LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. si x < 1 3 x f ( x) =  − x + 3 si x > 1

Ejemplo 1: Consideremos la gráfica de la función:




Si x toma valores próximos a 1, distintos de 1 y menores que 1 (ej.: x = 0’9, 0’99, 0’999,…), se nota así: x → 1− , es decir:

 x → 1 (muy próximos a 1)  x → 1 ≡ x ≠ 1 x < 1  −

Los correspondientes valores de y cuando x → 1− : x

0’9

0’99

0’999

y

2’7

2’97

2’997

Observa que se aproximan muchísimo a 3 (se nota: y → 3 ) En este caso se escribe que: lim− f ( x) = 3 x→1

Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es 3




Si x toma valores próximos a 1, distintos de 1 y mayores que 1 (ej.: x = 1’1, 1’01, 1’001, etc...), se nota así: x → 1+ , es decir:

 x → 1 (muy próximos a 1)  x → 1 ≡ x ≠ 1 x > 1  +

Los correspondientes valores de y cuando x → 1+ : x

1’1

1’01

1’001

y

1’9

1’99

1’999

1

Observa que se aproximan cada vez más a 2 (se nota: y → 2) En este caso se escribe que: lim+ f ( x) = 2 x→1

Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es 2. A 3 y a 2 se le llaman límites laterales de f(x) por la izquierda y derecha de 1 respectivamente.

Ejemplo 2: Dadas las funciones:

si x < 1 2 x  h( x ) = 4 si x = 1 − x + 3 si x > 1 

si x < 1 2 x g ( x) =  − x + 3 si x > 1

 x 2 + 1 si x ≠ 1 k ( x) =  4 si x = 1

Cuyas gráficas respectivas son:

Observamos:

lim− g ( x) = 2

lim− h( x) = 2

lim− k ( x) = 2

lim+ h( x) = 2

lim+ k ( x) = 2

h(1) = 4

k (1) = 4

lim h( x) = 2

lim k ( x) = 2

x→1

x→1

lim+ g ( x) = 2

x→1

x→1

x→1 x→1

En los tres casos se escribe que: lim g ( x) = 2 x→1

x →1

x →1

Y se lee que el límite de la función es 2 en el punto 1. En general:




Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:

Se escribe:




lim f ( x) = m

x →a −

y

lim f ( x) = m'

x →a +

Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:

Se tiene que: lim f ( x) = lim+ f ( x) = m ó lim

x →a −

x→a

x→ a

f (x) = m

2

A m y m’ se les llama: límites laterales de f(x) por la izquierda y por la derecha de a respectivamente. Si ambos números reales son iguales (m = m’), a dicho número real m se le llama: límite de

f(x) en el punto a. Observación.- Es importante señalar que para definir el límite de una función en un punto a, no necesitamos para nada el valor de la función y = f(x) en el propio punto a, es decir f(a), sino que sólo nos interesa el comportamiento de dicha función en los alrededores de a (valores próximos a a pero menores o mayores que a.)

Cálculo del límite de f(x) algebraicamente. El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula de la función se hace de la siguiente forma: Ejemplo 1: si x < 1 3 x f ( x) =  − x + 3 si x > 1

lim f ( x) = lim 3x = 3·1 = 3

x →1−

y

como x 1 x→1

Ejemplo 2:

 x 2 + 1 si x ≠ 1 k ( x) =  si x = 1 4 lim f ( x) x →1

=

(

)

lim x 2 + 1 = 12 + 1 = 2

no se diferencia x →1 entre izq . y dcha de 1 (como x ≠1)

Y en este caso no sería necesario buscar por separado los límites laterales, ya que la expresión algebraica de f(x) tanto por su izquierda (para x1) es la misma.

