LÍNEA DE MAYOR PENDIENTE

Selene Herrera Benavides, Alberto Camacho Ríos [email protected], [email protected] Instituto Tecnológico de Chihuahua II Resumen Se plantean los resultados de la aplicación en el aula de un diseño de instrucciones que llevan los estudiantes del nivel de ingeniería (curso de Cálculo Vectorial de estudiantes del Sistema Tecnológico Federal) al reconocimiento del concepto de Línea de Mayor Pendiente (LMP). La LMP es una expresión elemental y algebraica que antecede al concepto de Gradiente. El marco teórico que fundamenta el diseño de instrucciones es la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), en la que se considera la estructura de una Organización Didáctica (OD) también conocida como Praxeología. En sí, el diseño de instrucciones, cuyo eje central es una técnica geométrica, involucra el reconocimiento de la LMP. Palabras clave: Vertiente, Gradiente, Línea de Mayor Pendiente. Abstract The results from the application in the classroom must be programmed in an instructional design towards the students on an engineering level (Vector Calculus course from students of Federal Technological System) focusing to the concept of the Steepest Line (LMP). The LMP is an elementary expression the antedate the gradient concept. The theoric achievement that stands the instructional design is the Didactic Anthropology Theory (TAD), where it considers the body of the Didactic Organization (OD) also known as Praxeology. In fact, instructional design, with its central edge is a geometric technic, involves the assurement of the LMP. Keywords: Slope, Gradient, Steepest Line.

Introducción Se ofrecen los resultados de la aplicación de una serie de instrucciones didácticas proporcionadas por el profesor del curso Cálculo Vectorial de la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales del Instituto Tecnológico de Chihuahua II, con el objetivo de que los estudiantes reconocieran el concepto de Línea de Mayor Pendiente (LMP) (Valenzuela, Camacho y Cuevas, 2013). La LMP se reconoce en el escrito como un conocimiento asociado al concepto de Gradiente, toda vez que le antecede históricamente en su proceso de construcción social. Como tal, la LMP se desprende de una definición empírica que aparece en los procesos de geometrización de la Topografía de mediados del siglo XIX. En el sentido de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) las instrucciones forman parte de una Organización Didáctica (OD). Una OD es constituida por seis momentos de trabajo con los que se pretende que los estudiantes institucionalicen un saber o conocimiento. Para el proyecto la introducción de la LMP en el aula es previa a

los momentos de trabajo antes mencionados y tiene como objetivo dinamizar las actividades que se desarrollan en los propios momentos. Según Chevallard (1998) una Organización Matemática (OM), también conocida como Praxeología, comprende una unidad mínima de análisis [T,τ,θ,Θ], donde: T es una tarea por resolver en el salón de clase, τ es la técnica que ayuda a resolver la tarea, θ es la tecnología (teoremas, definiciones, etc.) de la que se desprende la técnica τ y Θ la teoría que soporta la organización. La OM modela la estructura que, a su vez, interviene en la estructuración de la OD. Sin embargo en las OM la tecnología teórica θ representa un objeto rigurosamente definido por el marco teórico en el que ésta última se coloca. Para justificar la inmersión de la LMP en la OD, en éste proyecto se utilizó el “modelo extendido” propuesto para la TAD por Castela y Romo Vázquez (2011), véase el Esquema 1. En el Esquema 1, el modelo extendido justifica la inmersión de conocimientos prácticos externos a las praxeologías matemáticas al incluir una tecnología práctica θp. $ th & T , τ, θ & θp %

' Θ ) ← P(M ) ) ← Iu (

Esquema 1. Modelo praxeológico extendido propuesto por Castela y Romo Vázquez (2011), en el que se p incluye una tecnología práctica θ .

