91 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

Tema 9

L´ımites y continuidad 9.1

L´ımite y continuidad de una funci´ on en un punto

Definici´ on 191.- Un punto x0 ∈ IR se dice punto de acumulaci´ on de un conjunto A si, y s´olo si, para cada ε > 0 se tiene que E ∗ (x0 , ε) ∩ A 6= ∅. Es decir, x0 es un punto de acumulaci´on de un conjunto A si en cada entorno de x0 hay otros puntos de A . De los puntos de A que no son de acumulaci´on, se dice que son puntos aislados de A. Nota: Es decir, x0 es punto de acumulaci´on de A si “cerca” de x0 siempre hay (otros) puntos de A , por peque˜ no que hagamos el c´ırculo de cercan´ıa; en consecuencia, a un punto de acumulaci´ on de un conjunto siempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. S´olo as´ı tiene sentido la definici´on del l´ımite siguiente. Definici´ on 192.- Sea f : A −→ IR y sea x0 ∈ IR un punto de acumulaci´on de A. Se dice que el l´ımite de la funci´on f (x) cuando x tiende a x0 es L , y se representa por l´ım f (x) = L,

(tambi´en con f −→ L, cuando x → x0 )

x→x0

si, y s´olo si, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < |x − x0 | < δ , entonces |f (x) − L| < ε . El significado de esta farragosa definici´on ser´ıa lo siguiente: “el l´ımite en x0 de f es L si la imagen de cada x cercano a x0 est´a cerca de L ”. Puede quedar un poco m´as claro expresando esta crecan´ıa mediante entornos: La definici´on anterior es, evidentemente, equivalente a:

L+ε

Diremos que el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a x0 es L si, y s´olo si, para cada entorno de L, E(L, ε), existe un entorno reducido de x0 , E ∗ (x0 , δ) tal que si x ∈ A ∩ E ∗ (x0 , δ) , entonces f (x) ∈ E(L, ε).

L

L−ε

En la figura de la derecha vemos que, en efecto, para los puntos cercanos a x0 (en fondo rojo) sus im´agenes (en fondo rojo) est´an dentro de la cercan´ıa de L fijada (en fondo verde). x0 −δ √ Ejemplo Para f : [0, +∞) −→ IR dada por f (x) = x , se tiene que l´ım f (x) = 0 .

x0

x0 +δ

x→0

2 Para cada ∈ [0, +∞) y 0 < |x − 0| < δ , es decir, si 0 < x < ε2 se verifica √ ε > 0, tomamos δ = ε > 0, si x√ √ √ √ que x < ε2 = ε, pero esto es lo mismo que x = | x| = | x − 0| < ε . 4

Nota: Para el l´ımite no importa la funci´on en el punto, sino su valor en puntos cercanos (ponemos 0< |x − x0 | < δ en la definici´on). n As´ı, f (x) =

x, x6=1 2, x=1

r

1

b¡

si x → 1 y x 6= 1, la funci´on toma los valores f (x) = x en esos puntos y entonces l´ım f (x) = l´ım x = 1 . x→1

x→1

Y tambi´en la funci´on g(x) = x tiene por l´ım g(x) = l´ım x = 1 . x→1

g

¡ ¡

¡ ¡ ¡

¡

tiene l´ım f (x) = 1 aunque f (1) = 2 , ya que x→1

f

2

¡

¡ ¡ 1

1

r¡

¡ ¡ ¡ 1

x→1

El valor de la funci´on en el punto es primordial sin embargo para el concepto de continuidad: Definici´ on 193.- Sea f : A −→ IR , se dice que f es continua en el punto x0 ∈ A si, y s´olo si, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A y |x − x0 | < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < ε . Observaci´on: Si el punto x0 no est´a aislado, la definici´on es equivalente a que l´ım f (x) = f (x0 ). x→x0

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92 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

9.1 L´ımite y continuidad de una funci´ on en un punto

n Ejemplo

La funci´on de la nota anterior f (x) =

x, x6=1 2, x=1

no es continua en 1, pues l´ım f (x) = 1 6= f (1); x→1

mientras que la funci´on g(x) = x s´ı lo es pues l´ım g(x) = 1 = g(1). √ √x→1 √ Tambi´en es continua en 0 la funci´on f (x) = x del ejemplo anterior, pues l´ım x = 0 = 0. x→0