IDEA INTUITIVA DE LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS VERTICALES Ejemplo 1: Consideremos la función: f ( x) =

1 de D( f ) = R − {1} y cuya gráfica es: x −1

3

•

Si x → 1− , los correspondientes valores de y: x

0’9

0’99

0’999

…

y

-10

-100

-1000

…

Se hacen cada vez más grandes en valor absoluto y son negativos (se nota y → −∞ ) Se escribe: lim− f ( x) = −∞ x→1

Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es − ∞ •

Si x → 1+ , los correspondientes valores de y: x

1’1

1’01

1’001

…

y

10

100

1000

…

Se hacen cada vez más grandes sin ningún tope real (se nota y → +∞ ) Se escribe: lim+ f ( x) = +∞ x→1

Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es + ∞ Ejemplo 2: Tomemos g ( x) =

−1 de D( g ) = R − {1} y gráfica (opuesta de f ): x −1

Observamos: lim− g ( x) = +∞

Ejemplo 3: Tomemos h( x) =

lim+ g ( x) = −∞

y

x→1

1 x −1

(h( x) =

x→1

f ( x) )

4

Observamos: lim− h( x) = +∞   x →1 h( x) = +∞  ⇒ lim x →1 lim+ h( x) = +∞  x →1  Se lee:

Se escribe: lim h( x) = +∞ x→1

Límite de h(x) en el punto 1 es + ∞

Ejemplo 4: Sea k ( x) = −

1 x −1

(k ( x) = opuesta de h( x))

Observamos: lim− k ( x) = −∞   x→1 k ( x) = −∞  ⇒ lim x→1 lim+ k ( x) = −∞  x→1  Se lee:

Límite de k(x) en el punto 1 es − ∞

En todos los casos se dice que la recta de ecuación x = 1 es una asíntota vertical. En general:

Se escribe: lim− f ( x) = ±∞ . Se dice que el límite de f(x) en a ( o los laterales) es ± ∞ x →a x →a + x →a

Y:

x = a es una A.V. de y = f(x) ⇔ lim f ( x) = ±∞ (Definición de A.V.) x →a − x →a + x →a

5

Algebraicamente: El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula se hace así: Ejemplo 1: lim x→1

1 1 1 = = ∉R x − 1 x por 1 1 − 1 0

Cuando sale 0 en el denominador: su significado en el cálculo de límites es denominador tiende a 0 (denominador → 0). La tendencia del denominador a 0 puede ser: - Por valores positivos (denominador: 0’1, 0’01, 0’001,…) si es que x → 1+ . - Por valores negativos (denominador: -0’1, -0’01, -0’001,…) si es que x → 1− . Por eso cuando sale 0 en el denominador, se calculan los límites laterales: 1 1  f ( x) = lim− = = −∞ − lim x→1 x→1 x − 1 x =0 '9 , 0 '99 ,... − 0  1 lim f ( x) = lim 1 = = +∞ + +  x→1 x→1 x − 1 x =1'1,1' 01,... + 0 Con lo cual podemos conocer la posición relativa de y = f(x) con respecto a su asíntota vertical x=1 En general si al calcular: lim− f ( x) sale = x →a x →a + x →a

l con l ≠ 0 ⇒ x = a es A.V. de f(x). 0

Basándonos en ello, las asíntotas verticales de una función y = f(x) se obtienen

entre los valores que anulan al denominador y no anulan el numerador. “Para calcular las A.V. de una función”: Denominador = 0 ⇒ Despejamos x : x = a , x = b , x = c , ...... y sustituimos (a, b, c,..) en el numerador. Si en dichos valores el numerador es ≠ 0, x = a , x = b , x = c , ...... son A.V. Si para x = a, el numerador se hace 0, veremos lo que pasa más adelante.

