número h tal que, si x > h, entonces 5x 2 − 1 − 5 < ε. x 2 + 2x

Representación:

Ejercicio nº 2.Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente: lím x →3

x2 −9 =6 x −3

Solución: Dado ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, si x ≠ 3 y 3 − δ < x < 3 + δ, entonces x2 − 9 − 6 < ε. x −3

8

Representación:

Ejercicio nº 3.Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente: lím f (x ) = −∞

x →2 −

Solución: Dado un número k, podemos encontrar δ tal que, si 2 − δ < x < 2, entonces f(x) < −k. Representación:

Ejercicio nº 4.Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente: lím+

x →1

3x 2 = +∞ x2 −1

Solución: Dado un número k, podemos encontrar δ > 0 tal que, si 1 < x < 1 + δ, entonces 3x 2 > k. x2 −1

9

Representación:

Ejercicio nº 5.Dado el siguiente resultado: 2x 2 − 2 =2 x → −∞ x 2 + 1 lím

explica su significado y represéntalo gráficamente.

Solución: Dado ε > 0, existe un número h tal que, si x < −h, entonces

2x 2 − 2 − 2 < ε. x2 +1

Representación:

Cálculo de límites Ejercicio nº 6.Calcula:

[

]

a) lím e x − x 2 + 1 x → +∞

b) lím

x → −∞

x 4 − 3x log x 2

Solución:

[

]

a) lím e x − x 2 + 1 = +∞ x → +∞

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

10

x 4 − 3x x 4 + 3x lím = = +∞ x → −∞ log x 2 x → +∞ log x 2

b) lím

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.

Ejercicio nº 7.Obtén el valor de los siguientes límites: x2 −1 x3  b) lím  − 2  x → +∞ x + 2 x + 1 

3−2 x4 +1

a) lím

x → −∞

2x 4 + 1

Solución: a) lím

3 − 2 x4 +1

x → −∞

2x + 1 4

= lím

x → +∞

3 − 2 x4 +1 2x + 1 4

=

−2 2

=− 2

 x2 −1 x3  ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) − x 3 ( x + 2) x 4 − 1 − x 4 − 2x 3 b) lím  − 2 = lím = lím 3 =  2 x → +∞ x + 2 x → +∞ x + x + 2 x 2 + 2 x + 1 x →+∞ ( x + 2) ( x − 1) 

− 2x 3 − 1 = −2 x → +∞ x 3 + 2 x 2 + x + 2

= lím

Ejercicio nº 8.Calcula los siguientes límites:  2x − 1  a) lím   x → −∞ 3 x + 2  

x2

 2x − 2  b) lím   x → +∞ 3 + 2 x  

x +1

Solución:  2x − 1  a) lím   x → −∞ 3 x + 2  

x2

 2x − 2  b) lím   x → +∞ 3 + 2 x  

x +1

 − 2x − 1  = lím   x → +∞ − 3 x + 2  

=e

x2

 2 x −2  lím  −1 · ( x +1) 

x → +∞  3 + 2 x

2 =  3

=e

+∞

=0

 2 x − 2 −3 − 2 x  lím   · ( x +1) 3+2 x 

x → +∞ 

=e

lím

x → +∞

−5 x −5 3+2 x

=e

−5 2

Ejercicio nº 9.Halla el límite: x + 1  2x lím  2 − x →3 x − 9 x − 3  

Solución:

(

)

x + 1 2 x − (x + 1) (x + 3 ) 2x − x 2 + 4 x + 3  2x − lím  2 = lím = lím =  x →3 x − 9 x →3 (x + 3) (x − 3) x − 3  x →3 (x + 3 ) (x − 3 ) 

11

− x 2 − 2 x − 3 − 18 = x →3 (x + 3 ) (x − 3 ) (0 )

= lím

Hallamos los límites laterales: lím−

x →3

− x 2 − 2x − 3 = +∞ ; (x + 3) (x − 3)

lím+

x →3

− x 2 − 2x − 3 = −∞ (x + 3) (x − 3)

Ejercicio nº 10.Halla el límite: 3

 x 2 − 3x + 1 x  lím   x →0  5x + 1 

Solución:  x 2 −3 x +1  3  −1 ·  x 5 x +1 

3

lím  x 2 − 3x + 1 x x →0   =e  lím   x →0  5x + 1 

lím

= e x →0

3 ( x −8 ) 5 x +1

=e

 x 2 −3 x +1−5 x −1  3 · lím   x 5 x +1  

x →0 

=e

lím

x →0

x 2 −8 x 3 · 5 x +1 x

3 x ( x −8 )

lím = e x →0 x (5 x +1) =

= e −24

Ejercicio nº 11.Halla los siguientes límites:

[

a) lím 2 x − x 2 x → +∞

]

(

)

ln x 2 + 1 x → −∞ x

b) lím

Solución:

[

]

a) lím 2 x − x 2 = +∞ x → +∞

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

(

)

(

)

ln x 2 + 1 ln x 2 + 1 = lím =0 x → −∞ x → +∞ x −x

b) lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

Ejercicio nº 12.Halla los siguientes límites:  3x 2 2x − 3 x3  a) lím  b) lím − 2  x → +∞ x + 1 x → −∞ 1 + x   3x 2 + 1

12

Solución:  3x 2  3 x 2 ( x 2 + 1) − x 3 ( x + 1)  x3  3x 4 + 3x 2 − x 4 − x 3 a) lím  − 2 = lím  = = lím   x → +∞ x + 1 x + 1 x →+∞  ( x + 1) ( x 2 + 1) x3 + x + x2 +1   x →+∞ 2x 4 − x 3 + 3 x 2 = +∞ x → +∞ x 3 + x 2 + x + 1

= lím

2x − 3

b) lím

x → −∞

− 2x − 3

= lím

x → +∞

3x + 1 2

3x + 1 2

−2

=

=

3

−2 3 3

Ejercicio nº 13.Halla los límites:  x2 +1  a) lím  2 x → +∞ x − 2   

2x

 4x 2 − 7   b) lím  x → −∞ 3 x 2 + 9 x   

x

Solución:  x2 +1  a) lím  2 x → +∞ x − 2   

2x

=e

 x 2 +1  −1 · 2 x lím  2   x −2 

x → +∞ 

=e

x

 4x 2 − 7   4x 2 − 7   = lím  2  b) lím  2 x → −∞ 3 x + 9 x  x → +∞ 3 x − 9 x     

 x 2 +1− x 2 + 2   · 2x lím   x 2 −2  

x → +∞ 

−x

4 =  3

−∞

lím

= e x → +∞ x

3 =  4

6x 2

−2

= e0 = 1

+∞

=0

Ejercicio nº 14.Calcula el límite: 3x 2 + x − 2 x → −1 x 3 + x 2 − x − 1 lím

Solución:

(x + 1) (3 x − 2) = lím 3 x − 2 = − 5 3x 2 + x − 2 = lím 2 x → −1 x 3 + x 2 − x − 1 x → −1 ( x + 1) (x − 1) x →−1 (x + 1) (x − 1) (0) lím

Hallamos los límites laterales: lím

x → −1−

3x − 2

(x + 1) (x − 1)

= −∞ ;

lím

x → −1+

3x − 2

(x + 1) (x − 1)

= +∞

Ejercicio nº 15.Calcula: 2x

 2 x 2 − x + 1  x −3  lím   x →3  4x + 4 

13

Solución:  2 x 2 − x +1  2 x  −1 ·  x −3 4 x +4 

2x

lím  2 x 2 − x + 1  x −3 x →3    lím  = e  x →3 + x 4 4  

=e

 2 x 2 − x +1− 4 x − 4  2 x · lím    x −3 4 x +4  

x →3

(2 x +1) ( x −3 ) (2 x )

(2 x +1) (2 x )

42

=e

lím

x →3

2 x 2 −5 x −3 2 x · 4 x +4 x −3

=

21

lím lím = e x →3 (4 x + 4 ) ( x −3 ) = e x →3 (4 x + 4 ) = e 16 = e 8

Ejercicio nº 16.Calcula los siguientes límites:

[

a) lím x 3 − log x x → +∞

]

b) lím

x → −∞

3x x2 +1

Solución:

[

]

a) lím x 3 − log x = +∞ x → +∞

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. 3x 3−x 0 = = =0 lím x → −∞ x 2 + 1 x → +∞ x 2 + 1 +∞

b) lím

Ejercicio nº 17.Calcula los límites: a) lím  3 x 2 − 1 − 2 x   x → +∞  

3

b) lím

x → −∞

2x 5 − 1 x4 +2

Solución:  3 x 2 − 1 − 2 x   3 x 2 − 1 − 2 x  2 2   = lím 3 x − 1 − 4 x = 2   a) lím 3 x − 1 − 2 x = lím   x →+∞ x → +∞  x → +∞  3 x 2 − 1 + 2x 3 x 2 − 1 + 2x