4

Ejemplo 194 La funci´on f (x) = ex es continua en 0. En efecto, por ser ex estrictamente creciente: x δ x x δ si 0 < x < δ , es 1 < e < e , luego 0 < e − 1 = |e − 1| < e − 1 δ si −δ < x < 0 es e−δ < ex < 1, luego 0 < 1 − ex = |ex − 1| < 1 − e−δ = e e−1 < eδ − 1. δ Entonces, para cada ε > 0 tomamos δ = ln(1 + ε) y si 0 < |x| < δ , se tiene que |ex − 1| < eδ − 1 = eln(1+ε) − 1 = (1 + ε) − 1 = ε x Luego se cumple que l´ım e = 1 = e0 y ex es continua en 0. 4 x→0

9.1.1

Algunos resultados interesantes

Proposici´ on 195.- Sea f : A −→ IR y x0 un punto de acumulaci´on de A . Entonces a) l´ım f (x) = L ⇐⇒ l´ım (f (x) − L) = 0 x→x0

b) l´ım f (x) = 0 ⇐⇒ l´ım |f (x)| = 0

x→x0

x→x0

x→x0

c) Si h = x − x0 , entonces l´ım f (x) = L ⇐⇒ l´ım f (x0 + h) = L x→x0

h→0

Demostraci´on: Basta observar que la definici´on de l´ımite para el segundo t´ermino de la 1 a equivalencia: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |(f (x) − L) − 0| = |f (x) − L| < ε para el segundo t´ermino de la 2 a equivalencia: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ ||f (x)| − 0| = |f (x)| < ε y para el segundo t´ermino de la 3 a equivalencia: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |h| = |x − x0 | < δ =⇒ |f (x0 + h) − L| = |f (x) − L| < ε coinciden con la definici´on de los l´ımites para los respectivos primeros t´erminos de la equivalencias. Los resultados a) y c) anteriores deben considerarse definiciones equivalentes de la definici´on de l´ımite y nos permiten transformar un l´ımite en un l´ımite de valor 0 o a un l´ımite en el punto 0 . Con el apartado b) cambiamos la funci´on por otra “acotable”, lo que cobra inter´es tras los resultados siguientes: Proposici´ on 196.- Sean f, g, h: A −→ IR y x0 un punto de acumulaci´on de A . 1.- Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en A y l´ım f (x) = L = l´ım h(x), entonces l´ım g(x) = L x→x0

x→x0

x→x0

2.- Si g est´a acotada en A y l´ım f (x) = 0, entonces l´ım g(x) · f (x) = 0 x→x0

x→x0

.

Ejemplo El l´ım x sen x1 = 0, pues l´ım x = 0 y el seno est´a acotado ( |sen y| ≤ 1 , para cualquier y ∈ IR ). 4 x→0 x→0 9.1.1.1

L´ımites y continuidad con las operaciones b´ asicas

El c´alculo de los l´ımites y, por tanto el estudio de la continuidad, se extiende ampliamente y de manera sencilla mediante las operaciones b´asicas de las funciones: Propiedades 197.- Si l´ım f (x) = L1 ∈ IR y l´ım g(x) = L2 ∈ IR , entonces: x→x0

x→x0

a) l´ım [f (x) + g(x)] = l´ım f (x) + l´ım g(x) = L1 + L2 . x→x0

x→x0

x→x0

b) l´ım [f (x) · g(x)] = l´ım f (x) · l´ım g(x) = L1 · L2 . x→x0

f (x) x→x0 g(x)

c) l´ım

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x→x0

x→x0

l´ım f (x)

=

x→x0

l´ım g(x) x→x0

=

L1 L2

, siempre que L2 6= 0 .

.

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93 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

9.1 L´ımite y continuidad de una funci´ on en un punto

Corolario 198.- Sean f y g funciones continuas en un punto x0 ∈ A, entonces: 1.- f + g es continua en el punto x0 . 2.- f g es continua en el punto x0 . 3.-

f g

es continua en el punto x0 siempre que g(x0 ) 6= 0 .

Ejemplos ³ ´n n) ? La funci´on f (x) = xn es continua en IR : l´ım xn = ( l´ım x) · · · ( l´ım x) = l´ım x = xn0 x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

? En general, si P (X) es un polinomio, l´ım P (x) = P (x0 ), luego continuo en todo IR . x→x0

P (x) Q(x)

? Y una funci´on racional, f (x) =

, ser´a continua en los puntos de su dominio (salvo en aquellos a con P (x) x→x0 Q(x)

Q(a) = 0 , pero esos no pertenecen al dominio) y en todos ellos l´ım

=

P (x0 ) Q(x0 )

.