IDEA INTUITIVA DE LÍMITES EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES. RAMAS PARABÓLICAS Ejemplo 1: Tomemos f ( x) = 2 x + 1 de D( f ) = R y gráfica:

Observa:

6

A medida que x toma valores que se representan más a la izquierda sobre el eje de abscisas (x = −10, −100, −1000,…), que se nota x → −∞ , las ordenadas, y correspondientes, tienden a 1; que se nota: y → 1 . x

−10

−100

−1000

y

1’00098

7’8 · 10 −31 +1

…

x → −∞ y →1

Se escribe: lim f ( x) = 1 x→−∞

Se lee: Límite de f(x) cuando x tiende a − ∞ es 1. Ejemplo 2: Tomemos ahora g ( x) = 2 − x + 1 con D( g ) = R y gráfica:

Observa que: A medida que x toma valores cada vez mayores, que se representan cada vez más a la derecha sobre el eje de abscisas (x = 10, 100, 1000,…), y se nota x → +∞ , sus ordenadas y correspondientes se aproximan cada vez más a 1: x

10

100

1000

y

1’00098

1’00000007

…

x → +∞ y →1

Se escribe: lim g ( x) = 1 . Y se lee: Límite de g(x) cuando x tiende a + ∞ es 1. x→+∞

Ejemplo 3: Sea h( x) =

x +1 con D(h ) = R − {0} y gráfica: x

Observamos que: lim h( x) = 1 y

x→−∞

lim h( x) = 1 .

x→+∞

En todos los casos se dice que la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal

(A.H.) de h(x). 7

En general: Si y = f(x) es una función cuya gráfica se comporta de la forma:

Se escribe: lim f ( x) = b ∈ R x →−∞

ó

lim f ( x) = b ∈ R

x →+∞

ó

lim f ( x) = b ∈ R

x →±∞

Y: y = b es A.H. de y = f(x) ⇔ lim f ( x) = b ∈ R (Definición A.H.) x →+∞ o x →−∞

Algebraicamente: El cálculo de los límites en el infinito aprenderemos a hacerlo cuando se estudien las propiedades del cálculo de límites. Ejemplo 4: Dadas las funciones: f ( x) = x 2

y

g ( x) = − x 2

de dominio R y gráficas:

Observamos:

lim f ( x) = +∞

x→−∞

lim f ( x) = +∞

x→+∞

lim g ( x) = −∞

x→−∞

lim g ( x) = −∞

x→+∞

En todos los casos se trata de límites infinitos en el infinito: lim f ( x) = ±∞ x→±∞

Cuando la gráfica no se aproxima a ninguna recta oblicua y se cumple que lim f ( x) = ±∞ , se dice que y = f(x) tiene una rama parabólica. (Por la derecha si

x→±∞

8

lim f ( x) = ±∞ y por la izquierda si lim f ( x) = ±∞ , y por ambos lados si ocurren las dos

x→+∞

x→−∞

cosas). En general:

y = f(x) tiene una R.P. ⇔ xlim f ( x) = ±∞ y Gráf(f) no se aproxima a ninguna recta →+∞ o x→−∞

(Definición de R.P) ASÍNTOTAS OBLICUAS.Para algunas funciones ocurre que cuando x → +∞ ó x → −∞ , se observa que su gráfica tiende a aproximarse a una recta oblicua, llamada asíntota oblicua de la función:

La recta y = mx + n con m ≠ 0 es asíntota oblicua de y = f (x) ⇔ lim [ f ( x ) − (mx + n )] = 0 x → +∞ o x → −∞

Como se observa en la gráfica si x → +∞ (ó x → −∞) ⇒ AP → 0 .

El método general para calcular las asíntotas oblicuas de una función es el siguiente: Si al calcular las A.H de y = f ( x ) , obtenemos:

lim f ( x) = ±∞ , calculamos lim

x →+∞ o x →−∞

x →+∞ o x →−∞

f (x ) , que x

puede que sea un nº real o un ± ∞ . Si este último es real, la función y = f (x) tiene una A.O. de

m = lim

ecuación: y = mx + n ,siendo

Y si al calcular el lim

x →+∞ o x →−∞

x →+∞ o x →−∞

f (x ) x

y

n = lim [ f ( x ) − mx ] x →+∞ o x →−∞

f (x ) , sale un ± ∞ , entonces la función y = f (x) tiene una R.P. x

En resumen: Si lim f ( x) = ±∞ : x→±∞

se calcula:

lim

x →±∞

f ( x ) m ∈ R ⇒ A.O. → calcula : n = x ± ∞ ⇒ R.P.

