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Matemática 4º Año

Logaritmos La invención de los logaritmos se debe al matemático escocés John Neper quien, a principios del siglo XVII, intentó idear un método que aliviara los complejos cálculos que debían realizarse en astronomía para resolver problemas trigonométricos. Esta idea pronto trascendió el ámbito de la pura aplicación práctica para convertirse en uno de los pilares de las matemáticas modernas.

¿Cuál es la etimología de la palabra “logaritmo”? Proviene del griego

Lógos: estilo, manera, relación, razón Arithmós: número ¿Para qué sirven los logaritmos? Los logaritmos fueron ideados antes que las computadoras actuales y permiten realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. El logaritmo simplifica el cálculo, siempre y cuando no contemos con una calculadora científica. A medida que se analizaron más y más los logaritmos se fueron ideando muchas propiedades que simplifican aun más el cálculo. Es verdad que muchos de dichos cálculos se pueden hacer actualmente con la ayuda de las computadoras. Pero en algunas ocasiones se encontrarán explicaciones de ciertos temas utilizando logaritmos y no podremos entenderlas a menos que tengamos una base en el tema.

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Función Logarítmica:

y = loga x

∧a>0 ∧ a≠0∧x>0

Dominio = ( 0 ; ∞) Imagen = (- ∞ ; + ∞) Función creciente Son funciones donde el dominio debe ser mayor que cero, pues no existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, el por que de dicha característica reside en el hecho que al elevar una base positiva nunca puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero.

Logaritmo de un número Definición: La logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y argumento respectivamente, que se define como:

loga b = c ⇔ b = ac ∧ a > 0 ∧ a ≠ 0 ∧ b > 0

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Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Se lee logaritmo en base a (donde a es un valor positivo y distinto de 1) de un número b positivo al exponente al que hay que elevar la base para obtener este número. El símbolo del logaritmo en base a es loga Ejemplos: a) log2 8 = 3 ⇔ 8 = 23 b) log2 1 = -2 ⇔ 1 = 2-2 4 4 c) log9 3 = 1 ⇔ 1 92 = 9 = 3 2 Existen dos logaritmos cuya notación es especial: los logaritmos de base 10, utilizados con mucha frecuencia, llamados logaritmos decimales;

log 10 b = log b y los que tienen como base el número e = 2,718281828...... que se denominan logaritmos naturales o neperianos,

log e b = ln b

Propiedades de los logaritmos A partir de las propiedades de las potencias, se deducen diversas propiedades interesantes de los logaritmos en cualquier base. Estas propiedades se resumen en.: 1- El logaritmo de la base es siempre igual a 1 loga a = 1 ⇔ a1 = a 2 - El logaritmo de 1 en cualquier base es 0 loga 1 = 0 ⇔ a0 = 1 3 - El logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos loga (x . y) = loga x + loga y 4 - El logaritmo de un cociente es igual a la resta de logaritmos loga (x/y) = loga x - loga y 5 - El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base (este enunciado engloba al logaritmo de una raíz, entendida como una potencia de exponente fraccionario) loga (x)p = p . loga x p

loga

x

= loga ( x)

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1 p

=

1 . loga x p 43

Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Resumiendo las propiedades:

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Resumen de las propiedades

Cambio de base entre logaritmos Un mismo número tiene logaritmos diferentes según la base elegida. Ahora bien, basta conocer el logaritmo de un número en una base para determinar su valor en cualquier otra base, a partir de la siguiente propiedad de cambio de base:

Logaritmos decimales Los logaritmos de base 10, se llaman logaritmos decimales. Normalmente, estos logaritmos se simbolizan por log, sin indicar la base. En el valor de un logaritmo decimal pueden distinguirse dos partes complementarias: •

La característica, que expresa el orden de magnitud de esta

cantidad y tiene valores enteros. •

La mantisa, o parte marginal del logaritmo, que expresa su

componente decimal. Por ejemplo, el logaritmo del número 100 es 2, por lo que sólo tiene característica (igual a 2) y su mantisa es nula. En cambio, el logaritmo del número 2 es 0,301030, característica igual a 0 y mantisa 301030.