? f (x) = ex es continua en IR , pues lo es en 0 (Ejemplo 194) y, para los dem´as puntos, se tiene l´ım ex = l´ım ex0 +h = l´ım ex0 eh = ex0 l´ım eh = ex0 e0 = ex0 x→x0

h→0

h→0

h→0

4

Teorema 199.- Sean f : A −→ IR y g: f (A) −→ IR . Si l´ım f (x) = b y g es continua en b, entonces x→a

³ ´ l´ım g(f (x)) = g(b) = g l´ım f (x) .

x→a

.

x→a

Corolario 200.- Si f es continua en a y g continua en f (a), entonces g ◦ f es continua en a. Ejemplo La funci´on f (x) = x − 1 es continua en 1 por ser polin´ √ omica; la funci´on g(x) = |x| es continua en 0 = f (1) , pues l´ım x = 0 =⇒ l´ım |x| = 0 = |0|; y h(x) = x es continua en 0 = g(0). Entonces, la x→0 x→0 p composici´on (h ◦ g ◦ f )(x) = h(g(f (x))) = r |x − 1| es continua en 1 . ¯ ¯ p q p ¯ ¯ Adem´as, l´ım |x − 1| = l´ım |x − 1| = ¯ l´ım (x − 1)¯ = |0| = 0 . 4 x→1

x→1

x→1

Imponiendo condiciones sobre la funci´on f , podemos dar una variante del teorema 199 anterior que prescinde de la condici´on de continuidad de g : Proposici´ on 201 (Convergencia propia).- Sean f : A −→ IR y g: f (A) −→ IR . Si l´ım f (x) = b, con f (x) 6= x→a

b para todos los x de un entorno reducido E ∗ (a, δ0 ) de a, entonces l´ım (g ◦ f )(x) = l´ım g(f (x)) = l´ım g(y).

x→a

.

y→b

f (x)→b

½

y, si y 6= 1 , no continua en 1. Para f (x) = ex se cumple la condici´on pedida, pues 2, si y = 1 l´ım f (x) = 1 6= ex = f (x) si x 6= 0 (es est. creciente), luego l´ım g(f (x)) = l´ım g(y) = 1 . (En efecto, como Ejemplo Sea g(y) =

x→0

x→0

y→1

g(f (x)) = g(ex ) = ex si ex 6= 1 , se tiene l´ım g(f (x)) = l´ım ex = 1). x→0 x→0 ½ 1, si x 6= 0 Sin embargo, si tomamos la funci´on f (x) = , que no verifica la condici´on de la proposici´on 0, si x = 0 ( l´ım f (x) = 1 = f (x) si x 6= 0), se tiene que: l´ım g(f (x)) = l´ım g(1) = 2 6= l´ım g(y) = 1 . 4 x→0

9.1.1.2

x→0

x→0

y→1

L´ımites laterales

Definici´ on 202.- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ IR . ? Diremos que L1 es el l´ımite por la izquierda de f en c , si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que cuando x < c y 0 < |x − c| < δ , se tiene que |f (x) − L1 | < ε . ? Diremos que L2 es el l´ımite por la derecha de f en c , si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que cuando x > c y 0 < |x − c| < δ , se tiene que |f (x) − L2 | < ε . Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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94 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

9.1 L´ımite y continuidad de una funci´ on en un punto

Los representaremos, respectivamente, por l´ım f (x) = l´ım− f (x) = L1

x→c xc

x→c

Proposici´ on 203 (L´ımites laterales).- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ IR . Entonces l´ım f (x) = L

⇐⇒

x→c

½ Ejemplo Sea f (x) = |x| =

.

x→c

x, si x ≥ 0 . Entonces −x, si x < 0

l´ım |x| = l´ım− −x = 0

x→0−

l´ım f (x) = l´ım+ f (x) = L

x→c−

x→0

y

l´ım |x| = l´ım+ x = 0

x→0+

x→0

=⇒

l´ım |x| = 0

4

x→0

Nota: Si s´olo hay funci´on en un lado, el l´ımite coincide con el l´ımite lateral. Por ejemplo, l´ım

√

x→0

x = l´ım+ x→0

√

x,

pues en los puntos a la izquierda de 0 no est´a definida la funci´on. Definici´ on 204.- Si f no es continua en un punto x0 , pero se cumple que

l´ım f (x) = f (x0 ) ´o que

x→x− 0

l´ım f (x) = f (x0 ) , se dice que f es continua por la izquierda o continua por la derecha en x0 .

x→x+ 0

Ejemplo Todas son funciones discontinuas en 1 , la tercera es continua por la derecha y las dos u ´ltimas son continuas por la izquierda. r b

b b

r b

b r

r

1

1

1

1

1

La discontinuidad de la primera funci´on suele denominarse evitable (porque basta “rellenar el hueco” para hacerla continua), de la quinta se dice de salto infinito y de las tres restantes de salto finito. 4