9

PROPIEDADES –INDETERMINACIONES 1). lim ( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x) x →a x→±∞

x →a x→±∞

•

l ± ∞ = ±∞

•

(+ ∞ ) + (+ ∞ ) = +∞

x →a x→±∞

(− ∞ ) + (− ∞ ) = −∞ 2). lim ( f ( x) · g ( x) ) = lim f ( x) · lim g ( x) x →a x→±∞

•

x →a x→±∞

x →a x→±∞

lim k · f ( x) = k · lim f ( x) con k = constante

x →a x→±∞

x →a x→±∞

•

l · (± ∞ ) = ±∞ (Regla de los signos para el producto) y l ≠ 0

•

(± ∞ )· (± ∞ ) = ±∞ (Regla de los signos para el producto)

lim f ( x) →a f ( x) xx→ 3). lim = ±∞ x →a g ( x ) lim g ( x) x→±∞ x →a x→±∞

•

l = ±∞ (Regla de los signo para el cociente) l ≠ 0 ±0

•

l = 0 ( ∀l ∈ R incluido l = 0) ±∞

•

±∞ = ±∞ (Regla de los signos para el cociente) ( ∀l ∈ R incluido l = 0) l lim g ( x )

4). lim ( f ( x) )

g (x)

x →a x→±∞

• •

  xx→→a±∞  = lim f ( x)   x →a   x→±∞ 

lim n f ( x) = n lim f ( x)

x →a x→±∞

x →a x→±∞

(+ ∞ )l = (+ ∞ ) si l > 0 (+ ∞ )l = 0

si l < 0

•

+ ∞ si l > 1 l +∞ =  si 0 < l < 1 0

0 si l > 1 l −∞ =  + ∞ si 0 < l < 1

•

(+ ∞ )(+∞ ) = (+ ∞ )

(+ ∞ )(−∞ ) = 0

Entre las propiedades anteriores faltan los siguientes casos, en los que no hay ninguna regla

fija: 10

1).

±∞ ±∞

2).

0 0

3). 0 · (± ∞ )

4). (+ ∞ ) − (+ ∞ )

5). 1±∞

6). (+ ∞ )

0

7). 0 0

En estos casos se trata de indeterminaciones. Cuando al calcular el límite de la función aparece una indeterminación, hay que evitarla

usando estrategias de cálculo que dependerán de la forma que tenga la expresión algebraica de la función y del tipo de indeterminación que nos haya salido. CÁLCULO ALGEBRAICO DE LÍMITES: Tendremos en cuenta además de las propiedades anteriores:

• • •

lim k = k siendo k = constante.

x →a x →±∞

lim P ( x) = P (a ) siendo P(x) un polinomio. x →a

lim P ( x) = ±∞ dependiendo del signo del coeficiente principal y del grado de P(x)

x→±∞



Indeterminación

•

Si f es racional

±∞ ±∞

P ( x) (P y Q polinomios). En todos los casos, para evitar la indeterminación, se divide Q( x ) numerador y denominador por la x de mayor grado del denominador. lim

x →±∞

Ejemplo 1:

4x2 x 1 1 1 + 2− 2 4+ − 2 2 4x2 + x −1 x = lim x x = 4+0−0 = 4 lim = lim x 2 x 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 x 1 x +1 1+ 0 1+ 2 + 2 2 x x x Ejemplo 2:

− 4 x3 x 1 1 1 + 2− 2 − 4x + − 2 2 − 4x + x −1 x = lim x x = − ∞ + 0 − 0 = − ∞ = −∞ lim = lim x 2 x 2 x→+∞ x → +∞ x → +∞ 5 x 5 x −5 1− 0 1 − 1 − 2 2 2 x x x Ejemplo 3: − 4x2 x 1 −4 1 1 + 3− 3 + − 2 3 − 4x + x −1 x x x = lim x x 2 x 3 = 0 + 0 − 0 = 0 = 0 lim = lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ 7 x3 7 x3 + 7 1+ 0 1 1 + + 3 3 3 x x x 3