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Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año • Los logaritmos de números mayores o iguales que 1 y menores que 10 tienen característica 0. •

Los logaritmos de números mayores o iguales que 10 y menores

que 100 tienen característica 1. •

Los de los números mayores o iguales que 100 y menores que

1000 tienen característica 2, y así sucesivamente. •

En cambio, los logaritmos de los números menores que 1 tienen

característica negativa. Por otra parte, la mantisa de los números que sólo difieren entre sí en potencias de 10 tienen igual mantisa. Por ejemplo: mantisa (log 2) = mantisa (log 20) = mantisa (log 200) = 301029996 mantisa (log 0,2) = mantisa (log 0,02) = mantisa (log 0,002) = 698970004

Logaritmos neperianos Los logaritmos neperianos o naturales tienen como base el número e = 2,7182818285... Estos logaritmos se simbolizan por ln (por ejemplo, ln 2). La elección de una base aparentemente tan arbitraria responde a las singulares propiedades de la función exponencial ex, de manera que los logaritmos neperianos (que deben su nombre a su inventor, John Neper), tienen aplicaciones en numerosísimos campos científicos, técnicos y sociales. Para determinar valores de logaritmos neperianos se utilizan hoy en día calculadoras portátiles. Sin embargo, en el pasado era necesario recurrir al siguiente procedimiento: •

Calcular el logaritmo decimal del número, con ayuda de una tabla

de logaritmos. •

Calcular el logaritmo neperiano por medio de un cambio de base,

sabiendo que log e = 0,434294 ya que:

Ejemplos Expresa los logaritmos decimales de los siguientes números en función de log 2 ≈ 0,3. Los números son los siguientes:

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a) 4,

b) 16,

1 c) 32 ,

e) 0.5;

f) 0.25;

g) 0.125;

i)

2,

j)

8,

k)

1 2,

1 d) 1024

h) 0.0625

1 l) 64

Hay que expresar los números dados en función de 2. Cuando no ponemos la base del logaritmo se entiende que es 10, o sea que se trata de logaritmo decimal. 2 2 a) log 4 = log 2 (Propiedad 6) Æ log 4 = log 2 = 2.log 2 4 4 b) log16 = log 2 (Propiedad 6) Æ log16 = log 2 = 4.log 2

1 1 = log 5 = log 2−5 32 2 c) (Propiedad 6) Æ 1 1 = log 5 = log 2−5 = −5.log 2 log 32 2 log

1 1 = log 10 = log 2−10 1024 2 d) (Propiedad 6) Æ 1 1 = log 10 = log 2−10 = −10.log 2 log 1024 2 log

5 1 = log = log 2−1 10 2 e) (Propiedad 6) Æ −1 log 0.5 = log 2 = −1.log 2 = − log 2 log 0.5 = log

25 1 1 = log = log 2 = log 2−2 100 4 2 (Propiedad 6) Æ f) −2 log 0.25 = log 2 = −2.log 2 log 0.25 = log

125 1 1 = log = log 3 = log 2−3 1000 8 2 g) (Propiedad 6) Æ −3 log 0.125 = log 2 = −3.log 2 log 0.125 = log

625 1 1 = log = log 4 = log 2−4 10000 16 2 h) (Propiedad 6) Æ −4 log 0.0625 = log 2 = −4.log 2 log 0.0625 = log

i)

log 2 =

1 log 2 2 (Por la propiedad 7)

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Instituto Raúl Scalabrini Ortiz 1 log 8 = log 8 2 j) (Por la propiedad 7), 1 1 3 log 8 = log 8 = log 23 = log 2 2 2 2 (Por la propiedad 6)

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1 1 1 1 = log log = − log 2 2 2 2 (Por la propiedad 7), el 2 k) (lo hemos hecho más arriba en el apartado e) Æ log

log

l)

1 1 1 1 1 = log = ( − log 2 ) = − log 2 2 2 2 2 2

1 1 1 = log 64 2 64 (Por la propiedad 7), el 1 1 = log 6 = log 2−6 = −6 log 2 log 64 2 (por la propiedad 6) Æ log

log

1 1 1 1 6 = log = ( −6 log 2 ) = − log 2 = −3log 2 64 2 64 2 2

Resolver los ejercicios 1 al 14

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