9.1.2

L´ımites con infinito

De manera similar a como se definen los limites para valores reales, podemos definir l´ımites donde la variable se acerca a +∞ ´o a −∞, o que sea la funci´on la que pueda tomar valores c´ercanos a ellos (valores, tan grandes que superan cualquier cota K > 0 , o tan peque˜ nos que rebasan cualquier cota por abajo −K < 0 ). Las definiciones son an´alogas, sin m´as que cambiar la aproximaciones a puntos reales por aproximaciones a ∞: Definici´ on 205.- Si f es una funci´on real de variable real, se tienen las siguientes definiciones: l´ım f (x) = +∞

si, para cada K > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > K

x→x0

l´ım f (x) = L

x→−∞

si, para cada ε > 0, existe M > 0 tal que si x < −M =⇒ |f (x) − L| < ε

l´ım f (x) = −∞

si, para cada K > 0, existe M > 0 tal que si x > M =⇒ f (x) < −K

x→+∞

An´alogamente: l´ım f (x) = −∞, l´ım f (x) = L , l´ım f (x) = +∞ , l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = −∞ . x→x0

Ejemplo Para a > 0,

x→+∞

l´ım ax = +∞

x→+∞

x→+∞

y

l´ım

x→0−

1 x

= −∞ .

x→−∞

x→−∞

En efecto:

K ? para cada K > 0 tomamos M = K a > 0 y si x > M , entonces f (x) = ax > aM = a a = K 1 1 1 ? para cada K > 0 tomamos δ = K > 0 y si −δ < x < 0 , entonces f (x) = x < −δ = −K

4

Las operaciones del resultado Propiedades 197 son v´alidas tambi´en cuando tenemos l´ımites en el infinito o con valor infinito, aunque aparecen situaciones cuyo resultado no puede determinarse usando las reglas generales. Si l´ım f (x) = a y l´ım g(x) = b, donde tanto x0 como a y b pueden ser ±∞, el valor del l´ımite para las x→x0

x→x0 f g

funciones f + g , f · g , Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

y f g , se obtiene de las siguientes tablas: I.T.I. en Electricidad

95 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

f +g a = −∞ a ∈ IR a = +∞

b = −∞ −∞ −∞

f ·g a = −∞ a0 a = +∞

b = −∞ +∞ +∞ −∞ −∞

b ∈ IR −∞ a+b +∞

b0 −∞ ab 0 ab +∞

0 0 0

b0 −∞

b = +∞

a b

0 0 0

0

a b

−∞ −∞

fg a=0 0 0 y por tanto x = |x| =

√

2 q = 1 + 1+ x2

√ 2 1+0+1

=1

x2 .

4

√

l´ım x2 + 2x − x = (∞ − ∞) = 1 . √ √ √ p ( x2 + 2x − x)( x2 + 2x + x) ( x2 + 2x)2 − x2 2 √ √ l´ım x + 2x − x = l´ım = l´ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2 + 2x + x x2 + 2x + x 2 2 x + 2x − x 2x = l´ım √ = l´ım √ =1 2 2 x→+∞ x→+∞ x + 2x + x x + 2x + x

Ejemplo 209

Ejemplo 210

x→+∞

l´ım (1 + x1 )x = e

x→+∞

Por definici´on, e = 1 n+1

≤

1 x

<

³ 1+

1 n

4

de donde

l´ım (1 +

n→+∞ 1 1 + n+1

1 n n)

≤1+

y para cada x > 0, existe n ∈ IN con n < x ≤ n + 1, luego con 1 x

0 (resp. ∞ y 0 si α < 0).

x→+∞

l´ım sh x = −∞ y

x→−∞

l´ım ch x = ∞ y

x→−∞

l´ım th x = −1 y

x→−∞

l´ım sh x = +∞.

x→+∞

l´ım ch x = +∞ .

x→+∞

l´ım th x = 1 .

x→+∞

? f (x) = sen x y f (x) = cos x son de peri´odicas de periodo 2π , continuas en IR y 6 ∃ l´ım f (x). x→±∞

? f (x) = tg x es de periodo π , continua en su dominio y

9.1.3

l´ım + tg x = −∞ y l´ım tg x = ∞ . π− x→ 2

x→ −π 2

.

Infinit´ esimos e infinitos equivalentes

Definici´ on 212.- Se dice que una funci´on f es un infinit´ esimo en x0 si l´ım f (x) = 0. x→x0

Una funci´on f (x) se dice que es un infinito en x0 si l´ım f (x) = +∞ (o −∞ ). x→x0

f (x) x→x0 g(x)

Definici´ on 213.- Dos infinit´esimos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si l´ım Dos infinitos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si

l´ım f (x) x→x0 g(x)

= 1.