11

• Si f es irracional: Se evita dividiendo numerador y denominador entre la x de mayor grado del denominador (igual que si fuese racional). Si el denominador tiene raíz, se dividen entre la raíz de esa potencia de x. Ejemplo:

x2 x 1 + 2 1+ 2 x x = lim x = 1+ 0 = 1 x→+∞ x 1 1 x

x +x = lim x→+∞ x 2

lim

x→+∞

 •

Indeterminación:

0 0

P( x) P(a) 0 = = . x →a Q ( x ) Q(a) 0

Si f es racional:

lim

Como P(a)=0 ⇒ P(x) es divisible por ( x − a ) (Teorema del resto). Lo mismo ocurre con Q(x).

Para evitar este tipo de indeterminación dividimos numerador y denominador por. ( x − a ) , factorizándolos primero para que sea más cómodo hacer dicha división. Ejemplo: x3 − 1 0 lim 2 = (indeterminación) ⇒ Dividimos numerador y denominador entre x→1 x − x 0

(x − 1)

factorizándolos primero para que sea más cómodo hacer dicha división:

⇒ lim x →1

•

(

)

(x − 1) ⋅ x 2 + x + 1 = lim x 2 + x + 1 = 12 + 1 + 1 = 3 = 3 x3 −1 = lim x →1 x 2 − x :( x −1) x→1 (x − 1) ⋅ x x 1 1

Si f es irracional: Ejemplo: x 0 = indeterminación que se evita multiplicando numerador y denominador por x →0 1 − 1 − x 0

lim

el conjugado de donde aparece la raíz y posteriormente dividiendo por ( x − a ) , en nuestro ejemplo por . ( x − 0) = x

lim x→0

(

)

(

)

(

)

x x 1+ 1− x x 1+ 1− x x 1+ 1− x = lim = lim 2 = lim = x → 0 x → 0 x → 0 1 − (1 − x ) x 1− 1− x 1− 1− x 1+ 1− x

(

)

(

)(

)

= lim 1 + 1 − x = 1 + 1 − 0 = 2 x→0

12

 Indeterminación: (+ ∞ ) − (+ ∞ ) •

Si f(x) es racional:

Ejemplo 1: 3   2 lim 2 − 3  = (+ ∞ ) − (+ ∞ ) , se evita la indeterminación operando razones algebraicas y x→1 x − 1 x −1 

transformando la expresión en un cociente de polinomios:

(

) (

 2 x 2 + x + 1 − 3( x + 1) 3   2 lim 2 − 3  = lim x→1 x − 1 x − 1  x→1  ( x + 1)( x − 1) x 2 + x + 1 

)

 2 x 2 + 2 x + 2 − 3x − 3  = lim = 2  x→1 ( x + 1)( x − 1) x + x + 1

(

)

2x2 − x −1 2 −1 −1 0 = = x→1 ( x + 1)( x − 1) x 2 + x + 1 2 · 0 ·3 0

= lim

(

)

Queda otra indeterminación que se evita dividiendo numerador y denominador por ( x − 1) : 2x2 − x −1 2x + 1 2 +1 3 1 = lim = = = 2 2 x→1 ( x + 1)( x − 1) x + x + 1 :( x −1) x→1 ( x + 1) x + x + 1 2 ·3 6 2

(

lim

)

(

)

Ejemplo 2:

 x2 − 4x + 1 x2 + 2x − 3   = (+ ∞ ) − (+ ∞ ) , se evita la indeterminación, como en el caso lim  − x→+∞ x + 1   x+2 anterior, realizando la operación y transformando la resta en una sola razón algebraica.