Diseño de instrucciones y Justificación La OD fue desarrollada de manera que llevara a los estudiantes a reconocer una “vertiente” o bajada de agua, a través de las crestas contenidas en las curvas de nivel de un cerro. De manera que esto último permitiera unificar en el grupo el reconocimiento de la LMP, estableciéndola a través de la expresión variacional (1): Δz Δz v= i+ j ... ( 1 ) Δx Δy La expresión (1), es un significado asociado al concepto de Gradiente que se muestra en (2):

∇z =

∂z ∂z i+ j ... (2) ∂x ∂y

Como se aprecia en (3), el paso de la expresión (1) a la (2), sugiere un proceso variacional elemental de la forma:

∇z =

lím ...(3) Δx, Δy → 0

Con estas ideas fueron formuladas las instrucciones de trabajo que llevan a la construcción geométrica de la LMP. Las instrucciones constan de tres etapas: en la primera de ellas, sobre una porción de cerro representada por curvas de nivel (contornos de la superficie a una altura constante), se trazan vectores que configuran la

vertiente  𝐴𝐸 que a su vez, representa la LMP. Para ello se llenó una tabla con los datos correspondientes. En ésta misma etapa se sugiere trazar una línea de vectores 𝐴´𝐸´. En la segunda etapa, se les solicita trazar con un par de escuadras una recta tangente en forma del vector  𝐴𝑀 , a una de las curvas de nivel que aparecen en el mapa y la parte en donde inicia uno de los vectores 𝐴𝐵 que definen la propia vertiente. Esto último con el objetivo de que respondan a la pregunta ¿Qué relación hay entre los vectores 𝐴𝐵  𝑦  𝐴𝑀 ? La respuesta surge a través de resolver el producto interno entre 𝐴𝐵  𝑦  𝐴𝑀 , puesto que ambos vectores resultan ser perpendiculares. Para la tercera etapa se pide a los alumnos reescribir los vectores que aparecen en la Tabla 1 como se deja ver en la expresión (1). Como se mencionó anteriormente, en la expresión (3) se aprecia el paso de la definición de LMP a la definición del Gradiente, es decir:

lím = ∇z ...(3) Δx, Δy → 0 No obstante la tercera etapa corresponde al inicio del primer momento de la organización didáctica (OD), por tal razón en el documento no se ofrecen resultados al respecto, llegándose solamente al establecimiento de la expresión (1). A continuación se pueden ver los criterios a desarrollar, a través de la serie de instrucciones, como son: Instrucciones de trabajo. I. Primera etapa 1) El mapa que se muestra enseguida representa la porción de un cerro diseñada a través del uso de curvas de nivel en la forma en que las utilizan los topógrafos, los ingenieros civiles y los arquitectos, en sus proyectos. De hecho, la representación del cerro es un intento por mostrar este último en tercera dimensión. La escala con la que se diseñó es de l: 100. Es decir, cada cm en el papel representa 1 m en el terreno. En este caso la representación del mapa es conocido como micro-espacio de trabajo en el aula, ya que simula la porción del espacio real donde se ubica el cerro.

Figura 1. Planta topográfica de un cerro representado mediante curvas de nivel. 2) Las curvas de nivel están equidistantes a cada 20 m. Esa última magnitud representa el desnivel entre cada dos curvas consecutivas. Nótese que el desnivel es constante para cada dos de estas. 3) Observe que las curvas de nivel se pronuncian hacia arriba formando así crestas para luego bajar de nuevo. A partir de lo anterior:

4) Establezca una serie de puntos A, B, C, etc., entre la parte más pronunciada de cada cresta de las curvas de nivel. 5) Una enseguida los puntos AB, BC, CD, etc., y forme así los vectores 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷etc., indicando también la flecha correspondiente en cada uno de ellos. 6) El conjunto de vectores tratados de esa manera representa la vertiente  𝐴𝐸: un arroyo, una bajada o flujo de agua, un río, etc. 7) Enseguida trace sobre la planta topográfica dos ejes rectangulares de Y contra X, como se muestra en la gráfica de la Figura 2, de modo que los ejes se ubiquen en la parte positiva del plano cartesiano. 8) Utilice una regla graduada para determinar las coordenadas x, y, z: de los vértices A, B, C, etc., y coloque esa información en la primera columna de la Tabla l. No olvide que la escala horizontal es de l: 100 y las equidistancias entre curvas se encuentran a cada 20 m. 9) Determine los vectores puntuales que van del origen O a cada vértice: 𝑂𝐴, 𝑂𝐵,  𝑂𝐶, …, etc., colóquelos en la segunda columna de la Tabla l. 10) Determine los vectores  𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴,      𝐵𝐶 =   𝑂𝐶 − 𝑂𝐵 ,…, etc., y ubíquelos en la tercera columna de la Tabla 1. 11) Con la información anterior llene las columnas que restan de la Tabla 1.