= 1.

Proposici´ on 214.- Si g(x) y h(x) son infinit´esimos (o infinitos) equivalentes en x0 , entonces f (x) f (x) l´ım g(x)f (x) = l´ım h(x)f (x) y l´ım = l´ım , x→x0 x→x0 x→x0 g(x) x→x0 h(x) siempre que los segundos l´ımites existan. Demostraci´on: Si existe l´ım f (x)h(x) y l´ım

g(x) x→x0 h(x)

x→x0

= 1 , entonces:

g(x) x→x0 h(x)

l´ım h(x)f (x) = l´ım

x→x0

· l´ım h(x)f (x) = l´ım x→x0

x→x0

g(x)h(x)f (x) h(x)

= l´ım g(x)f (x) x→x0

An´alogamente para el otro caso. Algunos infinitos e infinit´ esimos conocidos 215.- Usaremos la notaci´on f infinitos o infinit´esimos equivalentes: an xn + · · · + a1 x + a0 ∼ an xn cuando x → ±∞ an xn + · · · + a1 x ∼ sen(x) ∼ x cuando x → 0 tg(x) ∼ 1 1 cuando x → ±∞ 1 − cos(x) ∼ sen x ∼ x ln(1 + x) ∼ x cuando x → 0 ex − 1 ∼ sh(x) ∼ x cuando x → 0 ch(x) − 1 ∼

Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

∼ g para indicar que f y g son a1 x x x2 2

x

x2 2

cuando cuando cuando cuando cuando

x→0 x→0 x→0 x→0 x→0

.

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97 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

En efecto, l´ım ln(x) = l´ım ln(x) = l´ım ln(1+t) = l´ım tt = 1 t x→1 x−1 x−1→0 x−1 t→0 t→0 ½ ¾ ½ ¾ 2 x x x x x → 0 ⇒ x → 0 x→0⇒ 2 →0 x sen( 2 ) x x 2 l´ım = = l´ım x22 = 12 = l´ım ex2 2−1 = 2 sen( x2 ) ∼ x2 x→0 ex −1 x→0 x→0 ex − 1 ∼ x 2 ½ ¾ x → +∞ ⇒ x1 → 0 l´ım 2x sen( x1 ) = = l´ım 2x x1 = 2 sen( x1 ) ∼ x1 x→+∞ x→+∞ Ejemplos

l´ım ln(x) x→1 x−1

9.1 L´ımite y continuidad de una funci´ on en un punto

= 1.

4

Nota: La hip´otesis de la Proposici´on, en el sentido de que los infinit´esimos (o infinitos) sean factores o divisores de la funci´on, deben tenerse muy presentes pues s´olo as´ı garantizaremos el resultado. El ejemplo siguiente muestra c´omo al sustituir un sumando por otro se falsea el resultado. Sabemos que sen x y x son infinit´esimos equivalentes en x = 0 , pero sen x no puede ser sustituido por x en el l´ımite: l´ım senxx−x , pues si lo hacemos obtendr´ıamos como l´ımite 0 cuando su valor correcto es −1 3 6 . x→0

Los infinit´esimos o infinitos equivalentes son funciones que tienen un comportamiento “similar” en el l´ımite, pero no igual. Por ello, si los usamos en sumas o restas podemos eliminar esa diferencia (como ocurre en el l´ımite anterior) y dejar sin sentido el l´ımite. Al sustituir sen x por x en la resta de arriba estamos asumiendo que son iguales, pues sutituimos sen x − x 3 por 0 , lo que no es cierto (es sen x − x 6= 0 si x 6= 0 ); de hecho, el seno es m´as parecido a sen x ≈ x − x6 con 3 lo que la deferencia es m´as parecida a sen x − x ≈ − x6 que a 0 .

9.1.4

As´ıntotas de una funci´ on

Una buena ayuda para la representaci´on de la gr´afica de las funciones son las as´ıntotas. La gr´afica de f es una representaci´on en el plano IR2 formada por los puntos (x, y) con la condici´on y = f (x) luego de la forma (x, f (x)); por consiguiente, la gr´afica puede tener puntos que se alejan hacia el infinito. Basta tener¢en cuenta ¡ que si el dominio es IR , cuando x → +∞ los puntos de la gr´afica se alejan hacia + ∞, l´ım f (x) . x→+∞