(

)

(

)

 x 2 − 4x +1 x 2 + 2x − 3   x 2 − 4 x + 1 ( x + 1) − x 2 + 2 x − 3 ( x + 2)   = lim   = lim  − x → +∞ x + 1  x→+∞ (x + 2)(x + 1)   x+2 3 2 3 2 3 2 3 2 x − 3x − 3 x + 1 − x + 4 x + x − 6 x − 3x − 3x + 1 − x − 4 x − x + 6 = lim = lim = 2 x →+∞ x →+∞ x + 3x + 2 x 2 + 3x + 2  − 7 x2 − 4x + 7  − ∞  = = lim  2 x →+∞  x + 3x + 2  + ∞

(

)

Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en nuestro caso dividimos por x 2 : − 7x2 4x 7 4 7 − 2+ 2 −7− + 2 2 − 7 x − 4x + 7 x x = lim x x = − 7 − 0 + 0 = −7 lim = lim x 2 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 3 2 x 3x 2 x + 3x + 2 1+ 0 + 0 1+ + 2 + 2+ 2 2 x x x x x 2

•

Si f(x) es irracional:

13

 Si hay cociente se divide por la x de mayor exponente del denominador con su raíz, en caso de que le afecte alguna raíz. Ejemplo 1: x − x + 1 (+ ∞ ) − (+ ∞ ) = , para quitar la indeterminación se divide numerador y +∞ x

lim

x→+∞

denominador entre

x:

1 x x 1 − + 1 − 1+ x x x = lim x = 1 − 1 + 0 = 1 −1 = 0 x → +∞ 1 1 x 1 x

lim

x→+∞

Ejemplo 2: x − x + 1 (+ ∞ ) − (+ ∞ ) = , para quitar indeterminación se divide numerador y +∞ x−2 + x

lim

x→+∞

denominador por

x x x 1 1 − + 1 − 1+ x x x = lim x = 1 − 1 + 0 = 1 −1 = 0 x 2 x x→+∞ 2 1− 0 +1 1+1 − + 1− + 1 x x x x

x − x +1 = lim x − 2 + x x→+∞

lim

x→+∞

 Si no hay cociente sino sólo una resta de raíces, la indeterminación se evita multiplicando y dividiendo por el conjugado: Ejemplo 3: lim

x→+∞

(

)

x 2 + x + 1 − ( x − 1) = (+ ∞ ) − (+ ∞ ) ⇒ Indeterminación. Para evitarla multiplicamos y

dividimos por el conjugado:

(x lim

x →+∞

= lim

x →+∞

2

)( x

+ x + 1 − ( x − 1) ⋅

2

) = lim x

+ x + 1 + ( x − 1)

x 2 + x + 1 + ( x − 1) 3x +∞ = x 2 + x + 1 + ( x + 1) + ∞

x → +∞

2

+ x + 1 − ( x − 1)

2

x 2 + x + 1 + ( x − 1)

=

Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en nuestro caso x ( x 2 = x )

14

3x 3 3 3 x = lim = = 2 x→+∞ 1 1  1 1 + 0 + 0 + (1 + 0) 2 x x 1  x 1 1 + + 2 + 1 +  + 2 + 2 + +  2 x x  x x x x  x x

lim

x→+∞

EJERCICIOS RESUELTOS DEL CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.Calcula razonadamente todas las asíntotas de las siguientes funciones:




f (x ) =

Ejercicio 1.

A.V:

x2 − 4 x2 − 2x

Calculamos los valores de x que anulan al denominador:

x = 0  que son las posibles A.V. de la función. x = 2 Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos: lim f ( x ) = lim x →0

x →0

x2 − 4 − 4 = ∉ R (± ∞ ) ⇒ x = 0 es una A.V . x 2 − 2x 0

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de x = 0 se estudia calculando los

−4 = −∞ x = −0 '1 + 0 x →0 −4 lim+ f ( x ) = = +∞ x = 0 '1 − 0 x →0 lim− f ( x ) =

límites laterales:

x2 − 4 (x − 2) ⋅ (x + 2) = lim x + 2 = 2 + 2 = 2 ∈ R = lim 2 x → 2 x − 2 x 0 x →2 x ⋅ ( x − 2 ) :( x − 2 ) x→2 x 2

lim f ( x ) = lim x→2

y

2 ∉ D( f )

0

x = 2 no es una A.V .