Figura 2. La vertiente representada a través de vectores. Tabla 1 Información de los vectores que determinan la vertiente  𝐴𝐵 Coordenadas (x, y, z) de los vértices A B C D E

Vectores puntuales

Vectores de la vertiente 𝑣  

 𝑂𝐴    𝑂𝐵    𝑂𝐶    𝑂𝐷    𝑂𝐸

   𝐴𝐵    𝐵𝐶    𝐶𝐷    𝐷𝐸

Pendiente en x del vector entre cada dos curvas

Pendiente en y del vector entre cada dos curvas

12) A 50 m de la vertiente, trace vectores paralelos a los vectores  𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷  ,…, etc., llame a estos últimos  𝐴´𝐵´, 𝐵´𝐶´, 𝐶´𝐷´, etc. 13) Desarrolle el mismo trabajo realizado para la línea de vectores  𝐴´𝐸´ y llene la Tabla 2. Tabla 2 Información de los vectores que determinan la línea de vectores      𝐴´𝐸´

Coordenadas (x, y, z) de los vértices A´ B´ C´ D´ E´

Vectores puntuale s

Vectores de la vertiente 𝑣  

     𝑂´𝐴´      𝑂´𝐵´      𝑂´𝐶´      𝑂´𝐷´      𝑂´𝐸´

     𝐴´𝐵´      𝐵´𝐶´      𝐶´𝐷´      𝐷´𝐸´      

Pendiente en x del vector entre cada dos curvas

Pendiente en y del vector entre cada dos curvas

14) A través de las pendientes de las rectas secantes a la curva de nivel correspondiente en los vértices A, B, C, D, E, así como en los vértices A´, B´, C´, D´ E´, que aparecen en la Tablas 1 y Tabla 2, responda a la siguientes preguntas: ¿Cuál de las dos líneas de vectores: la vertiente  𝐴𝐸 o la línea 𝐴´𝐸´, tiene pendientes más pronunciadas? Llame Línea de Mayor Pendiente LMP a aquella, 𝐴𝐸   o la línea 𝐴´𝐸´ que resulta tener las pendientes más pronunciadas o abruptas. II. Segunda etapa 15) Utilice un par de escuadras para dibujo y trace, aproximadamente, una recta tangente a la curva de nivel que corresponde al punto A de la vertiente 𝐴𝐸. 15a) Trace luego sobre la recta tangente una longitud AM de 50 m (no importa si a la izquierda o derecha de A. 15b) Determine el vector 𝐴𝑀.   15c) Calcule el producto interno 𝐴𝐵 ∙   𝐴𝑀, y responda las siguientes preguntas: ¿Qué relación hay entre los vectores 𝐴𝐵  𝑦  𝐴𝑀? ¿Qué relación hay entre el vector 𝐴𝐵 y la curva nivel que pasa por el punto A?

Resultado de una aplicación de las instrucciones A continuación se muestra los resultados de la aplicación de las instrucciones desarrolladas por uno de los estudiantes. En todos los casos se permitió el uso de la computadora para descargar de la web el cerro y las curvas de nivel, así como de calculadora para el llenado de las tablas y cálculos correspondientes. I. Primera Etapa 1)

En la página; http://maps.google.com.mx/ y se eligió un cerro como se muestra en Figura 3.

Figura 3 Cerro de Machu Picchu, Perú Escala 5 mm:100 m.

2 y 3) Se obtuvieron las curvas de nivel las cuales se encuentran a una equidistancia de 20 m. Después de ello se analizaron las características de estas últimas: Vertientes, Crestas, Equidistancias entre curvas, Crestas, Picos, Escala del mapa, etc. Véase en Figura 4.

Figura 4 Curvas de nivel equidistantes. Escala 1 mm: 20 m. 4, 5 y 6) En la Figura 5, se nombraron A, B, C, etc., consecutivamente, a cada uno de los puntos que determinan la vertiente. Luego se unieron los puntos, trazando al final de cada uno la flecha que indica el flujo de agua, determinando de esta manera los vectores 𝐴𝐵,𝐵𝐶,…, etc.