Estos alejamientos de la gr´afica se llaman ramas infinitas de la funci´on, y puede ocurrir que existan rectas tales que la funci´on se “parezca” a una recta en estas ramas infinitas. Las rectas cumpliendo la condici´on de que la distancia de los puntos de una rama infinita a esa recta tienda hacia 0 a medida que se alejan, se denominan as´ıntotas de la funci´on. Dado que en IR2 , los puntos se alejan en la forma (x, ∞), (∞, y) o (∞, ∞) (aqu´ı, ∞ puede ser tanto +∞ como −∞), buscaremos tres tipos de as´ıntotas: verticales, horizontales e inclinadas. As´ıntotas verticales Si l´ım− f (x) = ±∞ tenemos una rama infinita a la izquierda del punto x0 y la recta x = x0 es una as´ıntota x→x0

vertical de esa rama (el signo del l´ımite +∞ o −∞, nos indicar´a el comportamiento de la rama infinita). Si l´ım+ f (x) = ±∞ hay rama infinita a la derecha de x0 y la recta x = x0 es as´ıntota vertical de esa rama. x→x0

As´ıntotas horizontales e inclinadas Aunque la b´ usqueda de as´ıntotas horizontales e inclinadas pueden¢ ¡ verse como procesos distintos, en ambos casos la variable x se aleja hacia el infinito (x, f (x)) → ∞, l´ım f (x) x→∞

y tambi´en, la recta es de la forma y = mx + n (con m = 0 para las horizontales). Si buscamos una recta y = mx + n cumpliendo que f (x) − (mx + n) −→ 0 cuando x → +∞, tambi´en se n −→ 0, de donde f (x) a que m = l´ım f (x) cumplir´a que f (x)−mx−n x x − m − x −→ 0 luego se tendr´ x . Y conocido x→+∞

m, se tendr´a f (x) − (mx + n) −→ 0 ⇐⇒ f (x) − mx −→ n, de donde n = l´ım f (x) − mx. x→+∞

En consecuencia, existir´a as´ıntota cuando x → +∞ (o en +∞ ), si existen y son reales los valores de los l´ımites m = l´ım f (x) y n = l´ım f (x) − mx. En ese caso y = mx + n es la as´ıntota buscada. x x→+∞

x→+∞

Id´enticamente para as´ıntotas en −∞. Ejemplo La funci´on f (x) = √(x−1)(x+2)|x| , tiene por dominio, Dom(f ) = (−∞, −1)∪(1, 3)∪(3, +∞). Como 2 2 (x −1)(x−3)

el numerador, es continuo en IR , las as´ıntotas verticales (si existen) estar´an en los puntos donde se anule el denominador, es decir, −1, 1 y 3 .

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98 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

9.2 Teoremas del l´ımite y de continuidad

¶ µ (x − 1)(x + 2) |x| (−2) · 1 · |−1| l´ım f (x) = l´ım p = −∞ = 0+ x→−1− x→1+ (x2 − 1)(x − 3)2 (x − 1)(x + 2) |x| 3 (x + 2) |x| x−1 x−1 l´ım f (x) = l´ım+ p = l´ım+ p · l´ım+ √ = · l´ım+ √ =0 2 2 2 2 2 x→1 x→1+ x→1 x→1 x→1 x −1 x2 − 1 (x − 1)(x − 3) (x − 3) µ ¶ ³ 30 ´ (x − 1)(x + 2) |x| 30 l´ım− f (x) = l´ım− p = = +∞ l´ ım f (x) = = +∞ 0+ 0+ x→3 x→3 x→3+ (x2 − 1)(x − 3)2 Luego las as´ıntotas verticales son x = −1 (cuando x → −1− , f (x) → −∞ ) y x = 3 (cuando x → 3− , f (x) → +∞ y cuando x → 3+ , f (x) → +∞). Estudiamos las as´ıntotas en +∞ , f (x) (x − 1)(x + 2) |x| = l´ım p l´ım =1·1=1 x→+∞ x (x2 − 1)(x − 3)2 x→+∞ x p (x − 1)(x + 2)x − x (x2 − 1)(x − 3)2 p n = l´ım f (x) − x = l´ım x→+∞ x→+∞ (x2 − 1)(x − 3)2

¡ ¡

m = l´ım

x→+∞

x(x − 1)(8x2 − 3x − 13) ³ ´ p (x2 − 1)(x − 3)2 (x − 1)(x + 2) + (x2 − 1)(x − 3)2 µ ¶ ∼ 8x4 = =4 ∼ 2x4

= l´ım p x→+∞

¡ ¡

¡y = x+4

@ @

@ @ y = −x−4@

x=3 x = −1

luego y = x+4 es as´ıntota de f cuando x → +∞ . An´alogamente, se obtiene que y = −x − 4 es as´ıntota cuando x → −∞. 4