Luego:

En x = 2 , hay una discontinuidad evitable

x2 4 4 − 2 1− 2 2 x2 − 4 x = 1 − 0 = 1∈ R lim f ( x ) = lim 2 =∞ lim x 2 x = lim + x →±∞ x →±∞ x − 2 x x →±∞ x 2 x x→±∞ 1 − 2 1 − 0 +∞ − 2 2 x x x

A.H:

y = 1 es A.H ( por la dcha y por la izqda ) Y para saber la posición relativa de la Gráf ( f ) respecto de la asíntota: y = 1 :

x

f (x )

Comparación f ( x ) con y = 1

Posición de f ( x ) con respecto a A.H .

100

1'02

1'02 > 1

f ( x ) por encima de la A.H .

− 100

0'98

0'98 < 1

f ( x ) por debajo de la A.H .

No puede haber A.O.: Pues la función tiene un A.H.

15

g (x ) =


Ejercicio2. A.V:

x2 + 2 x −1

Calculamos el valor de x que anula al denominador, que es: x = 1 (posible A.V)

Comprobamos si lo es o no, calculando el límite en ese punto: lim g ( x ) = lim x →1

x →1

x2 + 2 3 = ∉ R (± ∞ ) ⇒ x = 1 es una asíntota vertical x −1 0

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de x = 0 se estudia calculando los límites

lim− g ( x ) =

3 = −∞ x = 0 '9 − 0 x →1 laterales: 3 lim+ g ( x ) = = +∞ x =1'1 + 0 x →1

2 x2 2 x+ + x +2 x = ± ∞ + 0 = ± ∞∉ R lim g ( x ) = lim = lim x x = lim x →±∞ x →±∞ x − 1 + ∞ x →±∞ x x → ±∞ 1 1 1− 0 1− − ±∞ x x x 2

A.H:

⇒ f no tiene asíntotas horizontales

A.O.:

y = mx + n

Con m y n ∈ R , Que se calculan de la forma siguiente:

x2 + 2 x2 2 2 + 2 1+ 2 2 2 g (x ) x + 2 x = 1 + 0 = 1∈ R ⇒ m = 1 x x = lim m = lim = lim x − 1 = lim 2 = lim 2 x → ±∞ x → ±∞ x →±∞ x − x + ∞ x →±∞ x x x x x→±∞ 1 − 1 1 − 0 +∞ − 2 2 x x x

  x2 + 2 − x2 + x  x+2 +2   = lim − x  = lim  = ± ∞ − ± ∞ → ±∞ → ±∞ ( ) x x x −1 x − 1 ±∞  x −1    ±∞ 

x n = lim ( g (x ) − mx ) = lim  x → ±∞ x → ±∞

2

x 2 2 + 1+ x = 1 + 0 = 1∈ R ⇒ n = 1 = lim x x = lim x →±∞ x 1 x→±∞ 1 1 − 0 − 1− x x x Luego la función posee una asíntota oblicua de ecuación:

y = x +1

Si queremos conocer la posición relativa de la Gráf ( f ) respecto de la A.O.:

x

g (x )

y A.O.

Comparación g ( x ) con y A.O.

100

101'03

101

g ( x ) por encima de la A.O.

− 100

− 99'03

− 99

g ( x ) por debajo de la A.O.