Figura 5 Muestra la caída de una pendiente del punto de vista desde arriba con sus equidistancias. Escala 5 mm: 20 m. 7, 8 y 9) Ubicando las curvas de nivel en un primer cuadrante de X, Y (Figura 5), se procedió a llenar los datos de la Tabla 1 determinando la ubicación de cada punto en coordenadas rectangulares tomando en cuenta que el eje Z permanece constante, ya que representa los desniveles del cerro, estableciendo así los vectores puntuales 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, . .. etc. 10) En la Figura 6 se aprecia la determinación de los vectores de la vertiente a través de la diferencia de cada dos vectores puntuales, que se colocaron en la tercera columna de la Tabla 1.

𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 Figura 6 Interpretación de la diferencia de dos vectores.

11) Las últimas dos columnas se llenaron a través de una función que permite calcular pendientes respecto al eje a tratar. La interpretación gráfica ayudó a comprender cómo resolverlo, lo anterior se puede apreciar en las Figuras 7 y 8. La imagen que se muestra en la Figura 7 deja ver a la variable z como el valor de las equidistancias constantes entre cada curva de nivel, en tanto la Figura 8 indica las pendientes de la recta secante a la curva de nivel en dirección a los ejes X,Y, la cuales son vistas como las proyecciones de la recta sobre cada eje. Tabla 1 Información de los vectores que determinan la vertiente original 𝐴𝐸 Coordenadas (x, y, z) de los vértices A (485,488,360) B (455,474,340) C (425,462,320) D (396,450,300) E (368,438,280) F (355,424,260)

Vectores puntuales

Vectores de la vertiente 𝑣

𝑣 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐸 𝑂𝐹

𝑣 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐹

𝑖 485 455 425 396 368 355

𝑗 488 474 462 450 438 424

𝑘 360 340 320 300 280 260

Figura 7 Equidistancias z entre curvas de nivel.

𝑖 -30 -30 -29 -28 -13

𝑗 -14 -12 -12 -12 -14

𝑘 -20 -20 -20 -20 -20

Pendiente en x del vector entre cada dos curvas

Pendiente en y del vector entre cada dos curvas

0.67 0.67 0.70 0.71 1.54

1.43 1.67 1.67 1.67 1.43

Figura 8 Pendientes de la recta secante a la curva de nivel en dirección a los ejes X,Y, la cuales son vistas como las proyecciones de la recta sobre cada eje.

12) Se trazó una línea de vectores paralela 𝐴´𝐹´, a una distancia de 50 m de la vertiente original 𝐴𝐹, como se muestra en la Figura 9.

Figura 9 Muestra la vertiente original y su vertiente paralela. Escala 10 mm: 20 m 13) Se realizó el mismo procedimiento que con la vertiente original 𝐴𝐸,  obteniendo la Tabla 2. Tabla 2 Información de los vectores que determinan la vertiente 𝐴´𝐸´

Coordenadas (x, y, z) de los vértices

Vectores puntuales

𝑣 A´ (517,447,360) B´ (473,429,340) C´ (443,416,320) D´ (419,406,300) E´ (396,396,280) F´ (379,379,260)