9.2

Teoremas del l´ımite y de continuidad

Teorema 216 (de acotaci´ on y del signo para l´ımites).- Sean f : A ⊆ IR −→ IR y x0 un punto de acumulaci´on de A . Si l´ım f (x) = L ∈ IR , existe un entorno E(x0 , δ) tal que f est´a acotada en E ∗ (x0 , δ) ∩ A. x→x0

Adem´as, si L 6= 0 , el valor de f (x) tiene el mismo signo que L. Demostraci´on: Sea ε > 0 fijo, entonces existe E ∗ (x0 , δ) tal que |f (x) − L| < ε , luego L − ε < f (x) < L + ε, para todo x ∈ E ∗ (x0 , δ). En consecuencia, f est´a acotada en dicho entorno reducido. Para la segunda parte, basta tomar ε tal que 0 < L−ε < f (x) si L > 0 , o tal que f (x) < L+ε < 0, si L < 0. Corolario 217.- Si f : A −→ IR es continua en x0 , entonces f est´a acotada en alg´ un entorno de x0 . Adem´as, si f (x0 ) 6= 0, el valor de f (x) tiene el mismo signo que f (x0 ).

9.2.1

Teoremas de continuidad en intervalos cerrados

Teorema de Bolzano 218.- Sea f una funci´on continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuesto en a y b (es decir, f (a)f (b) < 0) entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 . . Teorema de los valores intermedios 219.- Si f : [a, b] −→ IR es continua en [a, b] y f (a) 6= f (b), entonces para cada k entre f (a) y f (b) , existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = k . Demostraci´on: Supongamos f (a) < f (b) , y sea f (a) < k < f (b). La funci´on g: [a, b] −→ IR dada por g(x) = f (x)−k es continua en [a, b] y verifica que g(a) = f (a)−k < 0 y g(b) = f (b)−k > 0, luego por el Teorema de Bolzano (218) existe c ∈ (a, b) tal que g(c) = f (c) − k = 0 , es decir, con f (c) = k . An´alogamente si f (b) < f (a) . Corolario 220.- Sea I un intervalo de IR y f : I −→ IR continua en I , entonces f (I) es un intervalo de IR . . Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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99 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

9.3 Ejercicios

Teorema de acotaci´ on 221.- Sea f una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f est´a acotada en dicho intervalo. Es decir, existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ [a, b]. . Teorema de Weierstrass 222.- Si f es una funci´on continua en el intervalo [a, b], entonces f alcanza un m´aximo y un m´ınimo en [a, b]. Es decir, ∃ α, β ∈ [a, b] tal que f (α) ≤ f (x) ≤ f (β), ∀x ∈ [a, b]. . Corolario 223.- Si f es continua en (a, b) y l´ım+ f (x) = l1 ∈ IR y l´ım− f (x) = l2 ∈ IR , la funci´on f est´a x→a

acotada en (a, b).

9.3

x→b

(Tambi´en es cierto cuando a es −∞ y cuando b es +∞ .)

.

Ejercicios

9.90 Calcular los siguientes l´ımites: a) d) g) j)

7x3 +4x 2 −2x3 3x−x x→−∞ 2 l´ım 2x −4 x→−2 x (2+x) √ l´ım x2 + 3x − x→∞ √ 1−4x2 l´ım 2x+1 −1 + x→ 2

b)

l´ım

e) 1−x

h) k)

7x3 +4x 2 −2x3 3x−x x→∞ √ 2 l´ım 1+4x x→∞ 4+x l´ım (2 − x2 )2x x→0 √ |x|−x l´ım √ 2 x→0− x −2x

l´ım

c) f) i) l)

7x3 +4x 2 −2x3 3x−x x→0 2 l´ım sen2 x x→∞ x 2x l´ım (x2 + 2) x−10 x→+∞

l´ım

³

l´ım+

x→1

9.91 Usar l´ımites laterales para verificar la existencia o no de los siguientes l´ımites: √ ´ ³ (1−x)2 1 x a) l´ım x−1 b) l´ım |x| c) l´ım x1 − |x| d) x→1

x→0

q

√ 1 x2 −x

−

³ l´ım

x→0

x→0

|x| x

x+1 x−1

´

´ −1 x

9.92 Probar, razonadamente, que los siguientes l´ımites valen 0: a)

√ 2 l´ım ( x − 1) ex +2

l´ım x2 sen x1

b)

x→1

x→0

9.93 Usar la continuidad de las funciones, para hallar: q 2 1 a) l´ım ln 3 + (1−x) b) l´ım tg(ln(cos(e− x ))) x2 +1 x→0

x→0

(x−a)2 x→a |x−a|

c)

l´ım

q c)

l´ım

x→π

1 1 + cos2 (π th( |x−π| ))