16




Ejercicio 3. h( x ) = x 2 − 1 A.V: No tiene A.V . , pues el denominador es el 1 y no se puede anular.

lim h( x ) = lim x 2 − 1 = + ∞ ∉ R

A.H: Calculamos el y = mx + n

A.O.:

x →±∞

Con m y n ∈ R , Que se calculan de la forma siguiente:

h( x ) x 2 −1 = lim = lim x →±∞ x x →±∞ x +∞ x→±∞

m = lim

±∞

Para: m = 1 ⇒ n = lim

(x

2

)

− 1 − x = lim

(

 x2 1 1 − 2 1− 2  2 x = lim x = 1 − 0 = 1∈ R  lim x 2 x → +∞ x → +∞ x x −1  1 1   x x = x x2 1 1  − − 2 − 1− 2 x 2  x x = lim x = −1 ∈ R  lim x →−∞ x →+∞ x 1   x

)(

x2 −1 − x ⋅

x2 +1 + x

x2 −1 + x Y la asíntota oblicua tiene de ecuación:

x →+∞

+ ∞ − ∞ x → +∞

Para: m = −1 ⇒

n = lim

(

)

x 2 − 1 + x = lim

(x

2

)( x

−1 + x ⋅

2

x −1 − x Y la asíntota oblicua tiene de ecuación:

x →−∞

No hay A.H .

x →±∞

+ ∞ − ∞ x →−∞

2

) = lim x x → +∞

y=x

+1 − x

) = lim x x →−∞

y = −x

2

−1 − x2

x2 −1 + x

2

−1 − x2

x −1 − x 2

= lim

x → +∞

= lim

x →−∞

−1 x2 −1 + x

−1 x −1 − x 2

=

−1 =0 +∞+∞

=

−1 =0 +∞+∞

 Por la dcha : y = x   Por la izqda : y = − x

Como vemos tiene dos A.O. :

Y la posición relativa de la Gráf (h ) respecto de ellas:

x

h( x )

y A.O.

Comparación h( x ) con y A.O.

100

99'99

100

h( x ) por debajo de la A.O.

− 100

99'99

100

h( x ) por debajo de la A.O.

17




 2  x + 2 si x < −2 k (x ) =   x si x ≥ −2  x − 1

Ejercicio 4.

A.V:

Calculamos los valores de x que anulan a los denominadores:

x = −2  que son las posibles A.V. de la función. x =1  Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos: 2 −4 = = +∞ ∉ R x → −2 x → −2 x + 2 −0 x 2 lim+ k ( x ) = lim+ = =2 x → −2 x → −2 x − 1 2 −1 lim− k ( x ) = lim−

lim k ( x ) = lim x →1

x →1

   ⇒ x = −2 es A.V .  

x 1 = ∉ R (± ∞ ) ⇒ x = 1 es A.V . x −1 0

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de x = 1 se estudia calculando los límites lim− k ( x ) =

1 = −∞ x = 0 '9 − 0 x →1 laterales: 1 lim k ( x ) = = +∞ x =1'1 + 0 x →1+

     

A.H: Calculamos el

x   x 1 = lim x = =1  xlim + ∞  →+∞ x − 1 x→+∞ x 1 1 − 0 − +∞ lim k ( x ) =  x →±∞ x x  2 2  = =0  xlim →−∞ x + 2 −∞

    A.H . por la dcha : y = 1 ⇒  A.H . por la izqda : y = 0   

La posición relativa de la Gráf (k ) respecto de ellas:

x

k (x )

Comparación k ( x ) con A.H

Posición de k ( x ) con respecto a A.H .

100

1'01

1'01 > 1

k ( x ) por encima de la A.H .

− 100

− 0'02

− 0'02 < 0

k ( x ) por debajo de la A.H .

Observación: El estudio de la posición relativa de la Gráf de cada función respecto de sus asíntotas no es riguroso, en cuanto que damos a x un solo valor (100 ó -100) que no tiene por qué 18

ser en valor absoluto suficientemente alto. Pero en la mayoría de las funciones que trabajaremos en el curso, nos suele ayudar y dar una idea clara de cómo se posiciona la gráfica de la función. En cualquier caso, podemos prescindir de dicho estudio y sustituirlo por la utilización del resto de las propiedades que tenga la gráfica de la función, encajándolas hasta hacer un esbozo correcto de la gráfica pedida.

19