= lím

x → +∞

3

b) lím

x → −∞

2x 5 − 1 x4 + 2

= lím

x → +∞

3

− x2 −1 3 x 2 − 1 + 2x

− 2x 5 − 1 x4 + 2

= −∞

=0

Ejercicio nº 18.Calcula: 1  a) lím  2 +  x → −∞ x  

2 x −3

 3x 2 b) lím  x → +∞ 2 + 3 x 2 

   

x +1 2

14

Solución: 1  a) lím  2 +  x → −∞ x 

2 x −3

 3x 2 b) lím  x → +∞ 2 + 3 x 2 

   

1  = lím  2 −  x → +∞ x 

x +1 2

=e

−2 x −3

= 2 −∞ = 0

 3x2   x +1  −1 ·  lím     2   

x → +∞  2 + 3 x 2

=e

 3 x 2 − 2 −3 x 2 lím  2  2+3 x

x → +∞ 

  x +1  ·    2  

lím

−2 x −2

= e x → +∞ 4+ 6 x = e 0 = 1 2

Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite: lím

x →0

2x + 4 − 2 x +1−1

Solución: lím x →0

2x + 4 − 2 x +1 −1

= lím

( 2 x + 4 − 2) ( 2 x + 4 + 2) ( x + 1 + 1) ( x + 1 − 1) ( x + 1 + 1) ( 2 x + 4 + 2)

x →0

= lím x →0

2 x( x + 1 + 1) x ( 2 x + 4 + 2)

= lím x →0

2( x + 1 + 1) 2x + 4 + 2

=

= lím x →0

(2 x + 4 − 4) ( x + 1 + 1) ( x + 1 − 1) ( 2 x + 4 + 2)

=

4 =1 4

Ejercicio nº 20.Halla el siguiente límite: x

 3 x − 2  x −2 lím  2  x →2  x − 2x + 4 

Solución: x



3 x −2



 3 x −2− x 2 + 2 x − 4  · x lím   x −2 x 2 −2 x + 4 

x

−1 · lím  2 x →2   3 x − 2  x −2 − lím  2 = e x →2  x −2 x + 4  x 2 = e   x →2  x − 2x + 4 

=e

lím

x →2

− x ( x −3 ) ( x − 2 ) ( x 2 −2 x + 4 ) ( x −2 )

=e

lím

x →2

− x ( x −3 ) ( x 2 −2 x + 4 )

2

=e

lím

x →2

( − x 2 +5 x −6 ) x ( x 2 −2 x + 4 ) ( x −2 )

=

1

= e4 = e2

Ejercicio nº 21.Calcula estos límites: a) lím 3 x 2 − x 9 + 1 x → +∞   

b) lím

x → −∞

ex x +1

15

Solución: 9   a) lím 3 x 2 − x 9 + 1 = lím − x 2  = −∞  x → +∞  x → +∞    

ex e −x 0 = lím = =0 x → −∞ x + 1 x → +∞ − x + 1 −∞

b) lím

Ejercicio nº 22.Calcula los siguientes límites: 3x + 2

a) lím

x → +∞

b) lím  x 2 − 3 x + 2 x   x → −∞  

5x − 3x + 1 2

Solución: 3x + 2

a) lím

x → +∞

5x − 3x + 1 2

=

3 5

=

3 5 5

 x 2 + 3 x − 2 x   x 2 + 3 x + 2 x   = 2 2     b) lím x − 3 x + 2 x = lím x + 3 x − 2 x = lím   x →+∞   x →+∞ x → −∞  2  x + 3 x + 2x

= lím

x 2 + 3x − 4x 2

x → +∞

x 2 + 3 x + 2x

= lím

x → +∞

− 3x 2 + 3x x 2 + 3 x + 2x

= −∞

Ejercicio nº 23.Halla:  5x − 2  a) lím   x → +∞ 4 + 5 x  

2x 3

 4x − 2  b) lím   x → −∞ 3 x + 5  

x 2 −1

 5 x −2  2 x lím  −1 ·  3

 5 x − 2− 4 −5 x  2 x lím   · 4+5 x  3

Solución:  5x − 2  a) lím   x → +∞ 4 + 5 x    4x − 2  b) lím   x → −∞ 3 x + 5  

2x 3

=e

x 2 −1

x → +∞  4 + 5 x

=e

 − 4x − 2  = lím   x → +∞ − 3 x + 5  

x → +∞ 

x 2 −1

4 =  3

lím

−12 x

−12

= e x → +∞ 12+15 x = e 15 = e

−4 5

+∞

= +∞

Ejercicio nº 24.Calcula: lím

x →1

3

2x 3 − 3x 2 + 1 3x 3 − 8x 2 + 7x − 2

16

Solución:

(2x + 1) (x − 1) = lím 3 2x + 1 = 3 3 2x 3 − 3 x 2 + 1 = lím 3 3 x 3 − 8 x 2 + 7 x − 2 x →1 (3 x − 2) (x − 1)2 x →1 3 x − 2 2

lím

x →1

3

Ejercicio nº 25.Calcula el límite: 3x

 2 x + 4  x −1 lím  2  x →1  x − x +6

Solución: 3x

 2 x +4



 2 x + 4 − x 2 + x −6  3 x · lím   x −1 x 2 − x +6 

3x

−1 · lím  2 x →1   2 x + 4  x −1 x −1 lím  2 = e x →1  x − x + 6  =e   x →1  x −x +6

=e

lím

x →1

−3 x ( x − 2 ) ( x −1) ( x 2 − x + 6 ) ( x −1)

=e

lím

x →1

−3 x ( x − 2 ) x 2 − x +6

3

=e

lím

x →1

( − x 2 +3 x −2 ) ( 3 x ) ( x 2 − x + 6 ) ( x −1)

=

1

= e6 = e2

Ejercicio nº 26.Obtén el valor de los siguientes límites: 3x 2 − 2 x → +∞ log x

a) lím

b) lím

x → −∞

x +1 2x

Solución: 3x 2 − 2 = +∞ x → +∞ log x

a) lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos. b) lím

x → −∞

x +1 −x + 1 = lím = −∞ x → +∞ 2 − x 2x

Ejercicio nº 27.Halla los límites: a) lím  5 x 2 − 2 x − 3 x   x → +∞  

b) lím

x → −∞

x 2 + 3x − 1 x 6 − 2x

Solución:  5 x 2 − 2 x − 3 x   5 x 2 − 2 x + 3 x   = 2   a) lím 5 x − 2 x − 3 x = lím   x →+∞ x → +∞  2  5 x − 2x + 3 x

17

= lím

x → +∞

b) lím

x 2 + 3x − 1

x → −∞

= lím

5 x 2 − 2x + 3 x

x 2 − 3x − 1

x → +∞

x 6 − 2x

5 x 2 − 2x − 9 x 2

x 6 + 2x

= lím

x → +∞

− 4 x 2 − 2x 5 x 2 − 2x + 3 x

= −∞

=0

Ejercicio nº 28.Calcula estos límites:  2 − 3x  a) lím   x → −∞ − 2 x + 1  

−x 2

 1+ 2x  b) lím   x → +∞ 2 x + 5  

2 x 2 −1

Solución:  2 − 3x  a) lím   x → −∞ − 2 x + 1    1 + 2x  b) lím   x → +∞ 2 x + 5  

−x 2

x

 2 + 3x  2  3  = lím   =  x → +∞ 2 x + 1   2

2 x 2 −1

(

)

 1+ 2 x  lím  −1 · 2 x 2 −1 

= e x →+∞  2 x +5

+∞

= +∞

(

)

 1+ 2 x − 2 x −5  2 lím   · 2 x −1 2 x +5 

= e x →+∞ 

lím

= e x →+∞

−8 x 2 + 4 2 x +5

= e −∞ = 0

Ejercicio nº 29.Halla el valor del siguiente límite: 2 x 2 + x − 10 x →2 x 3 − 3 x 2 + 4

lím

Solución:

(2x + 5) (x − 2) = lím 2x + 5 = 9 2 x 2 + x − 10 = lím 2 x →2 x 3 − 3 x 2 + 4 x →2 ( x →2 (x + 1) (x − 2 ) (0 ) x + 1) (x − 2)

lím

Hallamos los límites laterales: lím

x →2 −

2x + 5

(x + 1) (x − 2)

= −∞ ;

lím

x →2 +

2x + 5

(x + 1) (x − 2)

= +∞

Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite: 1

 x 2 − 2 x + 3  x −1  lím   x →1 x +1  

Solución: 1

 x 2 −2 x +3  1  −1 ·  x −1 x +1 

lím  x 2 − 2 x + 3  x −1 x →1    lím  = e x →1 x + 1  

=e

 x 2 − 2 x + 3 − x −1  · 1 lím   x −1 x +1  

x →1 

=e

lím

x →1

x 2 −3 x + 2 1 · x +1 x −1

=

18

lím

( x −2 ) · ( x −1)

x −2

−1

= e x →1 ( x +1) · ( x −1) = e x →1 x +1 = e 2 lím

Continuidad Ejercicio nº3 1.Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay: f (x ) =

x 3 − x 2 − 5x − 3 x2 −1

Solución: • Dominio =  − {−1, 1}. f(x) es continua en  − {−1, 1}. • Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = −1 y en x = 1:

(x + 1) (x − 3) = lím (x + 1) (x − 3) = 0 = 0 x 3 − x 2 − 5x − 3 = lím 2 x → − 1 (x + 1) (x − 1) x →−1 −2 x −1 x −1 2

lím

x → −1

Discontinuidad evitable en x = −1. lím f (x ) = lím x →1

x →1

(x + 1) (x − 3) = − 4 . Hallamos los límites laterales:

lím f (x ) = +∞ ;

x →1−

x −1

(0 )

lím f (x ) = −∞

x →1+

Discontinuidad de salto infinito en x = 1.

Ejercicio nº 32.Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:  3x − a  f (x ) = 2 x 2 + bx + a  3x + 1 

x 1

Solución: • Dominio =  • Si x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. • En x = 1:

(

)

 lím− f (x ) = lím− ax 2 − 2 x + 1 = a − 1 x →1 x →1   lím+ f (x ) = lím+ (3a + ln x ) = 3a  x →1 x →1    f (1) = a − 1 

Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser: a − 1 = 3a → 2a = −1 → a = −

1 2

Ejercicio nº 35.Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta: f (x ) =

3x 2 − 2x − 8 x 2 + 3 x − 10

Solución: f (x ) =

3 x 2 − 2 x − 8 (3 x + 4 ) (x − 2) = (x + 5) (x − 2) x 2 + 3 x − 10

• Dominio =  − {−5, 2} f (x) es continua en  − {−5, 2}. • Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = −5 y en x = 2: lím f (x ) = lím

x → −5

x → −5

3 x + 4 −11 = . Hallamos los límites laterales: (0 ) x +5

21

lím f (x ) = +∞ ;

lím f (x ) = −∞

x → −5 −

x → −5 +

Discontinuidad de salto infinito en x = −5. lím f (x ) = lím x →2

x →2

3 x + 4 10 = x +5 7

Discontinuidad evitable en x = 2.

Ejercicio nº 36.Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:  3 x 3 − 11x 2 + 8 x + 4  2  3 f (x ) =  4 x − 14 x + 8 x + 8  k  

si

x ≠2

si

x =2

Solución: Para que f (x) sea continua en x = 2, ha de tenerse que: lím f (x ) = f (2) x →2

(x − 2) (3 x + 1) = lím 3 x + 1 = 7 3 x 3 − 11x 2 + 8 x + 4 = lím 2 x →2 4 x 3 − 14 x 2 + 8 x + 8 x →2 ( x − 2) (4 x + 2) x →2 4 x + 2 10 2

lím f (x ) = lím x →2

f (2) = k 7 • Por tanto, ha de ser k = 10

Ejercicio nº 37.Estudia la continuidad de la función:  ex  f (x ) =  3 x 2 + 1 4 + ln x 

si si si

x 0

• Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ −(−1, 0) tal que f (c) = 0. La raíz de la ecuación es c.

Ejercicio nº 43Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real: 3x3 + 2x − 7 = 0

25

Solución: • Consideramos la función f (x) = 3x3 + 2x − 7, continua por ser polinómica. • Tanteando, encontramos que f (1) = −2; f (2) = 21. • Es decir: f (x ) es continua en [1, 2]   signo de f (1) ≠ signo de f (2)

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0. La raíz de la ecuación es c.

Ejercicio nº 44.Dada la función f (x) = x3 + 2x + 1, encuentra un intervalo de amplitud menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX.

Solución: • f (x) es continua en , pues es una función polinómica. • Tanteando, encontramos que f (−1) = −2, f (0) = 1. • Es decir: f (x ) es continua en [− 1, 0]   signo de f (− 1) ≠ signo de f (0 )

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ (−1, 0) tal que f (c) = 0. f (x) cortará al eje OX en x = c.

Ejercicio nº 45.Prueba que la función f (x) = 3x + cos πx + 1 corta al eje OX en el intervalo [−1, 0].

Solución: • f (x) es una función continua en , pues es suma de funciones continuas. En particular, será continua en [−1, 0]. • Por otra parte: f (− 1) = −3 < 0  signo de f (− 1) ≠ signo de f (0 ) f (0 ) = 2 > 0 

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ (−1, 0) tal que f (c) = 0. f (x) cortará al eje OX en x = c.

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