9.94 Encontrar infinit´esimos e infinitos equivalentes a: √ a) sen2 1 − x2 , cuando x → −1+ √ c) 1q− cos((2 − x2 )2 ), cuando x → 2 1−x e) 3x3 +12x2 , cuando x → 0

√ b) 1 + x2 + 2x4 , cuando x → ∞ d) ln(1 − x1 ), cuando x → −∞ f)

cos(x), cuando x →

π 2

5

g) ln(x2 ), cuando x → 1 i) sen(x), cuando x → 2π

h) 1 − e2x , cuando x → 0 j) tg(−x6 ), cuando x → 0

9.95 Calcular, si existe, el valor de: a) 9.96

ln(cos x) x2 x→0

l´ım

b)

sen2 x+ex −1 th(2x) x→0

l´ım

c)

l´ım x3 sen( x31+x )

x→∞

d)

7x tg(x3 −x5 ) 2 x→0 (cos(2x)−1)

l´ım

(x) a) Si f y g son ifinit´esimos cuando x → a y l´ım fg(x) = L 6= 0 , probar que f (x) y L · g(x) son x→a infinit´esimos equivalentes cuando x → a .

b) Si β es una ra´ız de multiplicidad m del polinomio P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , probar que P (x) y k(x − β)m son infinit´esimos equivalentes cuando x → β , para alg´ un valor k 6= 0. 9.97 Usar el resultado a)

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l´ım f (x) = l´ım f (a + h)

x→a

2 l´ım ln(x ) x→1 x−1

h→0

b)

3 3 l´ım x +2 x→−2 x+2

para calcular c)

l´ım √3 sen(π+x)

x→π −

1−cos(x−π)

d)

cos x l´ım 2x−π x→ π 2

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100 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

9.3 Ejercicios

9.98 Usar el logaritmo neperiano, para probar que

l´ım (1 + x1 )x = e y que

x→+∞

l´ım (1 + x1 )x = e.

x→−∞

9.99 Calcular, si existe, el valor de: ³ a)

l´ım

x→∞

1−

1 x

´x

³ b)

l´ım

x→∞

3−x 1−x

´2−x

³ c)

l´ım

x→1

2 x+1

9.100 Considerar las funciones reales de variable real dadas por f (x) =

´ 3−x 1−x

√ x2 −3 x+1

3

l´ım (1 + cos x) cos x

d)

x→ π 2

y g(x) =

√x−1 3−x2

.

Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definici´on (ind´ıquese tambi´en la continuidad lateral, si ha lugar). 9.101 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio: ( 2 ½ sen x x −4 , si x 6= 0 x x2 (2+x) , si x 6= −2 b) f (x) = a) f (x) = 1, si x = 0 0, si x = −2 ( √ 2 √ ½ x +x− 2 x, si |x| > 1 x−1 √ , si x 6= 1 c) f (x) = d) f (x) = 3 2 x3 , si |x| ≤ 1 , si x = 1 4   ax + 1, si x < 3 a + b, si x = 3 es continua en IR ? 9.102 ¿Para que valores de las constantes a y b, f (x) =  2 bx − 2, si x > 3 9.103 Sean las funciones f, g, h: IR −→ IR , definidas a trozos mediante:  2 1 ½  2x − 2 , si x ≤ −1 1, si x ≤ 0 1 − x2 , si − 1 < x < 0 ; f (x) = ; g(x) = −1, si x > 0  3 1+x2 , si x ≥ 0

( h(x) =

−x3 −1 2+x2 ,

si |x + 1| ≤ 1

x2 +2 2x+4 ,

si |x + 1| > 1

a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas (ind´ıquese tambi´en la continuidad lateral). b) Hallar las expresiones de |f | , |g| , f +g y f ·h, como funciones definidas a trozos. c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. ¿Qu´e ocurre en los casos donde no puede aplicarse la regla general? d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la funci´on g ◦ f . 9.104 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones seg´ un los valores del par´ametro a: ( a)

fa (x) =

a − x, si x ≤ a x(a2 −x2 ) a2 +x2 , si x > a

   b) fa (x) =

 

x2 a a2 +x2 , x 2, 2 a x a2 +x2 ,

si x < a si x = a si x > a

9.105 Probar que las gr´aficas de las funciones f (x) = ex y g(x) = 3x , se cortan al menos en dos puntos del intervalo [0, 2]. 9.106 Estudiar si las funciones del ejercicio 9.101 est´an acotadas superior e inferiormente.

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