i

𝑂´𝐴´ 517 𝑂´𝐵´ 473 𝑂´𝐶´ 443 𝑂´𝐷´ 419 𝑂´𝐸´ 396 𝑂´𝐹´ 379

j

k

447

360

429 416 406 396 379

340 320 300 280 260

Vectores de la vertiente 𝑣 𝑣

i

𝐴´𝐵´ -44 𝐵´𝐶´ -30 𝐶´𝐷´ -24 𝐷´𝐸´ -23 𝐸´𝐹´ -17

Pendiente en x del vector entre cada dos curvas

Pendiente en y del vector entre cada dos curvas

j

k

-18

-20

0.45

1.11

-13 -10 -10 -17

-20 -20 -20 -20

0.67 0.83 0.87 1.18

1.54 2.00 2.00 1.18

14) Una vez llenadas las tablas se respondió a la cuestión propuesta: ¿Cuál de las dos líneas de vectores: la vertiente 𝐴𝐸 o la línea 𝐴´𝐸´, tiene pendientes más pronunciadas? RESPUESTA: “Puesto que la perspectiva de la investigación era determinar cuál de las dos línea de vectores era la más pronunciada, se puede decir que la línea de vectores 𝐴𝐸 corresponde a la vertiente. Por lo tanto la vertiente AE se puede definir como LMP.” II. Segunda Etapa 15) Del punto A que corresponde al vector 𝐴𝐵, se trazó una recta tangente con una longitud 𝐴𝑀 de 50 m, hacia la derecha de A. Como se muestra en la Figura 10. 15a, 15b y 15c) Se determinó el vector 𝐴𝑀. Una vez calculado el producto interno 𝐴𝐵   ∙   𝐴𝑀, se respondieron las siguientes cuestiones: ¿Qué relación hay entre los vectores 𝐴𝐵 y 𝐴𝑀 ? RESPUESTA: “Puesto que: 𝐴𝑀   = 𝑂𝑀 − 𝑂𝐴 =   509, 441, 357 − 485, 488, 360 =   24, −47, −3 𝐴𝐵   ∙   𝐴𝑀 = −30, −14, −20 ∙ 24, −47, −3 =   −720 + 658 + 60   = −2 Esto último deja en claro que el vector 𝐴𝐵 es perpendicular a la curva de nivel que pasa por A.” ¿Qué relación hay entre el vector 𝐴𝐵 y la curva de nivel que pasa por el punto A? RESPUESTA: “El vector 𝐴𝐵 es perpendicular a la curva de nivel que pasa por A, una apreciación de lo antes mencionado se puede ver en la Figura 11.”

Figura 10 Representación del vector 𝐴𝑀 desde la perspectiva de un plano en (𝑥, 𝑦).

Figura 11 Muestra el vector 𝐴𝑀 desde la perspectiva de un plano en tres dimensiones (𝑥, 𝑦, 𝑧).

Algunos resultados Un cuestionamiento de las técnicas empleadas para llevar a cabo las instrucciones propuestas por el profesor arroja los siguientes resultados: 1. La LMP se coloca en un ambiente geométrico elemental en el que se pudieron determinar los vectores 𝐴𝐸 entre curvas de nivel sin necesidad de una aplicación variacional como la contenida en ∇ ⋅ f . 2. La tecnología θth involucrada justifica la técnica geométrica que llevó a la determinación de la LMP. 3. Se desarrolló así un procedimiento completamente algebraico y geométrico, que deja ver que las pendientes entre cada vector que constituyen la LMP, son de la forma: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑥 =

!"#$%$&'()*$( !"

, así como: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑦 = !"#$%$&'()*$( !"

4. De lo anterior se desprende que, por ejemplo, el vector 𝐴𝐵 de la LMP obtiene la forma dada en (1), es decir: AB =

Δz Δz i+ j Δx Δy

O sea: AB =

−20 -20 i+ j - 30 - 14

Conclusiones La forma de los vectores que determinan la LMP es fundamental para pasar al contexto variacional, es decir el paso al límite, para llegar a la expresión (2) que representa al Gradiente. Como ya se dijo, esta última etapa forma parte del primer momento contenido en la OD, dentro de la cual las actividades desarrolladas en el presente documento le permitirán dinamizarlo para la consecución de la institucionalización en el aula del concepto Gradiente. Bibliografía 1. Valenzuela, V., Camacho, A. y Cuevas, J. H. (2013). Gradiente: Línea de mayor pendiente. AcademiaJournals, (pág.http://juarez.academiajournals.com/memorias2013.html). Juárez, Chih. México.Consultado el 22 de septiembre de 2013. 2. Chevallard, Y. (1998). Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: L´approché anthropologique.IUFM d’Aix-Marseille. En http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf. Consultado el 21 de septiembre de 2013. 3. Castela, C. y Romo Vázquez, A. (2011). Des mathématiques a l´Automatique: Etude des effets de transposition sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs. Recherches en Didactique des Mathématiques, (31), 1, pp. 79-130.